追梦专项总结突破卷(四)线段与角的相关计算-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年新教材七年级上册数学（人教版2024）

追梦专项总结突破卷(四) 线段与角的相关计算 题型 1　 线段的中点问题 1. 如图,已知 B、C 在线段 AD 上. (1)图中共有　 　 　 　 条线段; (2)若 AB<CD. ①比较线段的长短:AC　 　 　 　 BD(填“ >”“ = ”或“ <”); ②若 AD= 10,BC = 8,M 是 AB 的中点,N 是 CD 的中点,求线段 MN 的长度. 2. 如图,延长线段 AB 到 C,使 BC = 3AB,点 D 是线段 BC 的中点, 如果 CD= 3 cm, (1)求 AC 的长度; (2)若点 E 是线段 AC 的中点,求 ED 的长度. 题型 2　 线段的动点问题 3. 如图,P 是线段 AB 上一点,AB= 12 cm,C、D 两点分别从点 P、点 B 出发以 1 cm / s、2 cm / s 的速度沿直线 AB 向左运动(C 在线段 AP 上,D 在线段 BP 上),运动的时间为 t s. (1)当 t= 1 时,PD= 2AC,请求出 AP 的长; (2)若 C、D 运动到任一时刻时,总有 PD= 2AC,请求出 AP 的长; (3)在(2)的条件下,Q 是直线 AB 上一点,且 AQ-BQ = PQ,求 PQ 的长. 4. 中考新趋势·新定义 定义:若线段上的一个点把这条线段分成 1 ∶2的两条线段,则称这个点是这条线段的三等分点. 如图 1,点 C 在线段 AB 上,且 AC ∶CB= 1 ∶2,则点 C 是线段 AB 的一个三等 分点,显然,一条线段的三等分点有两个. (1)已知:如图 2,DE = 15 cm,点 P 是 DE 的三等分点,求 DP 的长; (2)已知:线段 AB= 15 cm,如图 3,点 P 从点 A 出发以每秒 1 cm 的速度在射线 AB 上向点 B 方向运动;点 Q 从点 B 出发,先向点 A 方向运动,当与点 P 重合后立马改变方向与点 P 同向而行且 速度始终为每秒 2 cm,设运动时间为 t 秒. ①若点 P、Q 同时出发,且当点 P 与点 Q 重合时,求 t 的值; ②若点 P、Q 同时出发,且当点 P 是线段 AQ 的三等分点时,求 t 的值. 图 1 图 2 图 3 5. 如图,已知直线 l 上有两条可以左右移动的线段:AB=m,CD=n, 且 m,n 满足 |m-4 | +(n-8) 2 = 0,点 M,N 分别为 AB,CD 中点. (1)求线段 AB,CD 的长; (2)线段 AB 以每秒 4 个单位长度向右运动,线段 CD 以每秒 1 个单位长度也向右运动. 若运动 6 秒后,MN = 4,求开始运动时 线段 BC 的长; (3)若 BC= 24,将线段 CD 固定不动,线段 AB 以每秒 4 个单位 长度的速度向右运动,在线段 AB 向右运动的某一个时间段 t 内,始终有 MN+AD 为定值. 求出这个定值,并写出 t 在哪一个时 间段内. ·72· 题型 3　 角的运算 6. 如图,点 A,O,B 在同一条直线上,∠AOC= ∠BOD,OM,ON 分别 是∠AOC,∠BOD 的平分线. (1)若∠COD= 80°,求∠MON 的度数; (2)比较∠DOM 和∠CON 的大小,并说明理由. 7. 已知∠AOB= 120°,∠COD= 60°,OE 平分∠BOC. (1) 如图 1,当∠COD 在∠AOB 的内部时,若∠AOC = 40°,则 ∠COE= 　 　 　 　 ;∠DOE= 　 　 　 　 ; (2)如图 2,当∠COD 在∠AOB 的外部时, ①请写出∠AOC 与∠DOE 的度数之间的关系,并说明理由; ②在 ∠AOC 内部有一条射线 OF, 满足 ∠AOC + 2 ∠BOE = 4∠AOF,写出 ∠AOF 与 ∠DOE 的度数之间的关系, 并说明 理由. 