2024—2025学年人教版数学七年级上册 大单元复习 压轴题——动点问题与新定义问题　

七年级上 大单元复习 压轴题——动点问题与新定义问题 （原卷+答案） 题型归类 举一反三 题型一 直线或数轴上的动点问题 例1 定义一种新的运算“ ”：已知，为有理数，规定． （1） 计算的值； （2） 已知与的差中不含项，求的值； （3） 如图，数轴上有三点，，，点表示的数是，点表示的数是，点在点的右侧，距点两个单位长度.若点以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，同时点以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，问运动多少秒时，？ 变式跟进 1. 如图，是线段上不同于点，的一点，，，两动点分别从点，同时出发在线段上向左运动（无论谁先到达点，均停止运动），点的运动速度为，点的运动速度为． （1） 若， ① 当动点，运动了时，  ； ② 当，两点间的距离为时，运动的时间为  ； （2） 当点，在运动时，总有. ① 求的长度； ② 若在直线上存在一点，使，求的长度． 2. 【背景知识】 数轴是我们学习数学的一个重要工具，利用数轴可以很好地将数与形结合． 如图①，若数轴上，两点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，例如：，，则． 【问题情境】 如图②，若，两点在数轴上对应的数分别为，，且满足，甲、乙分别从，处同时出发，甲的速度为每秒1个单位长度，乙的速度为每秒3个单位长度，设运动的时间为． 【综合运用】 （1） ,两点间的距离  ． （2） 如果甲、乙相向运动（甲向右运动，乙向左运动），记相遇点为，则点表示的数为  ，此时  ． （3） 如果甲、乙都向左运动， ① 当为何值时，乙恰好追上甲？ ② 当为何值时，甲、乙之间恰好相距5个单位长度？ 题型二 角的旋转运动问题 例2 【问题情境】 乐乐学习了角的相关知识后，对角度的计算比较感兴趣，请你和乐乐一起来探究下面的问题吧. 已知 ，射线，分别是和的平分线． 【初步感知】 （1） 如图，若射线在的内部，且 ，求的度数； 【探究发现】 （2） 若射线在的内部绕点旋转，则的度数为  ； 【拓展延伸】 （3） 若射线从出发，绕着点顺时针方向旋转，旋转的角度不超过 ，其余条件不变，当时，请借助备用图探究的大小，并直接写出的度数（不写探究过程）． 变式跟进 3. 【问题背景】 已知是直线上的一点，射线在直线的上方， ，将直角三角板的直角顶点放在处，且直角三角板在直线的上方． 【问题解决】 （1） 如图①，若 ，则  . （2） 若恰好平分，求和的度数. 【拓展延伸】 （3） 将图②中的三角板绕点以每秒 的速度顺时针旋转 ，设运动时间为，是否存在的值，使？若不存在，请说明理由；若存在，请求出的值，并求出此时的度数． 题型三 几何新定义问题 例3【定义】 点，，是一条直线上从左到右的三个点，若直线上的点满足，则称点是点，，的“和谐点”． 【理解】 （1） 在数轴上（图①），点，，，表示的数分别为，0，5，1，点是否为点，，的“和谐点”？请通过计算作出判断． （2） 点，，是一条直线上从左到右的三个点，且，，若点是点，，的“和谐点”，则的长是  ． 【拓展】 （3） 在数轴上（图②），点，，表示的数分别为，，（是整数），点在点的左侧，且点是点,,的“和谐点”，点,,,表示的数之和是否能被4整除？请通过计算作出判断． 变式跟进 4. 有理数和分别对应数轴上的点和点，定义为数，的中点数；定义为点，之间的距离，其中表示数，的差的绝对值.例如：数和3的中点数是，数轴上表示数和3的点之间的距离是.请阅读以上材料，解答下列问题： （1）  ，  ； （2） 已知，求的值； （3） 当时，求的值． 5. 如图①，数轴上，两点表示的有理数分别为，，则，两点间的距离． 研讨1：某高铁线路上有，两站，现要在段上选址物流中心，使最短，物流中心选在哪里？ 甲的探究：由绝对值的几何意义，应选在点，之间时，才最短． 研讨2：如图②，高铁线路上有，，三站，如何选址物流中心，使最短？ 乙的探究：物流中心应选在站，才最短． 研讨3：如图③，高铁线路上有，，，四站，物流中心选在哪里，才使得最短？ 丙的探究：物流中心应选在点，之间，才最短． 请你根据以上探究结论求的最小值． 例4 定义：如果一条射线把一个角分成两个角，其中较大角的度数是原角度数的0.6倍，则称该射线为这个角的“近似黄金分割线”.