4.2　整式的加法与减法 课件　　2024—2025学年人教版数学七年级上册

第四章　整式的加减 4.2　整式的加法与减法 第1课时　同类项 思考： （1）3×2－5×2＝（3－5）×2＝ ⁠； （2）3a－5a＝（　 　）a＝－2a； （3）4ab＋2ab＝（　 　）ab＝ ab； （4）2mn2－3mn2＝（　 　）mn2＝ ⁠. －4　 3－5　 4＋2　 6　 2－3　 －mn2 知识导航 1. 同类项的定义 所含字母 ，并且相同字母的 ⁠也相同的 项叫作同类项.几个 也是同类项. 注意：（1）判断几个项是否是同类项的条件是“两 同”： ①所含字母相同；②相同字母的指数分别相同.同时具 备这两个条件的项是同类项，缺一不可. （2）同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关. 相同　 指数　 常数项　 知识导航 2. 合并同类项 把多项式中的同类项 ，叫作合并同类 项. 3. 合并同类项的法则 合并同类项后，所得项的系数是合并前各 ⁠ ，且 不变. 合并成一项　 同类项的系 数的和　 字母连同它的指数　 知识导航 注意：合并同类项的根据是乘法的分配律逆用，运用时 应注意： ①不是同类项的不能合并，不是同类项的项不能遗漏， 在每步运算中照抄. ②系数相加（减），字母部分不变，不能把字母的指数 也相加（减）. 知识导航 4. 合并同类项的步骤： ①准确地找出同类项； ②利用分配律，把同类项的系数加在一起，字母和字母 的指数不变； ③写出合并后的结果. 知识导航 题型一　同类项的定义 　下列各组代数式中，是同类项的有 ⁠. （填序号） ①2与－2； ②－5xy2与3y2x； ③－3t与20t； ④2a2b与－b2a； ⑤ x3y与－ x3yz； ⑥2a3y与－ a3y. ①②③⑥　 典例导思 1. 下列各式与－3x3y是同类项的是（　D　） A. 2xy3 B. x3y2 C. －3y3 D. x3y 2. 下列各组式子中，属于同类项的是（　B　） A. 2x与2y B. xy与－2xy C. 2x2y与－2xy2 D. 3x2y与x2yz D B 典例导思 题型二　利用同类项的定义求值 　（1）若单项式－2am＋2b3与πab2n是同类项，则m －2n的值为（　A　） A. －4 B. －2 C. 2 D. 4 （2）若2xmy3与－3xyn是同类项，则m＋n的值 为 ⁠. A 4　 典例导思 3. 若单项式6xn＋1y8与 x3y－3m－1可以合并成一项，则 mn的值是（　D　） A. －9 B. －6 C. 6 D. 9 4. 若 xm－3y与－ xyn－2是同类项，则m＋n＝ ⁠. D 7　 典例导思 题型三　合并多项式中的同类项 　合并下列各式中的同类项： （1）5x2＋4x－4－2x－5x2； 解：原式＝（5x2－5x2）＋（4x－2x）－4＝2x－4. （2）2a2b－3ab3＋ a3b－2ab2＋3ab3－0.5a3b. 解：原式＝2a2b＋（－3ab3＋3ab3）＋（ a3b－ 0.5a3b）－2ab2＝2a2b－2ab2. 典例导思 5. 下列合并同类项中，正确的是（　C　） A. 3a＋a＝3a2 B. 3mn－4mn＝－1 C. xy2－y2x＝－ xy2 D. 7a2＋5a2＝12a4 6. 当k＝ 　－ 　时，多项式x2－2kxy－5y2－ xy－7 中不含xy项. C － 　 典例导思 7. 合并下列各式中的同类项： （1）－7mn＋mn＋5nm； 解：原式＝－mn. （2）－4ab＋ b2－9ab－ b2； 解：原式＝－13ab－ b2. （3）3a2b－4ab2－4＋5a2b＋2ab2＋7. 