2.3用公式法求解一元二次方程 (第一课时)教学设计2024-2025学年北师大版数学九年级上册

用公式法求解一元二次方程 (第一课时) 【教材分析】 本节课是北师大版九年级数学上册第二章《一元二次方程》的内容， 本章是一元一次方程、二元一次方程(组)等内容的深入和发展，也是以后学习方程、不等式以及函数等数学知识的基础.本节内容是在配方法的基础上建立起来的解方程的另一种解法，而且是通法.所以应充分利用配方法来推导公式，让知识自然生长出来，从而培养学生的探索精神,掌握用求根公式解一元二次方程，培养学生由特殊到一般的解题思想.另外学生在《实数》一章中，学习了被开方数的非负性，并掌握了开平方运算，为这节课理解求根公式的应用条件奠定了基础. 【教学目标】 1、一元二次方程求根公式的推导 ，利用公式法解一元二次方程； 　　2、使学生经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力； 3、在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，渗透辩证唯物主义观点. 【教学重、难点】 1.重点：掌握求根公式并会用公式法解熟练地一元二次方程． 2.难点：一元二次方程求根公式法的推导． 【教学法设计】 采用微课和导学案相结合—变被动学习为主动学习，让学生参与整个问题的发生和解决过程，有意识的让学生学会自主学习，合作交流。 【导学案使用说明及学法指导】 ( 阅读课本 )1. 看课本 P41-43页内容，明确本节课学习内容，用红笔勾画出疑惑点. ( 观看微课 )2. 观看微课解惑，并完成导学案“自主预习”部分的内容. ( 归纳方法 )3. 认真思考，归纳方法规律，课堂积极分享见解. ( 练习提高 )4. 每组练习分A、B、C三级，由易到难，学生可根据学习情况自主选择. 【教学过程】 一、自主预习 （一）旧知回眸，温故知新 1、用配方法解方程： 2、把下列方程整理成一元二次方程的一般形式， 并说出二次项系数、一次项系数和常数项. （1）(x+1）(3x-1)=1 该方程整理成一般形式为——————————— 这里a=—————— b=—————— c =—————— (2) 该方程整理成一般形式为——————————— 这里a=—————— b=—————— c =—————— < 设计意图 > 复习用配方法解一元二次方程，达到“温故而知新”的目的,归纳总结配方法解一元二次方程的一般步骤，为下面的学习做好铺垫.通过化一元二次方程的一般形式为运用公式法解一元二次方程做铺垫. （二）读教材，看微课，做检测 读教材：学生先自学课本P41-43页内容，红笔圈出疑惑.然后在微课的帮助下完成. 看微课：带着疑惑学习微课. 微课展示了同一个一元二次方程的两种解法： 引导学生观察比较哪种解法更为简便 < 设计意图 > 数学是一种逻辑性较强的科目，并且有时计算量较大，如果能简化计算，那是我们所期望的，逐步激发学生的学习欲望. 作进一步引导，如果每一个一元二次方程都通过配方法解，那么计算就较繁杂，针对于一般的一元二次方程能否也用配方法导出一般求解模式呢？动手试一试. 学生先动手亲自用配方法解方程，再接着看微课. 微课展示探索过程 解： 1、化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边; ( b 2 -4ac > 0 b 2 -4ac=0 b 2 -4ac < 0 < ) 3.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; ( ∵ a ≠ 0 ∴ ４a 2 ＞ 0， ≠ ) 4.变形:方程左边分解因式,右边合并化简; 教师引导:这一步是什么运算？有条件限制吗？在什么才能大于或等于0？ 如果 b2-4ac<0 时，可以进行开平方运算吗？ 当b2-4ac ≥0时, 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; (b2-4ac ≥0) 6.定解:写出原方程的解. 