图 1 　 　 图 2 8. 已知点 B,O,C 在同一条直线上,∠AOB=α(0°<α<60°) . (1)如图 1,若∠BOD = 90°,∠EOD = 140°,OA 平分∠EOD,求 ∠EOB 与∠AOB 的度数; (2) 如图 2,∠BOD = 90°,OF 平分∠AOD,OG 平分∠AOC,求 ∠FOG 的度数; (3)如图 3,∠AOM 与∠AOB 互余,若∠BON 也与∠AOB 互余, 请直接写出∠MON 的度数. (用含 α 的式子表示) 图 1 　 图 2 　 图 3 9. 如图 1,点 O 为直线 AB 上一点,过 O 点作射线 OC,使∠BOC = 120°,将一直角三角板的直角顶点放在点 O 处,一边 OM 在射线 OB 上,另一边 ON 在直线 AB 的下方. (1)如图 2,将图 1 中的三角板绕点 O 逆时针旋转,使边 OM 在 ∠BOC 的内部,且 OM 恰好平分∠BOC,此时∠AOM=　 　 　 　 度; ∠BON=　 　 　 　 度; (2)如图 3,继续将图 2 中的三角板绕点 O 按逆时针方向旋转, 使得 ON 在∠AOC 的内部. 试探究∠AOM 与∠NOC 之间满足什 么等量关系,并说明理由; (3)将图 1 中的三角板绕点 O 以每秒 10°的速度沿逆时针方向 旋转一周,在旋转的过程中,若直线 ON 恰好平分∠AOC,则此 时三角板绕点 O 旋转的时间是　 　 　 　 秒. 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 ·82· +(a+7)+(a+8)= 96,解得 a = 20,由图 2 知,所框出 的四个数存在,故存在被框住的 4 个数的和为 96, 其中最小的数为 20; (3)根据题意得,a1 =m+(m-1) +(m+1) +(m-7) + (m-6)+(m-8)= 6m-21,a2 =(m+7) +(m+6) +(m+ 8)= 3m+21,因为 | a1 -a2 | = 6,所以 | (6m-21) -(3m +21) | = 6,即 | 3m-42 | = 6,解得 m = 12(不符合题 意,舍去)或 m= 16,所以正方形框中位于最中心的 数字 m 的值为 16. 11. 解:(1)设该工厂有 x 名工人生产 A 零件,则生产 B 零件的工人有(60-x)名. 根据题意得 2×15x= 20(60 -x),解得 x = 24,即该工厂有 24 名工人生产 A 零 件; (2)由(1)知:生产 B 零件原有 60-24 = 36(名),设 从生产 B 零件的工人中调出 y 名工人生产 A 零件. 依题意可得(24+y)×15×10+(36-y)×20×5-(24×15 ×10+36×20×5)= 600,解得 y = 12,即从生产 B 零件 的工人中调出 12 名工人生产 A 零件. 12. 解:(1)24　 28 (2)设点 P 表示的数为 x,则 x-(-16)= 8-x,解得 x = -4,即点 P 表示的数为-4; (3)由题意得:2t+t= 28,解得 t= 28 3 ; (4) t= 10 3 或 10. 13. 解:(1)3　 45 (2)20×3= 60<72,所以 11 月份用水量超过了 20m3, 设 11 月份用水量为 xm3,根据题意列方程得,20×3+ (x-20)×(3. 05+0. 8+0. 15)= 72,解得 x = 23,即该 用户 11 月份用水 23 立方米; (3)20×3= 60>54,所以水表 12 月份出故障时收费 按没有超过 20m3 计算,设 12 月份实际用水量为 xm3,根据题意列方程得 x(1-25%)×3= 54,解得 x = 24,20×3+(24-20)×(3. 