追梦专项总结突破卷(四)线段与角的相关计算-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年新教材七年级上册数学（人教版2024，云南专版）

53　 追梦专项总结突破卷(四) 线段与角的相关计算 题型 1　 线段的中点问题 1. 如图,已知 B、C 在线段 AD 上. (1)图中共有　 　 　 　 条线段; (2)若 AB<CD. ①比较线段的长短:AC　 　 　 　 BD(填“ >”“ = ”或“ <”); ②若 AD= 10,BC = 8,M 是 AB 的中点,N 是 CD 的中点,求线段 MN 的长度. 2. 如图,延长线段 AB 到 C,使 BC = 3AB,点 D 是线段 BC 的中点, 如果 CD= 3 cm, (1)求 AC 的长度; (2)若点 E 是线段 AC 的中点,求 ED 的长度. 题型 2　 线段的动点问题 3. 如图,P 是线段 AB 上一点,AB= 12 cm,C、D 两点分别从点 P、点 B 出发以 1 cm / s、2 cm / s 的速度沿直线 AB 向左运动(C 在线段 AP 上,D 在线段 BP 上),运动的时间为 t s. (1)当 t= 1 时,PD= 2AC,请求出 AP 的长; (2)若 C、D 运动到任一时刻时,总有 PD= 2AC,请求出 AP 的长; (3)在(2)的条件下,Q 是直线 AB 上一点,且 AQ-BQ = PQ,求 PQ 的长. 4. 新定义 定义:若线段上的一个点把这条线段分成 1 ∶2的两条线 段,则称这个点是这条线段的三等分点. 如图 1,点 C 在线段 AB 上,且 AC ∶CB = 1 ∶2,则点 C 是线段 AB 的一个三等分点,显然, 一条线段的三等分点有两个. (1)已知:如图 2,DE = 15 cm,点 P 是 DE 的三等分点,求 DP 的长; (2)已知:线段 AB= 15 cm,如图 3,点 P 从点 A 出发以每秒 1 cm 的速度在射线 AB 上向点 B 方向运动;点 Q 从点 B 出发,先向点 A 方向运动,当与点 P 重合后立马改变方向与点 P 同向而行且 速度始终为每秒 2 cm,设运动时间为 t 秒. ①若点 P、Q 同时出发,且当点 P 与点 Q 重合时,求 t 的值; ②若点 P、Q 同时出发,且当点 P 是线段 AQ 的三等分点时,求 t 的值. 图 1 图 2 图 3 5. 如图,已知直线 l 上有两条可以左右移动的线段:AB=m,CD=n, 且 m,n 满足 |m-4 | +(n-8) 2 = 0,点 M,N 分别为 AB,CD 中点. (1)求线段 AB,CD 的长; (2)线段 AB 以每秒 4 个单位长度向右运动,线段 CD 以每秒 1 个单位长度也向右运动. 若运动 6 秒后,MN = 4,求开始运动时 线段 BC 的长; (3)若 BC= 24,将线段 CD 固定不动,线段 AB 以每秒 4 个单位 长度的速度向右运动,在线段 AB 向右运动的某一个时间段 t 内,始终有 MN+AD 为定值. 求出这个定值,并写出 t 在哪一个时 间段内. 54　 题型 3　 角的运算 6. 如图,点 A,O,B 在同一条直线上,∠AOC= ∠BOD,OM,ON 分别 是∠AOC,∠BOD 的平分线. (1)若∠COD= 80°,求∠MON 的度数; (2)比较∠DOM 和∠CON 的大小,并说明理由. 7. 已知∠AOB= 120°,∠COD= 60°,OE 平分∠BOC. (1) 如图 1,当∠COD 在∠AOB 的内部时,若∠AOC = 40°,则 ∠COE= 　 　 　 　 ;∠DOE= 　 　 　 　 . (2)如图 2,当∠COD 在∠AOB 的外部时, ①请写出∠AOC 与∠DOE 的度数之间的关系,并说明理由; ②在∠AOC 内部有一条射线 OF,满足∠AOC+2∠BOE= 4∠AOF, 写出∠AOF 与∠DOE 的度数之间的关系,并说明理由. 图 1 　 　 图 2 8. 已知点 B,O,C 在同一条直线上,∠AOB=α(0°<α<60°) . (1)如图 1,若∠BOD = 90°,∠EOD = 140°,OA 平分∠EOD,求 ∠EOB 与∠AOB 的度数; (2) 如图 2,∠BOD = 90°,OF 平分∠AOD,OG 平分∠AOC,求 ∠FOG 的度数; (3)如图 3,∠AOM 与∠AOB 互余,若∠BON 也与∠AOB 互余, 请直接写出∠MON 的度数. (用含 α 的式子表示) . 图 1 　 图 2 　 图 3 9. 