追梦专项总结突破卷(三)一元一次方程-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年新教材七年级上册数学（人教版2024，云南专版）

51　 追梦专项总结突破卷(三) 一元一次方程 题型 1　 解一元一次方程 1. 解方程: (1)9-2(x+3)= x-(3+6x);　 (2) x 0. 7 -0. 17-0. 2x 0. 03 = 1. 题型 2　 用“整体思想”解一元一次方程 2. 数学思想·整体思想 数学李老师让同学们解方程 1 3 (10-2x)= 6 - 4 3 (2x-10) . 小亮认为“方程两边有分母,应该先去分母”,小颖 认为“方程中有 10-2x 及 2x-10,且互为相反数,应该用整体思 想求解” . 请你分别用小亮、小颖的方法求解该方程. 题型 3　 用新定义解一元一次方程 3. 新定义 对于两个有理数 a,b,定义新运算:a◇b = a +b+ | a-b | 2 . 若(x+3)◇x= -1,则 x 的值为　 　 　 　 . 题型 4　 与一元一次方程有关的参数问题 类型 1　 同解(互为相反数)问题 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　 　 解决一元一次方程有关的同解(互为相反数)问题时, 一般将参数看成已知数,用含参数的式子表示出方程的解, 再根据两个方程的解的关系,建立以参数为未知数的方程, 求出参数的值. 4. 若关于 x 的方程 x 2 +m 3 = x-4 与方程x -6 2 = -6 的解相同,则 m 的 值为　 　 　 　 . 5. 方程 2(x-1) -3(x+1) = 0 的解与关于 x 的方程k +x 2 -3k-2 = 2x 的解互为相反数,则 k 的值为　 　 　 　 . 类型 2　 错解问题 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　 　 解决一元一次方程有关的错解问题时,一般先根据题 意写出错解的方程,将所得的解代入该方程,解得参数的 值,将参数的值代入原方程,可求出原方程的解. 6. 小明解关于 y 的一元一次方程 3(y+a)= 2y+4,在去括号时,将 a 漏 乘了 3,得到方程的解是 y=3,请你求出 a 的值及方程的正确的解. 题型 5　 绝对值方程 7. 学习情境·阅读理解 阅读材料: 由绝对值的意义可知:当 a≥0 时, | a | = 　 　 　 　 ;当 a<0 时, | a | = 　 　 　 　 . 利用这一特性,可以帮助我们解含有绝对值的 方程. 比如:方程 | x-2 | = 3, 当 x-2≥0 时,原方程可化为 x-2 = 3,解得 x= 5; 当 x-2<0 时,原方程可化为 x-2 = -3,解得 x= -1. 所以原方程的解是 x= 5 或 x= -1. (1)请补全题目中横线上的结论; (2)仿照上面的例题,解方程: | 3x+1 | -5 = 0; (3)若方程 |x-1| =m有解,则m应满足的条件是　 　 　 　 . 题型 6　 一元一次方程的应用题 8. 文化情境·数学文化 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一 首古算诗:“林下牧童闹如簇,不知人数不知竹. 每人六竿多十四, 每人八竿恰齐足. ”其大意是:牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩 耍,不知有多少人和竹竿. 每人 6 竿,多 14 竿;每人 8 竿,恰好用 完.若设牧童有 x 人,根据题意可列方程为(　 　 ) A. 6x+14 = 8x　 　 　 　 　 　 B. 6(x+14)= 8x C. 8x+14 = 6x D. 8(x-14)= 6x 9. 某商场从厂家购进了 A、B 两种品牌的运动裤共 100 条,已知购 买 B 品牌运动裤比购买 A 品牌运动裤多花 6 000 元,其中 A 品 牌运动裤每条进价是 150 元,B 品牌运动裤每条进价是 200 元. (1)求购进 A、B 两种品牌运动裤各多少条? (2)在销售过程中,A 品牌运动裤每条售价是 230 元,很快全部 售出;B 品牌运动裤每条按进价加价 100%销售,售出一部分后, 出现滞销,商场决定打七折出售剩余的 B 品牌运动裤,两种品牌 运动裤全部售出后共获利 14 000 元,有多少条 B 品牌运动裤打 七折出售? 52　 10. 