追梦专项总结突破卷(三)一元一次方程-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年新教材七年级上册数学（人教版2024）

追梦专项总结突破卷(三) 一元一次方程 题型 1　 解一元一次方程 1. 解方程: (1)9-2(x+3)= x-(3+6x);　 　 　 (2) x 0. 7 -0. 17-0. 2x 0. 03 = 1. 题型 2　 用“整体思想”解一元一次方程 2. 数学思想·整体思想 数学李老师让同学们解方程 1 3 (10-2x)= 6 - 4 3 (2x-10) . 小亮认为“方程两边有分母,应该先去分母”,小颖 认为“方程中有 10-2x 及 2x-10,且互为相反数,应该用整体思 想求解” . 请你分别用小亮、小颖的方法求解该方程. 题型 3　 用新定义解一元一次方程 3. 中考新趋势·新定义 对于两个有理数 a,b,定义新运算:a◇b = a+b+ | a-b | 2 . 若(x+3)◇x= -1,则 x 的值为　 　 　 　 . 题型 4　 与一元一次方程有关的参数问题 类型 1　 同解(互为相反数)问题 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　 　 解决一元一次方程有关的同解(互为相反数)问题时, 一般将参数看成已知数,用含参数的式子表示出方程的解, 再根据两个方程的解的关系,建立以参数为未知数的方程, 求出参数的值. 4. 若关于 x 的方程 x 2 +m 3 = x-4 与方程x -6 2 = -6 的解相同,则 m 的 值为　 　 　 　 . 5. 方程 2(x-1) -3(x+1) = 0 的解与关于 x 的方程k +x 2 -3k-2 = 2x 的解互为相反数,则 k 的值为　 　 　 　 . 类型 2　 错解问题 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　 　 解决一元一次方程有关的错解问题时,一般先根据题 意写出错解的方程,将所得的解代入该方程,解得参数的 值,将参数的值代入原方程,可求出原方程的解. 6. 小明解关于 y 的一元一次方程 3(y+a)= 2y+4,在去括号时,将 a 漏 乘了 3,得到方程的解是 y=3,请你求出 a 的值及方程的正确的解. 题型 5　 绝对值方程 7. 学习情境·阅读理解 阅读材料: 由绝对值的意义可知:当 a≥0 时, | a | = 　 　 　 　 ;当 a<0 时, | a | = 　 　 　 　 . 利用这一特性,可以帮助我们解含有绝对值的 方程. 比如:方程 | x-2 | = 3, 当 x-2≥0 时,原方程可化为 x-2 = 3,解得 x= 5; 当 x-2<0 时,原方程可化为 x-2 = -3,解得 x= -1. 所以原方程的解是 x= 5 或 x= -1. (1)请补全题目中横线上的结论. (2)仿照上面的例题,解方程: | 3x+1 | -5 = 0. (3)若方程 |x-1| =m有解,则m应满足的条件是　 　 　 　 . 题型 6　 一元一次方程的应用题 8. 文化情境·数学文化 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一 首古算诗:“林下牧童闹如簇,不知人数不知竹. 每人六竿多十四, 每人八竿恰齐足. ”其大意是:牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩 耍,不知有多少人和竹竿. 每人 6 竿,多 14 竿;每人 8 竿,恰好用 完.若设牧童有 x 人,根据题意可列方程为(　 　 ) A. 6x+14 = 8x　 　 　 　 　 　 B. 6(x+14)= 8x C. 8x+14 = 6x D. 8(x-14)= 6x 9. 某商场从厂家购进了 A、B 两种品牌的运动裤共 100 条,已知购 买 B 品牌运动裤比购买 A 品牌运动裤多花 6 000 元,其中 A 品 牌运动裤每条进价是 150 元,B 品牌运动裤每条进价是 200 元. (1)求购进 A、B 两种品牌运动裤各多少条? (2)在销售过程中,A 品牌运动裤每条售价是 230 元,很快全部 售出;B 品牌运动裤每条按进价加价 100%销售,售出一部分后, 出现滞销,商场决定打七折出售剩余的 B 品牌运动裤,两种品牌 运动裤全部售出后共获利 14 000 元,有多少条 B 品牌运动裤打 七折出售? ·52· 10. 