如图 1,点 O 为直线 AB 上一点,过 O 点作射线 OC,使∠BOC = 120°,将一直角三角板的直角顶点放在点 O 处,一边 OM 在射线 OB 上,另一边 ON 在直线 AB 的下方. (1)如图 2,将图 1 中的三角板绕点 O 逆时针旋转,使边 OM 在 ∠BOC 的内部,且 OM 恰好平分∠BOC,此时∠AOM=　 　 　 　 度; ∠BON=　 　 　 　 度. (2)如图 3,继续将图 2 中的三角板绕点 O 按逆时针方向旋转, 使得 ON 在∠AOC 的内部. 试探究∠AOM 与∠NOC 之间满足什 么等量关系,并说明理由. (3)将图 1 中的三角板绕点 O 以每秒 10°的速度沿逆时针方向 旋转一周,在旋转的过程中,若直线 ON 恰好平分∠AOC,则此 时三角板绕点 O 旋转的时间是　 　 　 　 秒. 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 x= 23,即该用户 11 月份用水 23 立方米; (3)20×3 = 60>54,所以水表 12 月份出故障时收 费按没有超过 20m3 计算,设 12 月份实际用水量 为 xm3,根据题意列方程得 x(1-25%) ×3 = 54,解 得 x= 24,20×3+(24-20) ×(3. 05+0. 8+0. 15)= 76 (元) . 即该用户 12 月份实际应该缴纳水费 76 元. 14. 解:(1)设当学校购买 x 个足球时去两个商场付 款一样多,根据题意列方程得 0. 9×80x = 20×80+ 0. 8×80(x- 20),解得 x= 40. 故购买 40 个时去两 个商场付款一样多; (2)第一次购买 30 个时,若去甲商场购买需要付 款 0. 9×30×80 = 2 160(元);若去乙商场购买需要 付款 80×[20+0. 8×(30-20)] = 2 240 (元) . 第二 次购买足球个数为 30×2-10 = 50(个),若去甲商 场购买需要付款 0. 9×50×80 = 3 600(元);若去乙 商场购买需要付款 80 × [ 20 + 0. 8 × ( 50 - 20)] = 3 520 (元),2160<2240,3520<3600,2 160+3 520 = 5 680 (元),综上所述,购买划算的方案为:第 一次去甲商场购买,第二次去乙商场购买,总共 付款 5 680 元. 追梦专项总结突破卷(四) 线段与角的相关计算 1. 解:(1)6 (2)①< ②因为 AD= 10,BC = 8,所以 AB+CD = AD-BC = 2. 因为 M 是 AB 的中点,N 是 CD 的中点,所以 BM = 1 2 AB,CN= 1 2 CD,所以 BM+CN = 1 2 (AB+CD) = 1 2 ×2 = 1. 所以 MN=BM+CN+BC= 9. 2. 解:(1)因为 D 是线段 BC 的中点,CD = 3cm,所以 BC= 2CD= 6cm. 因为 BC = 3AB,所以 AB = 1 3 BC = 2cm,所以 AC=AB+BC= 2+6 = 8(cm) . (2)因为 E 是 AC 的中点,所以 EC= 1 2 AC= 4cm,所 以 ED=EC-DC= 4-3 = 1(cm) . 3. 解:(1)当 t= 1 时,由题意,得 BD = 2cm,PC = 1cm, 则 BD= 2PC. 因为 PD= 2AC,所以 BD+PD= 2(PC+ AC),即 PB= 2AP. 因为 AB = 12cm,AB = AP+PB,所 以 12 = 3AP,则 AP= 4cm; (2)根据 C、D 的运动速度知:BD = 2PC,因为 PD = 2AC,所以 BD+PD= 2(PC+AC),即 PB = 2AP. 因为 AB= 12cm,所以 AP= 4cm; (3)当点 Q 在线段 AB 上时,因为 AQ-BQ =PQ,所 以 AQ=PQ+BQ. 因为 AQ = AP+PQ,所以 AP = BQ. 又因为 PB= 2AP,所以 PQ= 1 3 AB = 4cm;当点 Q 在 AB 的延长线上时,AQ-BQ = PQ = AB = 12cm. 综上 所述,PQ= 4cm 或 12cm. 4. 解:(1)当 DP = 2PE 时,DP = 2 3 DE = 10cm;当 2DP =PE 时,DP = 1 3 DE = 5cm. 综上所述:DP 的长为 5cm 或 10cm. (2)①根据题意,得(1+2) t= 15,解得 t= 5. ②(I)点 P、Q 重合前,AP= t,PQ= 15-t-2t= 15-3t, 当 2AP = PQ 时,有 2t = 15 - 3t, 解得 t = 3; 当 A P= 2PQ 时,有 t= 2(15-3t),解得 t= 30 7 ; (II)点 P、Q 重合后,AP = t,PQ = (2-1) ( t-5) = t- 5,当 AP = 2PQ 时,有 t = 2 ( t- 5),解得 t = 10;当 2AP=PQ 时,有 2t= t-5,解得 t = -5(不合题意,舍 去) . 