2.2有理数的乘法与除法-　讲义　2024—2025学年人教版数学七年级上册　

2.2有理数的乘法与除法-数学七年级上册人教版（2024） ( 知识梳理 ) 倒数 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•＝1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． （4）方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 有理数的除法 （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） （2）方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． ( 典例分析 ) 1．（2024春•闵行区期中）计算：﹣×÷1． 【解答】解：原式＝﹣×（﹣）× ＝． 2．（2023秋•射阳县期末）已知：|a|＝3，|b|＝5． （1）若a＞b，求ab的值； （2）若ab＜0，求a﹣b的值． 【解答】解：（1）∵|a|＝3，|b|＝5， ∴a＝±3，b＝±5， ∵a＞b， ∴a＝3时，b＝﹣5，ab＝3×（﹣5）＝﹣15， a＝﹣3时，b＝﹣5，ab＝（﹣3）×（﹣5）＝15， 综上所述，ab的值是±15； （2）∵|a|＝3，|b|＝5， ∴a＝±3，b＝±5， ∵ab＜0， ∴a＝3时，b＝﹣5，a﹣b＝3﹣（﹣5）＝3+5＝8， a＝﹣3时，b＝5，a﹣b＝﹣3﹣5＝﹣8， 综上所述，a﹣b的值为±8． ( 真题特训 ) 一．选择题（共8小题） 1．（2024•下陆区校级三模）2024的倒数是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 2．（2024•山西模拟）计算2×（﹣3）的结果是（　　） A．6 B．1 C．﹣1 D．﹣6 3．（2023秋•永年区校级月考）对于式子“”的变形正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2023秋•鼓楼区期末）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．若|a|＜|b|，则下列结论一定成立的是（　　） A．a﹣b＞0 B．a+b＞0 C．ab＞0 D． 5．（2023秋•信州区期末）下列说法正确的有（　　）个． ①相反数是它本身的数是0； ②零除以任何一个数都为零； ③绝对值是它本身的数是正数； ④倒数等于本身的数有±1； ⑤几个有理数相乘时负因数的个数为奇数个时积为负． A．2 B．3 C．4 D．5 6．（2024春•顺河区校级期末）某同学在计算﹣8÷a时，误将“÷”看成“+”而算得结果是﹣12，则﹣8÷a的正确结果是（　　） A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣2 7．（2023秋•舞阳县期末）已知|x|＝4，|y|＝5，且xy＜0，则x+y的值等于（　　） A．9或﹣9 B．9或﹣1 C．1或﹣1 D．﹣9或﹣1 8．（2023秋•沙市区期末）计算9÷（﹣3）×的结果为（　　） A．﹣1 B．1 C．9 D．﹣9 二．填空题（共6小题） 9．（2024•莱芜区校级开学）的倒数是 　 　，的绝对值是 　 　，相反数是本身的数是 　 　． 10．（2024•西湖区模拟）如果﹣xyz＜0，x与y同号，则z　 　0（填“＞”“＜”或“＝”） 11．（2024•梓潼县开学）若a，b互为倒数，则﹣2﹣ab＝　 　． 12．（2024•安州区开学）若一个数的绝对值与这个数的商为﹣1，那么这个数为 　 　． 13．（2023秋•射阳县期末）已知有理数1，﹣8，+11，﹣2，请你任选两个数相乘，运算结果最大是 　 　． 14．（2023秋•德清县期末）若x，y，z都是有理数，且x+y+z＝0，xyz＜0，则的值是 　 　． 三．解答题（共5小题） 15．（2023秋•济南期末）计算：． 16．（2024•西城区校级一模）若a、b、c都是有理数，|a|＝4，|b|＝9，|c|＝6，且ab＞0，bc＜0，求a﹣b﹣（﹣c）的值． 