生活情境·日历问题 (1)如图 1 是某年的 9 月份日历,用 1×3 的长方形框出 3 个数. 如果任意圈出一横行左右相邻的三个 数,设最小的数为 x,用含 x 的式子表示这三个数的和为 　 　 　 　 ;如果任意圈出一竖列上下相邻的三个数,设最小的 数为 y,用含 y 的式子表示这三个数的和为　 　 　 　 ; (2)如图 2,用一个 2×2 的正方形框出 4 个数,是否存在被框住 的 4 个数的和为 96? 如果存在,请求出这四个数中的最小的 数字;如果不存在,请说明理由; (3)如图 2,用一个 3×3 的正方形框出 9 个数,在框出的 9 个数 中,记前两行共 6 个数的和为 a1,最后一行 3 个数的和为 a2 . 若 | a1 -a2 | = 6,请求出正方形框中位于最中心的数字 m 的值. 图 1 　 　 图 2 11. 生产劳动情境·制作零件 某工厂车间有 60 名工人生产 A 零件 和 B 零件,每人每天可生产 A 零件 15 个或 B 零件 20 个(每人 每天只能生产一种零件),一个 A 零件配两个 B 零件,且每天 生产的 A 零件和 B 零件恰好配套. 工厂将零件批发给商场时, 每个 A 零件可获利 10 元,每个 B 零件可获利 5 元. (1)求该工厂有多少名工人生产 A 零件? (2)因市场需求,该工厂每天要多生产出一部分 A 零件供商场 零售使用,现从生产 B 零件的工人中调出多少名工人生产 A 零件,才能使每日生产的零件总获利比调动前多 600 元? 12. 数学思想·数形结合 已知数轴上的原点为 O,A、B、C 三点对应 的数分别为-16,8 和 12,动点 P 从点 A 出发,以每秒 2 个单位 长度的速度沿数轴正方向运动,同时,动点 Q 从点 C 出发,以 每秒 1 个单位长度的速度沿数轴负方向运动,设点 P 的运动时 间为 t 秒. (1)线段 AB 的长为　 　 　 　 ,线段 AC 的长为　 　 　 　 ; (2)当点 P 运动到与点 A、B 距离相等时,求点 P 表示的数; (3)当 P、Q 两点相遇时,求 t 的值; (4)当 PO+QB= 10 时,直接写出 t 的值. 13. 生活情境·阶梯水费 某市自来水公司为了鼓励居民节约用水, 规定按以下标准收取水费: 用水量 / 月 单价(元 / m3) 不超过 20 m3 2. 05 超过 20 m3 的部分 3. 05 另:每立方米用水加收 0. 8 元的城市污 水处理费和 0. 15 元的城市附加费 (1)根据上表,用水量每月不超过 20 m3,实际每立方米收水费 　 　 　 　 元;如果 10 月份某用户用水量为 15 m3,那么该用户 10 月份应该缴纳水费 　 　 　 　 元; (2)某用户 11 月份共缴纳水费 72 元,那么该用户 11 月份用水 多少立方米? (3)若该用户水表 12 月份出了故障,有 25%的水量没有计入 水表中,这样该用户在 12 月份只缴纳了 54 元水费,问该用户 12 月份实际应该缴纳水费多少元? 14. 为了响应“足球进校园”的号召,发展校园足球运动,某中学决 定增购一批足球,市场调查发现,甲、乙两个商场均以 80 元 /个 的价格出售同样品牌的足球,为了招揽生意,甲商场给出的优 惠方案是:“购买一律九折”,乙商场给出的优惠方案是:“超出 20 个,超出部分打八折” . (1)若学校购买足球超过 20 个,则购买多少个时去两个商场 付款一样多? (2)若第一次购买 30 个,第二次比第一次的 2 倍少 10 个,请你 帮学校设计一个方案,怎样购买比较划算? = 0,所以 a= 2b. 4. A　 5. A 6. D　 【解析】观察图形,可知第 1 个图案由 4 个基础 图形组成,即 4 = 1×3+1,第 2 个图案由 7 个基础图 形组成,即 7 = 2×3+1,第 3 个图案由 10 个基础图 形组成,即 10 = 3×3+1,……,第 n 个图案的基础图 形的个数为:3n+1. 所以第 2025 个图案的基础图 形的个数为:3×2025+1 = 6076. 故选 D. 7. 