追梦专项总结突破卷(一)有理数的相关计算&(二)整式的加减-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年新教材七年级上册数学（人教版2024）

追梦专项总结突破卷(一) 有理数的相关计算 题型 1　 与有理数概念有关的计算问题 1. 已知 a,b 互为相反数,c,d 互为倒数,m 是绝对值等于 3 的负数, 则 m2 +(cd+a+b) ×m+(cd) 2 025 的值为　 　 　 　 . 2. (南京模拟)a,b 互为相反数,c,d 互为倒数, |m | = 2,试求:a +b abm - cdm+m2 的值. 题型 2　 与有理数非负性有关的计算 3. 已知: | a+2 | +(b+1) 2 取最小值,则 ab+ a b = 　 　 　 　 . 4. 如果(a+1) 2 +(2b+3) 2 + | c-1 | = 0,那么ab 3c +a-c b 的值是多少? 题型 3　 与程序、新定义有关的计算 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　5. 学习情境·程序框图 (陕西期末)按如图所示的程序输入-2 进 行计算,请写出输出结果(　 　 ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 中考新趋势·新定义 观察下列两个等式:2- 1 3 = 2× 1 3 +1,5- 2 3 = 5× 2 3 +1 给出定义如下:我们称使等式 a-b= ab+1 成立的一对有 理数“a,b” 为“共生有理数对”,记为(a,b),如:数对(2, 1 3 ), (5, 2 3 )都是“共生有理数对” . (1)通过计算判断数对(1,2)是不是“共生有理数对”; (2)若(m,n)是“共生有理数对”,则( -n,-m)　 　 　 　 “共生有 理数对”(填“是”或“不是”); (3)如果(m,n) 是“共生有理数对”,且 m - n = 4,求( - 5)mn 的值. 题型 4　 与规律有关的计算 7. 学习情境·规律探究 观察下列算式:21 = 2,22 = 4,23 = 8,24 = 16, 25 = 32,26 = 64,27 = 128,28 = 256,……,根据上述算式中的规律, 你认为 22 025 的末位数字是(　 　 ) A. 2 B. 4 C. 8 D. 6 8. 学习情境·规律探究 符号“ f” 表示一种运算,运算规律如下: f(1)= 1- 1 2 , f ( 2) = 1 - 1 3 , f ( 3) = 1 - 1 4 , f ( 4) = 1 - 1 5 , …,则 f(1)·f(2)·f(3)…f(100)= (　 　 ) A. 50 101 B. 1 100 C. 100 101 D. 1 101 题型 5　 与运算法则和运算律有关的混合运算 9. 利用运算律简便运算. (1)( + 1 5 ) +( -2 1 3 ) -( -2 4 5 ) -( +3 2 3 ); (2) -3. 61×0. 75+0. 61× 3 4 +( -0. 2) ×75%. 题型 6　 与数轴有关的动点问题 10. 数学思想·数形结合 如图,直径为 1 个单位的圆片上有一点 A 与数轴上的原点重合,AB 是圆片的直径. (1)把圆片沿数轴向右滚动 1 周,点 A 到达数轴上点 C 的位 置,点 C 表示的数是　 　 　 　 ; (2)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数,圆片在数轴上向 左滚动的周数记为负数,依次运动情况记录如下:+2,-1,+3, -4,-3. ①第几次滚动后,A 点距离原点最近? ②当圆片结束运动时,A 点运动的路程共有多少? 此时点 A 所 表示的数是多少? ·32· 追梦专项总结突破卷(二) 整式的加减 题型 1　 整式的化简及求值 1. 学习情境·错解问题 有这样一道题:“求(2x3 -3x2y-2xy2 ) -(x3 - 2xy2 +y3) +( -x3 +3x2y-y3 )的值,其中 x = - 1 2 ,y = -1”,小马虎把 “x= - 1 2 ”错抄成“x = 1 2 ”,但他计算的结果却是正确的,你觉得 可能吗? 