14.2.1　平方差公式　教学设计　2024—2025学年人教版数学八年级上册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 八年级上册 学期 秋季 课题 平方差公式 教科书 书 名：人教版教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2013年06月 教学目标 1. 能根据多项式的乘法法则推导出平方差公式，理解平方差公式的结构特征，并能正确运用公式进行计算； 2. 在利用几何图形的面积验证公式的过程中，了解平方差公式的几何意义，感知数形结合的思想； 3. 在探索平方差公式的过程中，感悟从一般到特殊、从具体到抽象地研究问题的方法； 4. 在探究过程中发现规律，并能用符号表示，感受数学的严谨性，体会数学的简洁美。 教学内容 教学重点： 掌握平方差公式的推导过程及几何意义，并能正确运用公式进行计算。 教学难点： 理解平方差公式的结构特征，能灵活运用公式。 教学过程 一、课题引入，导入新课 1. 师：同学们，你们好。欢迎来到今天的数学微课堂，今天我们要学习的课题是《平方差公式》。接下来，让我们一起走进今天数学微课堂。 2. 出示情景：水果摊 师：羊村要举办六一儿童节，村长让喜羊羊和懒羊羊出来买水果。 水果摊老板说葡萄的单价是10.2元每千克，他们一共买了9.8千克。请问需要支付多少钱呢？喜羊羊立马算了出来，需要支付99.96元。你知道他是如何快速算出来的吗？这节课我们一起来研究这个问题。二、课堂探学 1. 复习回顾 师：同学们还记得多项式与多项式相乘的法则吗？ 生：多项式与多项式相乘的法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。用符号表示为(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。 2. 推导平方差公式 师：现在请同学们利用多项式与多项式相乘的法则计算下列多项式的积，看谁算得又快又对？ (1)(x+1)(x-1)=_________; (2) (m+2)(m-2)=________; (3)(2x+1)(2x-1)=________ 生:通过计算我得出的结论是：(1)x2-1;(2) m2-4; (3) 4x2-1. 师：那么请再次观察上面的等式，你能发现什么规律?相乘的两个多项式有什么共同点? (1)(x+1)(x-1)=x2-1; (2) (m+2)(m-2)=m2-4; (3)(2x+1)(2x-1)=4x2-1. 生：我发现相乘的两个多项式均为相同的两个数的和、两个数的差的形式。 师：那么相乘的两个多项式的各项与它们积中的各项又有什么关系呢？ 生：我发现两个多项式的积恰好是这两个多项式中相同的两个数的平方差。 师：根据发现的规律你能得出什么结论吗？用式子表示出来. 生：我得到的结论是(a+b)(a-b)=a2-b2 师：你能对发现的规律进行推导吗？ 生：利用多项式与多项式相乘的法则可以推导出： (a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2 师：是的，以上就是平方差公式的推导过程，你们明白了吗？因此我们定义：平方差公式为(a+b)(a-b)=a2-b2 即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 在这里，老师要说明一下，平方差公式是多项式乘法（a+b）(p+q)中p=a,q=-b的特殊情况。 3. 利用几何图形的面积验证平方差公式 师：你能根据如图所示的图形的面积说明平方差公式吗？开动你的脑筋，试着算一算。 生：我是这样推导的，首先把每个图形的面积分为S1，S2，S3和S4。然后把S1，S3和S4单独拿出来看，同样也把S1，S2，单独拿出来看。 因此，可以得出： S1+S3=a2-b2 S1+S2=(a+b)(a-b) ∵ S2=S3 ∴ (a+b)(a-b)=a2-b2 师：嗯，这样推导的方法很不错，同学们还有其他的证明方法吗？老师这里有一个拼剪的方法，能够帮助同学们更好的理解，我们一起来看一下。（播放视频） 三、当堂巩固 现在，我们来总结一下平方差公式的特征： 1. 等号左边是两个二项式的积，且这两个二项式中有一项为相同项，另一项为相反项。 2. 等号右边是相同项的平方减去相反项的平方。 3. 公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等式子。 熟悉了平方差公式的特征，我们来检验一下同学们的学习成果吧！ 请判断下列式子是否能用平方差公式计算： (1) (a+b)(-a−b) (2) (a−3b)(3b−a) (3) (8a-b)(-b+8a) (4) -(a−4b)(a+4b) (5) (-2x+3y)(3y−2x) 生：(1) 不能，因为不存在相同的项； (2) 不能，因为也不存在相同的项； (3) 不能，因为不存在相反的项； (4) 能，可以先把负号提取出来，然后就是我们熟悉的平方差了，它等于a2−(4b)2 = a2+16b2. (5) 不能，因为不存在相反的项。 师：通过上面的练习我们知道了，符合平方差公式的特征才能运用平方差公式计算。 师：接下来，我们来看一看如何正确运用平方差公式来解决问题。 【例1】运用平方差公式计算： (1) (3x+2)(3x2) ； (2) (x2y)(x+2y) 提示：同学们要注意，做这种题的关键是确认公式中的a，b分别代表什么。 比如在(1)中，我们可以把3x看成a，2看成b，即 (3x+2)(3x-2)=(3x)2-22 也就是(a+b)(a-b)=a²-b² 因此，我们可以做出解答。 解：(1) (3x+2)(3x2) = (3x)222 = 9x24； 同样，我们再来看第二题。这里的-x看成a，2y看成b,因此我们解答为： (2) (x2y)(x+2y) = (x)2(2y)2 = x24y2 那么同学们来想想，除此之外，你还有其他的计算方法吗？其实啊，所有的可应用公式的乘法，都可以用一般的多项式乘法法则来计算。 以上是非常典型的，一眼就能看出来的平方差公式的运用。那么我们在平时做题的过程中，会遇到很多不同类型的算式组合在一起，这就需要我们动一动脑筋找出平方差公式，然后运用平方差公式来帮助我们更快速、更简便地解决问题。下面我们一起来看看吧。 【例2】计算： (1) (y+2)(y2)(y1)(y+5) (2) 102×98 师：同学们注意，只有符合公式条件的乘法，才能运用公式简化运算，而其余的运算仍按乘法法则来进行。 我们来看第一小题，在这里我们发现，(y+2)(y-2)是符合公式条件的，所以我们可以直接套用平方差公式，而(y-1)(y+5)是不符合条件的，因此这一部分要按照乘法法则来进行运算。我们来看一下具体的解法。 解： (1) (y+2)(y2)(y1)(y+5) =y222(y2+5yy5) =y24y24y+5 =4y+1 同样，我们来看第二小题。这里没有很明显的平方差公式，但是仔细观察我们就能发现，102=100+2，98=100-2，是不是就符合平方差公式的条件了。因此，我们就可以套用公式来简便计算了。 (2) 102×98 =(100+2)(1002) =100222 =9996 通过以上两个例题，我们可以发现解题的关键是识别式子是否符合公式的条件。 四、课堂小结： 课程的最后，让我们一起来总结一下本课知识点。 同学们，今天的数学微课堂到这里就结束了，相信你一定收获颇多，受益匪浅，感谢你的聆听，我们下次再见！ 备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。 学科网（北京）股份有限公司 $$