第11章 三角形　单元测试卷（1）2024—2025学年人教版数学八年级上册

人教版八年级上册《第11章 三角形》2024年单元测试卷 一、选择题 1．下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是（　　） A．2，3，4 B．5，7，7 C．5，6，12 D．6，8，10 2．如图，以点A为三角形的一个顶点的三角形共有（　　） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 3．如图均表示三角形的分类，下列判断正确的是（　　） A．①对，②不对 B．①不对，②对 C．①、②都不对 D．①、②都对 4．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（　　） A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 5．如图，AM是△ABC的中线，△ABC的面积为4cm2，则△ABM的面积为（　　） A．8cm2 B．4cm2 C．2cm2 D．以上答案都不对 6．一个多边形的外角和是内角和的，这个多边形的边数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 7．如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是（　　） A．59° B．60° C．56° D．22° 8．如图在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的高．那么图中与∠A相等的角是（　　） A．∠B B．∠ACD C．∠BCD D．∠BDC 9．从一个多边形的一个顶点出发可以引5条对角线，则这个多边形的内角和为（　　） A．900° B．1080° C．1260° D．1440° 10．在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③AB：BC：AC＝3：4：5；④∠A＝∠B＝∠C，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．如图中共有三角形　 　个． 12．如图，△ABC中，若沿图中虚线剪去∠B后，∠1+∠2＝280°，则∠B＝　 　． 13．如图，△ABC中，∠A＝35°，∠C＝60°，BD平分∠ABC，DE∥BC交AB于E，则∠BDE＝　 　，∠BDC＝　 　． 14．如图，小明从点A出发，沿直线前进8m后向左转36°，再沿直线前进8m后向左转36°……照这样走下去，小明第一次回到出发点A，一共走了 　 　m． 15.如图所示，∠ABC和∠ACD的角平分线相交于点P，∠A＝64°，则∠BPC的度数为 　 　． 16．如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1得∠A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A5BC的平分线与∠A5CD的平分线交于点A6，得∠A6，则∠A6＝　 　． 三、解答题 17．（6分）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数． 18．（8分）如图，∠D＝90°，从A处观测C处时观测角∠CAD＝45°，从B处观测C处时观测角∠CBD＝60°，那么从C处观测A，B两处时视角∠ACB是多少？ 19．（8分）已知a，b，c分别为△ABC的三边，且满足a+b＝3c﹣2，a﹣b＝2c﹣6． （1）求c的取值范围； （2）若△ABC的周长为12，求c的值． 20．（8分）如图所示，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC、∠BOA的度数． 21．（10分）在△ABC中，AB＝AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为9cm与15cm两部分，求三角形各边长． 22．（12分）（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？ （2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，判断△ADE的形状是什么？为什么？ （3）如图③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，AB⊥BD，点C，B，E在同一直线上，∠A与∠D有什么关系？为什么？ 人教版八年级上册《第11章 三角形》2024年单元测试卷 参考答案与试题解析 一、选择题 1．下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是（　　） A．2，3，4 B．5，7，7 C．5，6，12 D．6，8，10 【分析】根据三角形三边关系定理判断即可． 【解答】解：∵5+6＜12， ∴三角形三边长为5，6，12不可能成为一个三角形， 故选：C． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边是解题的关键． 2．如图，以点A为三角形的一个顶点的三角形共有（　　） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【分析】根据三角形的定义，结合题目中的图形，一一写出三角形即可． 【解答】解：以点A为三角形的一个顶点的三角形有△ABC，△ABD，△ADC，△AEO，△AEC，△AOC，共6个， 故选：A． 【点评】本题考查了三角形的定义，熟知三角形的定义是解题的关键，注意不要重复，也不要漏解． 3．如图均表示三角形的分类，下列判断正确的是（　　） A．①对，②不对 B．①不对，②对 C．①、②都不对 D．①、②都对 【分析】根据三角形的按边分类、按角分类的分类方法判断即可． 