17．（2023秋•方城县校级期末）已知：有理数m所表示的点与﹣1表示的点距离4个单位，a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数． 求：2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m的值． 18．（2023秋•射阳县期末）若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24． （1）求3*（﹣4）的值； （2）求（﹣2）*（6*3）的值． 19．（2023秋•中原区期末）学了有理数的运算后，老师给同学们出了一题． 计算：19×（﹣9），下面是两位同学的解法： 小方：原式＝﹣9＝﹣＝﹣179； 小杨：原式＝（19+）×（﹣9）＝﹣19×9﹣×9＝﹣179． （1）两位同学的解法中，谁的解法较好？ （2）请你写出另一种更好的解法． 2.2有理数的乘法与除法-数学七年级上册人教版（2024） 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024•下陆区校级三模）2024的倒数是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 【解答】解：2024的倒数是； 故选：C． 2．（2024•山西模拟）计算2×（﹣3）的结果是（　　） A．6 B．1 C．﹣1 D．﹣6 【解答】解：2×（﹣3）＝﹣2×3＝﹣6． 故选：D． 3．（2023秋•永年区校级月考）对于式子“”的变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：， 故选：D． 4．（2023秋•鼓楼区期末）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．若|a|＜|b|，则下列结论一定成立的是（　　） A．a﹣b＞0 B．a+b＞0 C．ab＞0 D． 【解答】解：根据题意得：a＜0＜b或0＜a＜b，|a|＜|b|， ∴a﹣b＜0，a+b＞0，ab＜0或ab＞0，＜0或＞0， 则一定成立的是a+b＞0． 故选：B． 5．（2023秋•信州区期末）下列说法正确的有（　　）个． ①相反数是它本身的数是0； ②零除以任何一个数都为零； ③绝对值是它本身的数是正数； ④倒数等于本身的数有±1； ⑤几个有理数相乘时负因数的个数为奇数个时积为负． A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：①相反数是它本身的数是0，该说法正确； ②零除以任何一个数不为0的数都为零，故该说法错误； ③绝对值是它本身的数除了正数还有0，故该说法错误； ④倒数等于本身的数有±1，故该说法正确； ⑤几个非0有理数相乘时负因数的个数为奇数个时积为负，故该说法错误． 则正确的只有2个． 故选：A． 6．（2024春•顺河区校级期末）某同学在计算﹣8÷a时，误将“÷”看成“+”而算得结果是﹣12，则﹣8÷a的正确结果是（　　） A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣2 【解答】解：∵计算﹣8÷a时，误将“÷”看成“+”而算得结果是﹣12， ∴﹣8+a＝﹣12， ∴a＝﹣4， ∴﹣8÷a＝﹣8÷（﹣4）＝2， 故选：B． 7．（2023秋•舞阳县期末）已知|x|＝4，|y|＝5，且xy＜0，则x+y的值等于（　　） A．9或﹣9 B．9或﹣1 C．1或﹣1 D．﹣9或﹣1 【解答】解：∵|x|＝4，|y|＝5， ∴x＝±4，y＝±5． ∵xy＜0， ∴x＝4，y＝﹣5或x＝﹣4，y＝5． 当x＝4，y＝﹣5时，x+y＝4+（﹣5）＝﹣1； 当x＝﹣4，y＝5时，x+y＝﹣4+5＝1． 故选：C． 8．（2023秋•沙市区期末）计算9÷（﹣3）×的结果为（　　） A．﹣1 B．1 C．9 D．﹣9 【解答】解：原式＝﹣3× ＝﹣1． 故选：A． 二．填空题（共6小题） 9．（2024•莱芜区校级开学）的倒数是 　　，的绝对值是 　2　，相反数是本身的数是 　0　． 