微课总结：一元二次方程的求根公式(b2-4ac ≥0) 即： ， 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法 温馨提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必须是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2. b2-4ac ≥0 < 设计意图 >引导学生思考，前面方程中系数都是具体数字，是否可以把系数换成字母形式，根据上面的解题步骤一直推下去？从而激发了学生的兴趣,让学生通过探索、观察、总结归纳，体会由特殊到一般化的数学思想. 例1、用公式法解方程 2x2+5x+2=0 例2、用公式法解方程 x2-7x-18=0 < 设计意图 >通过讲解例题规范解题格式，体验用公式法解一元二次方程的步骤. 做微课学习自我检测： 1.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是x= （ ） 即x1= x2= 2.应用公式需要哪两个前提？① 3.用公式法解方程 （A）x2+3x+1=0 （B）x2+3x+2=0 (C)3x2+8x-3=0 解：①a= ,b= , c = ∵b2-4ac= = ∴x== ④即x1= ，x2= 4. 微课学习小结 你能总结一下用公式法解一元二次方程的一般步骤吗？（每步只用一个字概括！） （1） （2） （3） （4） < 设计意图 >检查学生自学情况，发现学生存在问题，便于课堂集中展示交流. 2、 展示交流 1、 微课学习总结点评： 展示自学精英风采录，展示学生的自学检测题，通过小组合作交流，发现问题，解决问题.在此基础上师生共同归纳总结用公式法解一元二次方程解方程时应注意的问题： 1、要连同a、b、c的符号正确代入计算; 2、代入求值时，如果遇到负数、分数、小数要打括号; 3、-b的代入要正确。例如当b=5时，则-b=-5；当b=-5时，则-b=-（-5）; 4、 b2-4ac≥0才可以应用公式. 总结公式法解一元二次方程的一般步骤： 1.写系数:用a,b,c写出各项系数; 2.算: b2-4ac的值,并与0比较大小 3.代入:把有关数值代入公式计算; 4.定根:写出原方程的根x1=?, x2=? < 设计意图 >通过表扬优秀，树立学生学习信心，在发现问题解决问题的基础上总结用公式法解一元二次方程解方程时应注意的问题，为学生在下一步的学习中敲响了警钟.用公式法解一元二次方程的一般步骤的总结，为学生下一步熟练解题做了铺垫. 跟踪练习： 用公式法解方程 (A) x2-3x+1=0 (B)x2-4x+1=0 (C) 2x2-x-1=0 < 设计意图 >练习分为A、B、C三级，由易到难，学生可根据学习情况自主选择，学有余力的学生也可以选择多个. 2.新知探究 例1 用公式法解方程： x2-7x=18 温馨提示： ①我可以说a=1、b=-7、c=18吗？ ②方程化成一般式，才能确定 a、b、c 归纳总结：通过本例你能将用公式法解一元二次方程的一般步骤完善一下吗？ 1.化 2.写 3.算 4.代 5.定 跟踪练习二：(A) x2-2x= -1 (B) (C） 观察你在练习二中得到的解有什么特点？例题中的解有什么特点？ < 设计意图 >练习分为A、B、C三级，由易到难，学生可根据学习情况自主选择，学生通过练习进一步熟练用公式法解一元二次方程的一般步骤，并通过练习一和二得到一元二次方程如果有根，应有两个. 例2 用公式法解方程：(x+1）(3x-1)=1 跟踪练习： （A)x(x-3)=4 （B)x-2 =x(x-2) （C)(x+8)(x+1) =-12 < 设计意图 >此类形式的一元二次方程需要先化简整理成一般形式，正确化简这一步至关重要，学生同样可根据学习情况从A、B、C三级中自主选择， 3、 变式训练，巩固新知 诊断病因：下面两位同学解方程是否正确？若不正确错在哪步？你能帮他们改正吗？ 小明同学 小红同学 ( 解方程 2x 2 - 4 x=1 解：a ＝2 ，b ＝-4 ，c ＝1 ∵ b 2 － 4ac ＝ ( -4 ) 2 － 4×2× 1 ＝ 8>0 ． ) ( 解方程 5 x +2=3 x 2 解： 3 x 2 -5 x -2=0 a ＝3 ，b ＝-5 ，c ＝-2 ， ∴b 2 － 4ac ＝ ( -5 ) 2 － 4× 3 × （-2） ＝ 1>0 ) < 设计意图 >学生通过找错纠错，进一步明确注意问题，引以为戒. 4、议一议： 你能解一元二次方程吗？