【解答】解：∵等腰三角形包括等边三角形， ∴①分类方法不对， ∵三角形按角分类可分为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形， ∴②分类方法对， 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形，熟记三角形的分类方法是解题的关键． 4．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（　　） A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【分析】根据三角形的稳定性即可解决问题． 【解答】解：根据三角形的稳定性可固定窗户． 故选：A． 【点评】本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键． 5．如图，AM是△ABC的中线，△ABC的面积为4cm2，则△ABM的面积为（　　） A．8cm2 B．4cm2 C．2cm2 D．以上答案都不对 【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形解答即可． 【解答】解：∵AM是△ABC的中线，△ABC的面积是18cm2， ∴△ABM的面积＝×4＝2cm2． 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的面积，根据等底等高的三角形的面积相等得到三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键． 6．一个多边形的外角和是内角和的，这个多边形的边数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】根据多边形的外角和为360°及题意，求出这个多边形的内角和，即可确定出多边形的边数． 【解答】解：∵一个多边形的外角和是内角和的，且外角和为360°， ∴这个多边形的内角和为900°，即（n﹣2）•180°＝900°， 解得：n＝7， 则这个多边形的边数是7， 故选：C． 【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握内角和公式及外角和公式是解本题的关键． 7．如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是（　　） A．59° B．60° C．56° D．22° 【分析】根据高线的定义可得∠AEC＝90°，然后根据∠C＝70°，∠ABC＝48°求出∠CAB，再根据角平分线的定义求出∠1，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解． 【解答】解：∵BE为△ABC的高， ∴∠AEB＝90° ∵∠C＝70°，∠ABC＝48°， ∴∠CAB＝62°， ∵AF是角平分线， ∴∠1＝∠CAB＝31°， 在△AEF中，∠EFA＝180°﹣31°﹣90°＝59°． ∴∠3＝∠EFA＝59°， 故选：A． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义，熟记概念与定理并准确识图是解题的关键． 8．如图在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的高．那么图中与∠A相等的角是（　　） A．∠B B．∠ACD C．∠BCD D．∠BDC 【分析】根据直角三角形中两锐角的关系解答即可． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠A＝90°﹣∠B， 又∵在Rt△BCD中，∠BCD＝90°﹣∠B， ∴∠A＝∠BCD． 故选：C． 【点评】主要考查了三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．本题还用到了同角的余角相等． 9．从一个多边形的一个顶点出发可以引5条对角线，则这个多边形的内角和为（　　） A．900° B．1080° C．1260° D．1440° 【分析】设多边形边数为n，根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线可得n﹣3＝5，计算出n的值，再根据多边形内角和180°（n﹣2）可得答案． 【解答】解：设多边形边数为n，由题意得： n﹣3＝5， n＝8， 内角和：180°×（8﹣2）＝1080°． 故选：B． 【点评】此题主要考查了多边形的对角线，以及多边形内角和，关键是掌握n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，多边形内角和公式180°（n﹣2）． 10．在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③AB：BC：AC＝3：4：5；④∠A＝∠B＝∠C，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用三角形内角和定理和勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可． 【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C， ∴∠A+∠B+∠C＝2∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3， 设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x， ∴x+2x+3x＝180， 解得：x＝30°， ∴∠C＝30°×3＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ③∵AB：BC：AC＝3：4：5， 设AB＝3k，则BC＝4k，AC＝5k， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形； ④∵∠A＝∠B＝∠C， ∴∠A+∠B+∠C＝3∠A＝180， 解得：∠A＝60°， ∴∠B＝∠C＝60°， ∴△ABC不是直角三角形； ∴能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③共3个， 故选：C． 