追梦专项总结突破卷(四)相交线和平行线-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年新教材七年级上册数学（华东师大版2024）

追梦专项总结突破卷(四) 相交线和平行线 题型 1　 垂线、对顶角、邻补角、角平分线的综合应用 1. 如图,直线 AB,CD 相交于点 O,EO⊥AB,垂足为点 O,∠COE = 146°,则∠BOD= (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 30° B. 56° C. 46° D. 136° 第 1 题图 　 第 2 题图 　 第 3 题图 2. 如图,已知点 O 在直线 AB 上,CO⊥DO 于点 O,若∠1 = 137°,则 ∠3 的度数为(　 　 ) A. 37° B. 43° C. 47° D. 53° 3. 若直线 a,b,c 相交如图所示,则∠3 的内错角为(　 　 ) A. ∠4 B. ∠1 C. ∠5 D. ∠2 4. 已知直线 AB,CD 相交于点 O,OE 平分∠AOC,射线 OF⊥CD 于 点 O,且∠BOF= 40°,则∠COE= 　 　 　 　 . 5. 如图,直线 AB,CD 相交于点 O,OM⊥AB. (1)若∠COM= ∠AON,求∠CON 的度数; (2)在(1)的条件下,若∠BON-∠COM=∠BOC,求∠AOD 的度数. 6. (沈丘期末)如图,直线 AB,CD 相交于点 O,OE 平分∠BOC, ∠COF= 90°. (1)若∠BOE= 65°,求∠AOF 的度数; (2)若∠BOD ∶∠BOE= 1 ∶2,求∠AOF 的度数. 题型 2　 平行线中的折叠问题 7. 如图,将一张上、下两边平行(即 AB∥CD)的纸带沿直线 MN 折 叠,EF 为折痕. (1)试说明∠1 = ∠2; (2)已知∠2 = 40°,求∠BEF 的度数. 题型 3　 平行线中的镜面反射应用 8. 跨学科试题·物理 (茶城期末)实验证明,平面镜反射光线的规 律是:射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的 锐角相等. (1)如图,一束光线 m 射到平面镜 a 上,被 a 反射到平面镜 b 上,又被 b 反射,若被 b 反射出的光线 n 与光线 m 平行,且∠1 = 50°,则∠2 = 　 　 　 　 ,∠3 = 　 　 　 　 . (2)在(1)中,若∠1 = 40°,则∠3 = 　 　 　 　 ; (3)由(1)、(2),请你猜想:当两平面镜 a、b 的夹角∠3=　 　 　 　 时,可以使任何射到平面镜 a 上的光线 m,经过平面镜 a、b 的两 次反射后,入射光线 m 与反射光线 n 平行. 请说明理由. 题型 4　 平行线中的拐点问题 9. 如图,AB∥EF,CD⊥EF,∠BAC= 50°,则∠ACD 等于(　 　 ) A. 120° B. 130° C. 140° D. 150° 10. 如图,已知直线 AB∥CD,则 α、β、γ 之间的关系是(　 　 ) A. α+β-2γ= 180° B. β-α=γ C. α+β+γ= 360° D. β+γ-α= 180° 第 10 题图 　 　 　 　 第 11 题图 　 　 11. 将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放,两个三 角板的一直角边重合,含 30°角的直角三角板的斜边与纸条一 边重合,含 45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一条边上, 则∠1 的度数是　 　 　 　 . 12. 社会发展情境·公路村村通 综合与探究 问题情境:“公路村村通”的政策让公路修到了山里,蜿蜒的盘 山公路连接了山里与外面的世界. 数学活动课上,老师把山路 抽象成图 1 所示的样子,并提出了一个问题: 如图 1,AB∥CD,∠B= 125°,∠C= 25°,求∠BPC 的度数. 