1.2矩形的性质与判定 （第1课时）教学设计2024-2025学年北师大版数学九年级上册

《矩形的性质与判定》（第1课时）教学设计 一、教材分析 本节课是北师大版《数学九年级（上）》第一章第二节第1课时.本节课首先对矩形的性质进行探索.由于矩形是学生比较熟悉的图形，因此教材先引导学生进行理性思考，得到猜想后再进行证明.之后，根据矩形的性质定理探索直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，矩形在生活中有着广泛的应用，所以课本很多地方以图片形式呈现了矩形的“原型”，旨在唤起学生的生活经验，促进数学学习. 二、学情分析 矩形的性质是在学习了平行四边形的性质与判定、菱形的性质与判定、特殊平行四边形的一般研究方法等知识的基础上来学习的，它既是平行四边形的延伸，又为研究后面的正方形奠定了基础. 通过对前面知识的学习，学生已经具备自主探究和合作学习的能力.部分学生对学习数学有着浓厚的兴趣，具有一定的探究数学问题的能力和数学活动的经验，逻辑推理能力较强.但对于大部分学生来说，要想把解题的整个过程表述完整仍比较困难. 三、教学目标 1.掌握矩形的定义，理解矩形与平行四边形的关系. 2.理解并掌握矩形的性质定理，会用矩形的性质定理进行推导证明. 3.经历探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理能力. 四、教学过程 （一）创设情境，导入新课 利用一个活动的平行四边形的教具进行演示，使平行四边形的一个内角变化，让学生注意观察，在演示过程中让学生思考. 1.在运动过程中，四边形还是平行四边形吗？（答案：是平行四边形） 2.在运动过程中，四边形不变的是什么？（答案：对边仍保持相等，对边仍分别平行） 3.在运动过程中，四边形改变的是什么？（答案：角的大小） 4.角的大小改变过程中有特殊值吗？这时的平行四边形是什么图形？（答案：特殊值是直角，此时平行四边形是矩形） 矩形的定义：有一个内角是直角的平行四边形是矩形（如图1）. ( 图 1 ) 【设计意图】从学生已掌握的知识出发，通过教具演示，让学生经历了矩形概念的探究过程，自然而然地形成矩形的概念. （二）分组讨论，探究新知 1.既然矩形是平行四边形，那么它具有平行四边形的哪些性质？ 在同学们回答的基础上进行归纳，如下表. 性质 类别 边 角 对角线 对称性 矩形 对边平行 且相等 对角相等 对角线互相平分 既是中心对称图形又是轴对称图形 2.请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考.   （1）矩形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？ （2）矩形是不是中心对称图形？如果是，那么对称中心是什么？ 小结：（1）矩形是轴对称图形，它有两条对称轴；（2）矩形是中心对称图形，对角线的交点即为矩形的对称中心. （三）层层递进，推理论证 1.矩形是特殊的平行四边形，它还具有一些特殊性质.下面我们来进一步研究矩形的其他性质. （1）请同学们以小组为单位，测量身边的矩形（如书本，课桌，铅笔盒等）的四条边的长度、四个角的度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果. （2）根据测量的结果，猜想结论.当矩形的大小不断变化时，发现的结论是否仍然成立？ （3）通过测量、观察和讨论，你能得到矩形的特殊性质吗？ 教师在学生回答的基础上，引导学生得出以下结论： 矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角. 矩形的性质定理2：矩形的对角线相等. 【设计意图】让学生分组探索.教师可引导学生，根据研究平行四边形获得的经验，分别从边、角、对角线三个方面探索矩形的特性，还可以提醒学生，这种探索的基础是矩形“有一个角是直角”，学生通过动手测量，动脑思考，动口讨论，自主发现矩形的性质. 2.怎样证明你的猜想？ （教师写出定理1，2的已知、求证，请同学分析思路写出证明过程） ( 图2 )已知：如图2，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与DB相交于点O. 求证：（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°； （2）AC=DB. 【设计意图】在上一环节观察、测量、猜测的基础上，学生较易得出结论.但结论是否真的正确，必须经过严谨的证明.该环节旨在训练学生规范写出推理过程. （四）归纳小结，随堂练习 1.归纳小结 归纳概括矩形的性质. 边 角 对角线 对称性 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线相等且 互相平分 既是轴对称图形，又是中心对称图形 2.随堂练习 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 (   ）. A.对角相等  B.对边相等 C.对角线相等   D.对角线互相平分 【设计意图】在前面学习了菱形的基础上学生已经知道怎么研究图形的对称性，在知道方法的条件下，学生完全可以通过自己的操作、观察、猜想得到矩形的对称特征，这对学生来说是有意义的活动，也会很感兴趣.  （五）建构新知，发展问题 1.问题探究 ( 图 3 )如图3，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，那么BO是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系？由此你能得到怎样的结论？ 2.归纳小结 定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半. 教师板书写出推论及推理语言及证明过程. 3.随堂练习 ( 图 4 )已知：如图4，△ABC是直角三角形，, BD是斜边AC上的中线. （1）若，则； （2）若，，则， 【设计意图】先从矩形的对角线相关性质推出直角三角形的性质，达到“学数学，用数学”的目的.再通过习题，让学生掌握“在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质，达到学以致用的目的，培养了学生的应用意识. ( 图 5 )（六）合作交流，解决问题 例 如图5，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，，，求矩形对角线的长. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴ AC=BD（矩形的对角线相等）， OA=AC，OD=BD（矩形的对角线互相平分）. ∴OA=OD. ∵∠AOD=120°， ∴∠ODA=∠OAD=. 又∵∠DAB=90°（矩形的四个角都是直角）， ∴. 【设计意图】这个例题主要目的是应用矩形的边和对角线的性质来解决问题.在学过矩形的性质后，如何熟练、灵活地应用矩形的性质解决实际问题，就是关键. （七）反思交流，反馈提高 1.归纳小结 本节课你学到了什么？ （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. （2）矩形的性质. （3）直角三角形的性质. （4）矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形；矩形的两条对角线把矩形分成两对全等的等腰三角形.因此，有关矩形的问题往往可化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决. 2.自我检测 （1）下列说法错误的是（ ）． A.矩形的对角线互相平分 B.矩形的对角线相等 C.有一个角是直角的四边形是矩形 D.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 （2）已知矩形的一条对角线长为10 cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为 . 【设计意图】通过小结，让学生梳理学习内容，明确本节课的重点知识以及该掌握的解题方法和技巧，使教师能够及时地了解学生对本节课的重点知识以及解题方法和技巧的掌握情况，以便答疑补漏.课堂检测，反馈了学生学习的效果便于进行教学优化. 五、教学反思 本节课设计的每个环节都是以学生为主体，在学生已有的知识经验的基础上，让学生自己动手探究完成，以便提高学生的探索创新思维和创造能力. 首先，从矩形的定义和平行四边形的性质引入，提出问题，让学生猜想矩形应具有的性质，调动学生思维的积极性，激发探究的欲望. 其次，在教学过程中充分利用学生手中的矩形实物，如书本，课桌等，让学生通过观察、测量和思考讨论等活动，得出矩形性质，在解决问题的过程中发展了学生的合情推理意识. 最后引导学生进行推理证明及应用，通过探索证明，开拓学生的思路，发展了学生的思维能力，帮助他们在自主探索和合作交流过程中真正理解和掌握矩形的性质定理，体验数学学习过程中的探索性和挑战性以及推理的严谨性. 6 学科网（北京）股份有限公司 $$