生活情境·日历问题 (1)如图是某年的 9 月份日历,用 1×3 的 长方形框出 3 个数. 如果任意圈出一横行左右相邻的三个数, 设最 小 的 数 为 x, 用 含 x 的 式 子 表 示 这 三 个 数 的 和 为 　 　 　 　 ;如果任意圈出一竖列上下相邻的三个数,设最小的 数为 y,用含 y 的式子表示这三个数的和为　 　 　 　 . (2)如图 2,用一个 2×2 的正方形框出 4 个数,是否存在被框住 的 4 个数的和为 96? 如果存在,请求出这四个数中的最小的 数字;如果不存在,请说明理由. (3)如图 2,用一个 3×3 的正方形框出 9 个数,在框出的 9 个数 中,记前两行共 6 个数的和为 a1,最后一行 3 个数的和为 a2 . 若 | a1 -a2 | = 6,请求出正方形框中位于最中心的数字 m 的值. 图 1 　 　 图 2 11. 生产劳动情境·制作零件 某工厂车间有 60 名工人生产 A 零件 和 B 零件,每人每天可生产 A 零件 15 个或 B 零件 20 个(每人 每天只能生产一种零件),一个 A 零件配两个 B 零件,且每天 生产的 A 零件和 B 零件恰好配套. 工厂将零件批发给商场时, 每个 A 零件可获利 10 元,每个 B 零件可获利 5 元. (1)求该工厂有多少名工人生产 A 零件? (2)因市场需求,该工厂每天要多生产出一部分 A 零件供商场 零售使用,现从生产 B 零件的工人中调出多少名工人生产 A 零件,才能使每日生产的零件总获利比调动前多 600 元? 12. 数学思想·数形结合 已知数轴上的原点为 O,A、B、C 三点对应 的数分别为-16,8 和 12,动点 P 从点 A 出发,以每秒 2 个单位 长度的速度沿数轴正方向运动,同时,动点 Q 从点 C 出发,以 每秒 1 个单位长度的速度沿数轴负方向运动,设点 P 的运动时 间为 t 秒. (1)线段 AB 的长为　 　 　 　 ,线段 AC 的长为　 　 　 　 . (2)当点 P 运动到与点 A、B 距离相等时,求点 P 表示的数. (3)当 P、Q 两点相遇时,求 t 的值. (4)当 PO+QB= 10 时,直接写出 t 的值. 13. 日常情境·阶梯水费 某市自来水公司为了鼓励居民节约用水, 规定按以下标准收取水费: 用水量 / 月 单价(元 / m3) 不超过 20 m3 2. 05 超过 20 m3 的部分 3. 05 另:每立方米用水加收 0. 8 元的城市污 水处理费和 0. 15 元的城市附加费 (1)根据上表,用水量每月不超过 20 m3,实际每立方米收水费 　 　 　 　 元;如果 10 月份某用户用水量为 15 m3,那么该用户 10 月份应该缴纳水费 　 　 　 　 元; (2)某用户 11 月份共缴纳水费 72 元,那么该用户 11 月份用水 多少立方米? (3)若该用户水表 12 月份出了故障,有 25%的水量没有计入 水表中,这样该用户在 12 月份只缴纳了 54 元水费,问该用户 12 月份实际应该缴纳水费多少元? 14. 为了响应习总书记“足球进校园”的号召,发展校园足球运动, 某中学决定增购一批足球,市场调查发现,甲、乙两个商场均以 80 元 /个的价格出售同样品牌的足球,为了招揽生意,甲商场 给出的优惠方案是:“购买一律九折”,乙商场给出的优惠方案 是:“超出 20 个,超出部分打八折” . (1)若学校购买足球超过 20 个,则购买多少个时去两个商场 付款一样多? (2)若第一次购买 30 个,第二次比第一次的 2 倍少 10 个,请你 帮学校设计一个方案,怎样购买比较划算? ·62· ②|2π | + | -π | + | 3π | + | -4π | + | -3π | = 13π,当圆片 结束运动时,A 点运动的路程共有 13π,此时点 A 所 表示的数是-3π. 追梦专项总结突破卷(二) 整式的加减 1. 解:可能,理由:原式= 2x3-3x2y-2xy2-x3+2xy2-y3-x3 +3x2y-y3 = -2y3,因为化简后的结果不含 x,所以原式 的值与 x 值无关,所以他计算的结果正确. 2. 