05+0. 8+0. 15)= 76(元) . 即 该用户 12 月份实际应该缴纳水费 76 元. 14. 解:(1)设购买 x 个足球时去两个商场付款一样多, 根据题意列方程得 0. 9×80x = 20×80+0. 8×80( x- 20),解得 x= 40. 故购买 40 个时去两个商场付款一 样多. (2)第一次购买 30 个时,若去甲商场购买需要付款 0. 9×30×80 = 2160(元);若去乙商场购买需要付款 80×[20+0. 8×(30-20)] = 2240(元) . 第二次购买足 球个数为 30×2-10 = 50(个),若去甲商场购买需要 付款 0. 9×50×80 = 3600(元);若去乙商场购买需要 付款 80×[20+0. 8×(50-20)] = 3520(元),2160 < 2240,3520 < 3600,2160 + 3520 = 5680(元),综上所 述,购买划算的方案为:第一次去甲商场购买,第二 次去乙商场购买,总共付款 5680 元. 追梦专项总结突破卷(四) 线段与角的相关计算 1. 解:(1)6 (2)①< ②因为 AD= 10,BC = 8,所以 AB+CD = AD-BC = 2. 因 为 M 是 AB 的中点,N 是 CD 的中点,所以 BM = 1 2 AB,CN= 1 2 CD,所以 BM+CN = 1 2 (AB+CD)= 1 2 ×2 = 1. 所以 MN=BM+CN+BC= 9. 2. 解:(1)因为 D 是线段 BC 的中点,CD= 3cm,所以 BC = 2CD= 6cm. 因为 BC= 3AB,所以 AB= 1 3 BC= 2cm,所 以 AC=AB+BC= 2+6= 8(cm); (2)因为 E 是 AC 的中点,所以 EC= 1 2 AC = 4cm,所以 ED=EC-DC= 4-3= 1(cm) . 3. 解:(1)当 t= 1 时,由题意,得 BD = 2cm,PC = 1cm,则 BD= 2PC. 因为 PD= 2AC,所以 BD+PD = 2(PC+AC), 即 PB= 2AP. 因为 AB = 12cm,AB = AP+PB,所以 12 = 3AP,则 AP= 4cm; (2)根据 C、D 的运动速度知:BD = 2PC,因为 PD = 2AC,所以 BD+PD= 2(PC+AC),即 PB= 2AP. 因为 AB = 12cm,所以 AP= 4cm; (3)当点 Q 在线段 AB 上时,因为 AQ-BQ = PQ,所以 AQ=PQ+BQ. 因为 AQ=AP+PQ,所以 AP =BQ. 又因为 PB = 2AP,所以 PQ= 1 3 AB= 4cm;当点 Q 在 AB 的延长 线上时,AQ-BQ=PQ=AB= 12cm. 综上所述,PQ= 4cm 或 12cm. 4. 解:(1)当 DP = 2PE 时,DP = 2 3 DE = 10cm;当 2DP = PE 时,DP= 1 3 DE= 5cm. 综上所述:DP 的长为 5cm 或 10cm. (2)①根据题意,得(1+2) t= 15,解得 t= 5. ②(I)点 P、Q 重合前,AP= t,PQ= 15-t-2t = 15-3t,当 2AP=PQ 时,有 2t= 15-3t,解得 t= 3;当 AP = 2PQ 时, 有 t= 2(15-3t),解得 t= 30 7 ; (II)点 P、Q 重合后,AP = t,PQ = (2-1)( t-5)= t-5, 当 AP= 2PQ 时,有 t= 2( t-5),解得 t= 10;当 2AP=PQ 时,有 2t= t-5,解得 t = -5(不合题意,舍去) . 综上所 述:当 t= 3 秒或 30 7 秒或 10 秒时,点 P 是线段 AQ 的三 等分点. 5. 