4.4探索三角形相似的条件 (第一课时)教学设计2024-2025学年北师大版数学九年级上册

探索三角形相似的条件 (第一课时) 教学目标: 1．初步掌握两个三角形相似的判定条件（两角分别相等的两个三角形相似），能够运用三角形相似的条件解决简单的问题. 2．经历两个三角形相似条件的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力，以及动手、动脑、手脑和谐一致的习惯. 3．发展学生的合情推理能力和初步的逻辑推理意识，体会数学思维的价值. 教学重点：三角形相似的判定定理1探索与应用. 教学难点：三角形相似的判定方法1在运用时，如何正确寻找相等的两对应角. 教学方法：引导探索法和赏识教学. 教学辅助：多媒体白板与几何画板相结合. 教学过程： 教师活动 学生活动 活动一：创设情景，直观感受 1、 课前布置学生以小组为单位搜集生活或各学科中的相似图形的例子，要求学生课上展示. 2、 展示出一组三角形相似的例子，我们能类比相似多边形的定义说出相似三角形的定义吗？ 学生分别展示课前搜集的生活中最感兴趣的一件有关图形相似的例子.并用投影议展示几组例子，鼓励学生用测量的方法加以验证. 学生通过相似多边形的定义类比说出相似三角形的定义 活动二：动手感知，探索结论 第一环节：问题跟进，启迪思维 引导一：在我们的生活中有很多相似三角形，那么人们在判断三角形相似时，是以什么为依据呢？这就是本节课我们要研究的问题，（自然引出课题）判定两个三角形相似，我们现有的方法是什么？（学生从定义角度分析） 引导二：通过我们课前准备的大量的相似图形的过程，我们感受到了，要保证两个图形相似，我们得确定图形之间的各角分别相等、各边成比例，那么由定义判定两个三角形相似需要几个条件，一定需要这些条件同时满足才能说明两个三角形相似么？最少需要多少个条件同时成立才能说明相似呢？ 引导三：如果不需要六组条件同时满足，那么我们从哪个角度分析需要的条件呢？（根据最少条件的要求，我们选择从一个条件开始寻找.） 第二环节：动手感知，体验成功 1、引导学生思考：首先从角的方面考虑，如果只有一对角相等，能判断两个三角形相似么？ 教师提问：如何进行判断呢？ 结论：只有一个角相等的两个三角形不一定相似. 2、引导学生思考：仍然从角的方面考虑，两角分别相等的两个三角形相似吗？你会从哪些角度进行提问并进行验证？ 结论：两角分别相等的两个三角形相似. 活动三：理性思维，揭示定理 对直觉判定进行数学论证――你会用数学知识说明两角相等三角形为什么相似吗？ 已知：∠A′=∠A，∠B′=∠B 问：△ABC ∽△A′B′C′ ？ （因为这里是验证的特殊性的结论，因此教师在学生探究后用几何画板展示一般性的结论，即无论如何改变边和角的大小，只要保证两角分别相等，这两个三角形就一定相似.） 结论展示：两角分别相等的两个三角形相似. 数学语言如何表述： 学生根据三角形相似的定义并回答即三角分别相等，三边成比例. 定义判定三角形相似需要六个条件，即三组角分别分别相等、三组边分别分别成比例的两个三角形相似. （1）从多个条件逐渐递减； （2）从最少条件逐渐递增. 学生主动尝试（一）： 一对角相等的两个三角形相似吗？ 活动安排： 一、利用问题（1），画出△A′B′C′，使得∠A′=∠A，与同伴交流，两个三角形是否相似.并验证分别边的比值. 学生得出结论，如果只有一个角相等的两个三角形不一定相似 学生主动尝试（二） 自我提问： 两角分别相等的两个三角形相似吗？ 根据问题（1），画出△A′B′C′，使 得∠A′=∠A，∠B′=∠B与同伴交流，两个三角形是否相似. 学生需要操作的步骤： 1）度量∠C′和∠C，看是否相等？ 2）度量三边的长，看分别边是否成比例？ 3）利用相似的定义进行说明. 会用数学语言表述结论： 活动四：应用拓展，达成目标 1．做一做，初步应用 判断正误： 1）所有的直角三角形都相似.（ ） 2）有一个锐角分别相等的两个直角三角形相似.（ ） 3）有一个角相等的两个等腰三角形相似. （ ） 4）所有的等边三角形都相似. （ ） 学生根据已有知识对其作出准确判断. （1）错. （2）对.有一个锐角分别相等的两个直角三角形相似.因为是两个直角三角形，所以有一对直角相等，再加上一对锐角相等，根据判定方法1，得，这两个三角形相似. （3）错.有一个角相等的两个等腰三角形不相似.如：一个顶角为30°的等腰三角形与一个底角等于30°的等腰三角形就不相似． （4）对.等边三角形的三个角都是60°. 2.学一学，达成目标 例：如图，D、E分别是△ABC这AB、AC上的点，DE∥BC，AB=7，AD=5，DE=10.求BC的长. 3.想一想，发散探究 ( “ A ” 型 A E D B C )变式练习：如图，直线a、直线b相交于点A，点B、C分别在直线a、直线b上，在直线a、直线b上分别找两点D、E，使△BAC与△DAE相似 ( “ X ” 型 A B C D E ) ( “A” 型 A C B D E ) 学生尝试解答，并演板： 解：（1）∵DE//BC ∴∠ADE =∠ABC， ∠AED = ∠ACB ∴△ADE∽△ABC ∴= ∴ 同伴互助，变式训练 （1）请学生根据要求尽量多地画出点D、E的位置. ( “ 共角 ” 型 A B C D E )（2）让学生展示成果 ( “ 共角共边 ” 型 A B C D ) ( “ 蝴蝶 ” 型 D A E B C ) 活动五：归纳总结，深化目标 1、让学生自己从知识上总结：本节课我们学到了什么知识？ 2、教师从方法上总结： 教师提问：本节课除了知识上，方法上我们也来回顾和总结一下. 在讨论探索三角形相似时，我们是怎样讨论？ 总结：“分类讨论”的数学说理方法 教师提问：在具体结论的证明时，我们怎样研究的. 总结：“特殊到一般”的研究方法 同桌对讲，畅谈自己的感受和体会，学生总结并发言，从知识点上进行小结. 1、判定三角形相似的条件1 2、几种相似三角形的 “基本图形”？ 活动六：分层作业，检测反馈 A层：习题4.5第1、2题. B层： 1）习题4.5第1、2题. 2）提高题如图，点B、D和C、E分别在∠A的两边上，BE⊥AC于E点，CD⊥AB于D点，BE和CD相交于点F，图中有几对相似三角形，并任你选一 对说明理由. 板书设计： 探索三角形相似的条件（一） 相似三角形的判定方法: 1)定义法： 2)判定定理一： 数学符号语言表述： 例：如图，D、E分别是△ABC这AB、AC上的点，DE∥BC，AB=7，AD=5，DE=10.求BC的长. 变式练习： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$