第二章 第三节 第1课时 函数的奇偶性、周期性、对称性课件-2025届高三数学一轮复习

第二章　函数 第三节　函数的奇偶性、周期性、对称性 第1课时　函数的奇偶性、周期性、对称性 ——想要逃避总有借口，想要成功总有方法！ 第1课时　函数的奇偶性、周期性、对称性 1 ·考试要求· 1．结合具体函数，了解奇函数、偶函数的概念和几何意义． 2．结合具体函数，了解函数周期性的概念和几何意义． 第1课时　函数的奇偶性、周期性、对称性 核心回扣 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 设函数f (x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且________________，那么函数f (x)就叫做偶函数 关于_____对称 奇函数 设函数f (x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且__________________，那么函数f (x)就叫做奇函数 关于______对称 f (－x)＝f (x) y轴 f (－x)＝－f (x) 原点 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第1课时　函数的奇偶性、周期性、对称性 2．奇偶函数的等价形式 若f (x)≠0，则奇、偶函数定义的等价形式如下： (1)f (－x)＝f (x)⇔f (－x)－f (x)＝0⇔＝1⇔f (x)为偶函数； (2)f (－x)＝－f (x)⇔f (－x)＋f (x)＝0⇔＝－1⇔f (x)为奇函数． 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第1课时　函数的奇偶性、周期性、对称性 【常用结论】 1．函数奇偶性的2个常用结论 (1)如果一个奇函数f (x)在原点处有定义，即f (0)有意义，那么一定有f (0)＝0；如果函数f (x)是偶函数，那么f (x)＝f (|x|)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第1课时　函数的奇偶性、周期性、对称性 核心考点 提升“四能” 　 函数的奇偶性 考向1　判断函数的奇偶性 【例1】(1)(多选题)(2024·威海模拟)下列函数中是偶函数的是(　　) A．f (x)＝x3＋1 B．f (x)＝ln |x| C．f (x)＝sin D．f (x)＝ex－e－x √ √ 第1课时　函数的奇偶性、周期性、对称性 第1课时　函数的奇偶性、周期性、对称性 BC　解析：对于A，f (x)＝x3＋1，定义域为R，f (1)＝2，f (－1)＝0，故f (x)为非奇非偶函数；对于B，f (x)＝ln |x|，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x)＝ln |－x|＝ln |x|，故f (x)为偶函数；对于C，f (x)＝＝cos x，故f (x)为偶函数；对于D，易知定义域为R，f (x)＝ex－e－x，f (－x)＝e－x－ex＝－f (x)，故f (x)为奇函数． 第1课时　函数的奇偶性、周期性、对称性 (2)(2021·全国乙卷)设函数f (x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．f (x－1)－1 B．f (x－1)＋1 C．f (x＋1)－1 D．f (x＋1)＋1 B　解析：由题意可得f (x)＝.对于A，f (x－1)－1＝－2不是奇函数；对于B，f (x－1)＋1＝是奇函数；对于C，f (x＋1)－1＝－2，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，f (x＋1)＋1＝，定义域不关于原点对称，不是奇函数． √ 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第1课时　函数的奇偶性、周期性、对称性 (3)(多选题)设函数f (x)＝，则下列结论正确的有(　　) A．|f (x)|是偶函数 B．－f (x)是奇函数 C．f (x)|f (x)|是奇函数 D．f (|x|)f (x)是偶函数 ABC　解析：因为f (x)＝，定义域为R，f (－x)＝＝－f (x)，所以f (x)是奇函数，所以|f (x)|为偶函数，－f (x)为奇函数，f (x)·|f (x)|为奇函数．因为f (|－x|)＝f (|x|)，所以f (|x|)是偶函数，所以f (|x|)f (x)是奇函数． √ √ √ 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第1课时　函数的奇偶性、周期性、对称性 (4)已知函数f (x)＝则该函数的奇偶性是________. 奇函数　解析：(方法一)当x>0时，－x<0，所以f (－x)＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f (x)；当x<0时，－x>0，f (－x)＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－f (x)，所以f (x)是奇函数． (方法二)作出函数f (x)的图象如图所示，由图象可知f (x)为奇函数． 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第1课时　函数的奇偶性、周期性、对称性 判断函数奇偶性的常用方法 (1)定义法，即根据奇函数、偶函数的定义来判断． (2)图象法，即利用奇函数、偶函数图象的对称性来判断． (3)性质法，即利用在公共定义域内奇函数、偶函数的和、差、积的奇偶性来判断． 