这个方程有实数根吗？为什么？ 一元二次方程在什么情况下有实数根？在什么情况下没有实数根？与同伴交流. 师生共同归纳总结得出结论：一元二次方程 当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根； 当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当b2-4ac<0时，方程没有实数根. 我们把b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用希腊字母“△”表示. 教师强调：以上三个结论反过来也是正确的。 < 设计意图 >通过学生对b2-4ac的讨论，得出根的判别式与方程根的情况之间的关系。 例3 利用一元二次方程的根的判别式，判断下列方程的根的情况： （1）2x2+x-4=0 (2)4y2+9=12y (3)5(t2+1)-6t=0 3、 反馈拓展 (1) 拓展练习、强化提高 你能为下列方程选择合适的解法吗？ （1）3x2=54 （2） x2-4x =-4 （3） （4） < 设计意图 >让学生自己去做,对同一个方程选取利用配方法解的和公式法解的，让学生从简捷性与准确性去比较这几个题用哪种方法更好，并在小组内交流解方程过程中的得失，然后让学生进一步反思：什么情况下用公式法较为简便，什么情况下用配方法较为适宜？从而让学生在比较中加深对两种方法的认识,熟练这两种方法的应用.星号题的设置供学有余力的学生。 （2） 课堂小结提升 1、 本节课你学会了哪些知识？ 2、 你体会了哪些数学思想和方法？ 3、你觉得解一元二次方程时应注意哪些问题？ < 设计意图 >让学生从知识上、方法上，学习情况上进行反思、评价，以“回顾与思考” 的方式让学生总结本节课的收获，增强学生归纳总结能力. （三）课堂检测 布置作业 1、用公式法解下列方程： （A）x2+3x+2=0 （B）2x2+1=3x （C）若代数式与的值是互为相反数，则的值为多少呢？ （学生A、B、C任选一） 2、 不解方程，判断下列方程的根的情况: (1)5x2+x=7 (2)25x2-20x+4=0 (3)(x+1)(4x+1)=2x 3、《九章算术》“勾股”章有一题“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？” 大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？ 作业：必做：（一）P43 随堂练习1 习题2.5  2 （二）预习内容：学习下节微课 ※ 选做：习题2.5  4 < 设计意图 >通过目标检测检查学生对本节课的掌握情况,从而落实了教学目标；通过基础性作业，强化学生基本技能训练。通过学习下节课微课，提高学生良好的学习习惯。检测和作业设置选做题与必做题，满足不同学生的不同需要，不同的人在数学上得到不同的发展. 地址：山东省青岛莱西市龙口东路25号莱西市第七中学 苏红 电话 13105171212 邮编 266600 邮箱suhong6@126.com 附学生导学案： 《2.3用公式法求解一元二次方程（1）》导学案 【使用说明及学法指导】 ( 阅读课本 )1. 看课本P41-43页内容，明确本节课的学习内容，用红笔勾画出疑惑点. ( 观看微课 )2. 观看微课解惑，并完成导学案“自主预习”部分的内容. ( 归纳方法 )3. 认真思考，归纳方法规律，课堂积极分享你的见解. ( 练习提高 )4. 每组练习分为A、B、C三级，由易到难，大家可根据学习情况自主选择. 【学习目标】 1.知道如何用配方法推导一元二次方程的求根公式. 2.学会用公式法解一元二次方程. 【教学重、难点】 1.重点：掌握求根公式并会用公式法解一元二次方程． 2.难点：一元二次方程求根公式法的推导． 