追梦专项总结突破卷(一)有理数的相关计算&(二)整式的加减-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年新教材七年级上册数学（人教版2024，云南专版）

49　 追梦专项总结突破卷(一) 有理数的相关计算 题型 1　 与有理数概念有关的计算问题 1. 已知 a,b 互为相反数,c,d 互为倒数,m 是绝对值等于 3 的负数, 则 m2 +(cd+a+b) ×m+(cd) 2 025 的值为　 　 　 　 . 2. a,b 互为相反数,c,d 互为倒数, | m | = 2,试求:a +b abm - cdm+m2 的值. 题型 2　 与有理数非负性有关的计算 3. 已知: | a+2 | +(b+1) 2 取最小值,则 ab+ a b = 　 　 　 　 . 4. 如果(a+1) 2 +(2b+3) 2 + | c-1 | = 0,那么ab 3c +a-c b 的值是多少? 题型 3　 与程序、新定义有关的计算 5. 学习情境·程序框图 按如图所示的程序输入-2 进行计算,请写 出输出结果(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 新定义 观察下列两个等式:2- 1 3 = 2× 1 3 +1,5- 2 3 = 5× 2 3 +1. 给 出定义如下:我们称使等式 a-b = ab+1 成立的一对有理数“a, b”为“共生有理数对”,记为(a,b),如:数对(2, 1 3 ),(5, 2 3 )都是 “共生有理数对” . (1)通过计算判断数对(1,2)是不是“共生有理数对”; (2)若(m,n)是“共生有理数对”,则( -n,-m)　 　 　 　 “共生有 理数对”(填“是”或“不是”); (3)如果(m,n) 是“共生有理数对”,且 m - n = 4,求( - 5)mn 的值. 题型 4　 与规律有关的计算 7. 学科素养·推理能力 观察下列算式:21 = 2,22 = 4,23 = 8,24 = 16, 25 = 32,26 = 64,27 = 128,28 = 256,……,根据上述算式中的规律, 你认为 22025 的末位数字是(　 　 ) A. 2 B. 4 C. 8 D. 6 8. 学科素养·推理能力 符号“ f” 表示一种运算,运算规律如下: f(1)= 1- 1 2 , f ( 2) = 1 - 1 3 , f ( 3) = 1 - 1 4 , f ( 4) = 1 - 1 5 , …,则 f(1)·f(2)·f(3)…f(100)= (　 　 ) A. 50 101 B. 1 100 C. 100 101 D. 1 101 题型 5　 与运算法则和运算律有关的混合运算 9. 利用运算律简便运算: (1)( + 1 5 ) +( -2 1 3 ) -( -2 4 5 ) -( +3 2 3 ); (2) -3. 61×0. 75+0. 61× 3 4 +( -0. 2) ×75%. 题型 6　 与数轴有关的动点问题 10. 数学思想·数形结合 如图,直径为 1 个单位的圆片上有一点 A 与数轴上的原点重合,AB 是圆片的直径. (1)把圆片沿数轴向右滚动 1 周,点 A 到达数轴上点 C 的位 置,点 C 表示的数是　 　 　 　 ; (2)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数,圆片在数轴上向 左滚动的周数记为负数,依次运动情况记录如下:+2,-1,+3, -4,-3. ①第几次滚动后,A 点距离原点最近? ②当圆片结束运动时,A 点运动的路程共有多少? 此时点 A 所 表示的数是多少? 50　 追梦专项总结突破卷(二) 整式的加减 题型 1　 整式的化简及求值 1. 学习情境·错解问题 有这样一道题:“求(2x3 -3x2y-2xy2 ) -(x3 - 2xy2 +y3) +( -x3 +3x2y-y3 )的值,其中 x = - 1 2 ,y = -1”,小马虎把 “x= - 1 2 ”错抄成“x = 1 2 ”,但他计算的结果却是正确的,你觉得 可能吗? 