小康的解法如下: 解:如图 1,过点 P 作 PQ∥AB. ∵ AB∥CD, ∴ PQ∥CD(根据 1) . ∵ AB∥PQ, ·72· ∴ ∠B+∠BPQ= 180°(根据 2) . … (1)①小康的解法中的根据 1 是指　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ; ②根据 2 是指　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . (2)按照上面小康的解题思路,完成小康剩余的解题过程. (3)聪明的小明在图 1 的基础上,将图 1 变为图 2,其中 AB∥ CD,∠B= 125°,∠PQC= 65°,∠C= 145°,求∠BPQ 的度数. 　 　 图 1 　 　 图 2 13. (济南期末)【阅读理解】 两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线 进行转化. 例如:如图 1,MN∥PQ,点 C、B 分别在直线 MN、PQ 上,点 A 在 直线 MN、PQ 之间. 求证:∠CAB= ∠MCA+∠PBA; 证明:如图 1,过点 A 作 AD∥MN. ∵ MN∥PQ,AD∥MN, ∴ AD∥MN∥PQ,(如果两条直线都和第三条直线平行,那么这 两条直线也互相平行) ∴ ∠MCA = ∠DAC, ∠PBA = ∠DAB, (两直线平行,内错角相 等) ∴ ∠CAB= ∠DAC+∠DAB= ∠MCA+∠PBA, 即:∠CAB= ∠MCA+∠PBA. 【类比应用】 已知直线 AB∥CD,P 为平面内一点,连结 PA、PD. (1)如图 2,已知∠A = 50°,∠D = 150°,求∠APD 的度数,请说 明理由. (2)如图 3,设∠PAB=α、∠CDP=β,猜想 α、β、∠P 之间的数量 关系为　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 【联系拓展】 (3)如图 4,直线 AB∥CD,P 为平面内一点,连结 PA、PD. AP⊥ PD,DN 平分∠PDC,若∠PAN+ 1 2 ∠PAB = ∠P,运用(2)中的结 论,则∠N 的度数为　 　 　 　 . 图 1 　 　 图 2 图 3 　 　 图 4 题型 5　 平行线中的动点问题 14. 学习情境·类比探究 已知直线 l1∥l2,直线 l3 和直线 l1,l2 交于 点 C 和 D,点 P 是直线 l3 上一动点. (1)猜想论证:如图 1,当点 P 在线段 CD 上运动时,∠PAC, ∠APB,∠PBD 之间存在什么数量关系? 并说明理由. 请把下列过程补充完整: 猜想:∠APB= ∠PAC+∠PBD. 证明:过点 P 作 PM∥l1 . ∵ l1∥l2, ∴ 　 　 　 　 (如果两条直线都和第三条直线平行,那么 这两条直线也互相平行) . 又∵ PM∥l1,PM∥l2, ∴ ∠APM= ∠PAC,　 　 　 　 = ∠PBD (　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ) . ∵ ∠APB= ∠APM+∠BPM, ∴ ∠APB= ∠PAC+∠PBD(　 　 　 　 　 　 　 　 ) . (2)类比探究: ①如图 2,当点 P 在线段 CD 的延长线上运动时,上述(1)中的 结论是否成立? 若不成立,请写出∠PAC,∠APB,∠PBD 之间 的数量关系,并说明理由; ②如图 3,当点 P 在线段 DC 的延长线上运动时,请直接写出 ∠PAC,∠APB,∠PBD 之间的数量关系,不必写理由. 图 1 　 　 　 图 2 　 　 　 图 3 ·82· 主视图 　 　 左视图 (2)6 3. D　 4. 4　 5. B　 6. B 7. 垂线段最短 8. 解:(1)3 (2)∵ DB= 2. 5cm,AD= 8. 5cm,∴ AB=AD+BD = 11(cm), ∴ AC=BC= 5. 5(cm) . 当点 E 在线段 CA 上时,则 CE=AC -AE= 5. 5-3 = 2. 5(cm); 当点 E 在线段 CA 的延长线上时,则 CE=AC+AE= 5. 5+3 = 8. 5(cm); 综上所述,线段 CE 的长度为 2. 5cm 或 8. 5cm. (3) 11 3 　 3 或13 3 9. 