如图①， ， ，则射线为的“近似黄金分割线”． （1） 若 ，射线为的“近似黄金分割线”，则  ； （2） 如图②，如果点，，三点在同一条直线上时，当射线在直线上方绕点转动时，，始终分别为和的“近似黄金分割线”，当 时，求的度数（用含 的代数式表示）； （3） 在（2）的基础上，若恰好为的平分线，求 的度数． 变式跟进 6. 定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫作这个角的“内余角”.如图①，若射线，在的内部，且 ，则是的“内余角”． 根据以上信息，解决下面的问题： （1） 如图①， ， ，若是的内余角，则  ； （2） 如图②，已知 ，将绕点顺时针方向旋转角度得到，同时将绕点顺时针方向旋转角度 得到.若是的“内余角”，求 的度数； （3） 把一块含有 角的三角板按图③方式放置，使边与边重合，边与边重合.如图④，将三角板绕顶点以的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为，在旋转一周的时间内，当射线，，，构成“内余角”时，请求出的值． 过关训练 现复活用 1. 如图，数轴上点对应的数为，点对应的数是，且 （1） 填空：  ；  . （2） ,两点间的距离为  . （3） ,是数轴上的两个动点，点以每秒3个单位长度的速度从点出发，点以每秒2个单位长度的速度从原点出发.若，两点同时出发，都向数轴正方向运动. ① 经过几秒，点,到原点的距离相等； ② 当,两点运动到时，请直接写出点在数轴上对应的数． 2. 如图，点为原点，，为数轴上两点，，且． （1） ，对应的数分别为  ，  ． （2） 若点，分别以每秒2个单位长度和每秒5个单位长度的速度相向而行，则几秒后点，相距1个单位长度？ （3） 若点，以（2）中的速度同时向右运动，点从原点以每秒4个单位长度的速度向右运动，是否存在常数，使得为定值？若存在，请求出的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 3. 如图，数轴上点表示的为8，是数轴上一点，点在点左边且点与点的距离，动点，分别从，两点同时向左移动，点的速度为每秒3个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度． （1） 数轴上点表示的数为  . （2） 经过多少秒以后，，两点的距离为6个单位长度，并求出此时点表示的数是多少. （3） 若为的中点，为的中点，是否存在常数，使得的值为定值?若存在，求出的值;若不存在，请说明理由． 4. 如图，点,和线段都在数轴上，点,,,起始位置所表示的数分别为,0,3,12.线段沿数轴的正方向以每秒1个单位长度的速度移动，移动时间为． （1） 当时，的长为  ；当时，的长为  ． （2） 用含有的代数式表示的长为  ． （3） 当  时，；当  时，． （4） 若点与线段同时出发沿数轴的正方向移动，点的速度为每秒2个单位长度.在移动过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． B组·能力提升 强化突破 5. 定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫作的三等分线.若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含的代数式表示为（ ） A. 或或 B. 或或 C. 或或 D. 或或 6. 已知，，且，，分别是点，，在数轴上对应的数． （1）  ，  ,  . （2） 若动点从点出发沿数轴正方向运动，动点同时从点出发也沿数轴正方向运动，点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度，设运动的时间为. ① 用含的式子表示：后，点表示的数为  ，点表示的数为  ； ② 当时，求的值． （3） 在（2）的条件下，点,出发的同时，动点从点出发沿数轴正方向运动，速度为每秒5个单位长度，点追上点后立即返回沿数轴负方向运动.求点追上点后再经过几秒，？ 7. 如图①，已知 ， ，在内，在内，，.（本题中所有角均大于 且小于等于） （1） 如图②，当绕点逆时针旋转到与重合时，则   ； （2） 如图③，当从图②中的位置绕点逆时针旋转 （即）时，求的度数； （3） 当从图②中的位置绕点逆时针旋转 （即 ，且，其中为正整数）时，求的度数． 