请用具体过程说明为什么? 2. 科技情境·航空航天 神舟十八号载人飞船成功发射. 结合这么 具有纪念意义的历史时刻,王老师给出一个新定义:A,B 是两个 整式,如果 2A+3B= 124,那么 A 叫作 B 的“神舟式” . (1)若 A= -3x+5,B = -5x-4,当 x = -6 时,求 A,B 的值,请你判 断此时 A 是否为 B 的“神舟式”; (2)若 A= -x2 -3x+5,A 是 B 的“神舟式”,求整式 B; (3)若 A= 1 3 (2x+ 2),B = 1 2 (3x+ 4),A 是 B 的“神舟式”,求 x 的值. 题型 2　 整式加减中的无关型问题 3. 学习代数式求值时,遇到这样一类题“代数式 ax-y+6+3x-5y-1 的值与 x 的取值无关,求 a 的值”,通常的解题方法是:把 x,y 看 作字母,a 看作系数,合并同类项,因为代数式的值与 x 的取值 无关,所以含 x 项的系数为 0,即原式= (a+3)x-6y+5,所以 a+3 = 0,则 a= -3. (1)若关于 x 的多项式(2x- 3)m+ 2m2 - 3x 的值与 x 的取值无 关,求 m 值; (2)已知 A= (2x2 -x-1) -(x-3xy),B= -x2 +xy-1,且 3A+6B 的值 与 x 的取值无关,求 y 的值; 【能力提升】 (3)7 张如图 1 的小长方形,长为 a,宽为 b,按照图 2 方式不重 叠地放在大长方形 ABCD 内,大长方形中未被覆盖的两个部分 (图中阴影部分),设右上角的面积为 S1,左下角的面积为 S2,当 AB 的长变化时,S1 -S2 的值始终保持不变,求 a 与 b 的等量 关系. 图 1 　 　 图 2 题型 3　 整式中的规律 4. (云南中考)按一定规律排列的单项式:a2,- 4a3,9a4,- 16a5, 25a6,……,第 n 个单项式是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. ( -1) n+1n2an+1 B. ( -1) nn2an+1 C. ( -1) n+1n2an D. ( -1) nn2an 5. 下列图形是按照一定规律画出的. 对于第 n 个图形,有 x 个正方 形和一定数量的三角形,三角形的个数可以表示为(　 　 ) A. 4x-4 B. 4n-4 C. 4x+n D. 4n+x 6. 服饰文化·民族服饰 少数民族服饰以其精美的花纹和艳丽的色 彩越来越受到设计师们的喜爱. 某民族服饰的花边均是由若干 个基础图形组成的有规律的图案:第 1 个图案由 4 个基础图形 组成,第 2 个图案由 7 个基础图形组成,第 3 个图案由 10 个基 础图形组成,…,如图,按此规律排列下去,第 2 025 个图案中的 基础图形个数为(　 　 ) 　 　 A. 6 067 B. 6 070 C. 6 073 D. 6 076 题型 4　 数形结合思想 7. 如图:在数轴上点 A 表示数 a,点 B 表示数 b,点 C 表示数 c,数 a 是多项式-2x2 -3x+1 的一次项系数,数 b 是最大的负整数,数 c 是单项式- 1 2 x2y 的次数. (1)a= 　 　 　 　 ,b= 　 　 　 　 ,c= 　 　 　 　 . (2)点 A,B,C 开始在数轴上运动,若点 B 和点 C 分别以每秒 1 个单位长度和每秒 3 个单位长度的速度向右运动,点 A 以每秒 2 个单位长度的速度向左运动,t 秒过后,若点 A 与点 B 之间的 距离表示为 AB, 点 B 与点 C 之间的距离表示为 BC, 则 AB= 　 　 　 　 ,BC= 　 　 　 　 . (用含 t 的代数式表示) (3)试问:3BC-2AB 的值是否随着时间 t 的变化而改变? 若变 化,请说明理由;若不变,请求出这个值. ·42· 20. 解:因为 OM,ON 分别为∠AOC,∠AOB 的平分线, 所以 ∠AOM = 1 2 ∠AOC,∠AON = 1 2 ∠AOB. 