请用具体过程说明理由. 2. 科技情境·航空航天 神舟十八号载人飞船成功发射. 结合这么 具有纪念意义的历史时刻,王老师给出一个新定义:A,B 是两个 整式,如果 2A+3B= 124,那么 A 叫作 B 的“神舟式” . (1)若 A= -3x+5,B = -5x-4,当 x = -6 时,求 A,B 的值,请你判 断此时 A 是否为 B 的“神舟式”; (2)若 A= -x2 -3x+5,A 是 B 的“神舟式”,求整式 B; (3)若 A= 1 3 (2x+ 2),B = 1 2 (3x+ 4),A 是 B 的“神舟式”,求 x 的值. 题型 2　 整式加减中的无关型问题 3. 学习代数式求值时,遇到这样一类题“代数式 ax-y+6+3x-5y-1 的值与 x 的取值无关,求 a 的值”,通常的解题方法是:把 x,y 看 作字母,a 看作系数,合并同类项,因为代数式的值与 x 的取值 无关,所以含 x 项的系数为 0,即原式= (a+3)x-6y+5,所以 a+3 = 0,则 a= -3. (1)若关于 x 的多项式(2x- 3)m+ 2m2 - 3x 的值与 x 的取值无 关,求 m 值; (2)已知 A= (2x2 -x-1) -(x-3xy),B= -x2 +xy-1,且 3A+6B 的值 与 x 的取值无关,求 y 的值; 【能力提升】 (3)7 张如图 1 的小长方形,长为 a,宽为 b,按照图 2 方式不重 叠地放在大长方形 ABCD 内,大长方形中未被覆盖的两个部分 (图中阴影部分),设右上角的面积为 S1,左下角的面积为 S2,当 AB 的长变化时,S1 -S2 的值始终保持不变,求 a 与 b 的等量 关系. 图 1 　 　 图 2 题型 3　 整式中的规律 4. 按一定规律排列的单项式:a2,-4a3,9a4,-16a5,25a6,……,第 n 个单项式是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. ( -1) n+1n2an+1 B. ( -1) nn2an+1 C. ( -1) n+1n2an D. ( -1) nn2an 5. 下列图形是按照一定规律画出的. 对于第 n 个图形,有 x 个正方 形和一定数量的三角形,三角形的个数可以表示为(　 　 ) A. 4x-4 B. 4n-4 C. 4x+n D. 4n+x 6. 生活情境·民族服饰 少数民族服饰以其精美的花纹和艳丽的色 彩越来越受到设计师们的喜爱. 某民族服饰的花边均是由若干 个 的基础图形组成的有规律的图案:第 1 个图案由 4 个基础 图形组成,第 2 个图案由 7 个基础图形组成,第 3 个图案由 10 个基础图形组成,…,如图,按此规律排列下去,第 2 025 个图案 中的基础图形个数为(　 　 ) 　 　 A. 6 067 B. 6 070 C. 6 073 D. 6 076 题型 4　 数形结合思想 7. 如图:在数轴上点 A 表示数 a,点 B 表示数 b,点 C 表示数 c,数 a 是多项式-2x2 -3x+1 的一次项系数,数 b 是最大的负整数,数 c 是单项式- 1 2 x2y 的次数. (1)a= 　 　 　 　 ,b= 　 　 　 　 ,c= 　 　 　 　 ; (2)点 A,B,C 开始在数轴上运动,若点 B 和点 C 分别以每秒 1 个单位长度和每秒 3 个单位长度的速度向右运动,点 A 以每秒 2 个单位长度的速度向左运动,t 秒过后,若点 A 与点 B 之间的 距离表示为 AB, 点 B 与点 C 之间的距离表示为 BC, 则 AB= 　 　 　 　 ,BC= 　 　 　 　 ;(用含 t 的代数式表示) (3)试问:3BC-2AB 的值是否随着时间 t 的变化而改变? 若变 化,请说明理由;若不变,请求出这个值. 27. 解:(1)是 (2 分) (2)15°或 22. 5°或 30° (4 分) 【解析】设∠AOC = x,①∠BOC = 2∠AOC = 2x,由 题意得,x + 2x = 45°,解得 x = 15°;② ∠AOB = 2 ∠AOC,由题意得,2x = 45°,解得 x = 22. 