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第1课时　函数的奇偶性、周期性、对称性 考向2　函数奇偶性的简单应用 【例2】(1)若f (x)＝为奇函数，则g(－2)＝(　　) A．－8 B．－4 C．－2 D．0 A　解析：因为f (x)为奇函数，所以f (－2)＝－f (2)＝－4.又f (－2)＝g(－2)＋4，可得g(－2)＝－8.故选A． √ 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第1课时　函数的奇偶性、周期性、对称性 (2)已知函数f (x)是偶函数，g(x)是奇函数，f (x)＋g(x)＝x2＋x－2，则f (－2)＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 C　解析：由f (x)＋g(x)＝x2＋x－2，得f (－x)＋g(－x)＝x2－x－2.由函数的奇偶性得f (x)－g(x)＝x2－x－2，联立得f (x)＝x2－2，所以f (－2)＝2. √ 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第1课时　函数的奇偶性、周期性、对称性 (4)(2024·哈尔滨模拟)若函数f (x)＝x(ex＋e－x)＋1在区间[－2，2]上的最大值与最小值分别为M，N，则M＋N的值为________. 2　解析：依题意，令g(x)＝x(ex＋e－x)，显然函数g(x)的定义域为R，则g(－x)＝－x(e－x＋ex)＝－g(x)，即函数g(x)是奇函数，因此，函数g(x)在区间[－2，2]上的最大值与最小值的和为0.而f (x)＝g(x)＋1，则有M＝g(x)max＋1，N＝g(x)min＋1，于是得M＋N＝g(x)max＋1＋g(x)min＋1＝2，所以M＋N的值为2. 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第1课时　函数的奇偶性、周期性、对称性 应用函数奇偶性可解决的问题及解题方法 (1)求函数值，将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式，先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或利用奇偶性构造关于f (x)的方程(组)，从而得到f (x)的解析式． (3)求函数解析式中参数的值，利用待定系数法求解，根据f (x)±f (－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得到关于参数的方程(组)，进而得出参数的值． 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第1课时　函数的奇偶性、周期性、对称性 2．(2024·石家庄模拟)已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f (x)＝ex＋x，则f (x)在R上的解析式为______________. f (x)＝　解析：由已知，得当x＝0时，f (0)＝0. 当x<0时，－x>0，则f (－x)＝e－x－x. 因为f (x)为R上的奇函数，所以 f (x)＝－f (－x)＝－e－x＋x， 所以f (x)＝ 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第1课时　函数的奇偶性、周期性、对称性 核心回扣 函数的周期性 周期函数 对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有__________________，那么就称函数f (x)为周期函数，称T为这个函数的周期 最小正周期 如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个______的正数，那么这个__________就叫做f (x)的最小正周期 f (x＋T)＝f (x) 最小 最小正数 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第1课时　函数的奇偶性、周期性、对称性 核心回扣 1.(1)若函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称，则f (a－x)＝f (a＋x)； (2)若函数y＝f (x)满足f (a－x)＝－f (a＋x)，则函数y＝f (x)的图象关于点(a，0)对称． 2.两个函数图象的对称 (1)函数y＝f (x)与y＝f (－x)的图象关于y轴对称； (2)函数y＝f (x)与y＝－f (x) 的图象关于x轴对称； (3)函数y＝f (x)与y＝－f (－x) 的图象关于原点对称． 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第1课时　函数的奇偶性、周期性、对称性 2．函数周期性的3个常用结论 对f (x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f (x＋a)＝－f (x)，则T＝2a(a>0)． (2)若f (x＋a)＝，则T＝2a(a>0)． (3)若f (x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)． 3．