【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理以及三角形内角和定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． 2、 填空题 11．如图中共有三角形　10　个． 【分析】按照从左到右的顺序，分单个的三角形和复合的三角形找出所有的三角形，然后再计算个数． 【解答】解：三角形有：△ABC、△ACD、△ADE、△AEF，△ABD、△ACE、△ADF，△ABE、△ACF，△ABF共十个． 【点评】本题难点在于找出复合三角形的个数，按照一定的顺序找即可做到不重不漏． 12．如图，△ABC中，若沿图中虚线剪去∠B后，∠1+∠2＝280°，则∠B＝　100°　． 【分析】由平角定义得∠1+∠BMN+∠2+∠BNM＝360°，再求出∠BMN+∠BNM＝80°，然后由三角形内角和定理即可得出结论． 【解答】解：如图．∵∠1+∠BMN＝180°，∠2+∠BNM＝180°， ∴∠1+∠BMN+∠2+∠BNM＝360°， ∵∠1+∠2＝280°， ∴∠BMN+∠BNM＝360°﹣280°＝80°， ∴∠B＝180°﹣（∠BMN+∠BNM）＝180°﹣80°＝100°， 故答案为：100°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理以及平角的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 13．如图，△ABC中，∠A＝35°，∠C＝60°，BD平分∠ABC，DE∥BC交AB于E，则∠BDE＝　42.5°　，∠BDC＝　77.5°　． 【分析】在三角形ABC中，根据∠A与∠C的度数求出∠ABC的度数，由BD为角平分线得到∠BDE＝∠CBD，由ED与BC平行，利用两直线平行内错角及同位角相等得到两对角相等，得到∠BDE＝∠DBC＝ABC，根据∠EDC﹣∠BDE求出∠BDC度数即可． 【解答】解：∵△ABC中，∠A＝35°，∠C＝60°，BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝42.5°， ∵DE∥BC， ∴∠BDE＝∠CBD＝42.5°，∠ADE＝∠C＝60°， ∴∠EDC＝102.5°， 则∠BDC＝∠EDC﹣∠BDE＝77.5°． 故答案为：42.5°；77.5° 【点评】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键． 14．如图，小明从点A出发，沿直线前进8m后向左转36°，再沿直线前进8m后向左转36°……照这样走下去，小明第一次回到出发点A，一共走了 　80　m． 【分析】根据题意，小明走过的路径是正多边形，先用360°除以36°求出边数，然后再乘以8m即可． 【解答】解：∵小明每次都是沿直线前进8m后向左转36°， ∴他走过的图形是正多边形， ∴边数n＝360°÷36°＝10， ∴他第一次回到出发点A时，一共走了10×8m＝80m． 故答案为：80． 【点评】本题考查了多边形的内角和外角，能灵活利用多边形的外角和等于360°进行计算是解此题的关键． 15.如图所示，∠ABC和∠ACD的角平分线相交于点P，∠A＝64°，则∠BPC的度数为 　32°　． 【分析】根据三角形外角的性质，角平分线的定义，先由角平分线的定义得到∠ACD＝2∠PCD，∠ABC＝2∠PBC，再由三角形外角的性质得到∠A+∠ABC＝∠P+∠ABC，则． 【解答】解：∵∠ABC和∠ACD的角平分线相交于点P， ∴∠ACD＝2∠PCD，∠ABC＝2∠PBC， ∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠PCD＝∠P+∠PBC， ∴∠PCD＝∠P+∠ABC， ∴∠ACD＝∠P+∠ABC， ∴＝∠P+∠ABC， ∴＝∠P+∠ABC， ∴， ∵∠A＝64°， ∴． 故答案为：32°． 【点评】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，先由角平分线的定义得到∠ACD＝2∠PCD，∠ABC＝2∠PBC，再由三角形外角的性质得到构成等量关系，则得到结果．能结合图形，得到等量关系是解决本题的关键． 16．如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1得∠A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A5BC的平分线与∠A5CD的平分线交于点A6，得∠A6，则∠A6＝　　． 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，根据角平分线的定义可得∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，然后整理得到∠A1＝∠A，同理可得∠A2＝∠A1，…从而判断出后一个角是前一个角的一半，然后表示出∠An即可解答． 【解答】解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD， ∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CA＝∠ACD， ∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC， 即∠ACD＝∠A1+∠ABC， ∴∠A1＝（∠ACD﹣∠ABC）， ∵∠A+∠ABC＝∠ACD， ∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC， ∴∠A1＝∠A， ∠A2＝∠A1＝∠A，…， 以此类推，∠An＝∠A， ∴∠A6＝∠A＝． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键． 三、解答题 17．（6分）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数． 