精品解析：北师大版2023-2024学年九年级数学下册期末测试卷

期末测试卷 （满分120分，时间120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 下列给出四个命题：①所有锐角三角函数值都是正数；②；③在中，，若，则，，其中真命题有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 如图，已知是的直径，D，C是劣弧 的三等分点，，那么（ ） A. B. C. D. 3. 不论为何实数，抛物线（ 　） A. 轴上方 B. 与轴只有一个交点 C. 与轴有两个交点 D. 在轴下方 4. 如图，在中，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，，则的长为（ ）     A. 3 B. C. D. 6. 已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=-x2+2x+4的图象上．若x1＜x2＜1，则y1与y2的大小关系是（　　） A. B. C. D. 7. 如图,在中，， ， 垂足为D， 若 ，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图,扇形AOB 中,半径OA＝2，∠AOB＝120°，C 是的中点,连接AC、BC,则图中阴影部分面积是 ( ) A. B. C. D. 9. 若二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正五边形内接于，过点A的切线与CB的延长线相交于点F，则=（ ） A. 18° B. 36° C. 54° D. 72° 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程） 11. 如图是二次函数 和一次函数y2＝kx+t的图象，当y1≥y2时，x的取值范围是_____． 12. 在中，，是斜边上的中线，，，则的值是________． 13. 已知抛物线经过，两点，则________． 14. 如图，为的弦，于点．若，，则的半径长为________． 15. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点都在方格的格点上，则cosA=　　． 16. 如图，点O是内心，，则________． 17. 设抛物线过，，三点，其中点在直线上，且点到抛物线的对称轴的距离等于，则抛物线的表达式为________． 18. 如图，在中，，D是边中点，，垂足为E．若 ，，则________． 三、解答题（本大题共8小题，满分58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 已知函数是关于x的二次函数． （1）当m为何值时，该函数图象开口向下？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？ （2）当m为何值时，该函数有最小值？这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ 20. 如图，C是的直径上一点，过点 C作弦，使，若，求，的度数． 21. 如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC. ⑴ 求证：CB＝CD； ⑵ 若∠BCD＝90°，AO＝2CO，求tan∠ADO. 22. 如图，在△ABC中，D为AC上一点，且CD=CB,以BC为直径作☉O,交BD于点E，连接CE,过D作DFAB于点F,∠BCD=2∠ABD. （1）求证：AB是☉O的切线； （2）若∠A=60°，DF=,求☉O的直径BC的长． 23. 如图，在中，是边的中点，，垂足为点E．已知． （1）求线段的长； （2）求的值． 24. 小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各40盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，调研发现： ①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元； ②花卉的平均每盆利润始终不变． 小明计划第二期培植盆景与花卉共80盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为（单位：元） （1）用含x的代数式分别表示，； （2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？ 25. 如图，在中，，以为直径的与边，分别交于D，E两点，过点D作于点H． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）求证：点H为的中点； （3）若，，求的长． 26. 已知：抛物线的图象与轴交于点，点与点的纵坐标相同，一次函数的图象与二次函数交于，两点，且点坐标为． （1）求二次函数与一次函数的解析式； （2）若抛物线对称轴上存在一点，直线将分成面积比为的两部分，求点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末测试卷 （满分120分，时间120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 下列给出的四个命题：①所有锐角三角函数值都是正数；②；③在中，，若，则，，其中真命题有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，解直角三角形的相关计算；根据以上知识逐一分析即可． 【详解】解：由锐角三角函数的定义可得：所有锐角三角函数值都是正数，故①符合题意； ∵，， ∴，故②不符合题意； 如图，∵， ∴， ∴，不一定成立，故③不符合题意； ∴真命题有①； 故选A 2. 如图，已知是的直径，D，C是劣弧 的三等分点，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是弧与圆心角的关系，根据题意先求出，再利用邻补角即可求出即可． 