5°;③ ∠AOC= 2∠BOC,由题意得,x+ 1 2 x= 45°,解得 x= 30°,综上所述:∠AOC 的度数为 15°或 22. 5°或 30°; (3)当 0<t≤4 时,∠MON= (60+20t-15t)° = (60+ 5t)°,∠AON= (60 - 15t)°,若 OA 是∠MON 的幸 运线,则∠AON = 1 2 ∠MON,即 60 - 15t = 1 2 (60 + 5t),解得 t = 12 7 ;∠AON = 1 3 ∠MON,即 60 - 15t = 1 3 (60+5t),解得 t = 12 5 ;∠AON = 2 3 ∠MON,即 60 -15t= 2 3 (60+5t),解得 t= 12 11 ; (8 分) 当 4 < t < 9 时, ∠MOA = ( 20t)°, ∠AON = ( 15t - 60)°, 若 ON 是 ∠MOA 的幸运线, 则 ∠AON = 1 2 ∠MOA,即 15t-60 = 1 2 ×20t,解得 t = 12(舍); ∠AON= 1 3 ∠MOA,即 15t- 60 = 1 3 × 20t,解得 t = 36 5 ;∠AON= 2 3 ∠MOA,即 15t-60 = 2 3 ×20t,解得 t = 36(舍) . 故 t 的值是12 7 或 12 5 或 12 11 或 36 5 . (12 分) 追梦专项总结突破卷(一) 有理数的相关计算 1. 7　 【解析】由题意,得 a+b = 0,cd = 1,m = -3. 原式 = 9-3×(1+0)+1 = 7. 2. 解:由题意,得 a+b = 0,cd = 1,m = ±2. 当 m = 2 时, 原式= 0 - 1 × 2 + 22 = 2;当 m = - 2 时,原式 = 0 - 1 × ( -2) +( -2) 2 = 6,综上所述,a +b abm -cdm+m2 的值为 2 或 6. 3. 4 4. 解:由题意,得 a+1 = 0,2b+3 = 0,c-1 = 0,解得 a = -1,b= - 3 2 ,c = 1,原式 = -1×( - 3 2 ) 3×1 +-1-1 - 3 2 = 1 2 + 4 3 = 11 6 . 5. A 6. 解:(1)因为 1-2 = -1,1×2+1 = 3,所以 1-2≠1×2+ 1,所以数对(1,2)不是“共生有理数对”; (2)是 (3)因为(m,n)是“共生有理数对”,所以 m-n = mn+1,因为 m-n = 4,所以 mn = 3,所以( - 5) mn = ( -5) 3 = -125. 7. A　 【解析】因为 21 = 2,22 = 4,23 = 8,24 = 16,25 = 32,26 = 64,27 = 128,28 = 256,…,通过观察发现末 尾数字以 2,4,8,6,这 4 个数字为循环,所以 2025 ÷4 = 506……1,所以末位数字是 2. 故选 A. 8. D　 【解析】根据题中的新定义得:原式 = (1- 1 2 ) ·(1- 1 3 )·(1- 1 4 )·…·(1- 1 101 )= 1 2 × 2 3 × 3 4 × …×100 101 = 1 101 . 故选 D. 9. 解:(1)原式= ( 1 5 +2 4 5 ) +( -2 1 3 -3 2 3 ) = 3-6 = -3; (2)原式 = - 3. 61 × 0. 75 + 0. 61 × 0. 75 + ( - 0. 2) × 0. 75 = 0. 75×( -3. 61+0. 61-0. 2) = 0. 75×( -3. 2) = -2. 4. 10. 解:(1)π (2) ①依次运动的终点的位置为 2π,π,4π,0, -3π,所以第四次滚动后,A 点距离原点最近; ② | 2π | + | -π | + | 3π | + | -4π | + | -3π | = 13π,当圆 片结束运动时,A 点运动的路程共有 13π,此时点 A 所表示的数是-3π. 追梦专项总结突破卷(二) 整式的加减 1. 