综上所述:当 t= 3 秒、30 7 秒或 10 秒时,点 P 是 线段 AQ 的三等分点. 5. 解:(1)因为 |m-4 | +(n-8) 2 = 0,所以 m-4 = 0,n-8 = 0,所以 m= 4,n= 8,所以 AB= 4,CD= 8; (2)设运动后 M 的对应点为 M′,N 的对应点为 N′. 由题意可得 BM = 2,CN = 4,M′N′ = 4. 若 6 秒 后,点M′在点 N′左边时,由MN+NN′=MM′+M′N′, 即 2+4+BC+6×1 = 6×4+4,解得 BC= 16;若 6 秒后, 点 M′在点 N′右边时,则 MM′=MN+NN′+M′N′,即 6×4 = 2+BC+4+6×1+4,解得 BC = 8. 综上,BC = 16 或 8; (3)运动 t 秒后 MN = | 30-4t | ,AD = | 36-4t | ,当 0 ≤t<7. 5 时,MN+AD = 66-8t,当 7. 5≤t≤9 时,MN +AD= 6,当 t>9 时,MN+AD= 8t-66,所以当 7. 5≤t ≤9 时,MN+AD 为定值,定值为 6. 6. 解:(1) 因为 OM,ON 分别是∠AOC,∠BOD 的平 分线,所以∠MOC = 1 2 ∠AOC,∠NOD = 1 2 ∠BOD, 所以∠MON = 1 2 ( ∠AOC+∠BOD) +∠COD = 1 2 × (180°-∠COD) +∠COD= 130°; (2) ∠DOM = ∠CON, 理由如下: 因为 ∠MOC = 1 2 ∠AOC,∠NOD = 1 2 ∠BOD,∠AOC = ∠BOD,所 以∠MOC = ∠NOD,所以∠MON-∠NOD = ∠MON -∠MOC,所以∠DOM= ∠CON. 7. 解:(1)40°　 20° (2) ① 2 ∠DOE = ∠AOC. 理由: 因为 OE 平分 ∠BOC,所以∠BOC= 2∠COE,所以∠AOC-∠AOB = 2(∠DOE-∠COD) . 因为∠AOB= 120°,∠COD= 60°,所以∠AOC- 120° = 2(∠DOE-60°),化简得 2∠DOE= ∠AOC. ②∠DOE-∠AOF = 30°,理由如下:因为∠AOC = ∠AOB+∠BOC,∠BOC= 2∠BOE,∠AOC+2∠BOE = 4∠AOF,所以 4 ∠AOF = ∠AOB+ 4 ∠BOE. 因为 ∠DOE= ∠COD+ ∠COE,∠COE = ∠BOE,所以 4 ∠DOE= 4∠COD+4∠BOE,所以 4∠DOE-4∠AOF = 4 ∠COD - ∠AOB. 因为∠AOB = 120°, ∠COD = 60°,所以 4∠DOE-4∠AOF= 120°,所以 ∠DOE - ∠AOF= 30°. 追梦之旅铺路卷·七年级上·云南 ZBR·数学　 第 21 页 8. 解:( 1) 因为∠EOD = 140°,OA 平分∠EOD,所以 ∠AOE=∠AOD= 70°. 因为∠BOD= 90°,所以∠AOB = 90°-70°= 20°,所以∠EOB= 70°-20°= 50°; (2)因为∠BOD = 90°,所以∠AOD = 90° -α. 因为 OF 平分∠AOD,所以∠AOF = 1 2 ∠AOD = 1 2 (90°- α) . 因为∠AOC = 180° -α,OG 平分∠AOC,所以 ∠AOG= 1 2 ∠AOC = 1 2 ( 180° - α),所以 ∠FOG = ∠AOG-∠AOF= 1 2 (180°-α) - 1 2 (90°-α)= 45°; (3)∠MON 的度数为 α 或 180°-α. 　 【解析】因为 ∠AOM 与∠AOB 互余,∠BON 与∠AOB 互余,所 以∠AOM= 90°-α,∠BON= 90°-α,则∠MON = 90° -(90°-α)= α 或∠MON= 90°+(90°-α)= 180°-α. 9. 解:(1)120　 30 (2)∠AOM-∠NOC= 30°. 理由如下:因为∠BOC = 120°,所以∠AOC= 60°,所以∠AON= 60°-∠NOC. 又因为∠AOM+∠AON = 90°,所以∠AOM+(60° - ∠NOC)= 90°,即∠AOM-∠NOC= 30°. (3)6 或 24 追梦期末达标测试卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B A C D B D A C C 11 12 13 14 15 A C B C D 1. D　 2. B　 3. A　 4. C 5. D　 【解析】A. 0 是单项式,错误;B. -3πx5 的系数 是-3π,次数是 5,错误;C. 不是整式,故不是二次 单项式,错误. 故选 D. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　归纳总结: 单项式的次数与系数的定义,单项式中 的数字因数叫做这个单项式的系数,一个单项式 中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数; 在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,单项式 中的最高次数,就是这个多项式的次数,以及多项 式和单项式统称为整式. 6. B 7. D 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　方法点拨: 利用路程=速度×时间,结合 x 天快马比 慢马多走的路程为慢马 12 天走的路程,即可得出 关于 x 的一元一次方程,此题得解. 8. A　 【解析】由数轴得,a<0<b, | a | > | b | ,∴ ①正确; ②a+b<0,正确;③a<-b<0<b<-a,正确;④ | a-b | = b-a,正确;⑤-a-b>0,正确. 其中正确的有 5 个. 故 选 A. 9. C　 【解析】A. 3a 与 6b 不是同类项,不能合并;B. 3y2 -2y2 = y2≠1;C. -3xy+xy=(-3+1)xy= -2xy;D. -2(m-1)= -2m+2≠-2m-2. 故选 C. 10. C　 【解析】A. 若 a= b,则 a-3 = b-3,错误;B. 若 x = y,当 a= 0 时, x a 和 y a 无意义,错误;C. 若 a = b, 则 ac= bc,正确;D. 若 b a = d c ,如果 a≠c,则 b≠d, 错误. 故选 C. 11. A　 【解析】由同类项的定义,得 3m = 6,n = 2,即 m= 2,n= 2. 当 m= 2,n= 2 时,9m2 -5mn-17 = 9×22 -5×2×2-17 = -1. 故选 A. 12. C　 【解析】4x-2 = -6,解得 x = -1;把 x = -1 代入 3-2(2x+k)= 8,解得 k= - 1 2 . 故选 C. 13. B　 14. C　 【解析】第 1 个图形有 3×1+1 = 4 个六边形,第 2 个图形有 3×2+1 = 7 个六边形,第 3 个图形有 3 ×3+1 = 10 个六边形,…,所以可以发现规律第 n 个图形有(3n+1)个六边形,所以第 2024 个图案 中六边形的个数是 3×2024+1 = 6073. 故选 C. 15. D　 【解析】运动 4s 后,AP= 2×4 = 8(cm),PB =AB -AP= 16(cm),因为 M 为 AP 的中点,所以 AM = 1 2 AP= 4cm,所以 4AM = PB,故①错误;设运动 t 秒,则 AP= 2tcm,PB = (24-2t) cm(0≤t<12),因 为 M 为 AP 的中点,N 为 BP 的中点,所以 AM = PM= 1 2 AP = t,PN = BN = 1 2 PB = 12- t,所以 PM+ MN=PM+PM+PN = (12+t) cm,所以 PM+MN 的 值随着运动时间的改变而改变,故②正确;因为 BM=AB-AM=(24-t)cm,PB = (24-2t)cm(0≤t< 12),所以 2BM -BP = 2 (24 - t) - (24 - 2t) = 24 (cm),所以 2BM-BP 的值不变,故③正确;因为 AN=AP+PN = 2t+(12-t)= (12+t) cm,PM = tcm, 所以 12+t= 6t,解得 t= 12 5 = 2. 4s,故④正确. 综上, 正确的是②③④. 故选 D. 16. 8×106 17. -1　 【解析】因为 2x-3y = 3,所以 4x-6y = 6,所以 -4x+6y= -6,所以 5-4x+6y= 5+(-6)= -1. 18. -6　 【解析】kx -1 3 = 1-x +1 2 ,解得 x = 5 2k+3 ,因为关 于 x 的方程kx -1 3 = 1-x +1 2 的解为整数,k 为整数, 所以 2k+3 = 5 或 2k+3 = -5 或 2k+3 = 1 或 2k+3 = -1,解得 k = 1 或 - 4 或 - 1 或 - 2,所以和为 1 + (-4)+(-1)+(-2)= -6. 19. 1 2n α 　 【解析】因为 OA1、OB1 分别是∠AOM 和 ∠MOB 的平分线,所以∠A1OB1 = 1 2 α;因为 OA2、 OB2 分别是∠A1OM 和∠MOB1 的平分线,所以 ∠A2OB2 = 1 2 ∠A1OB1 = 1 2 × 1 2 α = 1 22 α;因为 OA3、 OB3 分别是∠A2OM 和∠MOB2 的平分线,所以 ∠A3OB3 = 1 2 ∠A2OB2 = 1 2 × 1 22 α = 1 23 α;…,因为 追梦之旅铺路卷·七年级上·云南 ZBR·数学　 第 22 页