第一章 第三节 不等式的性质与基本不等式课件-2025届高三数学一轮复习

第一章　预备知识 第三节　不等式的性质与基本不等式 ——不论你在什么时候开始，重要的是开始之后就不要停止；不论你在什么时候结束，重要的是结 束之后就不要悔恨。 第三节　不等式的性质与基本不等式 1 ·考试要求· 1．会比较两个数(式)的大小． 2．理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用． 3．掌握基本不等式，并能用基本不等式解决简单的最值问题． 第三节　不等式的性质与基本不等式 核心回扣 两个实数比较大小的方法 关系 方法 作差法 作商法 a>b a－b>0 >1(a，b>0)或<1(a，b<0) a＝b a－b＝0 ＝1(b≠0) a<b a－b<0 <1(a，b>0)或>1(a，b<0) 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第三节　不等式的性质与基本不等式 2．(教材改编题)已知x≠0，则(x2＋1)2与x4＋x2＋1的大小关系为_____________________． 3．比较两数的大小：________. >　 (x2＋1)2>x4＋x2＋1 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第三节　不等式的性质与基本不等式 核心回扣 性质 性质内容 注意 对称性 a>b⇔______；a<b⇔______ 可逆 传递性 a>b，b>c⇒______；a<b，b<c⇒______ 同向 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 可乘性 a>b，c>0⇒________；a>b，c<0⇒________ c的符号 同向可加性 a>b，c>d⇒____________ 同向 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒________ 同向同正 可乘方性 a>b>0，n∈N*⇒an>bn 同正 可开方性 a>b>0，n∈N，n≥2⇒> 同正 b<a b>a a>c a<c ac>bc ac<bc a＋c>b＋d ac>bd 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第三节　不等式的性质与基本不等式 核心考点 提升“四能” 　不等式的性质 考向1　利用不等式的性质比较大小 1．(多选题)已知实数a，b，c满足c<b<a且ac<0，则下列不等式一定成立的是(　　) A．ab>ac B．c(b－a)>0 C．ac(a－c)<0 D．cb2<ab2 ABC　解析：因为c<b<a且ac<0，所以c<0，a>0，所以ab>ac，故A一定成立；又b－a<0，所以c(b－a)>0，故B一定成立；又a－c>0，ac<0，所以ac(a－c)<0，故C一定成立；当b＝0时，cb2＝ab2，当b≠0时，有cb2<ab2，故D不一定成立．故选ABC． √ √ √ 第三节　不等式的性质与基本不等式 第三节　不等式的性质与基本不等式 1.(教材改编题)已知实数x，y满足x＞y，则下列不等式成立的是(　　) A．＜1 B．ax＞ay C．x＋a＞y＋a D．x2＞y2 C　解析：当x＝－2，y＝－3时，x＞y，但是＞1，x2＜y2，故A，D错误；当a＜0时，ax＜ay，B错误；C正确． √ 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第三节　不等式的性质与基本不等式 3．(2024·潍坊调研)下列对不等关系的判断，正确的是(　　) A．若＜，则a3＞b3 B．若＞，则2a＜2b C．若ln a2＞ln b2，则2|a|＞2|b| D．若tan a＞tan b，则a＞b C　 √ 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第三节　不等式的性质与基本不等式 判断不等式成立常用的三种方法 (1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件． (2)利用特殊值法排除错误答案． (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断． 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第三节　不等式的性质与基本不等式 考向2　利用不等式的性质求取值范围 4．若－2<a<b<3，－2<c<0，则c(a－b)的取值范围是________. (0，10)　解析：由－2<a<b<3，得b－a>0，且－2<a<3，－2<b<3，所以－3<－a<2.由不等式的性质可得－5<b－a<5，所以0<b－a<5.因为－2<c<0，所以0<－c<2，所以0<－c(b－a)<10，即0<c(a－b)<10，所以c(a－b)的取值范围是(0，10)． 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第三节　不等式的性质与基本不等式 3．已知－1<a<2，－3<b<5，则a－b的取值范围是________. (－6，5)　解析：因为－3<b<5，所以－5<－b<3.又－1<a<2，所以－6<a－b<5. 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第三节　不等式的性质与基本不等式 5．设x，y为实数，满足2≤xy2≤3，3≤≤4，则的最大值是________. 32　解析：，因为3≤≤4，所以27≤≤64.因为2≤xy2≤3，所以.根据不等式的性质得9≤≤32，即的最大值为32，当且仅当即时，等号成立． 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第三节　不等式的性质与基本不等式 核心回扣 1.基本不等式： (1)基本不等式成立的条件：____________． (2)等号成立的条件：当且仅当______时取等号． 2.算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为______，几何平均数为______，基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． a>0，b>0 a＝b 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第三节　不等式的性质与基本不等式 3.利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则： (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当______时，x＋y有最小值______．(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当______时，xy有最大值______．(简记：和定积最大) x＝y x＝y 2 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第三节　不等式的性质与基本不等式 【常用结论】 1.倒数性质 (1)a＞b，ab＞0⇒＜；(2)a＜0＜b⇒＜；(3)a＞b＞0，0＜c＜d⇒＞； (4)0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒＜＜. 2.常用的几个重要不等式 (1)a＋b≥2(a>0，b>0)；(2)ab≤(a，b∈R)；(3)(a，b∈R)； (4)≥2(a，b同号)． 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第三节　不等式的性质与基本不等式 　利用基本不等式求最值 考向1　配凑法求最值 【例1】若x＞0，则函数y＝x＋的最小值为 变1：若x<0，则函数y＝x＋的最大值为 变2：若x＞2，则函数y＝x＋的最小值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 D　 √ 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第三节　不等式的性质与基本不等式 (2)已知函数f (x)＝(x<－1)，则(　　) A．f (x)有最小值4 B．f (x)有最小值－4 C．f (x)有最大值4 D．f (x)有最大值－4 A　 √ 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第三节　不等式的性质与基本不等式 配凑法求最值的依据、技巧 (1)依据：基本不等式． (2)技巧：通过添项、拆项、变系数、凑因子等方法凑成和为定值或积为定值的形式，即符合“一正、二定、三相等”的条件，然后利用基本不等式求最值． 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第三节　不等式的性质与基本不等式 考向2　常数代换法求最值 【例2】(1)已知a>0，b>0，a＋b＝1，则的最小值为________. 4　 [变式1]　将本例(1)中的条件“a＋b＝1”改为“a＋2b＝3”，则的最小值为________. [变式2]　若本例(1)条件不变，则的最小值为________. 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第三节　不等式的性质与基本不等式 (2)已知两个正数x，y满足x＋2y＝8xy，则4x＋2y的最小值为________. 　 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第三节　不等式的性质与基本不等式 常数代换法求最值的步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)． (2)把确定的定值(常数)变形为1. (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式． (4)利用基本不等式求最值． 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第三节　不等式的性质与基本不等式 考向3　消元法求最值 【例3】已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________. 6　 2．若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是(　　) A． B． C． D． 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第三节　不等式的性质与基本不等式 消元法求最值的技巧 (1)消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解． (2)如果出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解，但一定要注意各个元的范围． 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第三节　不等式的性质与基本不等式 (1)注意灵活应用平面几何知识(如勾股定理、三角形全等、射影定理、相似等)求图形中有关线段的长度． (2)常用结论(a>0，b>0)． 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第三节　不等式的性质与基本不等式 THANKS 第三节　不等式的性质与基本不等式 $$