解：原式＝8a2b－2ab2＋3. 典例导思 $$第四章　整式的加减 4.2　整式的加法与减法 第2课时　多项式的化简求值 多项式的化简求值 在求多项式的值时，可以先将多项式中的同类项合并， 然后再求值，这样做往往可以简化计算. 知识导航 题型一　多项式的化简求值 　先化简，再求值： （1）2x3－5x2＋x3＋9x2－3x3－2，其中x＝ ； 解：原式＝4x2－2. 当x＝ 时，原式＝4× －2＝－1. 典例导思 （2）2x2y－3xy2－3x2y＋2xy2，其中x＝－ ，y＝4. 解：原式＝－x2y－xy2. 当x＝－ ，y＝4时， 原式＝－ ×4－ ×42＝7. 典例导思 1. 先化简，再求值： （1）3x2－8x＋2x3－13x2＋2x－2x3＋3，其中x＝－ 1 ； 解：原式＝－10x2－6x＋3. 当x＝－1 时， 原式＝－10× －6× ＋3＝－ . 典例导思 （2） ab2－5a2b－ a2b＋0.75ab2，其中a＝2，b＝1. 解：原式＝ab2－ a2b. 当a＝2，b＝1时， 原式＝2×12－ ×22×1＝－21. 典例导思 题型二　多项式化简求值的综合运用 　（1）已知x＋y＝5，xy＝3，则整式2x－xy＋2y ＝ ⁠； 7　 典例导思 （2）已知（a＋1）2＋ ＝0，求多项式a2b2＋ 3ab－7a2b2－ ab＋1＋5a2b2的值. [分析] （2）由非负数性质可得a，b的值，将多项式合 并化简后代入求值即可. 解：（2）由已知可得a＋1＝0，b－2＝0. 解得a＝－1，b＝2. 典例导思 原式＝（a2b2－7a2b2＋5a2b2）＋ ＋1 ＝－a2b2＋ ab＋1. 当a＝－1，b＝2时， 原式＝－（－1）2×22＋ ×（－1）×2＋1＝－4. 典例导思 2. 已知m2＋2mn＝13，3mn＋2n2＝21，则2m2＋ 13mn＋6n2－44的值为（　A　） A. 45 B. 5 C. 66 D. 77 A 典例导思 3. 已知 ＋ ＝0，求5xy2－2x2y＋3xy2－ 4xy2＋2x2y的值. 解：因为 ＋ ＝0， 所以x－3＝0，y＋1＝0. 解得x＝3，y＝－1. 原式＝（5xy2＋3xy2－4xy2）＋（－2x2y＋2x2y） ＝4xy2. 当x＝3，y＝－1时，原式＝4×3×（－1）2＝12. 典例导思 题型三　多项式化简后某项系数为零 　已知多项式6x2－2mxy－2y2＋4xy－5x＋2化简后 的结果中不含xy项. （1）求m的值； 解：（1）由题意，得－2m＋4＝0，解得m＝2. 典例导思 （2）求代数式－m3－2m2－m＋1－m3－m＋2m2＋5 的值. 解：（2）原式＝（－m3－m3）＋（－2m2＋2m2）＋ （－m－m）＋1＋5 ＝－2m3－2m＋6. 将m＝2代入，则原式＝－2×23－2×2＋6＝－14. 典例导思 4. 已知多项式－3x2＋ax＋bx2－x＋3的值与x无关， 则（a－b）3＝ ⁠. －8　 典例导思 解：原式＝（m－3）x3＋4x2＋（4－n）x＋3. 因为该多项式化简后不含x的三次项和一次项， 所以m－3＝0，4－n＝0. 所以m＝3，n＝4. 所以（m－n）2 025＝－1. 5. 若多项式mx3－2x2＋4x－3－3x3＋6x2－nx＋6化简 后不含x的三次项和一次项，求m，n的值，并求出 （m－n）2 025的值. 典例导思 $$第四章　整式的加减 4.2　整式的加法与减法 第3课时　去括号法则 去括号法则 一般地，一个数与一个多项式相乘，需要去括号，去括 号就是用括号外的数乘括号内的 ，再把所得 的 相加. 特别地，＋（x－3）与－（x－3）可以看作1与－1分 别乘（x－3），利用分配律，可以将式子中的括号去 掉，得＋（x－3）＝ ，－（x－3）＝ ⁠ ⁠. 