解:(1)因为 |m-4 | +(n-8) 2 = 0,所以 m-4 = 0,n-8 = 0,所以 m= 4,n= 8,所以 AB= 4,CD= 8; (2)设运动后 M 的对应点为 M′,N 的对应点为 N′. 由 题意可得 BM= 2,CN= 4,M′N′= 4. 若 6 秒后,点 M′在 点 N′左边时,由 MN+NN′=MM′+M′N′,即 2+4+BC+6 ×1= 6×4+4,解得 BC= 16;若 6 秒后,点 M′在点 N′右 边时,则 MM′=MN+NN′+M′N′,即 6×4 = 2+BC+4+6× 1+4,解得 BC= 8. 综上,BC= 16 或 8; (3)运动 t 秒后 MN= | 30-4t | ,AD= | 36-4t | ,当 0≤t< 7. 5 时,MN+AD = 66-8t,当 7. 5≤ t≤9 时,MN+AD = 6,当 t>9 时,MN+AD = 8t-66,所以当 7. 5≤t≤9 时, MN+AD 为定值,定值为 6. 6. 解:(1)因为 OM,ON 分别是∠AOC,∠BOD 的平分 线,所以∠MOC = 1 2 ∠AOC,∠NOD = 1 2 ∠BOD,所以 追梦之旅铺路卷·七年级·ZBR·数学　 第 13 页 ∠MON= 1 2 (∠AOC+∠BOD) +∠COD = 1 2 ×(180° - ∠COD)+∠COD= 130°; (2 ) ∠DOM = ∠CON, 理 由 如 下: 因 为 ∠MOC = 1 2 ∠AOC,∠NOD = 1 2 ∠BOD,∠AOC = ∠BOD,所以 ∠MOC = ∠NOD, 所以 ∠MON - ∠NOD = ∠MON - ∠MOC,所以∠DOM=∠CON. 7. 解:(1)40°　 20° (2)①2∠DOE =∠AOC. 理由:因为 OE 平分∠BOC, 所 以 ∠BOC = 2 ∠COE, 所 以 ∠AOC - ∠AOB = 2(∠DOE-∠COD) . 因为∠AOB= 120°,∠COD= 60°, 所以∠AOC-120° = 2(∠DOE-60°),化简得 2∠DOE =∠AOC; ②∠DOE -∠AOF = 30°,理由如下:因为∠AOC = ∠AOB+∠BOC,∠BOC = 2∠BOE,∠AOC+2∠BOE = 4∠AOF,所以 4∠AOF=∠AOB+4∠BOE. 因为∠DOE =∠COD +∠COE,∠COE = ∠BOE,所以 4∠DOE = 4∠COD+4∠BOE,所以 4∠DOE-4∠AOF = 4∠COD- ∠AOB. 因 为 ∠AOB = 120°, ∠COD = 60°, 所 以 4∠DOE-4∠AOF= 120°,所以∠DOE-∠AOF= 30°. 8. 解: ( 1) 因为∠EOD = 140°, OA 平分∠EOD,所以 ∠AOE=∠AOD = 70°. 因为∠BOD = 90°,所以∠AOB = 90°-70° = 20°,所以∠EOB= 70°-20° = 50°; (2)因为∠BOD = 90°,所以∠AOD = 90°-α. 因为 OF 平分∠AOD,所以∠AOF = 1 2 ∠AOD = 1 2 (90°-α) . 因 为∠AOC = 180° - α,OG 平分∠AOC,所以∠AOG = 1 2 ∠AOC= 1 2 (180°-α),所以∠FOG =∠AOG-∠AOF = 1 2 (180°-α)- 1 2 (90°-α)= 45°; (3)∠MON 的度数为 α 或 180° -α. 　 【解析】因为 ∠AOM 与∠AOB 互余,∠BON 与∠AOB 互余,所以 ∠AOM=∠BON= 90°-α,则∠MON = 90°-(90°-α)= α 或∠MON= 90°+(90°-α)= 180°-α. 9. 解:(1)120　 30 (2)∠AOM -∠NOC = 30°. 理由如下:因为∠BOC = 120°,所以∠AOC= 60°,所以∠AON = 60°-∠NOC. 