【导学流程】 一、自主预习 （一）旧知回眸（温故知新） 1、用配方法解方程： 2、把下列方程整理成一元二次方程的一般形式， 并说出二次项系数、一次项系数和常数项。 （1）(x+1）(3x-1)=1 该方程整理成一般形式为——————————— 这里a=——————— b=——————— c =————— (2) 该方程整理成一般形式为——————————— 这里a= b= c = (二）自学检测（先自学课本P41-43页内容，然后在微课的帮助下完成） 1.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是x=———————————————（ ） 即x1=————————————— x2=—————————————— 2.应用公式需要哪两个前提？① 3.用公式法解方程 （A）x2+3x+1=0 （B）x2+3x+2=0 (C)3x2+8x-3=0 解：①a= ,b= , c = ∵b2-4ac= = ∴x== ④即x1= ，x2= ( 略有小成 ) 4. 你能总结一下用公式法解一元二次方程的一般步骤吗？（看谁最厉害，每步只用一个字概括！） （1） （2） （3） （4） 二、展示交流 跟踪练习一： 1. 用公式法解方程 (A) x2-3x+1=0 (B)x2-4x+1=0 (C) 2x2-x-1=0 ( 学有所悟 ) 你觉得用公式法解一元二次方程应注意哪些问题呢？ 例1用公式法解方程： x2-7x=18 ( 学有所得 ) 通过本例你能将用公式法解一元二次方程的一般步骤完善一下吗？ （1） （2） （3） （4） （5） 跟踪练习二： (A) x2-2x= -1 (B) (C） ( 学有所思 ) 观察你在尝试练习中得到的解有什么特点？例题中的解有什么特点？ 2、诊断病因 引以为戒：下面两位同学解方程是否正确？若不正确错在哪步？你能帮他们改正吗？ 小明同学 小红同学 ( 解方程 5 x +2=3 x 2 解： 3 x 2 -5 x -2=0 a ＝3 ，b ＝-5 ，c ＝-2 ， ∴b 2 － 4ac ＝ ( -5 ) 2 － 4× 3 × （-2） ＝ 1>0 ) ( 解方程 2x 2 - 4 x=1 解：a ＝2 ，b ＝-4 ，c ＝1 ∵ b 2 － 4ac ＝ ( -4 ) 2 － 4×2× 1 ＝ 8>0 ． ) 例2 用公式法解方程：(x+1）(3x-1)=1 跟踪练习三： （A)x(x-3)=4 （B)x-2 =x(x-2) （C)(x+8)(x+1) =-12 议一议： 你能解一元二次方程吗？这个方程有实数根吗？为什么？ 一元二次方程在什么情况下有实数根？在什么情况下没有实数根？与同伴交流. 一元二次方程根的判别式与方程根的情况之间的关系：一元二次方程 当 >0时，方程有 的实数根； 当 =0时，方程有 的实数根； 当 <0时，方程 实数根. 例3 利用一元二次方程的根的判别式，判断下列方程的根的情况： （1）2x2+x-4=0 (2)4y2+9=12y (3)5(t2+1)-6t=0 三、反馈拓展 （一）跟踪练习四： 你能为下列方程选择合适的解法吗？ （1）3x2=54 （2） x2-4x =-4 （3） （4） （二）课堂小结提升（学会总结，收获更多！要求同学们畅所欲言） 1、本节课你学会了哪些知识？ 2、你体会了哪些数学思想和方法？ 3、你觉得解一元二次方程时应注意哪些问题？ （三）课堂检测 布置作业（证明我最棒，一定行！独立完成） 1、用公式法解下列方程：（A B C任选一） （A）x2+3x+2=0 （B）2x2+1=3x （C）若代数式与的值是互为相反数，则的值为多少呢？ 2、不解方程，判断下列方程的根的情况: (1)5x2+x=7 (2)25x2-20x+4=0 (3)(x+1)(4x+1)=2x 3、《九章算术》“勾股”章有一题“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？” 大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？ 作业： 必做：（一）P43 随堂练习1 习题2.5  2 （二）预习内容：下节微课 ※ 选做：习题2.5  4 1 学科网（北京）股份有限公司 $$