函数对称性的3个常用结论 (1)若函数y＝f (x＋a)是偶函数，则函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称． (2)若函数y＝f (x＋b)是奇函数，则函数y＝f (x)的图象关于点(b，0)中心对称． (3)若对于R上的任意x都有f (2a－x)＝f (x)或f (－x)＝f (2a＋x)或f (a＋x)＝f (a－x)或f (3a－x)＝f (x－a)，则y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称． 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第1课时　函数的奇偶性、周期性、对称性 知识点二　函数的周期性 1.已知函数f (x)满足f (x＋2)＝f (x)．当x∈[0，1]时，f (x)＝2x，则f ＝(　　) A． B． C． D．1 B　解析：由f (x＋2)＝f (x)，知函数f (x)的周期T＝2，所以f . √ 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第1课时　函数的奇偶性、周期性、对称性 【例3】(1)已知函数f (x)的定义域为R，当x<0时，f (x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f (－x)＝－f (x)；当x>时，f ，则f (6)＝(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．2 D　解析：当x>时，由f ，得f (x＋1)＝f (x)，即f (x)的周期为1，则f (6)＝f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3－1]＝2. √ 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第1课时　函数的奇偶性、周期性、对称性 2.若函数f (x)满足f (x)f (x＋2)＝13，且f (3)＝2，则f (2 025)＝________. 　解析：因为f (x)f (x＋2)＝13，所以f (x＋2)＝， 所以f (x＋4)＝＝f (x)，所以f (x)的周期为4， 所以f (2 025)＝f (1)＝. 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第1课时　函数的奇偶性、周期性、对称性 自查自测 知识点三　函数的对称性 1.函数y＝log0.5x与y＝log2x的图象(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称 A　解析：由y＝log0.5x，得y＝－log2x，所以函数y＝log0.5x与y＝log2x的图象关于x轴对称． √ 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第1课时　函数的奇偶性、周期性、对称性 2.若函数y＝f (x)的定义域为R，则函数y＝f (x－1)与y＝f (1－x)的图象关于(　　) A．直线x＝0对称 B．直线y＝0对称 C．直线x＝1对称 D．直线y＝1对称 C　解析：函数f (x－1)的图象是f (x)的图象向右平移1个单位长度得到的，f (1－x)＝f (－(x－1))的图象是f (－x)的图象向右平移1个单位长度得到的．因为f (x)与f (－x)的图象关于y轴(直线x＝0)对称，所以函数y＝ f (x－1)与y＝f (1－x)的图象关于直线x＝1对称．故选C． √ 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第1课时　函数的奇偶性、周期性、对称性 应用1　已知函数f (x)＝x3＋x＋m是定义在区间[－2－n，2n]上的奇函数，则m＋n＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 C　解析：由已知得－2－n＋2n＝0且f (0)＝0，所以n＝2，m＝0，此时f (x)＝x3＋x，x∈[－4，4]是奇函数，满足题意．故m＋n＝2. √ 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第1课时　函数的奇偶性、周期性、对称性 应用2　已知奇函数f (x)的图象关于点(1，0)对称，且f (3)＝2，则f (1)＝(　　) A．－1 B．2 C．3 D．5 B　解析：由奇函数f (x)的图象关于点(1，0)对称，可得f (x)＋f (2－x)＝0.令x＝3，得f (3)＋f (－1)＝0.又f (3)＝2，所以f (－1)＝－2，所以f (1)＝－f (－1)＝2. 应用3　已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋2)＝－，当x∈(0，2]时，f (x)＝2x－1，则f (9)＝________. 1　解析：因为f (x＋2)＝－，所以T＝4为函数f (x)的一个周期，故f (9)＝f (2×4＋1)＝f (1)＝2×1－1＝1. √ 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第1课时　函数的奇偶性、周期性、对称性 (2)(2024·湖南六校联考)已知定义在R上的函数f (x)满足f (x)＝－f (x＋2)，当x∈(0，2]时，f (x)＝2x＋log2x，则f (2 025)＝(　　) A．5 B． C．2 D．