【分析】多边形的外角和是360度，根据多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数． 【解答】解：设这个多边形的边数是n， 依题意得（n﹣2）×180°＝3×360°﹣180°， n﹣2＝6﹣1， n＝7． ∴这个多边形的边数是7． 【点评】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关． 18．（8分）如图，∠D＝90°，从A处观测C处时观测角∠CAD＝45°，从B处观测C处时观测角∠CBD＝60°，那么从C处观测A，B两处时视角∠ACB是多少？ 【分析】根据三角形外角定理即可求得∠ACB． 【解答】解：∵∠CBD是△ABC的外角， ∴∠CBD＝∠CAD+∠ACB， ∴∠ACB＝∠CBD﹣∠ACB＝60°﹣45°＝15°． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握三角形外角与内角的关系，即三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 19．（8分）已知a，b，c分别为△ABC的三边，且满足a+b＝3c﹣2，a﹣b＝2c﹣6． （1）求c的取值范围； （2）若△ABC的周长为12，求c的值． 【分析】（1）根据三角形任意两边之和大于第三边得出3c﹣2＞c，任意两边之差小于第三边得出|2c﹣6|＜c，列不等式组求解即可； （2）由△ABC的周长为12，a+b＝3c﹣2，4c﹣2＝12，解方程得出答案即可． 【解答】解：（1）∵a，b，c分别为△ABC的三边，a+b＝3c﹣2，a﹣b＝2c﹣6， ∴， 解得：2＜c＜6． 故c的取值范围为2＜c＜6； （2）∵△ABC的周长为12，a+b＝3c﹣2， ∴a+b+c＝4c﹣2＝12， 解得c＝3.5． 故c的值是3.5． 【点评】此题考查三角形的三边关系，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题． 20.（8分）如图所示，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC、∠BOA的度数． 【分析】因为AD是高，所以∠ADC＝90°，又因为∠C＝70°，所以∠DAC度数可求；因为∠BAC＝50°，∠C＝70°，所以∠BAO＝25°，∠ABC＝60°，BF是∠ABC的角平分线，则∠ABO＝30°，故∠BOA的度数可求． 【解答】解：∵AD⊥BC ∴∠ADC＝90° ∵∠C＝70° ∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°； ∵∠BAC＝50°，∠C＝70° ∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60° ∵BF是∠ABC的角平分线 ∴∠ABO＝30° ∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°． 【点评】本题考查了同学们利用角平分线的性质解决问题的能力，有利于培养同学们的发散思维能力． 21．（10分）在△ABC中，AB＝AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为9cm与15cm两部分，求三角形各边长． 【分析】等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9厘米和15厘米两部分，但已知没有明确等腰三角形被中线分成的两部分的长，哪个是9cm，哪个是15cm，因此，有两种情况，需要分类讨论． 【解答】解：根据题意画出图形，如图， 设等腰三角形的腰长AB＝AC＝2x，BC＝y， ∵BD是腰上的中线， ∴AD＝DC＝x， 若AB+AD的长为15，则2x+x＝15，解得x＝5cm， 则x+y＝9，即5+y＝9，解得y＝4cm； 若AB+AD的长为9，则2x+x＝9，解得x＝3cm， 则x+y＝15，即3+y＝15，解得y＝12cm， 6+6＝12，不存在， 所以等腰三角形的腰长为10厘米，底边长为4厘米． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错；利用三角形三边关系判断能否组成三角形是正确解答本题的关键． 22．（12分）（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？ （2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，判断△ADE的形状是什么？为什么？ （3）如图③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，AB⊥BD，点C，B，E在同一直线上，∠A与∠D有什么关系？为什么？ 【分析】（1）根据直角三角形的性质得出∠ACD+∠A＝∠B+∠DCB＝90°，再解答即可； （2）根据直角三角形的性质得出∠ADE+∠A＝∠A+∠B＝90°，再解答即可； （3）根据直角三角形的性质得出∠ABC+∠A＝∠ABC+∠DBE＝∠DBE+∠D＝90°，再解答即可． 【解答】解：（1）∠ACD＝∠B，理由如下： ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠ACD+∠DCB＝∠B+∠DCB＝90°， ∴∠ACD＝∠B； （2）△ADE是直角三角形． ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，∠A为公共角， ∴∠AED＝∠ACB＝90°， ∴△ADE是直角三角形； （3）∠A+∠D＝90°． ∵在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，AB⊥BD， ∴∠ABC+∠A＝∠ABC+∠DBE＝∠DBE+∠D＝90°， ∴∠A+∠D＝90°． 【点评】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出两锐角互余． 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