解:可能,理由:原式 = 2x3 -3x2y-2xy2 -x3 +2xy2 -y3 -x3 +3x2y-y3 = -2y3,因为化简后的结果不含 x,所 以原式的值与 x 值无关,所以他计算的结果正确. 2. 解:(1)当 x= -6 时,A = -3×( -6) +5 = 23,B = -5× ( -6) -4 = 26,所以 2A+3B = 2×23+3×26 = 124,所 以 A 是 B 的“神舟式”; (2)因为 A 是 B 的“神舟式”,所以 2A+3B= 124,所 以 3B = 124 - 2A, 所 以 B = 1 3 × ( 124 - 2A ) = 1 3 ×(124+2x2 +6x-10)= 2 3 x2 +2x+38; (3)因为 A 是 B 的“神舟式”,所以 2A+3B = 2 3 (2x +2) + 3 2 (3x+4)= 124,解得 x= 20. 3. 解:(1)原式= 2mx-3m+2m2 -3x = (2m-3)x+2m2 - 3m,因为其值与 x 的取值无关,所以 2m-3 = 0,解 得 m= 3 2 ; (2)由题意,得 3A+6B= 3[(2x2 -x-1) -(x-3xy)] + 6( -x2 +xy-1)= 3x(5y-2) -9,因为 3A+6B 的值与 x 的取值无关,所以 5y-2 = 0,解得 y= 2 5 ; (3)设 AB = x,由图可知 S1 = a(x-3b),S2 = 2b( x- 2a),所以 S1 -S2 =a(x-3b) -2b(x-2a)= (a-2b)x +ab,因为当 AB 的长变化时,S1 -S2 的值始终保持 不变,所以 S1 -S2 的值与 x 的取值无关,所以 a-2b 追梦之旅铺路卷·七年级上·云南 ZBR·数学　 第 19 页 = 0,所以 a= 2b. 4. A　 5. A 6. D　 【解析】观察图形,可知第 1 个图案由 4 个基础 图形组成,即 4 = 1×3+1,第 2 个图案由 7 个基础图 形组成,即 7 = 2×3+1,第 3 个图案由 10 个基础图 形组成,即 10 = 3×3+1,……,第 n 个图案的基础图 形的个数为:3n+1. 所以第 2025 个图案的基础图 形的个数为:3×2025+1 = 6076. 故选 D. 7. 解:(1) -3　 -1　 3 (2)3t+2　 2t+4 (3)3BC- 2AB 的值不变. 3BC - 2AB = 3 ( 2t + 4) - 2(3t+2)= 6t+12-6t-4 = 8. 追梦专项总结突破卷(三) 一元一次方程 1. 解:(1)去括号,得 9-2x-6 = x-3-6x. 移项,得-2x- x+6x= -3-9+6. 合并同类项,得 3x = -6. 系数化为 1,得 x= -2; (2)整理,得10x 7 -17-20x 3 = 1. 去分母,得 30x-7(17 -20x)= 21. 去括号,得 30x-119+140x = 21. 移项、 合并同类项,得 170x= 140. 系数化为 1,得 x= 14 17 . 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　方法点拨: 当方程的分数中含有小数时,要先把小 数变成整数(在此过程中同一个分数的分子、分母 中所有的项都要同时乘同一个数),然后再按照解 一元一次方程的步骤进行解答. 2. 解:小亮:去分母,得 10-2x = 18-4(2x-10) . 去括 号,得 10-2x= 18-8x+40. 移项,得-2x+8x = 18+40 -10. 合并同类项,得 6x= 48. 系数化为 1,得 x= 8; 小颖:将(10-2x)及(2x-10)看成一个整体,移项, 得 1 3 (10-2x) + 4 3 (2x-10)= 6,即- 1 3 (2x-10) + 4 3 (2x-10)= 6. 合并同类项,得 2x-10 = 6. 移项、合并 同类项,得 2x= 16. 系数化为 1,得 x= 8. 3. -4　 【解析】由题意,得x +3+x+ | x+3-x | 2 = -1,所以 2x+3+3 2 = -1,所以 2x= -8,所以 x= -4. 