解:(1) -3　 -1　 3 (2)3t+2　 2t+4 (3)3BC- 2AB 的值不变. 3BC - 2AB = 3 ( 2t + 4) - 2(3t+2)= 6t+12-6t-4 = 8. 追梦专项总结突破卷(三) 一元一次方程 1. 解:(1)去括号,得 9-2x-6 = x-3-6x. 移项,得-2x- x+6x= -3-9+6. 合并同类项,得 3x = -6. 系数化为 1,得 x= -2; (2)整理,得10x 7 -17-20x 3 = 1. 去分母,得 30x-7(17 -20x)= 21. 去括号,得 30x-119+140x = 21. 移项、 合并同类项,得 170x= 140. 系数化为 1,得 x= 14 17 . 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　方法点拨: 当方程的分数中含有小数时,要先把小 数变成整数(在此过程中同一个分数的分子、分母 中所有的项都要同时乘同一个数),然后再按照解 一元一次方程的步骤进行解答. 2. 解:小亮:去分母,得 10-2x = 18-4(2x-10) . 去括 号,得 10-2x= 18-8x+40. 移项,得-2x+8x = 18+40 -10. 合并同类项,得 6x= 48. 系数化为 1,得 x= 8; 小颖:将(10-2x)及(2x-10)看成一个整体,移项, 得 1 3 (10-2x) + 4 3 (2x-10)= 6,即- 1 3 (2x-10) + 4 3 (2x-10)= 6. 合并同类项,得 2x-10 = 6. 移项、合并 同类项,得 2x= 16. 系数化为 1,得 x= 8. 3. -4　 【解析】由题意,得x +3+x+ | x+3-x | 2 = -1,所以 2x+3+3 2 = -1,所以 2x= -8,所以 x= -4. 4. -21　 【解析】解方程x -6 2 = -6,得 x = -6,解方程 x 2 +m 3 = x-4,得 x= 2m +24 3 ,由题意得,-6 = 2m +24 3 ,解 得 m= -21. 5. -19 5 　 【解析】解方程 2(x-1) -3(x+1)= 0,得 x = -5,解方程k +x 2 -3k-2 = 2x,得 x = -5k-4 3 ,因为两个 方程的解互为相反数,所以方程k +x 2 -3k-2 = 2x 的 解为 x= 5,所以 -5k-4 3 = 5,解得 k= -19 5 . 6. 解:由题意,得 3y+a= 2y+4. 即 y = 4-a. 因为 y = 3, 所以 4-a= 3,解得 a= 1. 则由关于 y 的一元一次方 程 3(y+a)= 2y+4,得 3(y+1) = 2y+4,解得 y = 1. 综上所述,a 的值是 1,方程的正确的解是 y= 1. 7. 解:(1)a　 -a (2)原方程化为 | 3x+1 | = 5,当 3x+1≥0 时,方程可 化为 3x+1 = 5,解得 x= 4 3 ;当 3x+1<0 时,方程可化 为 3x+1 = -5,解得 x= -2,所以原方程的解是 x= 4 3 或 x= -2; (3)m≥0 8. A 9. 解:(1)设购进 A 品牌运动裤 x 条,则购进 B 品牌 运动裤(100-x)条. 根据题意,得 200×(100-x) - 150x= 6 000,解得 x = 40. 所以 100-x = 60. 即购进 A 品牌运动裤 40 条,购进 B 品牌运动裤 60 条; (2)设有 y 条 B 品牌运动裤打七折出售,B 品牌运 动裤每条按进价加价 100%后的售价为 200×(1+ 100%)= 400(元) . 根据题意,得(230-150) ×40+ (400-200) ×(60-y) +(400×70%-200)y = 14 000. 解得 y= 10. 即有 10 条 B 品牌运动裤打七折出售. 10. 解:(1)3x+3　 3y+21 (2)存在. 