解:(1)7 或 9 (2)设 BC= x,则 AD = AB+BC+CD = 8+x. ∵ 点 P、Q 分别 为 AD、BC 的中点,∴ PD= 1 2 AD= 4+ 1 2 x,CQ = 1 2 x,∴ PQ =PD-CD-CQ= 4+ 1 2 x-2- 1 2 x= 2; (3)设线段 CD 运动的时间为 t,则 AM = 2t,BC = t,∴ BM =AB-AM= 6-2t 或 BM=AM-AB = 2t-6,BD =BC+CD = t+ 2. ∵ 点 N 是线段 BD 的中点,∴ DN=BN= 1 2 BD= 1 2 t+1. ∵ MN= 2DN,∴ 6-2t+ 1 2 t+1 = 2( 1 2 t+1)或(2t-6) -( 1 2 t +1)= 2( 1 2 t+1),解得 t= 2 或 t= 18,故线段 CD 运动的时 间为 2s 或 18s. 10. B 11. 解:(1)20 (2)∵ OC 平分∠EOB,∠BOC= 70°,∴ ∠EOB = 2∠BOC = 140°. ∵ ∠DOE = 90°, ∴ ∠BOD = ∠BOE - ∠DOE = 50°. ∴ ∠COD= ∠BOC-∠BOD= 20°; (3) ∠COE - ∠BOD = 20°, 理由: ∵ ∠BOD + ∠COD = ∠BOC= 70°,∠COE+∠COD = ∠DOE = 90°,∴ ( ∠COE +∠COD)-(∠BOD+∠COD) = ∠COE+∠COD-∠BOD - ∠COD = ∠COE - ∠BOD = 20°, 即 ∠COE - ∠BOD = 20°. 12. 解:(1)∵ ∠BOC= ∠AOB+∠AOC = 120°,射线 OM 平分 ∠BOC,∴ ∠COM = 1 2 ∠BOC = 60°. ∵ ON 平分∠AOC, ∴ ∠CON= 1 2 ∠AOC = 15°,∴ ∠MON = ∠COM-∠CON = 60°-15° = 45°; (2) ∵ ∠BOC = ∠AOB + ∠AOC = α + β,射线 OM 平分 ∠BOC,∴ ∠COM = 1 2 ∠BOC = 1 2 (α+ β) . ∵ ON 平分 ∠AOC,∴ ∠CON= 1 2 ∠AOC= 1 2 β,∴ ∠MON= ∠COM- ∠CON= 1 2 (α+β)- 1 2 β= 1 2 α; (3)∵ AB=m,BC=n,∴ AC=AB+BC=m+n. ∵ 点 M,N 分 别为 AC,BC 的中点,∴ CM = 1 2 AC = 1 2 (m+n),CN = 1 2 BC= 1 2 n,∴ MN=CM-CN= 1 2 m. 13. 解:(1)15 (2)EF 的长度不变,理由:∵ E、F 分别是 AC、BD 的中 点,∴ EC= 1 2 AC,DF= 1 2 DB,∴ EF=EC+CD+DF = 1 2 AC +CD+ 1 2 DB= 1 2 (AC+DB)+CD= 1 2 (AC+CD+DB-CD) + CD= 1 2 (AB-CD) +CD = 1 2 (AB+CD) . ∵ AB = 24cm,CD = 6cm,∴ EF= 1 2 ×(24+6)= 15(cm); (3)①∵ OE、OF 分别平分∠AOC 和∠BOD,∴ ∠COE = 1 2 ∠AOC, ∠DOF = 1 2 ∠BOD, ∴ ∠EOF = ∠EOC + ∠COD+ ∠DOF = 1 2 ∠AOC + ∠COD + 1 2 ∠BOD = 1 2 (∠AOC+∠BOD)+∠COD= 1 2 (∠AOC+∠COD+∠BOD -∠COD)+∠COD = 1 2 ∠AOB+ 1 2 ∠COD = 1 2 ( ∠AOB+ ∠COD)= 90°; ②∠EOF= 1 2 (∠AOB+∠COD) . 　 【解析】∵ OE、OF 分 别平分∠AOC 和∠BOD,∴ ∠COE = 1 2 ∠AOC,∠DOF = 1 2 ∠BOD, ∴ ∠EOF = ∠EOC + ∠COD + ∠DOF = 1 2 ∠AOC + ∠COD + 1 2 ∠BOD = 1 2 ( ∠AOC + ∠BOD) + ∠COD= 1 2 (∠AOC+∠COD+∠BOD-∠COD) +∠COD = 1 2 ∠AOB+ 1 2 ∠COD= 1 2 (∠AOB+∠COD) . 