每一项　 积　 x－3　 －x ＋3　 知识导航 注意：①去括号法则实际上是根据乘法分配律得到的结 论.当括号前为“＋”号时，可以看作＋1与括号内的各 项相乘；当括号前为“－”号时，可以看作－1与括号 内的各项相乘. ②去括号时，首先要弄清括号前面是“＋”号，还是 “－”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号. 知识导航 ③对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括 号，也可以先去中括号，再去小括号.但是一定要注意 括号前的符号. ④去括号只是改变式子的形式，不改变式子的值，它属 于多项式的恒等变形. 知识导航 题型一　利用去括号法则进行整式的化简 　填空： （1）＋（a－b）＝ ⁠； （2）－（a－b）＝ ⁠； （3）a－（b＋c）＝ ⁠； （4）－2（3a－2b）＝ ⁠. a－b　 －a＋b　 a－b－c　 －6a＋4b　 典例导思 　化简下列各式： （1）6a2－4ab＋4 ； 解：原式＝6a2－4ab＋8a2－2ab＝14a2－6ab. （2）a－（2a－b）－2（a＋2b）； 解：原式＝a－2a＋b－2a－4b＝－3a－3b. 典例导思 （3）（8xy－3x2）－5xy－3（xy－2x2＋3）； 解：原式＝8xy－3x2－5xy－3xy＋6x2－9＝3x2－9. （4）－2x－[x2－2（x2－3x）]. 解：原式＝－2x－（x2－2x2＋6x）＝－2x－（－x2＋ 6x） ＝－2x＋x2－6x＝x2－8x. [方法提炼] 去括号法则可以简记为以下口诀：去掉“正 括号”，各项不变号；去掉“负括号”，各项都变号. 典例导思 1. 下列去括号运算正确的是（　D　） A. －（x＋y－z）＝－x＋y－z B. x－（y－z）＝－x－y＋z C. x－2（y－z）＝x－2y－2z D. －（a－b）－2（－c＋d）＝－a＋b＋2c－2d D 典例导思 2. 化简下列各式： （1）（5xy－3x）－2（－x＋xy）； 解：原式＝5xy－3x＋2x－2xy ＝3xy－x. （2）5x－（x－2y＋5z）－（7y－2z）； 解：原式＝5x－x＋2y－5z－7y＋2z ＝4x－5y－3z. 典例导思 （3）3a2b－ ＋9ab2. 解：原式＝3a2b－ab2＋2 ＋9ab2 ＝3a2b－ab2＋2ab－3a2b＋9ab2 ＝8ab2＋2ab. 典例导思 题型二　去括号法则的应用 　已知甲数比x的3倍多5，乙数比－x的4倍少6，试 用含x的式子表示甲、乙两数的和与差. 解：由题意，得甲数为3x＋5，乙数为－4x－6. 甲、乙两数之和为（3x＋5）＋（－4x－6）＝－x－1； 甲、乙两数之差为（3x＋5）－（－4x－6）＝7x＋11. 典例导思 3. 若多项式x2＋mx＋3－（3x＋1－nx2）的值与x的取 值无关，则－m＋n的值为 ⁠. 4. 某市出租车收费标准为：起步价为10元，3千米后每 千米的价格为2.5元，小明乘坐出租车走了x千米（x＞ 3），则小明应付 元. －4　 （2.5x＋2.5）　 典例导思 （1）该厂第二季度的水费和电费； 解：（1）该厂第二季度的电费：m（1－20％）＝ 0.8m（元）； 该厂第二季度的水费： （2m－40）（1＋5％）＝（2.1m－42）元. 5. 光明文具厂第一季度用去电费m元，用去的水费比 电费的2倍少40元；第二季度的电费比第一季度节约了 20％，水费比第一季度水费多支出了5％.求： 典例导思 （2）该厂第二季度水、电费的支出比第一季度节约了 多少元. 