又 因为 ∠AOM + ∠AON = 90°, 所 以 ∠AOM + ( 60° - ∠NOC)= 90°,即∠AOM-∠NOC= 30°; (3)6 或 24 追梦期末达标测试卷(一) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B C D A C B B D B 1. A　 2. B 3. C　 【解析】A. 3a 与 6b 不是同类项,不能合并;B. 3y2 -2y2 = y2;D. -2(m-1)= -2m+2. 故选 C. 4. D　 【解析】A. 反映的是“点动成线”;B. 反映的是“面 动成体”;C. 反映的是“点动成线” . 故选 D. 5. A 6. C　 【解析】A. 它的次数是 4 次;B. 它的各项为 5x3y, -2xy,-2;D. 最高次项的系数为 5. 故选 C. 7. B　 8. B 9. D　 【解析】S甲 = 24a 2+2a2 = 26a2,S乙 = 24a 2,S丙 = 24a 2 +4a2 = 28a2,所以 S丙>S甲>S乙 . 故选 D. 10. B　 【解析】观察所给表格可知,奇数行的数从第 2 列到第 5 列依次增大,偶数行的数从第 1 列到第 4 列依次减小. 因为 2024÷2 = 1012,即表示数 2024 为 从 2 开始的第 1012 个偶数. 又因为 1012÷4= 253,所 以 2024 在第 253 行,第 5 列. 即 m = 253,n = 5. 故选 B. 11. (3m-n) 2 12. -8　 【解析】-3-5= -8. 13. 两点之间,线段最短 14. 25　 【解析】由题意得:m = 5,n+3 = 5,所以 n = 2,所 以 mn = 25. 15. 60°　 144° 　 【解析】因为点 A,O,C 在一条直线上, ∠AOD= 120°,所以∠COD = 180° -120° = 60°,因为 ∠AOB ∶∠COD= 3 ∶5,所以∠AOB = 60°× 3 5 = 36°,所 以∠BOC= 180°-36° = 144°. 16. 解:(1)原式=(8-5)+(- 1 4 + 3 4 )= 3+ 1 2 = 7 2 ; (4 分) (2)原式= -4× 1 4 +(- 1 8 )÷1= -1- 1 8 = - 9 8 . (8 分) 17. 解:(1)去括号,得 2x+2x+2= 6-8x+12. (1 分) 移项,得 2x+2x+8x= 6+12-2. (2 分) 合并同类项,得 12x= 16. (3 分) 系数化为 1,得 x= 4 3 ; (4 分) (2)去分母,得 2(2x+1)-(x-1)= 6. (5 分) 去括号,得 4x+2-x+1= 6. (6 分) 移项、合并同类项,得 3x= 3. (7 分) 系数化为 1,得 x= 1. (8 分) 18. 解:(1)射线 AC 如图所示; (3 分) (2)线段 AE 如图所示; (6 分) (3)AB+BC>AC　 两点之间,线段最短 (9 分) 19. 解:(1)这 5 个数的和能被 5 整除. (1 分) 设 C= x,则 D= x+7,E= x+8,B = x-7,A = x-8,所以 A +B+C+D+E= x-8+x-7+x+x+7+x+8 = 5x,因为 5x 能 被 5 整除,所以这五个数的和能被 5 整除; (5 分) (2)代数式 A-2B+3C+4D-6E 的值是定值, (6 分) 理由如下:设 C= x,则 D= x+7,E= x+8,B = x-7,A = x -8,所以 A-2B+3C+4D-6E= x-8-2(x-7) +3x+4(x +7)-6(x+8)= -14,所以代数式 A-2B+3C+4D-6E 的值是定值,为-14. (9 分) 20. 解:设还需要增加 x 名文物修复师才能按时完成修 追梦之旅铺路卷·七年级·ZBR·数学　 第 14 页