追梦专项总结突破卷(四) 相交线和平行线 1. B　 2. C　 3. C 4. 65°或 25° 5. 解:(1)∵ OM⊥AB,∴ ∠AOM = ∠BOM = 90°,∴ ∠COM+ ∠AOC= 90°. ∵ ∠COM= ∠AON,∴ ∠AON+∠AOC = 90°, 即∠CON= 90°; (2) 设∠AON = x,则∠COM = x,∴ ∠BON = 180° - x. ∵ ∠AOM= ∠BOM= 90°,由(1)知∠CON = 90°,∴ ∠DON = 90°. ∴ ∠BOC = ∠AOD = 90° + x. ∵ ∠BON - ∠COM = ∠BOC,∴ 180°-x-x= 90°+x,解得 x= 30°,∴ ∠AOD = 90° +30° = 120°. 6. 解: ( 1) ∵ OE 平分 ∠BOC, ∠BOE = 65°, ∴ ∠BOC = 2∠BOE = 130°, ∴ ∠AOC = 50°. 又 ∵ ∠COF = 90°, ∴ ∠AOF= 40°; 追梦之旅铺路卷·七年级上·ZBH·数学　 第 12 页 (2)∵ OE 平分∠BOC,∴ ∠BOD ∶ ∠BOE ∶ ∠EOC = 1 ∶2 ∶ 2,∴ ∠BOD = 36°,∴ ∠AOC = 36°. 又∵ ∠COF = 90°,∴ ∠AOF= 54°. 7. 解:(1) ∵ AB∥CD,∴ ∠MEB = ∠MFD. ∵ A′E∥C′F,∴ ∠MEA′ = ∠MFC′, ∴ ∠MEA′ - ∠MEB = ∠MFC′ - ∠MFD,即∠1 = ∠2; (2)由折叠知,∠C′FN = 180° -∠2 2 = 70°,∵ A′E∥C′F,∴ ∠A′EN = ∠C′FN = 70°. ∵ ∠1 = ∠2,∴ ∠BEF = 70°+40° = 110°. 8. 解:(1)100°　 90° (2)90° (3)90° 理由:∵ ∠3 = 90°,∴ ∠4+∠5 = 90°. 又∵ 由题意知∠1 = ∠4,∠5 = ∠6,∴ ∠2 + ∠7 = 180° - ( ∠5 + ∠6) + 180° - (∠1+∠4) = 360° - 2∠4 - 2∠5 = 360° - 2( ∠4 + ∠5) = 180°. ∴ m∥n. 9. C 10. D　 【解析】过 E 向左作直线 EF∥AB,∴ ∠FEA = ∠EAB =α,∴ ∠FED = ∠AED-∠FEA = β-α. ∵ AB∥CD,EF∥ AB,∴ FE∥CD,∴ ∠D+∠FED = 180°,∴ β+γ-α = 180°. 故选 D. 11. 15° 12. 解:(1)①平行于同一条直线的两条直线互相平行 ②两直线平行,同旁内角互补 (2) ∵ PQ∥CD, ∴ ∠C = ∠CPQ. ∵ ∠B = 125°, ∠C = 25°,∴ ∠BPC= ∠BPQ+∠QPC= 180°-∠B+∠C= 80°; (3)过点 P 向左作 PN∥AB,过点 Q 向右作 QM∥AB,∵ AB∥CD,∴ PN∥QM∥CD,∴ ∠B+∠BPN = 180°,∠NPQ = ∠PQM,∠MQC+ ∠C = 180°. ∵ ∠B = 125°,∠PQC = 65°,∠C = 145°,∴ ∠BPN = 180° - ∠B = 55°,∠CQM = 180°-∠C = 35°,∴ ∠PQM = ∠PQC- ∠CQM = 30°,∴ ∠NPQ= ∠PQM= 30°,∴ ∠BPQ= ∠BPN+∠NPQ= 85°. 13. 解:(1)过点 P 向左作 PE∥AB,∵ AB∥CD,∴ AB∥PE∥ CD,∴ ∠APE= ∠A = 50°,∠DPE+∠D = 180°,∴ ∠DPE = 180°-150° = 30°,∴ ∠APD= ∠APE+∠DPE = 50°+30° = 80°; (2)α+β-∠P= 180° (3)45° 　 【解析】设 PD 交 AN 于点 O,∵ AP⊥PD,∴ ∠APO= 90°. ∵ ∠PAN+ 1 2 ∠PAB = ∠P,∴ ∠PAN+ 1 2 ∠PAB = 90°. ∵ ∠POA + ∠PAN = 90°, ∴ ∠POA = 1 2 ∠PAB. ∵ ∠POA = ∠NOD,∴ ∠NOD = 1 2 ∠PAB. ∵ DN 平分 ∠PDC,∴ ∠ODN = 1 2 ∠PDC,∴ ∠AND = 180° - ∠NOD-∠ODN = 180°- 1 2 (∠PAB+∠PDC),由(2)得 ∠CDP+∠PAB-∠APD = 180°,∴ ∠CDP+∠PAB = 180° +∠APD,∴ ∠AND= 180°- 1 2 (∠PAB+∠PDC)= 180°- 1 2 (180°+∠APD)= 45°. 