因为 ∠AOC 与∠AOB 互补,且∠AOC+∠COD = 180°,所 以∠AOB=∠COD. (2 分) 因为∠MON =∠AOM-∠AON = 1 2 ∠AOC- 1 2 ∠AOB = 1 2 (∠AOC-∠AOB)= 1 2 ∠BOC,∠MON = 40°,所 以∠BOC= 80°, (6 分) 所以∠AOB=∠COD= 1 2 (180°-∠BOC)= 50°, (8 分) 所以∠AOC= 180°-∠COD= 130°. (10 分) 21. 解:(1)120°　 110° (2 分) (2)∠AOC=∠BOD. (3 分) 理由如下:因为∠AOC+∠BOC= 90°,∠BOD+∠BOC = 90°,所以∠AOC=∠BOD; (6 分) (3)成立. (7 分) 理由 如 下: 因 为 ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 90° + ∠BOC,∠BOD=∠COD+∠BOC = 90°+∠BOC,所以 ∠AOC=∠BOD. (10 分) 22. 解:(1)2 (2 分) (2)设 t 秒后 P、Q 第一次重合,得 t+3t= 10,解得 t = 2. 5,所以 BQ= 3t= 7. 5; (4 分) (3)存在. 设 x 秒后点 Q 恰好落在线段 AP 的中点 上,根据题意,得①当点 Q 从点 B 出发到点 A 时,即 0<x≤ 10 3 时,有 x= 2(10-3x),解得 x= 20 7 ; (6 分) ②当点 Q 到达点 A 后,从点 A 到点 B 时,即 10 3 <x≤ 20 3 时,有 x= 2(3x-10),解得 x= 4; (8 分) ③当点 Q 第一次返回到 B 后,从 B 到 A 时,即 20 3 <x ≤10 时,有 x= 2(30-3x),解得 x = 60 7 ;综上所述,当 x= 20 7 或 x= 4 或 x = 60 7 时,点 Q 恰好落在线段 AP 的 中点上. (10 分) 23. 解:(1)是 (2 分) (2)15°或 22. 5°或 30° (5 分) 【解析】设∠AOC = x,①∠BOC = 2∠AOC = 2x,由题 意得,x+2x = 45°,解得 x = 15°;②∠AOB = 2∠AOC, 由题 意 得, 2x = 45°, 解 得 x = 22. 5°;③ ∠AOC = 2∠BOC,由题意得,x+ 1 2 x = 45°,解得 x = 30°,综上 所述:∠AOC 的度数为 15°或 22. 5°或 30°; (3)当 0< t≤4 时,∠MON = (60+20t-15t)° = (60+ 5t)°,∠AON = (60-15t)°,若 OA 是∠MON 的幸运 线,则∠AON= 1 2 ∠MON,即 60-15t= 1 2 (60+5t),解 得 t= 12 7 ;∠AON = 1 3 ∠MON,即 60 - 15t = 1 3 (60 + 5t),解得 t = 12 5 ;∠AON = 2 3 ∠MON,即 60 - 15t = 2 3 (60+5t),解得 t= 12 11 ; (8 分) 当 4<t<9 时,∠MOA = (20t)°,∠AON = (15t-60)°, 若 ON 是∠MOA 的幸运线,则∠AON = 1 2 ∠MOA,即 15t - 60 = 1 2 × 20t, 解 得 t = 12 ( 舍 ); ∠AON = 1 3 ∠MOA,即 15t-60 = 1 3 ×20t,解得 t = 36 5 ;∠AON = 2 3 ∠MOA,即 15t-60 = 2 3 ×20t,解得 t = 36(舍) . 故 t 的值是 12 7 或 12 5 或 12 11 或 36 5 . (11 分) 追梦专项总结突破卷(一) 有理数的相关计算 1. 7　 【解析】由题意,得 a+b = 0,cd = 1,m = -3. 原式 = 9 -3×(1+0)+1= 7. 2. 解:由题意,得 a+b= 0,cd= 1,m= ±2. 当 m= 2 时,原式 = 0-1×2+22 = 2;当 m = -2 时,原式 = 0-1×( -2) + (-2) 2 = 6,综上所述, a+b abm -cdm+m2 的值为 2 或 6. 