【详解】解：∵D，C是劣弧 的三等分点，， ∴， ∴， 故选B． 3. 不论为何实数，抛物线（ 　） A. 在轴上方 B. 与轴只有一个交点 C. 与轴有两个交点 D. 在轴下方 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，当时，函数与轴有两个交点；当时，函数与轴有一个交点；当时，函数与轴没有交点，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可得，， ∵， ∴， ∴函数与轴有两个交点． 4. 如图，在中，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是弧，弦，圆心角之间的关系，由逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，故A不符合题意； ∴， ∴，故B不符合题意； ∴，故C不符合题意； ∵不一定为的中点， ∴不一定成立，故D符合题意； 故选D 5. 如图，在中，，，，则的长为（ ）     A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，如图，过C作于D，证明，可得，再求解，从而可得答案． 【详解】解：如图，过C作于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 故选D． 6. 已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=-x2+2x+4的图象上．若x1＜x2＜1，则y1与y2的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式确定出对称轴，再根据二次函数的增减性作答． 【详解】y=-x2+2x+4=-（x-1）2+5的对称轴为直线x=1， ∵a=-1＜0， ∴x＜1时y随x的增大而增大， ∵x1＜x2＜1， ∴y1＜y2． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的增减性，二次函数的对称轴． 7. 如图,在中，， ， 垂足为D， 若 ，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是得到．由勾股定理求出，由等角的余角相等得出，再根据锐角三角函数的定义求解即可 【详解】解：在中，， 由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 8. 如图,扇形AOB 中,半径OA＝2，∠AOB＝120°，C 是的中点,连接AC、BC,则图中阴影部分面积是 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 连接OC，过O作OMAC于M， ∵∠AOB＝120°，C 是的中点， ∴∠AOC＝∠BOC =60°， ∵OA＝OB＝OC＝2， ∴△ABC、△BOC是等边三角形， ∴AC＝BC＝OA＝2，AM＝1， ∴△BOC的边AC上的高是=， ∴阴影部分的面积是=. 故选：A. 9. 若二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图像与y轴的交点可判断A，与x轴的交点数量可判断C，由对称轴可判断B和D. 【详解】解：由图可知，抛物线与y轴的交点处于y轴的负半轴，即c＜0，则A错误；抛物线与x轴有两个交点，即，则C错误；由图可知，抛物线的对称轴为，且a＞0，可得b＜0，，则B错误，D正确. 故选择D. 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，理解其图像和表达式系数之间的关系是解题关键. 10. 如图，正五边形内接于，过点A的切线与CB的延长线相交于点F，则=（ ） A. 18° B. 36° C. 54° D. 72° 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、三角形的内角和定理、正五边形的中心角和外角的求法，明确多边形的外角和为360°，正n边形的外接圆的中心角＝． 连接、，先通过切线得到的角度，再通过正五边形性质得到，进而得到，从而可以得到 【详解】连接、， ∵是⊙O的切线， ∴ ∵正五边形ABCDE内接于⊙O， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴∠F＝180°－36°－72°＝72°， 故选D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程） 11. 如图是二次函数 和一次函数y2＝kx+t的图象，当y1≥y2时，x的取值范围是_____． 【答案】﹣1≤x≤2 【解析】 【分析】根据图象可以直接回答，使得y1≥y2的自变量x的取值范围就是直线y1=kx+m落在二次函数y2=ax2+bx+c的图象上方的部分对应的自变量x的取值范围． 【详解】根据图象可得出：当y1≥y2时，x的取值范围是：﹣1≤x≤2． 故答案为：﹣1≤x≤2． 【点睛】本题考查了二次函数的性质．本题采用了“数形结合”的数学思想，使问题变得更形象、直观，降低了题的难度． 12. 在中，，是斜边上的中线，，，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，求解锐角的正弦，先求解，再利用正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线，， ∴， 则． ； 13. 已知抛物线经过，两点，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性以及对称轴，观察，，得，关于对称轴对称，据此即可作答． 【详解】解：依题意，因为抛物线经过，两点，且，两点的纵坐标相等 ∴与关于对称轴对称， 即， ∴， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 14. 