第二章 第二节 函数的单调性与最值课件-2025届高三数学一轮复习

第二章　函数 第二节　函数的单调性与最值 ——请必须要有自信，你就是一道风景，没必要在别人风景里面仰视。 第二节　函数的单调性与最值 1 ·考试要求· 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值． 2．理解函数的单调性与最值的作用和实际意义． 第二节　函数的单调性与最值 核心回扣 1．增函数与减函数 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第二节　函数的单调性与最值 注意点： 单调递增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征：一是任意性；二是有大小，即x1<x2(或x1>x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可． 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第二节　函数的单调性与最值 2．单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上____________________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 注意点： (1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示． (2)求函数单调区间或讨论函数的单调性时，必须先求函数的定义域． (3)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． (4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M. 单调递增或单调递减 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第二节　函数的单调性与最值 【常用结论】 与函数单调性有关的常用结论 (1)若∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则①>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在区间D上单调递增；②<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在区间D上单调递减． (2)函数y＝x＋(k>0)的单调递增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，单调递减区间为(－，0)和(0，)． 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第二节　函数的单调性与最值 (4)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． (5)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”． 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第二节　函数的单调性与最值 4．设定义在[－1，7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的单调递增区间为__________________． 5．已知函数f(x)＝x2－2kx＋4在[5，20]上单调，则实数k的取值范围是________． (－∞，5]∪[20，＋∞)　． [－1，1]和[5，7] 1．下列函数中是增函数的为(　　) A．f (x)＝－x B．f (x)＝ C．f (x)＝x2 D．f (x)＝ 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第二节　函数的单调性与最值 2．设函数f (x)＝g(x)＝x2f (x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是________． [0，1)　． 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第二节　函数的单调性与最值 复合函数的单调性 3．(2024·威海模拟)函数f (x)＝的单调递增区间是________． [3，＋∞)　 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第二节　函数的单调性与最值 (2)已知函数f (x)＝e|x－a|(a为常数)，若f (x)在区间[1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________． (－∞，1] 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第二节　函数的单调性与最值 1．(2024·泰安模拟)已知函数f (x)＝在区间[0，2]上单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(0，1] B．(0，1) C．(0，2] D．[2，＋∞) A　 √ 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第二节　函数的单调性与最值 确定函数单调性的常用方法 定义法 先确定定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论 图象法 若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性 性质法 对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各基本初等函数的增减性及“增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减”进行判断 导数法 先求导，再确定导数的正负，由导数的正负得函数的单调性 复合法 对于复合函数，先将函数f (g(x))分解成y＝f (t)和t＝g(x)，然后讨论(判断)这两个函数的单调性，再根据复合函数“同增异减”的规则进行判断 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第二节　函数的单调性与最值 　函数单调性的应用 考向1　比较函数值的大小 【例2】(2024·徐州模拟)已知对函数f (x)定义域R内的任意实数x1，x2，且x1≠x2，[f (x1)－f (x2)](x1－x2)>0恒成立．设a＝f ，b＝f (3)，c＝f (5)，则(　　) A．b<a<c B．c<b<a C．b<c<a D．a<b<c D　 √ 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第二节　函数的单调性与最值 考向2　解函数不等式 【例3】(1)已知函数f (x)在R上单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x－2)≤1的x的取值范围是(　　) A．[－2，2] B．[－1，1] C．[0，4] D．[1，3] D　 √ 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第二节　函数的单调性与最值 2．(2024·烟台模拟)已知函数f (x)＝则不等式f (x2－x＋1)<12的解集是________． (－1，2)　 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第二节　函数的单调性与最值 核心回扣 函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 ∀x∈D，都有__________；∃x0∈D，使得___________ ∀x∈D，都有__________；∃x0∈D，使得___________ 结论 M为最大值 M为最小值 注意点： (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时，最值一定在端点处取得． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最小值或最大值． f(x)≤M f(x0)＝M f(x)≥M f(x0)＝M 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第二节　函数的单调性与最值 　求函数的最值（值域） 【例1】(1)函数f (x)＝－log2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________． 3　 (2)已知函数f (x)＝则f (x)的最小值是________． 2－6　 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第二节　函数的单调性与最值 (3)函数f (x)＝2x2－的最小值为________． －1　 练：求f (x)＝x+的值域 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第二节　函数的单调性与最值 1．当－3≤x≤－1时，函数y＝的值域为________． 　 练：求函数y＝ 的值域 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第二节　函数的单调性与最值 求函数最值的五种常用方法及其思路 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值． (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，得出最值． (3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． (4)分离常数法：求形如y＝(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解． (5)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正、二定、三相等”的条件后用基本不等式求出最值． 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第二节　函数的单调性与最值 THANKS 第二节　函数的单调性与最值 $$