3. 4 4. 解:由题意,得 a+1= 0,2b+3= 0,c-1 = 0,解得 a = -1, b= - 3 2 ,c= 1,原式= -1×(- 3 2 ) 3×1 + -1-1 - 3 2 = 1 2 + 4 3 = 11 6 . 5. A 6. 解:(1)因为 1-2= -1,1×2+1 = 3,所以 1-2≠1×2+1, 所以数对(1,2)不是“共生有理数对”; (2)是 (3)因为(m,n)是“共生有理数对”,所以 m-n =mn+ 1,因为 m-n = 4,所以 mn = 3,所以( -5) mn = ( -5) 3 = -125. 7. A　 【解析】因为 21 = 2,22 = 4,23 = 8,24 = 16,25 = 32,26 = 64,27 = 128,28 = 256,…,末位数字按照 2,4,8,6,4 个数字为循环组进行循环,所以 2025÷4 = 506……1, 所以末位数字是 2. 故选 A. 8. D　 【解析】根据题中的新定义得:原式 = (1- 1 2 ) ×(1 - 1 3 )×(1- 1 4 )×…×(1- 1 101 )= 1 2 × 2 3 × 3 4 ×…× 100 101 = 1 101 . 故选 D. 9. 解:(1)原式=( 1 5 +2 4 5 )+(-2 1 3 -3 2 3 )= 3-6= -3. (2)原式= -3. 61×0. 75+0. 61×0. 75+(-0. 2) ×0. 75 = 0. 75×(-3. 61+0. 61-0. 2)= 0. 75×(-3. 2)= -2. 4. 10. 解:(1)π (2)①依次运动的终点的位置为 2π,π,4π,0,-3π, 所以第四次滚动后,A 点距离原点最近; 追梦之旅铺路卷·七年级·ZBR·数学　 第 11 页 ②|2π | + | -π | + | 3π | + | -4π | + | -3π | = 13π,当圆片 结束运动时,A 点运动的路程共有 13π,此时点 A 所 表示的数是-3π. 追梦专项总结突破卷(二) 整式的加减 1. 解:可能,理由:原式= 2x3-3x2y-2xy2-x3+2xy2-y3-x3 +3x2y-y3 = -2y3,因为化简后的结果不含 x,所以原式 的值与 x 值无关,所以他计算的结果正确. 2. 解:(1)当 x = -6 时:A = -3×( -6) +5 = 23,B = -5× (-6)-4= 26,所以 2A+3B= 2×23+3×26 = 124,所以 A 是 B 的“神舟式”; (2)因为 A 是 B 的“神舟式”,所以 2A+3B= 124,所以 3B= 124-2A,所以 B = 1 3 (124-2A)= 1 3 (124+2x2+6x -10)= 2 3 x2+2x+38; (3)因为 A 是 B 的“神舟式”,所以 2A+3B = 2 3 (2x+ 2)+ 3 2 (3x+4)= 124,解得 x= 20. 3. 解:(1)原式 = 2mx-3m+2m2 -3x = (2m-3) x+2m2 - 3m,因为其值与 x 的取值无关,所以 2m-3= 0,解得 m = 3 2 ; (2)由题意,得 3A+6B = 3[(2x2 -x-1) -( x-3xy)] + 6(-x2+xy-1)= 3x(5y-2) -9,因为 3A+6B 的值与 x 的取值无关,所以 5y-2= 0,解得 y= 2 5 ; (3)设 AB= x,由图可知 S1 = a(x-3b),S2 = 2b(x-2a), 所以 S1-S2 = a(x-3b) -2b(x-2a)= (a-2b) x+ab,因 为当 AB 的长变化时,S1-S2 的值始终保持不变,所以 S1-S2 的值与 x 的取值无关,所以 a-2b= 0,a= 2b. 4. A　 5. A 6. D　 【解析】观察图形,可知第 1 个图案由 4 个基础图 形组成,即 4= 1×3+1,第 2 个图案由 7 个基础图形组 成,即 7= 2×3+1,第 3 个图案由 10 个基础图形组成, 即 10= 3×3+1,……,第 n 个图案的基础图形的个数 为:3n+1. 