设所框出的四个数最小的一个为 a,则 另外三个分别是:(a+1)、(a+7)、(a+8),则 a+ (a+1) +(a+7) +(a+8) = 96,解得 a = 20,故存在 被框住的 4 个数的和为 96,这四个数中的最小的 数字为 20; (3)根据题意得,a1 =m+(m-1) +(m+1) +(m-7) +(m-6) +(m-8)= 6m-21,a2 = (m+7) +(m+6) + (m + 8 ) = 3m + 21, 因 为 | a1 - a2 | = 6, 所 以 | (6m-21) -(3m+21) | = 6,即 | 3m-42 | = 6,解得 m= 12(不符合题意,舍去)或 m = 16,所以正方形 框中位于最中心的数字 m 的值为 16. 11. 解:(1)设该工厂有 x 名工人生产 A 零件,则生产 B 零件的工人有(60-x)名. 根据题意得 2×15x = 20(60-x),解得 x = 24,即该工厂有 24 名工人生 产 A 零件; (2)由(1)知:生产 B 零件的工人原有 60-24 = 36 (名),设从生产 B 零件的工人中调出 y 名工人生 产 A 零件.依题意可得(24+y)×15×10+(36-y)×20 ×5-(24×15×10+36×20×5)= 600,解得 y = 12,即从 生产 B 零件的工人中调出 12 名工人生产 A 零件. 12. 解:(1) 24　 28 (2)设点 P 表示的数为 x,则 x-( -16) = 8-x,解 得 x= -4,即点 P 表示的数为-4; (3)由题意得:2t+t= 28,解得 t= 28 3 ; (4) t= 10 3 或 10. 13. 解:(1)3　 45 (2)20 × 3 = 60 < 72,所以 11 月份用水量超过了 20m3,设 11 月份用水量为 xm3,根据题意列方程 得,20×3+(x-20) ×(3. 05+0. 8+0. 15) = 72,解得 追梦之旅铺路卷·七年级上·云南 ZBR·数学　 第 20 页 x= 23,即该用户 11 月份用水 23 立方米; (3)20×3 = 60>54,所以水表 12 月份出故障时收 费按没有超过 20m3 计算,设 12 月份实际用水量 为 xm3,根据题意列方程得 x(1-25%) ×3 = 54,解 得 x= 24,20×3+(24-20) ×(3. 05+0. 8+0. 15)= 76 (元) . 即该用户 12 月份实际应该缴纳水费 76 元. 14. 解:(1)设当学校购买 x 个足球时去两个商场付 款一样多,根据题意列方程得 0. 9×80x = 20×80+ 0. 8×80(x- 20),解得 x= 40. 故购买 40 个时去两 个商场付款一样多; (2)第一次购买 30 个时,若去甲商场购买需要付 款 0. 9×30×80 = 2 160(元);若去乙商场购买需要 付款 80×[20+0. 8×(30-20)] = 2 240 (元) . 第二 次购买足球个数为 30×2-10 = 50(个),若去甲商 场购买需要付款 0. 9×50×80 = 3 600(元);若去乙 商场购买需要付款 80 × [ 20 + 0. 8 × ( 50 - 20)] = 3 520 (元),2160<2240,3520<3600,2 160+3 520 = 5 680 (元),综上所述,购买划算的方案为:第 一次去甲商场购买,第二次去乙商场购买,总共 付款 5 680 元. 追梦专项总结突破卷(四) 线段与角的相关计算 1. 解:(1)6 (2)①< ②因为 AD= 10,BC = 8,所以 AB+CD = AD-BC = 2. 因为 M 是 AB 的中点,N 是 CD 的中点,所以 BM = 1 2 AB,CN= 1 2 CD,所以 BM+CN = 1 2 (AB+CD) = 1 2 ×2 = 1. 所以 MN=BM+CN+BC= 9. 2. 解:(1)因为 D 是线段 BC 的中点,CD = 3cm,所以 BC= 2CD= 6cm. 因为 BC = 3AB,所以 AB = 1 3 BC = 2cm,所以 AC=AB+BC= 2+6 = 8(cm) . (2)因为 E 是 AC 的中点,所以 EC= 1 2 AC= 4cm,所 以 ED=EC-DC= 4-3 = 1(cm) . 3. 解:(1)当 t= 1 时,由题意,得 BD = 2cm,PC = 1cm, 则 BD= 2PC. 因为 PD= 2AC,所以 BD+PD= 2(PC+ AC),即 PB= 2AP. 