解:(1)当 x = -6 时:A = -3×( -6) +5 = 23,B = -5× (-6)-4= 26,所以 2A+3B= 2×23+3×26 = 124,所以 A 是 B 的“神舟式”; (2)因为 A 是 B 的“神舟式”,所以 2A+3B= 124,所以 3B= 124-2A,所以 B = 1 3 (124-2A)= 1 3 (124+2x2+6x -10)= 2 3 x2+2x+38; (3)因为 A 是 B 的“神舟式”,所以 2A+3B = 2 3 (2x+ 2)+ 3 2 (3x+4)= 124,解得 x= 20. 3. 解:(1)原式 = 2mx-3m+2m2 -3x = (2m-3) x+2m2 - 3m,因为其值与 x 的取值无关,所以 2m-3= 0,解得 m = 3 2 ; (2)由题意,得 3A+6B = 3[(2x2 -x-1) -( x-3xy)] + 6(-x2+xy-1)= 3x(5y-2) -9,因为 3A+6B 的值与 x 的取值无关,所以 5y-2= 0,解得 y= 2 5 ; (3)设 AB= x,由图可知 S1 = a(x-3b),S2 = 2b(x-2a), 所以 S1-S2 = a(x-3b) -2b(x-2a)= (a-2b) x+ab,因 为当 AB 的长变化时,S1-S2 的值始终保持不变,所以 S1-S2 的值与 x 的取值无关,所以 a-2b= 0,a= 2b. 4. A　 5. A 6. D　 【解析】观察图形,可知第 1 个图案由 4 个基础图 形组成,即 4= 1×3+1,第 2 个图案由 7 个基础图形组 成,即 7= 2×3+1,第 3 个图案由 10 个基础图形组成, 即 10= 3×3+1,……,第 n 个图案的基础图形的个数 为:3n+1. 所以第 2025 个图案的基础图形的个数为: 3×2025+1= 6076. 故选 D. 7. 解:(1)-3　 -1　 3 (2)3t+2　 2t+4 (3)3BC-2AB 的值不改变. 3BC-2AB= 3(2t+4) -2(3t +2)= 6t+12-6t-4= 8. 追梦专项总结突破卷(三) 一元一次方程 1. 解:(1)去括号,得 9-2x-6= x-3-6x. 移项,得-2x-x+ 6x= -3-9+6. 合并同类项,得 3x = -6. 系数化为 1,得 x= -2. (2)整理,得 10x 7 -17 -20x 3 = 1. 去分母,得 30x-7(17- 20x)= 21. 去括号,得 30x-119+140x = 21. 移项、合并 同类项,得 170x= 140. 系数化为 1,得 x= 14 17 . 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　方法点拨:当方程的分数中含有小数时,要先把小数 变成整数(在此过程中同一个分数的分子、分母中所 有的项都要同时乘同一个数),然后再按照解一元一 次方程的步骤进行解答. 2. 解:小亮:去分母,得 10-2x = 18-4(2x-10) . 去括号, 得 10-2x= 18-8x+40. 移项,得-2x+8x = 18+40-10. 合并同类项,得 6x= 48. 系数化为 1,得 x= 8; 小颖:将(10-2x)及(2x-10)看作一个整体,移项,得 1 3 (10-2x)+ 4 3 (2x-10)= 6,即- 1 3 (2x-10) + 4 3 (2x- 10)= 6. 合并同类项,得 2x-10 = 6. 移项、合并同类 项,得 2x= 16. 系数化为 1,得 x= 8. 3. -4　 【解析】由题意,得 x+3+x+ | x+3-x | 2 = - 1,所以 2x+3+3 2 = -1,所以 2x= -8,x= -4. 4. -21　 【解析】解方程 x-6 2 = -6,得 x = -6,解方程 x 2 + m 3 = x-4,得 x= 2 3 m+8,因为两个方程的解相同,所以 2 3 m+8= -6,解得 m= -21. 5. - 19 5 　 【解析】解方程 2(x-1)-3(x+1)= 0,得 x = -5, 因为两个方程的解互为相反数,所以方程 k+x 2 -3k-2 = 2x 的解为 x= 5,把 x= 5 代入方程 k+x 2 -3k-2= 2x,得 k+5 2 -3k-2= 10,解得 k= - 19 5 . 6. 解:由题意,得 3y+a=2y+4. 