4. -21　 【解析】解方程x -6 2 = -6,得 x = -6,解方程 x 2 +m 3 = x-4,得 x= 2m +24 3 ,由题意得,-6 = 2m +24 3 ,解 得 m= -21. 5. -19 5 　 【解析】解方程 2(x-1) -3(x+1)= 0,得 x = -5,解方程k +x 2 -3k-2 = 2x,得 x = -5k-4 3 ,因为两个 方程的解互为相反数,所以方程k +x 2 -3k-2 = 2x 的 解为 x= 5,所以 -5k-4 3 = 5,解得 k= -19 5 . 6. 解:由题意,得 3y+a= 2y+4. 即 y = 4-a. 因为 y = 3, 所以 4-a= 3,解得 a= 1. 则由关于 y 的一元一次方 程 3(y+a)= 2y+4,得 3(y+1) = 2y+4,解得 y = 1. 综上所述,a 的值是 1,方程的正确的解是 y= 1. 7. 解:(1)a　 -a (2)原方程化为 | 3x+1 | = 5,当 3x+1≥0 时,方程可 化为 3x+1 = 5,解得 x= 4 3 ;当 3x+1<0 时,方程可化 为 3x+1 = -5,解得 x= -2,所以原方程的解是 x= 4 3 或 x= -2; (3)m≥0 8. A 9. 解:(1)设购进 A 品牌运动裤 x 条,则购进 B 品牌 运动裤(100-x)条. 根据题意,得 200×(100-x) - 150x= 6 000,解得 x = 40. 所以 100-x = 60. 即购进 A 品牌运动裤 40 条,购进 B 品牌运动裤 60 条; (2)设有 y 条 B 品牌运动裤打七折出售,B 品牌运 动裤每条按进价加价 100%后的售价为 200×(1+ 100%)= 400(元) . 根据题意,得(230-150) ×40+ (400-200) ×(60-y) +(400×70%-200)y = 14 000. 解得 y= 10. 即有 10 条 B 品牌运动裤打七折出售. 10. 解:(1)3x+3　 3y+21 (2)存在. 设所框出的四个数最小的一个为 a,则 另外三个分别是:(a+1)、(a+7)、(a+8),则 a+ (a+1) +(a+7) +(a+8) = 96,解得 a = 20,故存在 被框住的 4 个数的和为 96,这四个数中的最小的 数字为 20; (3)根据题意得,a1 =m+(m-1) +(m+1) +(m-7) +(m-6) +(m-8)= 6m-21,a2 = (m+7) +(m+6) + (m + 8 ) = 3m + 21, 因 为 | a1 - a2 | = 6, 所 以 | (6m-21) -(3m+21) | = 6,即 | 3m-42 | = 6,解得 m= 12(不符合题意,舍去)或 m = 16,所以正方形 框中位于最中心的数字 m 的值为 16. 11. 解:(1)设该工厂有 x 名工人生产 A 零件,则生产 B 零件的工人有(60-x)名. 根据题意得 2×15x = 20(60-x),解得 x = 24,即该工厂有 24 名工人生 产 A 零件; (2)由(1)知:生产 B 零件的工人原有 60-24 = 36 (名),设从生产 B 零件的工人中调出 y 名工人生 产 A 零件.依题意可得(24+y)×15×10+(36-y)×20 ×5-(24×15×10+36×20×5)= 600,解得 y = 12,即从 生产 B 零件的工人中调出 12 名工人生产 A 零件. 12. 解:(1) 24　 28 (2)设点 P 表示的数为 x,则 x-( -16) = 8-x,解 得 x= -4,即点 P 表示的数为-4; (3)由题意得:2t+t= 28,解得 t= 28 3 ; (4) t= 10 3 或 10. 13. 解:(1)3　 45 (2)20 × 3 = 60 < 72,所以 11 月份用水量超过了 20m3,设 11 月份用水量为 xm3,根据题意列方程 得,20×3+(x-20) ×(3. 05+0. 8+0. 15) = 72,解得 追梦之旅铺路卷·七年级上·云南 ZBR·数学　 第 20 页