－5 C　解析：由f (x)＝－f (x＋2)，得f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，所以函数f (x)是周期为4的周期函数，所以f (2 025)＝f (506×4＋1)＝f (1)＝21＋log21＝2. √ 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第1课时　函数的奇偶性、周期性、对称性 函数周期性问题的求解策略 (1)只需证明f (x＋T)＝f (x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题． (2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期． 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第1课时　函数的奇偶性、周期性、对称性 1．奇函数f (x)的定义域为R，若f (x＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为(　　) A．2 B．1 C．－1 D．－2 A　解析：因为f (x＋1)为偶函数，所以f (－x＋1)＝f (x＋1)，则f (－x)＝f (x＋2)．又f (x)为奇函数，则f (－x)＝－f (x)＝f (x＋2)，且f (0)＝0，故f (x＋4)＝f (x＋2＋2)＝－f (x＋2)＝f (x)，所以函数f (x)的周期为4.所以f (4)＋f (5)＝f (0)＋f (1)＝0＋2＝2.故选A． √ 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第1课时　函数的奇偶性、周期性、对称性 2．已知f (x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f (x)＝x3－x，则函数y＝f (x)的图象在区间[0，4]上与x轴的交点的个数为________. 5　解析：当0≤x<2时，令f (x)＝x3－x＝x(x2－1)＝x(x＋1)(x－1)＝0，所以函数y＝f (x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1，则f (0)＝0.当2≤x<4时，0≤x－2<2，又f (x)的最小正周期为2，所以f (x－2)＝f (x)，所以f (x)＝(x－2)(x－1)(x－3)，所以当2≤x<4时，函数y＝f (x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3.当x5＝4时，f (4)＝f (0)＝0，也符合要求． 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第1课时　函数的奇偶性、周期性、对称性 　函数图象的对称性 【例4】(2024·日照期末)定义在R上的函数f (x)满足f (2－x)＝2－f (x).若f (x)的图象关于直线x＝3对称，则下列选项中一定成立的是(　　) A．f (－3)＝1 B．f (0)＝0 C．f (3)＝2 D．f (5)＝－1 A　解析：因为函数f (x)的图象关于直线x＝3对称，所以f (3－x)＝f (x＋3)，所以f (0)＝f (6)，f (1)＝f (5)，f (2)＝f (4)．又因为f (x)满足f (2－x)＝2－f (x).取x＝1，得f (1)＝2－f (1)，所以f (1)＝1，则f (1)＝f (5)＝1.取x＝5，则f (－3)＝2－f (5)＝1.故选A． √ 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第1课时　函数的奇偶性、周期性、对称性 求解与函数图象的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数图象的对称轴或对称中心，大多是结合图象利用对称性解决求值或参数问题． 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第1课时　函数的奇偶性、周期性、对称性 1．下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是(　　) A．y＝ln (1－x) B．y＝ln (2－x) C．y＝ln (1＋x) D．y＝ln (2＋x) B　解析：函数y＝ln x的图象过定点(1，0)，(1，0)关于直线x＝1对称的点还是(1，0)，只有y＝ln (2－x)的图象过此点． √ 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第1课时　函数的奇偶性、周期性、对称性 2．已知函数f (x)(x∈R)满足f (－x)＝2－f (x)，若函数y＝与y＝f (x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x2 024，y2 024)，则＝________. 2 024　解析：因为f (－x)＝2－f (x)，所以函数f (x)(x∈R)的图象关于点(0，1)对称．又y＝的图象关于点(0，1)对称，所以两函数图象的交点也关于点(0，1)对称．对于每一组对称的(xi，yi)和(x′i，y′i)，都有xi＋x′i＝0，yi＋y′i＝2，从而×2＝2 024. 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第1课时　函数的奇偶性、周期性、对称性 THANKS 第1课时　函数的奇偶性、周期性、对称性 $$