即 y = 4-a. 因为 y = 3,所以 4-a=3,解得 a=1.则原方程为 3(y+1)= 2y+4,解得 y= 1.综上所述,a 的值是 1,方程的正确的解是 y=1. 7. 解:(1)a　 -a (2)原方程化为 | 3x+1 | = 5,当 3x+1≥0 时,方程可化 为 3x+1= 5,解得 x= 4 3 ;当 3x+1<0 时,方程可化为 3x +1= -5,解得 x= -2,所以原方程的解是 x = 4 3 或 x = -2; (3)m≥0 8. A 9. 解:(1)设购进 A 品牌运动裤 x 条,则购进 B 品牌运 动裤(100-x)条. 根据题意,得 200×(100-x) -150x = 6000,解得 x = 40. 所以 100-x = 60. 即购进 A 品牌运 动裤 40 条,购进 B 品牌运动裤 60 条; (2)设有 y 条 B 品牌运动裤打七折出售,B 品牌运动 裤每条按进价加价 100%后的售价为 200×(1+100%) = 400(元) . 根据题意,得(230-150) ×40+(400-200) ×(60-y)+(400×70%-200) y = 14000. 解得 y = 10. 即 有 10 条 B 品牌运动裤打七折出售. 10. 解:(1)3x+3　 3y+21 (2)存在. 设所框出的四个数最小的一个为 a,则另 外三个分别是:(a+1)、(a+7)、(a+8),则 a+(a+1) 追梦之旅铺路卷·七年级·ZBR·数学　 第 12 页 +(a+7)+(a+8)= 96,解得 a = 20,由图 2 知,所框出 的四个数存在,故存在被框住的 4 个数的和为 96, 其中最小的数为 20; (3)根据题意得,a1 =m+(m-1) +(m+1) +(m-7) + (m-6)+(m-8)= 6m-21,a2 =(m+7) +(m+6) +(m+ 8)= 3m+21,因为 | a1 -a2 | = 6,所以 | (6m-21) -(3m +21) | = 6,即 | 3m-42 | = 6,解得 m = 12(不符合题 意,舍去)或 m= 16,所以正方形框中位于最中心的 数字 m 的值为 16. 11. 解:(1)设该工厂有 x 名工人生产 A 零件,则生产 B 零件的工人有(60-x)名. 根据题意得 2×15x= 20(60 -x),解得 x = 24,即该工厂有 24 名工人生产 A 零 件; (2)由(1)知:生产 B 零件原有 60-24 = 36(名),设 从生产 B 零件的工人中调出 y 名工人生产 A 零件. 依题意可得(24+y)×15×10+(36-y)×20×5-(24×15 ×10+36×20×5)= 600,解得 y = 12,即从生产 B 零件 的工人中调出 12 名工人生产 A 零件. 12. 解:(1)24　 28 (2)设点 P 表示的数为 x,则 x-(-16)= 8-x,解得 x = -4,即点 P 表示的数为-4; (3)由题意得:2t+t= 28,解得 t= 28 3 ; (4) t= 10 3 或 10. 13. 解:(1)3　 45 (2)20×3= 60<72,所以 11 月份用水量超过了 20m3, 设 11 月份用水量为 xm3,根据题意列方程得,20×3+ (x-20)×(3. 05+0. 8+0. 15)= 72,解得 x = 23,即该 用户 11 月份用水 23 立方米; (3)20×3= 60>54,所以水表 12 月份出故障时收费 按没有超过 20m3 计算,设 12 月份实际用水量为 xm3,根据题意列方程得 x(1-25%)×3= 54,解得 x = 24,20×3+(24-20)×(3. 05+0. 8+0. 15)= 76(元) . 即 该用户 12 月份实际应该缴纳水费 76 元. 14. 解:(1)设购买 x 个足球时去两个商场付款一样多, 根据题意列方程得 0. 9×80x = 20×80+0. 8×80( x- 20),解得 x= 40. 故购买 40 个时去两个商场付款一 样多. (2)第一次购买 30 个时,若去甲商场购买需要付款 0. 9×30×80 = 2160(元);若去乙商场购买需要付款 80×[20+0. 8×(30-20)] = 2240(元) . 第二次购买足 球个数为 30×2-10 = 50(个),若去甲商场购买需要 付款 0. 