8. 如图①，射线在的内部，图中共有3个角：,和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“奇妙线”． （1） 一个角的平分线  这个角的“奇妙线”（填“是”或“不是”）. （2） 如图②，若 ，射线绕点从位置开始，以每秒 的速度逆时针旋转，当首次等于 时停止旋转，设旋转的时间为． ① 当为何值时，射线是的“奇妙线”？ ② 若射线同时绕点以每秒 的速度逆时针旋转，并与同时停止旋转.请求出当射线是的“奇妙线”时的值． 9. 已知是关于的二次二项式，，是数轴上两点，且点，对应的数分别为，． （1）  ，  ，  ； （2） 若小虫甲到点后就沿着数轴以每秒5个单位长度的速度向右爬行，同时另两只小虫乙、丙分别从点和原点出发向右爬行，乙的速度是每秒2个单位长度，丙的速度是每秒1个单位长度，假设三只小虫同时运动后，甲、乙、丙三只小虫对应的点分别是点，，，则是定值吗？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由. （3） 如图，在数轴上方从点出发引出射线，，，，且平分，平分，已知 ， ，当绕着点以的速度逆时针旋转时，和中的一个角的度数恰好是另一个角度数的两倍，求的值． 参考答案 题型归类 举一反三 题型一 直线或数轴上的动点问题 例1 （1） 解：. 的值为. （2） ，， . 与的差中不含项， ， . （3） ， 点表示的数为. ， 运动前点表示的数为8. 点在点的右侧，距点两个单位长度， 运动前点表示的数为， 设运动时间为，则点表示的数为，点表示的数为， . ， ，解得或， 运动时间为或时，． 变式跟进 1．（1） ① 12 ② 4 （2） ① 解：，，， . 由动点，的运动速度知，， ， . ， ； ② 当点在点的右侧时，. ， ； 当点在线段上时， ， . ， . ， ， . 综上所述，的长度为或． 2．（1） 20 （2） ； 5 （3） ① 解：由题意，得， 解得. 当的值为10时，乙恰好追上甲. ② 分两种情况： Ⅰ.乙追上甲之前相距5个单位长度， 由题意，得， 解得； Ⅱ.乙追上甲之后相距5个单位长度， 由题意，得， 解得. 综上所述，当或12.5时，甲、乙之间恰好相距5个单位长度． 题型二 角的旋转运动问题 例2 （1） 解： ， ， . 射线，分别是和的平分线， ， ， . （2） （3） 设，分两种情况： 例2答图 ①如答图①，当在的内部时， . 射线，分别是和的平分线， ，， . ， ， 解得 ， ； ②如答图②，当在的外部时， . 射线，分别是和的平分线， ， ， . ， ， 解得 ， . 综上所述，的度数为 或 ． 变式跟进 3．（1） （2） 解： ， ， . 平分， . ， . （3） 存在，分两种情况讨论： ①若在的外部，如答图①所示. 变式跟进3答图① ， . ， . ， ， ， ， ， ； ②若在的内部，如答图②所示. 变式跟进3答图② ， . ， ， . ， ， ， . ， ， 即 ， ， ， ， ． 综上所述，当的值为5或10时，，对应的的度数分别为 ， . 题型三 几何新定义问题 例3 （1） 解：，，， , 点是点，，的“和谐点”. （2） 3或 【解析】以为原点建立数轴，则点表示的数为0，点表示的数为2，点表示的数为5. 设点表示的数为. ①若点在点左边，令， 即，解得， 此时； ②若点在之间时，令， 即， 解得（不合题意，舍去）； ③若点在之间时，令， 即， 解得．此时； 若点在点右侧，不可能． 综上所述，的长为3或. （3） 解： 点在点左侧， 设，则，. ， ，解得， 点表示的数为． 点，，，表示的数之和为：（为整数）， 点，，，表示的数之和能被4整除． 变式跟进 4．（1） 3； 2 （2） 解：， ， 解得， 则. （3） ， ， 解得或. 当时，； 当时，． 故的值为或． 5．解：由题意，得可以看成是到各点的距离之和． 在多个绝对值相加时，要想和为最小值，则最中间一项应为0. 最中间一项是， ，解得. 当时， ． 故的最小值为 2 550． 例4 （1） 或 （2） 解: ， . ,分别为和的“近似黄金分割线”, 或 , 或. ①当 , 时, 则 . ②当 , 时, 则 . ③当 , 时, 则 . ④当 , 时, 则 . 