14. 解:(1)PM∥l2 　 ∠BPM 两直线平行,内错角相等　 等量代换 (2)①(1)中的结论不成立,∠APB = ∠PAC-∠PBD. 理 由如下:过点 P 作 PN∥l1 ,点 N 在点 P 的右侧. ∵ l1∥l2 , ∴ PN∥l2 . 又∵ PN∥l1 ,PN∥l2 ,∴ ∠APN = ∠PAC,∠BPN = ∠PBD. ∵ ∠APB = ∠APN-∠BPN,∴ ∠APB = ∠PAC -∠PBD; ②∠APB= ∠PBD-∠PAC. 　 【解析】过点 P 作 PH∥l1, 点 H 在点 P 的右侧. ∵ l1∥l2,∴ PH∥l2∥l1 . ∴ ∠APH = ∠PAC,∠BPH = ∠PBD. ∴ ∠APB = ∠BPH - ∠APH = ∠PBD-∠PAC. 追梦期末达标测试卷(一) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C C A B A D B B B 1. D　 2. C　 3. C　 4. A　 5. B 6. A　 【解析】根据 a、b、c 在数轴上的位置得 c<a<0<b, | a | < | b | < | c | ,∴ a+b>0,c-b<0. ∴ | a+b | - | c-b | = a+b-(b- c)= a+b-b+c=a+c. 故选 A. 7. D 8. B　 【解析】设直线 a 与 BD 相交于点 O,在三角形 ABO 中,∠OAB= 180°-(∠1+∠B)= 115°. ∵ a∥b,∴ ∠OAB = ∠2+∠DCB= 115°. 又∵ ∠DCB = 90°,∴ ∠2 = 115°- 90° = 25°. 故选 B. 9. B 　 【解析】 ∵ ∠1 = 50°, ∴ 由 折 叠 可 知, ∠BFE = 1 2 (180°-∠1)= 65°,又∵ 长方形对边平行,∴ ∠BFE+ ∠AEF= 180°,∴ ∠AEF= 115°. 故选 B. 10. B　 【解析】当 OB 在直线 CD 的上方时,∵ ∠AOB= 90°, ∴ α+β+∠AOB= 180°,即∠α+β = 90°,∴ 此时 α 与 β 互 余,α 增大, β 减小,;当 OB 在直线 CD 的下方时且 ∠BOD=β = 45°时,∵ ∠AOB = 90°,∴ ∠AOD = β = 45°. ∵ ∠AOC+∠AOD = 180°,∴ α+β = 180°,即 α 与 β 有可 能互补,故甲错误乙正确;当 OB 在直线 CD 的下方时, ∵ ∠AOB = 90°,∴ ∠AOD = 90° -β. ∵ ∠AOC+∠AOD = 180°,∴ α-β= 90°,即 β=α-90°,此时 α 增大,β 增大,故 丙错误. 故选 B. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　方法点拨:本题主要考查了旋转的定义、互补的定义、互 余的定义等知识点,掌握分类讨论思想是解答本题的关 键. 分 OB 在直线 CD 的上方、OB 在直线 CD 的下方时且 ∠BOD=β= 45°和 OB 在直线 CD 的下方三种情况,分别 画图解答即可. 11. 1 2024 12. -3　 【解析】[2. 7]+[-4. 5] = 2+(-5)= -3. 13. 11°40′20″ 14. C12 H26 　 【解析】由化学式的规律可知碳原子的个数为 顺序数,氢原子的个数比碳原子个数的 2 倍多 2 个,∴ 十二烷的化学式为 C12 H26 . 15. 100　 80　 【解析】因为 CD∥OA,所以∠BDC = ∠AOB, 所以∠BDC= ∠EDO = 40°,所以∠CDE = 180°-∠BDC- ∠EDO= 180°-40°-40° = 100°,所以∠AED= 80°. 追梦之旅铺路卷·七年级上·ZBH·数学　 第 13 页