如图，为的弦，于点．若，，则的半径长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，根据垂径定理得出，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴为的中点， ∴ 在中，， ∴． ∴的半径为． 故答案： 15. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点都在方格的格点上，则cosA=　　． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：如图 由勾股定理得AC=2，AD=4， cosA=， 故答案为 考点：1、勾股定理；2、三角函数 16. 如图，点O是的内心，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内切圆与内心，角平分线的性质，掌握角平分线的定义是解题的关键； 先根据三角形的内心的定义得到平分，平分，根据角平线的性质得，根据三角形内角和定理计算即可； 【详解】解：， ， 点O是的内心，， 平分，平分， ， ， 故答案为：． 17. 设抛物线过，，三点，其中点在直线上，且点到抛物线的对称轴的距离等于，则抛物线的表达式为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，难点在于分情况确定出对称轴并讨论求解．根据点的位置分情况确定出对称轴，然后设出抛物线解析式，再把点、的坐标代入求解即可． 【详解】解：点在直线上，且点到抛物线的对称轴的距离等于， 抛物线的对称轴为直线或， 当对称轴为直线时， 设抛物线对应的函数表达式为，把点，的坐标分别代入，得， 解得：， 此时抛物线对应的函数表达式为； 当对称轴为直线时，设抛物线对应的函数表达式为，把点，的坐标分别代入， 得， 解得：， 此时抛物线对应的函数表达式为； 故答案为：或． 18. 如图，在中，，D是边的中点，，垂足为E．若 ，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，直角三角形斜边的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出的长，即可求出的长．设，利用勾股定理即可求出x的值，据此解答即可． 【详解】解：∵在中，， ， ∴． ∵为直角三角形，D是边的中点， ∴． 在中，． 设， 则在中，①， 在中，②， 联立①②，解得． ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 已知函数是关于x二次函数． （1）当m为何值时，该函数图象的开口向下？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？ （2）当m为何值时，该函数有最小值？这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的定义与性质，一元二次方程的解法； （1）根据二次函数的定义可得且，求解的值后结合二次函数的性质可得答案； （2）结合（1）的结论，根据二次函数的性质可得答案； 【小问1详解】 解：∵是关于x的二次函数， 且， 解得或，即m的值为7或. 当时，，函数图象开口向下， ∴当m为时，函数图象开口向下，此时当时，y随着x的增大而减小； 【小问2详解】 解：当时，，函数图象开口向上，函数有最小值， ∴当m为7时，函数有最小值，当时，y随着x的增大而增大． 20. 如图，C是的直径上一点，过点 C作弦，使，若，求，的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，弧与圆心角之间的关系；先证明，，，再利用弧与圆心角之间的关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴的度数为，． ∵， ∴， ； ∴的度数是． 21. 如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC. ⑴ 求证：CB＝CD； ⑵ 若∠BCD＝90°，AO＝2CO，求tan∠ADO. 【答案】（1）证明见解析；（2）tan∠ADO 【解析】 【详解】⑴ ∵ AB=AD ∴ ∠ABD=∠ADB 又∵ ∠ABC=∠ADC ∴ ∠ABC－∠ABD=∠ADC－∠ADB 即：∠CBD=∠CDB ∴ CB=CD ⑵ ∵ CB=CD，AB=AD ∴ AC垂直平分BD ∴ ∠AOD=90°，BO=DO ∵ ∠BCD=90°，BO=DO ∴ OC=OD= ∵ AO=2OC ∴ AO=2OD 即： ∴ Rt△AOD中， tan∠ADO= 22. 如图，在△ABC中，D为AC上一点，且CD=CB,以BC为直径作☉O,交BD于点E，连接CE,过D作DFAB于点F,∠BCD=2∠ABD. （1）求证：AB是☉O的切线； （2）若∠A=60°，DF=,求☉O的直径BC的长． 【答案】（1）证明过程见解析；（2）6+4 【解析】 【分析】（1）根据CB=CD得出∠CBD=∠CDB，然后结合∠BCD=2∠ABD得出∠ABD=∠BCE，从而得出∠CBD+∠ABD=∠CBD+∠BCE=90°，然后得出切线； （2）根据Rt△AFD和Rt△BFD的性质得出AF和DF的长度，然后根据△ADF和△ACB相似得出相似比，从而得出BC的长度. 【详解】（1）∵CB=CD ∴∠CBD=∠CDB 又∵∠CEB=90° ∴∠CBD+∠BCE=∠CDE+∠DCE ∴∠BCE=∠DCE且∠BCD=2∠ABD ∴∠ABD=∠BCE ∴∠CBD+∠ABD=∠CBD+∠BCE=90° ∴CB⊥AB垂足为B 又∵CB为直径 ∴AB是⊙O的切线. （2）∵∠A=60°，DF= 在Rt△AFD中得出AF=1 在Rt△BDF中， ∵∠ABD=∠BCE， ∴ ∴BD2=2BC， ∵BC=AB， ∴AB=BF+AF=BF+1， ∴BD2=2×（BF+1）=6（BF+1）， 在Rt△BDF中，BD2-BF2=DF2=3， ∴6（BF+1）-BF2=3， ∴BF=3+2或BF=3-2（舍）， ∴BC=AB=（BF+1）=（3+2+1）=6+4． 