【解答】解：的倒数是﹣， 的绝对值是2， 0的相反数是0． 故答案为：；2；0． 10．（2024•西湖区模拟）如果﹣xyz＜0，x与y同号，则z　＞　0（填“＞”“＜”或“＝”） 【解答】解：∵﹣xyz＜0，x与y同号， ∴z＞0， 故答案为＞． 11．（2024•梓潼县开学）若a，b互为倒数，则﹣2﹣ab＝　﹣3　． 【解答】解：因为a，b互为倒数， 所以ab＝1， 所以﹣2﹣ab＝﹣2﹣1＝﹣3， 故答案为：﹣3． 12．（2024•安州区开学）若一个数的绝对值与这个数的商为﹣1，那么这个数为 　负数　． 【解答】解：设这个数为x，由题意得＝﹣1， ∴|x|与x互为相反数且x≠0， ∵|x|＞0， ∴x＜0， ∴这个数是负数． 故答案为：x＜0． 13．（2023秋•射阳县期末）已知有理数1，﹣8，+11，﹣2，请你任选两个数相乘，运算结果最大是 　16　． 【解答】解：1×（+11）＝11，（﹣8）×（﹣2）＝16， ∵16＞11， ∴运算结果最大是16， 故答案为：16． 14．（2023秋•德清县期末）若x，y，z都是有理数，且x+y+z＝0，xyz＜0，则的值是 　3或﹣1　． 【解答】解：∵x+y+z＝0， ∴y+z＝﹣x，z+x＝﹣y，x+y＝﹣z， ∴原式＝， ∵x+y+z＝0，xyz＜0， ∴在x、y、z中必为两正一负， ∴当x为负时，原式＝， 当y为负时，原式＝， 当z为负时，原式＝， 故答案为：3或﹣1． 三．解答题（共5小题） 15．（2023秋•济南期末）计算：． 【解答】解：原式＝+ ＝15． 16．（2024•西城区校级一模）若a、b、c都是有理数，|a|＝4，|b|＝9，|c|＝6，且ab＞0，bc＜0，求a﹣b﹣（﹣c）的值． 【解答】解：∵|a|＝4，|b|＝9，|c|＝6， ∴a＝±4，b＝±9，c＝±6， 当a＝4时，b＝9，c＝﹣6， a﹣b﹣（﹣c）＝4﹣9﹣6＝﹣11； 当a＝﹣4时，b＝﹣9，c＝6， a﹣b﹣（﹣c）＝﹣4﹣（﹣9）+6＝11， 综上所述，a﹣b﹣（﹣c）的值为﹣11或11． 17．（2023秋•方城县校级期末）已知：有理数m所表示的点与﹣1表示的点距离4个单位，a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数． 求：2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m的值． 【解答】解：∵有理数m所表示的点与﹣1表示的点距离4个单位， ∴m＝﹣5或3， ∵a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数， ∴a+b＝0，cd＝1， 当m＝﹣5时， ∴2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m ＝2（a+b）+（a+b）﹣3cd﹣m ＝﹣3﹣（﹣5） ＝2， 当m＝3时， 2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m ＝2（a+b）+（a+b）﹣3cd﹣m ＝﹣3﹣3 ＝﹣6 综上所述：原式＝2或﹣6． 18．（2023秋•射阳县期末）若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24． （1）求3*（﹣4）的值； （2）求（﹣2）*（6*3）的值． 【解答】解：（1）3*（﹣4）＝4×3×（﹣4）＝﹣48； （2）（﹣2）*（6*3）＝（﹣2）*（4×6×3）＝（﹣2）*（72）＝4×（﹣2）×（72）＝﹣576． 19．（2023秋•中原区期末）学了有理数的运算后，老师给同学们出了一题． 计算：19×（﹣9），下面是两位同学的解法： 小方：原式＝﹣9＝﹣＝﹣179； 小杨：原式＝（19+）×（﹣9）＝﹣19×9﹣×9＝﹣179． （1）两位同学的解法中，谁的解法较好？ （2）请你写出另一种更好的解法． 【解答】解：（1）小杨的解法较好； （2）19×（﹣9） ＝（20﹣）×（﹣9） ＝20×（﹣9）﹣×（﹣9） ＝﹣180+ ＝﹣179． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$