解：（2）（m＋2m－40）－（0.8m＋2.1m－42）＝ （0.1m＋2）元. 故该厂第二季度水、电费的支出比第一季度节约了 （0.1m＋2）元. 典例导思 题型三　化简含绝对值的式子 　按下列要求化简： （1）已知2＜x＜3，试化简： － ； [分析] 含绝对值符号的式子化简，应先通过条件判断绝 对值符号内的式子与0的关系，从而决定绝对值符号打 开后取式子本身还是取其相反数. 解：（1）因为2＜x＜3，所以3x－6＞0，5x－15＜0. 所以原式＝（3x－6）－（15－5x） ＝3x－6－15＋5x＝8x－21. 典例导思 （2）有理数a，b，c在数轴上的位置如图： ①用“＞”或“＜”填空：b－c 0，a＋ b 0，c－a 0； ②化简： ＋ － . 解：（2）②因为b－c＜0，a＋b＜0，c－a＞0， 所以原式＝c－b＋（－a－b）－（c－a） ＝c－b－a－b－c＋a＝－2b. ＜　 ＜　 ＞　 典例导思 6. 若a＜0，ab＜0，则 － 的值 为 ⁠. －6　 典例导思 7. 有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且 ＝ ，化简：3 ＋ －2 ＋5 . （第7题） 典例导思 解：因为 ＝ ，且a和b在原点两侧， 所以a＋b＝0. 由有理数a，b，c在数轴上的位置可得a＜0，c－a＞ 0，c－b＋a＜0， ∴原式＝3×（－a）＋（c－a）－2×（－c＋b－a） ＋5×0 ＝－3a＋c－a＋2c－2b＋2a ＝－2a＋3c－2b＝3c. （第7题） 典例导思 $$第四章　整式的加减 4.2　整式的加法与减法 第4课时　整式的加减 整式的加减法则 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先 ⁠ ，然后再 ⁠. 注意：（1）整式加减的一般步骤是先去括号，再合并 同类项. （2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来. 去括 号　 合并同类项　 知识导航 （3）整式加减的最后结果的要求：①不能含有同类 项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母 的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成 假分数. 知识导航 题型一　利用整式加减化简求值 　先化简，再求值： （1）3（x2－2xy）－[3x2－2y＋2（xy＋y）]，其中x ＝－ ，y＝－3； 解：原式＝3x2－6xy－3x2＋2y－2xy－2y＝－8xy. 当x＝－ ，y＝－3时， 原式＝－8× ×（－3）＝－12. 典例导思 （2）5x2－［xy2－2（xy－ xy2）］－xy，其中x，y 满足（x－1）2＋ ＝0. 解：因为x，y满足（x－1）2＋ ＝0，所以x＝ 1，y＝ . 原式＝5x2－（xy2－2xy＋3xy2）－xy ＝5x2－4xy2＋2xy－xy ＝5x2－4xy2＋xy. 典例导思 当x＝1，y＝ 时， 原式＝5×12－4×1× ＋1× ＝4 . 典例导思 1. （1）先化简，再求值：－3（2m＋3n）－3（6n－ 12m），其中m＝5，n＝－1； 解：原式＝－6m－9n－18n＋36m＝30m－27n. 当m＝5，n＝－1时， 原式＝30×5＋27＝177. 典例导思 （2）已知ab＝－1，a－b＝2，求（4a－5b－ab）－ （2a－3b＋5ab）的值； 解：原式＝4a－5b－ab－2a＋3b－5ab ＝2a－2b－6ab. 当ab＝－1，a－b＝2时， 原式＝2（a－b）－6ab＝2×2－6×（－1）＝10. 