考点：（1）圆的切线的判定；（2）三角函数；（3）三角形相似的判定 23. 如图，在中，是边的中点，，垂足为点E．已知． （1）求线段的长； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据三角函数求出的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长即可； （2）先运用勾股定理求出，再由于D为上的中点可得，推出，利用正弦函数求出，据此即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵为直角三角形，D是边的中点， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∵为直角三角形，D是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 24. 小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各40盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，调研发现： ①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元； ②花卉的平均每盆利润始终不变． 小明计划第二期培植盆景与花卉共80盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为（单位：元） （1）用含x的代数式分别表示，； （2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？ 【答案】（1）， （2）当时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是7625元； 【解析】 【分析】本题考查是二次函数的实际应用，二次函数的性质； （1）第二期培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期培植盆景盆，花卉盆，根据盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元，花卉的平均每盆利润始终不变，即可得到利润与x的关系式； （2）由可得关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可得． 【小问1详解】 解：由题意可得：， 即 ； 【小问2详解】 解： ； 且x是整数， ∴当或16时，W总最大， 当时， （元）， 当时， （元）， ∵， ∴当时， （元）． 答：当时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是7625元． 25. 如图，在中，，以为直径的与边，分别交于D，E两点，过点D作于点H． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）求证：点H为的中点； （3）若，，求的长． 【答案】（1）相切，理由见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接、，如图1，先利用AB是圆的直径得到，再根据等腰三角形的性质得，然后利用三角形中位线定理可得，而，进一步即可证得结论； （2）连接，如图2，根据圆内接四边形的性质和等腰三角形的性质可得，从而，然后根据等腰三角形三线合一的性质即可证得结论； （3）易得，利用余弦的定义，分别在和中计算出与的长，则即可求出，然后计算即可得到的长． 【小问1详解】 解：与相切．理由如下： 连接、，如图1， ∵为直径， ∴，即， ∵， ∴，且， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴为的切线； 【小问2详解】 证明：连接，如图2， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，即为的中点； 【小问3详解】 解：如图2，在中， ∵，， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是圆综合题，主要考查了圆周角定理的推论、切线的判定定理、三角形中位线定理、圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定与性质和锐角三角函数的知识，考查的知识点多，综合性强，正确添加辅助线、熟练掌握相关知识是解题的关键． 26. 已知：抛物线的图象与轴交于点，点与点的纵坐标相同，一次函数的图象与二次函数交于，两点，且点坐标为． （1）求二次函数与一次函数的解析式； （2）若抛物线对称轴上存在一点，直线将分成面积比为的两部分，求点坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入后即可得到二次函数解析式，并由此得到点和点坐标后代入后可得一次函数解析式； （2）根据二次函数的对称轴找到点的横坐标，由题意得存在两种情况：与交点分别为线段三等分点中靠近点或靠近点的点，分情况求出点的纵坐标即可． 【小问1详解】 解：点在抛物线 上， ， 二次函数的解析式为， 点的坐标为，则点的坐标为， 设直线的解析式为， 由 解得 ， 直线的解析式为， 即二次函数的解析式为，一次函数的解析式是． 【小问2详解】 解：由题得，二次函数对称轴， 直线将分成面积比为的两部分，，，点的横坐标为， 当与直线相交，交点为线段的三等分点（靠近点）时，点的坐标为，即点， 当与直线相交，交点为线段的三等分点（靠近点）时，点的坐标为， 设直线为，将、代入， 则得， 故直线为， 当时，，即此时点的坐标为， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求解析式、二次函数的性质、二次函数图象点的坐标特征，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$