因为 AB = 12cm,AB = AP+PB,所 以 12 = 3AP,则 AP= 4cm; (2)根据 C、D 的运动速度知:BD = 2PC,因为 PD = 2AC,所以 BD+PD= 2(PC+AC),即 PB = 2AP. 因为 AB= 12cm,所以 AP= 4cm; (3)当点 Q 在线段 AB 上时,因为 AQ-BQ =PQ,所 以 AQ=PQ+BQ. 因为 AQ = AP+PQ,所以 AP = BQ. 又因为 PB= 2AP,所以 PQ= 1 3 AB = 4cm;当点 Q 在 AB 的延长线上时,AQ-BQ = PQ = AB = 12cm. 综上 所述,PQ= 4cm 或 12cm. 4. 解:(1)当 DP = 2PE 时,DP = 2 3 DE = 10cm;当 2DP =PE 时,DP = 1 3 DE = 5cm. 综上所述:DP 的长为 5cm 或 10cm. (2)①根据题意,得(1+2) t= 15,解得 t= 5. ②(I)点 P、Q 重合前,AP= t,PQ= 15-t-2t= 15-3t, 当 2AP = PQ 时,有 2t = 15 - 3t, 解得 t = 3; 当 A P= 2PQ 时,有 t= 2(15-3t),解得 t= 30 7 ; (II)点 P、Q 重合后,AP = t,PQ = (2-1) ( t-5) = t- 5,当 AP = 2PQ 时,有 t = 2 ( t- 5),解得 t = 10;当 2AP=PQ 时,有 2t= t-5,解得 t = -5(不合题意,舍 去) . 综上所述:当 t= 3 秒、30 7 秒或 10 秒时,点 P 是 线段 AQ 的三等分点. 5. 解:(1)因为 |m-4 | +(n-8) 2 = 0,所以 m-4 = 0,n-8 = 0,所以 m= 4,n= 8,所以 AB= 4,CD= 8; (2)设运动后 M 的对应点为 M′,N 的对应点为 N′. 由题意可得 BM = 2,CN = 4,M′N′ = 4. 若 6 秒 后,点M′在点 N′左边时,由MN+NN′=MM′+M′N′, 即 2+4+BC+6×1 = 6×4+4,解得 BC= 16;若 6 秒后, 点 M′在点 N′右边时,则 MM′=MN+NN′+M′N′,即 6×4 = 2+BC+4+6×1+4,解得 BC = 8. 综上,BC = 16 或 8; (3)运动 t 秒后 MN = | 30-4t | ,AD = | 36-4t | ,当 0 ≤t<7. 5 时,MN+AD = 66-8t,当 7. 5≤t≤9 时,MN +AD= 6,当 t>9 时,MN+AD= 8t-66,所以当 7. 5≤t ≤9 时,MN+AD 为定值,定值为 6. 6. 解:(1) 因为 OM,ON 分别是∠AOC,∠BOD 的平 分线,所以∠MOC = 1 2 ∠AOC,∠NOD = 1 2 ∠BOD, 所以∠MON = 1 2 ( ∠AOC+∠BOD) +∠COD = 1 2 × (180°-∠COD) +∠COD= 130°; (2) ∠DOM = ∠CON, 理由如下: 因为 ∠MOC = 1 2 ∠AOC,∠NOD = 1 2 ∠BOD,∠AOC = ∠BOD,所 以∠MOC = ∠NOD,所以∠MON-∠NOD = ∠MON -∠MOC,所以∠DOM= ∠CON. 7. 解:(1)40°　 20° (2) ① 2 ∠DOE = ∠AOC. 理由: 因为 OE 平分 ∠BOC,所以∠BOC= 2∠COE,所以∠AOC-∠AOB = 2(∠DOE-∠COD) . 因为∠AOB= 120°,∠COD= 60°,所以∠AOC- 120° = 2(∠DOE-60°),化简得 2∠DOE= ∠AOC. ②∠DOE-∠AOF = 30°,理由如下:因为∠AOC = ∠AOB+∠BOC,∠BOC= 2∠BOE,∠AOC+2∠BOE = 4∠AOF,所以 4 ∠AOF = ∠AOB+ 4 ∠BOE. 因为 ∠DOE= ∠COD+ ∠COE,∠COE = ∠BOE,所以 4 ∠DOE= 4∠COD+4∠BOE,所以 4∠DOE-4∠AOF = 4 ∠COD - ∠AOB. 因为∠AOB = 120°, ∠COD = 60°,所以 4∠DOE-4∠AOF= 120°,所以 ∠DOE - ∠AOF= 30°. 追梦之旅铺路卷·七年级上·云南 ZBR·数学　 第 21 页