9×50×80 = 3600(元);若去乙商场购买需要 付款 80×[20+0. 8×(50-20)] = 3520(元),2160 < 2240,3520 < 3600,2160 + 3520 = 5680(元),综上所 述,购买划算的方案为:第一次去甲商场购买,第二 次去乙商场购买,总共付款 5680 元. 追梦专项总结突破卷(四) 线段与角的相关计算 1. 解:(1)6 (2)①< ②因为 AD= 10,BC = 8,所以 AB+CD = AD-BC = 2. 因 为 M 是 AB 的中点,N 是 CD 的中点,所以 BM = 1 2 AB,CN= 1 2 CD,所以 BM+CN = 1 2 (AB+CD)= 1 2 ×2 = 1. 所以 MN=BM+CN+BC= 9. 2. 解:(1)因为 D 是线段 BC 的中点,CD= 3cm,所以 BC = 2CD= 6cm. 因为 BC= 3AB,所以 AB= 1 3 BC= 2cm,所 以 AC=AB+BC= 2+6= 8(cm); (2)因为 E 是 AC 的中点,所以 EC= 1 2 AC = 4cm,所以 ED=EC-DC= 4-3= 1(cm) . 3. 解:(1)当 t= 1 时,由题意,得 BD = 2cm,PC = 1cm,则 BD= 2PC. 因为 PD= 2AC,所以 BD+PD = 2(PC+AC), 即 PB= 2AP. 因为 AB = 12cm,AB = AP+PB,所以 12 = 3AP,则 AP= 4cm; (2)根据 C、D 的运动速度知:BD = 2PC,因为 PD = 2AC,所以 BD+PD= 2(PC+AC),即 PB= 2AP. 因为 AB = 12cm,所以 AP= 4cm; (3)当点 Q 在线段 AB 上时,因为 AQ-BQ = PQ,所以 AQ=PQ+BQ. 因为 AQ=AP+PQ,所以 AP =BQ. 又因为 PB = 2AP,所以 PQ= 1 3 AB= 4cm;当点 Q 在 AB 的延长 线上时,AQ-BQ=PQ=AB= 12cm. 综上所述,PQ= 4cm 或 12cm. 4. 解:(1)当 DP = 2PE 时,DP = 2 3 DE = 10cm;当 2DP = PE 时,DP= 1 3 DE= 5cm. 综上所述:DP 的长为 5cm 或 10cm. (2)①根据题意,得(1+2) t= 15,解得 t= 5. ②(I)点 P、Q 重合前,AP= t,PQ= 15-t-2t = 15-3t,当 2AP=PQ 时,有 2t= 15-3t,解得 t= 3;当 AP = 2PQ 时, 有 t= 2(15-3t),解得 t= 30 7 ; (II)点 P、Q 重合后,AP = t,PQ = (2-1)( t-5)= t-5, 当 AP= 2PQ 时,有 t= 2( t-5),解得 t= 10;当 2AP=PQ 时,有 2t= t-5,解得 t = -5(不合题意,舍去) . 综上所 述:当 t= 3 秒或 30 7 秒或 10 秒时,点 P 是线段 AQ 的三 等分点. 5. 解:(1)因为 |m-4 | +(n-8) 2 = 0,所以 m-4 = 0,n-8 = 0,所以 m= 4,n= 8,所以 AB= 4,CD= 8; (2)设运动后 M 的对应点为 M′,N 的对应点为 N′. 由 题意可得 BM= 2,CN= 4,M′N′= 4. 若 6 秒后,点 M′在 点 N′左边时,由 MN+NN′=MM′+M′N′,即 2+4+BC+6 ×1= 6×4+4,解得 BC= 16;若 6 秒后,点 M′在点 N′右 边时,则 MM′=MN+NN′+M′N′,即 6×4 = 2+BC+4+6× 1+4,解得 BC= 8. 综上,BC= 16 或 8; (3)运动 t 秒后 MN= | 30-4t | ,AD= | 36-4t | ,当 0≤t< 7. 5 时,MN+AD = 66-8t,当 7. 5≤ t≤9 时,MN+AD = 6,当 t>9 时,MN+AD = 8t-66,所以当 7. 5≤t≤9 时, MN+AD 为定值,定值为 6. 6. 解:(1)因为 OM,ON 分别是∠AOC,∠BOD 的平分 线,所以∠MOC = 1 2 ∠AOC,∠NOD = 1 2 ∠BOD,所以 追梦之旅铺路卷·七年级·ZBR·数学　 第 13 页