所以第 2025 个图案的基础图形的个数为: 3×2025+1= 6076. 故选 D. 7. 解:(1)-3　 -1　 3 (2)3t+2　 2t+4 (3)3BC-2AB 的值不改变. 3BC-2AB= 3(2t+4) -2(3t +2)= 6t+12-6t-4= 8. 追梦专项总结突破卷(三) 一元一次方程 1. 解:(1)去括号,得 9-2x-6= x-3-6x. 移项,得-2x-x+ 6x= -3-9+6. 合并同类项,得 3x = -6. 系数化为 1,得 x= -2. (2)整理,得 10x 7 -17 -20x 3 = 1. 去分母,得 30x-7(17- 20x)= 21. 去括号,得 30x-119+140x = 21. 移项、合并 同类项,得 170x= 140. 系数化为 1,得 x= 14 17 . 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　方法点拨:当方程的分数中含有小数时,要先把小数 变成整数(在此过程中同一个分数的分子、分母中所 有的项都要同时乘同一个数),然后再按照解一元一 次方程的步骤进行解答. 2. 解:小亮:去分母,得 10-2x = 18-4(2x-10) . 去括号, 得 10-2x= 18-8x+40. 移项,得-2x+8x = 18+40-10. 合并同类项,得 6x= 48. 系数化为 1,得 x= 8; 小颖:将(10-2x)及(2x-10)看作一个整体,移项,得 1 3 (10-2x)+ 4 3 (2x-10)= 6,即- 1 3 (2x-10) + 4 3 (2x- 10)= 6. 合并同类项,得 2x-10 = 6. 移项、合并同类 项,得 2x= 16. 系数化为 1,得 x= 8. 3. -4　 【解析】由题意,得 x+3+x+ | x+3-x | 2 = - 1,所以 2x+3+3 2 = -1,所以 2x= -8,x= -4. 4. -21　 【解析】解方程 x-6 2 = -6,得 x = -6,解方程 x 2 + m 3 = x-4,得 x= 2 3 m+8,因为两个方程的解相同,所以 2 3 m+8= -6,解得 m= -21. 5. - 19 5 　 【解析】解方程 2(x-1)-3(x+1)= 0,得 x = -5, 因为两个方程的解互为相反数,所以方程 k+x 2 -3k-2 = 2x 的解为 x= 5,把 x= 5 代入方程 k+x 2 -3k-2= 2x,得 k+5 2 -3k-2= 10,解得 k= - 19 5 . 6. 解:由题意,得 3y+a=2y+4. 即 y = 4-a. 因为 y = 3,所以 4-a=3,解得 a=1.则原方程为 3(y+1)= 2y+4,解得 y= 1.综上所述,a 的值是 1,方程的正确的解是 y=1. 7. 解:(1)a　 -a (2)原方程化为 | 3x+1 | = 5,当 3x+1≥0 时,方程可化 为 3x+1= 5,解得 x= 4 3 ;当 3x+1<0 时,方程可化为 3x +1= -5,解得 x= -2,所以原方程的解是 x = 4 3 或 x = -2; (3)m≥0 8. A 9. 解:(1)设购进 A 品牌运动裤 x 条,则购进 B 品牌运 动裤(100-x)条. 根据题意,得 200×(100-x) -150x = 6000,解得 x = 40. 所以 100-x = 60. 即购进 A 品牌运 动裤 40 条,购进 B 品牌运动裤 60 条; (2)设有 y 条 B 品牌运动裤打七折出售,B 品牌运动 裤每条按进价加价 100%后的售价为 200×(1+100%) = 400(元) . 根据题意,得(230-150) ×40+(400-200) ×(60-y)+(400×70%-200) y = 14000. 解得 y = 10. 即 有 10 条 B 品牌运动裤打七折出售. 10. 解:(1)3x+3　 3y+21 (2)存在. 设所框出的四个数最小的一个为 a,则另 外三个分别是:(a+1)、(a+7)、(a+8),则 a+(a+1) 追梦之旅铺路卷·七年级·ZBR·数学　 第 12 页