典例导思 解：原式＝5xy－2 －5xy2 ＝5xy－5xy＋8xy2－5xy2 ＝3xy2. （3）化简求值：5xy－2 － 5xy2，其中 ＋（y＋1）2＝0. 典例导思 ∵ ≥0，（y＋1）2≥0，且 ＋（y＋1）2 ＝0， ∴x－2＝0，y＋1＝0，即x＝2，y＝－1， 当x＝2，y＝－1时，原式＝3×2×（－1）2＝6. 典例导思 题型二　整式加减的实际应用 　大长方形的长、宽如图1所示，小长方形的长、宽 如图2所示. 典例导思 （1）大长方形的周长比小长方形的周长长多少？ 解：（1）大长方形的周长为 2（2m＋2n＋3）＝4m＋4n＋6， 小长方形的周长为2（m＋n）＝2m＋2n， 则大长方形的周长比小长方形的周长长 （4m＋4n＋6）－（2m＋2n）＝4m＋4n＋6－2m－ 2n ＝2m＋2n＋6. 典例导思 （2）将这两个长方形重叠地放在一起，如图3所示，求 阴影部分的周长； 解：（2）阴影部分的周长为 2（2m＋2n＋3）＝4m＋4n＋6. （3）当m＝2，n＝1时，阴影部分的周长是多少？ 解：（3）当m＝2，n＝1时，阴影部分的周长为 4m＋4n＋6＝4×2＋4×1＋6＝18. 典例导思 2. 某商场4月份的营业额为x万元，5月份的营业额比4 月份多10万元.如果该商场第二季度的营业额为4x万 元，那么6月份的营业额为 万元. （2x－10）　 典例导思 解：根据题意，得第二边长为（3a＋2b）＋（a－b） ＝4a＋b， 第三边长为（4a＋b）－2a＝2a＋b. 所以这个三角形的周长为 （3a＋2b）＋（4a＋b）＋（2a＋b）＝9a＋4b. 3. 已知三角形第一边的长为（3a＋2b），第二边比第 一边长（a－b），第三边比第二边短2a，求这个三角 形的周长. 典例导思 题型三　整式加减的拓展应用 　已知A＝3x2＋bx＋2y－xy，B＝ax2－3x－y＋ xy. （1）若A＋B的值与x的取值无关，求ab； 解：（1）A＋B＝（3x2＋bx＋2y－xy）＋（ax2－3x －y＋xy） ＝（3＋a）x2＋（b－3）x＋y. 典例导思 因为A＋B的值与x的取值无关， 所以3＋a＝0，b－3＝0，即a＝－3，b＝3， 所以ab＝（－3）3＝－27. 典例导思 （2）若 ＋（b＋1）2＝0且x＋y＝ ，xy＝－2 时，求2A－3B的值. 解：（2）因为 ＋（b＋1）2＝0， ≥0， （b＋1）2≥0，所以a＝2，b＝－1，所以2A－3B＝ 2（3x2＋bx＋2y－xy）－3（ax2－3x－y＋xy） ＝（6－3a）x2＋（2b＋9）x＋7y－5xy ＝7x＋7y－5xy＝7（x＋y）－5xy. 当x＋y＝ ，xy＝－2时，原式＝7× －5×（－2）＝16. 典例导思 [思维点拨] 整式的值与整式中字母的取值有关.当整式 经过化简后，若含某个字母的项的系数等于0，则这个 整式的值与该字母的取值无关；反之，当某个整式的值 与某个字母的取值无关时，则整式中含该字母的项的系 数等于0. 典例导思 4. 若关于a，b的多项式b2＋3a2b－5ab＋1与－2ab＋ ka2b＋5b2的差不含三次项，则k的值为（　D　） A. － B. C. －9 D. 9 D 典例导思 5. （2024·成都树德）已知多项式A＝x2＋xy＋3y，B ＝x2－xy. （1）求3A－2B的值； 解：（1）3A－2B＝3（x2＋xy＋3y）－2（x2－xy） ＝3x2＋3xy＋9y－2x2＋2xy ＝x2＋5xy＋9y. 典例导思 （2）若3A－2B的值与y的取值无关，求x的值. 解：（2）由（1）知，3A－2B＝x2＋5xy＋9y＝x2＋ （5x＋9）y. 因为3A－2B的值与y的取值无关， 所以5x＋9＝0，所以x＝－ . 典例导思 $$