综上所述，的度数为 ,, 或 . （3） 是的平分线, , ①当时, 解得 ; ②当时, 解得 ; ③当时, 解得 ; ④当时,解得 . 综上所述， 的度数为 , 或 ． 变式跟进 6．（1） （2） 解：由题意，得 ， ， ， . 是的“内余角”， ， ，解得 . 的度数为 . （3） 根据题意，可得 ，三角板绕顶点以的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为. ①当在内部时，如答图①所示， 变式跟进6答图① ， ， ， . 若是的“内余角”时，得 ， ，无解； 当在内部时，射线，，，不能构成“内余角”； ②当在射线的下方时，如答图②所示， 变式跟进6答图② ， . 若是的“内余角”，得 , ，解得； ③当在上方时，如答图③所示， 变式跟进6答图③ ， . 若是的“内余角”， ， 解得； ④当在内部时，如答图④所示， 变式跟进6答图④ , , . 若是的“内余角”， 得 , ,无解. 当在内部时，射线，，，不能构成“内余角”. 综上所述，当射线，，，构成“内余角”时，的值为7.5或52.5． 过关训练 现复活用 A组·基础达标 逐点击破 1．（1） ； 15 （2） 20 （3） ① 解：设点，运动时间为，则点表示的数为，点表示的数为. （3） ① 点，到原点的距离相等， ， 即或， 解得或， 经过或，点,到原点的距离相等. ② ， ， 解得或. 当时，； 当时，. 当时，点在数轴上对应的数为10或40． 2．（1） ； （2） 解：设经过后，点，相距1个单位长度. 由题意，得， 解得或. 经过或后，点，相距1个单位长度． （3） 设经过，则点表示的数为,点表示的数为，点表示的数为， ，，， ， 当时，为定值，定值为40． 3．（1） （2） 解：设经过以后，,两点的距离为6个单位长度. ①若相遇前，两点的距离为6个单位长度， ， 解得. 则点表示的数是； ②若相遇后，两点的距离为6个单位长度， ， 解得． 则点表示的数是． 综上所述，经过以后，，两点的距离为6个单位长度，此时点表示的数是；经过10秒以后，,两点的距离为6个单位长度，此时点表示的数是. （3） 由题意，得点表示的数是，点表示的数是. 为的中点，为的中点， 点表示的数是，点表示的数是， ， 当时，的值为定值． 4．（1） 2； 4 （2） （3） 6； （4） 解：点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，表示的数为12， ，. 若， 则， 解得或． 故在运动的过程中存在某一时刻使得成立，此时的值为16或． B组·能力提升 强化突破 5．C 6．（1） ； 13； 7 （2） ① ； ② 解：. ， ， 解得或31. 的值为19或31. （3） 动点从点出发沿数轴正方向运动，速度为每秒5个单位长度， 点表示的数为. 当点追上点时，， 解得， 此时点对应的数为. 此后，点向数轴负半轴运动，点对应的数为， ， . ， ， 解得或， ，， 点追上点后，再经过或，． 7．（1） 100 （2） 解： ， ， ， ， . ， ， . （3） ①当时，如答图①， 第7题答图① ， ， ， ； ②当时，如答图②. 第7题答图② ， ， ， ； ③当时，如答图③. 第7题答图③ ， ， ， . 综上所述,的度数为 ． 8．（1） 是 （2） ① 解：由题意，得射线在的内部, , , 当时,,解得; 当时, ,解得; 当时, ,解得. 故当为9或12或18时,射线是的“奇妙线”. ② 由题意，得射线在的内部， , , , 当时, ,解得; 当时, ,解得; 当时, ,解得. 故当射线是的“奇妙线”时，的值为或或. 9．（1） ； 9； 11 （2） 解：设运动的时间为. 由题意,得点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ，， . 是定值，为17． （3） ， ， . 平分， . 规定：为 线，顺时针为负，逆时针为正. 当绕着点以的速度逆时针旋转时， CD可表示为： ，可表示为： . 平分，平分， ①当时， ， ， ， . 若，则 ，解得； 若，则 ，解得. ②当时， ， ， ， . 若，则 ，解得； 若，则 ，解得. ③当时， ， . 若，则 ，解得； 若，则 ，得. 综上所述，的值为或或或或或． 第 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $$