追梦专项总结突破卷(五)线段与角的相关计算&数据的收集与整理-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年新教材七年级上册数学（沪科版2024）

追梦专项总结突破卷(五) 线段与角的相关计算 题型 1　 线段的中点问题 1. 如图,已知 B、C 在线段 AD 上. (1)图中共有　 　 　 　 条线段; (2)若 AB<CD. ①比较线段的长短:AC　 　 　 　 BD(填“ >”“ = ”或“ <”); ②若 AD= 10,BC = 8,M 是 AB 的中点,N 是 CD 的中点,求线段 MN 的长度. 2. 如图,延长线段 AB 到 C,使 BC = 3AB,点 D 是线段 BC 的中点, 如果 CD= 3 cm. (1)求 AC 的长度; (2)若点 E 是线段 AC 的中点,求 ED 的长度. 题型 2　 线段的动点问题 3. 如图,P 是线段 AB 上一点,AB= 12 cm,C、D 两点分别从点 P、点 B 出发以 1 cm / s、2 cm / s 的速度沿直线 AB 向左运动(C 在线段 AP 上,D 在线段 BP 上),运动的时间为 t s. (1)当 t= 1 时,PD= 2AC,请求出 AP 的长; (2)若 C、D 运动到任一时刻时,总有 PD= 2AC,请求出 AP 的长; (3)在(2)的条件下,Q 是直线 AB 上一点,且 AQ-BQ = PQ,求 PQ 的长. 4. 新趋势·新定义 定义: 若线段上的一个点把这条线段分成 1 ∶2的两条线段,则称这个点是这条线段的三等分点. 如图 1,点 C 在线段 AB 上,且 AC ∶CB= 1 ∶2,则点 C 是线段 AB 的一个三等 分点,显然,一条线段的三等分点有两个. (1)已知:如图 2,DE = 15 cm,点 P 是 DE 的三等分点,求 DP 的长; (2)已知:线段 AB= 15 cm,如图 3,点 P 从点 A 出发以每秒 1 cm 的速度在射线 AB 上向点 B 方向运动;点 Q 从点 B 出发,先向点 A 方向运动,当与点 P 重合后立马改变方向与点 P 同向而行且 速度始终为每秒 2 cm,设运动时间为 t 秒. ①若点 P、Q 同时出发,且当点 P 与点 Q 重合时,求 t 的值; ②若点 P、Q 同时出发,且当点 P 是线段 AQ 的三等分点时,求 t 的值. 图 1 图 2 图 3 题型 3　 角的运算 5. 已知点 B,O,C 在同一条直线上,∠AOB=α(0°<α<60°) . (1)如图 1,若∠BOD = 90°,∠EOD = 140°,OA 平分∠EOD,求 ∠EOB 与∠AOB 的度数; (2) 如图 2,∠BOD = 90°,OF 平分∠AOD,OG 平分∠AOC,求 ∠FOG 的度数; (3)如图 3,∠AOM 与∠AOB 互余,若∠BON 也与∠AOB 互余, 请直接写出∠MON 的度数. (用含 α 的式子表示) 图 1 　 图 2 　 图 3 ·72· 6. 如图 1,点 O 为直线 AB 上一点,过 O 点作射线 OC,使∠BOC = 120°,将一直角三角板的直角顶点放在点 O 处,一边 OM 在射线 OB 上,另一边 ON 在直线 AB 的下方. (1)如图 2,将图 1 中的三角板绕点 O 逆时针旋转,使边 OM 在 ∠BOC 的内部,且 OM 恰好平分∠BOC,此时∠AOM=　 　 　 　 度; ∠BON=　 　 　 　 度; (2)如图 3,继续将图 2 中的三角板绕点 O 按逆时针方向旋转, 使得 ON 在∠AOC 的内部. 试探究∠AOM 与∠NOC 之间满足什 么等量关系,并说明理由; (3)将图 1 中的三角板绕点 O 以每秒 10°的速度沿逆时针方向 旋转一周,在旋转的过程中,若直线 ON 恰好平分∠AOC,则此 时三角板绕点 O 旋转的时间是　 　 　 　 秒. 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 数据的收集与整理 题型 1　 普查与抽查 1. 下列调查中,适合抽样调查的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 调查全市七年级学生当天作业完成的时长 B. 了解我国首艘国产航母山东舰各零部件的质量情况 C. 了解全班同学每周体育锻炼的时间 D. 对搭乘飞机的乘客进行安全检查 题型 2　 条形统计图、扇形统计图和折线统计图 2. 如图是甲和乙两家庭全年支出费用的扇形统计图,根据图中信 息,下列判断正确的是(　 　 ) A. 甲家庭教育支出费用与乙家庭 衣着支出费用相同 B. 乙家庭食品支出费用高于甲家 庭食品支出费用 C. 甲家庭教育投入费用比例大于乙家庭教育投入比例 D. 两个家庭的年收入相同 3. 文化情境·历史文化 某校数学兴趣小组为了解本市市民对安徽 抗日历史的了解程度,在街头组织一次随机问卷调查活动,并将 问卷调查活动结果分为四个类别:A. 非常了解;B. 比较了解;C. 基本了解;D. 不了解. 并将统计结果绘制成如下尚不完整的统 计图. 请结合图中所给的信息,解答下列问题. (1)本次活动共调查了 　 　 　 　 人,扇形统计图中 D 部分的扇 形所对应的圆心角的度数是 　 　 　 　 ; (2)请补全条形统计图; (3)若本市共有 36 万人,请通过此次问卷调查结果,估计全市 对安徽抗日历史“非常了解”的人数. 4. 某中学发起了“让阅读成为习惯”的读书活动,鼓励学生利用周 末积极阅读课外书籍. 为了解该校七年级学生周末两天的读书 时间,学校随机调查了七年级部分学生的读书时间 x(单位:分 钟),把读书时间分为四组:A(30≤x<60),B(60≤x<90),C(90 ≤x<120),D(120≤x<150) . 部分数据信息如下: ①C 组和 D 组的所有数据:90、125、100、110、95、130、110、100、 140、90、135、100、120、115、145、110. ②根据调查结果绘制了如下尚不完整的条形统计图和扇形统 计图: 请根据以上信息,回答下列问题: (1)被调查的学生共有　 　 　 　 人,根据①中所给数据信息,C 组的人数为　 　 　 　 ; (2)请补全条形统计图; (3)请求出扇形统计图中,D 组所对应的扇形圆心角的度数. ·82· 12. 解:(1)设该商场第 1 次购进 A 商品 x 件,购进 B 商品 y 件.依题意,得 1200x +1000y=390000 (1350-1200)x+(1200-1000)y=60000{ , 解得 x=200 y=150{ .答:该商场第1 次购进 A 商品200 件,B 商 品 150 件; (2)设 B 种商品是打 m 折销售,依题意,得:200 × (1350-1200) +150×2×(1200× m 10 -1000)= 54000,解 得 m= 9. 答:B 种商品是打 9 折销售的. 13. (1)3 (2) 设甲型车需 x 辆,乙型车需 y 辆,根据题意得 20x+30y= 360 300x+400y= 5100{ ,解得 x= 9 y= 6{ . 答:甲型车需 9 辆, 乙型车需 6 辆; (3)设使用 a 辆甲型车,b 辆乙型车,则使用(11-a- b)辆丙型车,根据题意得:20a+30b+40(11-a-b) = 360,所以 b = 8- 2a. 又因为 a,b,11 -a-b 均为正整 数,所以 a = 1 b= 6{ 或 a= 2 b= 4{ 或 a= 3 b= 2{ ,所以共有 3 种运输 方案,方案 1:使用 1 辆甲型车,6 辆乙型车,4 辆丙 型车;方案 2:使用 2 辆甲型车,4 辆乙型车,5 辆丙 型车;方案 3:使用 3 辆甲型车,2 辆乙型车,6 辆丙 型车. 方案 1 所需运费为 300 × 1 + 400 × 6 + 450 × 4 = 4500(元);方案 2 所需运费为 300×2+400×4+450×5 = 4450(元);方案 3 所需运费为 300×3+400×2+450 ×6 = 4400(元),因为 4500>4450>4400,所以最少运 费是 4400 元. 追梦专项总结突破卷(五) 线段与角的相关计算 1. 解:(1)6 (2)①< ②因为 AD= 10,BC = 8,所以 AB+CD = AD-BC = 2. 因 为 M 是 AB 的中点, N 是 CD 的中点, 所以 BM = 1 2 AB,CN= 1 2 CD,所以 BM+CN = 1 2 (AB+CD)= 1 2 ×2 = 1. 所以 MN=BM+CN+BC= 9. 2. 解:(1)因为 D 是线段 BC 的中点,CD= 3cm,所以 BC = 2CD= 6cm. 因为 BC= 3AB,所以 AB= 1 3 BC= 2cm,所 以 AC=AB+BC= 2+6 = 8(cm); (2)因为 E 是 AC 的中点,所以 EC= 1 2 AC = 4cm,所以 ED=EC-DC= 4-3 = 1(cm) . 3. 解:(1)当 t= 1 时,由题意,得 BD = 2cm,PC = 1cm,则 BD= 2PC. 因为 PD= 2AC,所以 BD+PD = 2(PC+AC), 即 PB= 2AP. 因为 AB = 12cm,AB = AP+PB,所以 12 = 3AP,则 AP= 4cm; (2)根据 C、D 的运动速度知:BD = 2PC,因为 PD = 2AC,所以 BD+PD= 2(PC+AC),即 PB= 2AP. 因为 AB = 12cm,所以 AP= 4cm; (3)当点 Q 在线段 AB 上时,因为 AQ-BQ = PQ,所以 AQ=PQ+BQ. 所以点 Q 在线段 BP 上,所以 AQ = AP+ PQ,所以 AP=BQ. 又因为 PB= 2AP,所以 PQ= 1 3 AB= 4cm;当点 Q 在 AB 的延长线上时,AQ-BQ=PQ= AB = 12cm. 综上所述,PQ= 4cm 或 12cm. 4. 解:(1)当 DP = 2PE 时,DP = 2 3 DE = 10cm;当 2DP = PE 时,DP = 1 3 DE = 5cm. 综上所述:DP 的长为 5cm 或 10cm; (2)①根据题意,得(1+2) t= 15,解得 t= 5. ②(I)点 P、Q 重合前,AP= t,PQ= 15-t-2t = 15-3t,当 2AP=PQ 时,有 2t= 15-3t,解得 t= 3;当 AP = 2PQ 时, 有 t= 2(15-3t),解得 t= 30 7 ;(II)点 P、Q 重合后,AP= t,PQ= (2-1)( t-5)= t-5,当 AP = 2PQ 时,有 t = 2( t- 5),解得 t= 10;当 2AP=PQ 时,有 2t= t-5,解得 t= -5 (不合题意,舍去) . 综上所述:当 t = 3 秒或 30 7 秒或 10 秒时,点 P 是线段 AQ 的三等分点. 5. 解: ( 1) 因为 ∠EOD = 140°, OA 平分 ∠EOD, 所以 ∠AOE= ∠AOD = 70°. 因为∠BOD = 90°,所以∠AOB = 90°-70° = 20°,所以∠EOB= 70°-20° = 50°; (2)因为∠BOD = 90°,所以∠AOD = 90°-α. 因为 OF 平分∠AOD,所以∠AOF = 1 2 ∠AOD = 1 2 (90°-α) . 因 为∠AOC = 180° - α,OG 平分 ∠AOC,所以 ∠AOG = 1 2 ∠AOC= 1 2 (180°-α),所以∠FOG = ∠AOG-∠AOF = 1 2 (180°-α) - 1 2 (90°-α)= 45°; (3) ∠MON 的度数为 α 或 180° -α. 　 【解析】因为 ∠AOM 与∠AOB 互余,∠BON 与∠AOB 互余,所以 ∠AOM = ∠BON = 90° - α, 则 当 ON 在 BC 上 方, ∠MON= 90° - (90° -α) = α,当 ON 在 BC 下方时, ∠MON= 90°+(90°-α)= 180°-α. 6. 解:(1)120　 30 (2) ∠AOM - ∠NOC = 30°. 理由如下:因为∠BOC = 120°,所以∠AOC= 60°,所以∠AON = 60°-∠NOC. 又 因为 ∠AOM + ∠AON = 90°, 所 以 ∠AOM + ( 60° - ∠NOC)= 90°,即∠AOM-∠NOC= 30°; (3)6 或 24 数据的收集与整理 1. A　 2. C　 【解析】两个扇形统计图分别反映两家各类支出费 用占各自的总支出费用的百分比,因为不知道各家庭 支出的总费用和收入,所以无法比较两个家庭各类支 出费用和年收入的多少,A、B、D 错误. 故选 C. 3. 解:(1)40　 126° (2)补全条形统计图如下: 追梦之旅铺路卷·七年级上·ZBK·数学　 第 13 页 (3)36× 4 40 = 3. 6(万人),答:估计全市对安徽抗日历 史“非常了解”的人数为 3. 6 万人. 4. 解:(1)40　 10 (2)补全的条形统计图如图所示: (3)360°× 6 40 = 54°,即扇形统计图中,D 组所对应的扇 形圆心角的度数为 54°. 追梦期末达标测试卷(一) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D D D B D C C B B 1. B　 2. D　 3. D 4. D　 【解析】根据圆锥的特征可得:直角三角形沿一条 直角边旋转一周后得到圆锥,所给图形是直角三角 形的是 D 选项. 故选 D. 5. B　 【解析】B. 60 是样本容量,原说法错误. 故选 B. 6. D　 【解析】D. 当 c= 0 时,由 cx = cy 不能推出 x = y. 故 选 D. 7. C　 【解析】A. 有理数按照符号可以分为正有理数、 负有理数和 0;B. 因为字母 a 可以表示正数、负数和 0,所以-a 可以是负数、正数和 0,所以此选项说法错 误;D. 因为近似数 3. 14 × 106 精确到了万位,所以此 选项说法错误. 故选 C. 8. C　 【解析】设小齐带了 x 元,则原售价为( x+1000) 元,现售价为 0. 7(x+1000)元,根据题意知,x-0. 7(x +1000)= 500,解得 x= 4000. 故选 C. 9. B　 【解析】因为 MN = NP = PR = 1,所以 MR = 3;①当 原点在 N 或 P 点时,1< | a | + | b | <3,又因为 | a | + | b | = 2,所以原点可能在 N 或 P 点;②当原点在 M 或 R 点 时, | a | + | b | >2,所以原点不可能在 M 或 R 点;综上所 述,原点应是在 N 或 P 点. 故选 B. 10. B　 【解析】因为∠AOC = ∠BOD = 90°,所以∠1+∠2 = ∠2+∠3 = 90°,即∠1 = 90°-∠2,∠3 = 90°-∠2,所 以∠1 = ∠3,故②符合题意,由已知条件不能得出 ∠1 = ∠2 = ∠3,故 ① 不 符 合 题 意,因 为 ∠AOC = ∠BOD= 90°,所以∠AOC+∠BOD = ∠1 +∠2 +∠3 + ∠2 = 180°,即∠AOD+∠2 = 180°,故③符合题意,当 ∠1 = 2∠2 时,因为∠1 +∠2 = 90°,所以∠3 = ∠1 = 60°,∠2 = 30°,∠AOD= ∠1+∠2+∠3 = 150°,故④不 符合题意. 故选 B. 11. > 12. 两点确定一条直线 13. (9n+1)　 【解析】因为第 1 个图案中花盆的个数是 10,第 2 个图案中花盆的个数是:2×10-1 = 19,第 3 个图案中花盆的个数是:3×10-2 = 28…所以第 n 个 图案中花盆的个数是:10n-(n-1)= 9n+1. 14. (1)4. 5 或 0. 5　 (2)1. 5 或 3. 5　 【解析】(1)因为 | a -c | = | b-c | = 1,所以点 C 在点 A 和点 B 之间,因为 2 5 | d-a | = 1,所以 | d-a | = 2. 5,不妨设点 A 在点 B 左侧,当点 D 在 A 左侧,线段 BD 的长为 4. 5;当点 D 在 A 右侧,线段 BD 的长为 0. 5. (2)因为 c= 0,且 d> a,当点 A 在点 C 左侧时,a= -1,d= 1. 5,当点 A 在点 C 右侧时,a= 1,d= 3. 5. 15. 解:(1)原式= 12+18-7-15 = 8; (2)原式= ( -1) ×2+9÷9 = -2+1 = -1. 16. 解:(1)去分母,得 5x+3-2(x-1)= 4. 去括号,得 5x+ 3-2x+2 = 4. 移项,得 5x-2x= 4-3-2. 合并同类项,得 3x= -1. 系数化为 1,得 x= - 1 3 ; (2) x +2y= 7① 2x-3y= 0②{ ,①×2 得 2x+4y= 14③,③-②得 7y = 14,解得 y= 2,把 y= 2 代入①得:x+4 = 7,解得 x = 3,所以原方程组的解为 x = 3 y= 2{ . 17. 解:设共 x 人合伙购物,物价是 y 钱,依题意得: 8x-y= 3 y-7x= 4{ ,解得 x= 7 y= 53{ . 答:共 7 人合伙购物,物价是 53 钱. 18. 解:(1)原式 = 3x2 +6y2 +6xy-12-3x2 -6y2 -4xy+4 = 2xy-8; (2)因为 x,y 互为倒数,所以 xy= 1,则 2xy-8 = 2-8 = -6. 19. 解:(1)直线 CD,射线 OA 如图所示: (2)∠EOD 如图所示: (3)点 P、Q 如图所示: 两点之间线段最短. 20. 解:(1) 50 　 七年级每名学生每周参加家庭劳动 时间 (2)86. 4° (3)50-12-15-15-5 = 3(人),650× 3 50 = 39(人) . 答: 估计七年级 650 名学生中劳动教育宣讲员的人数为 39 人. 21. 解:(1)因为 AB+BC=AC. 又因为 AB = 21,所以 BC = 1 3 AB= 7,所以 AC=AB+BC= 21+7 = 28; (2)因为 O 是 AC 的中点,所以 CO= 1 2 AC = 14,所以 OB=CO-BC= 14-7 = 7. 22. 解:(1)设 A 型汽车每辆的进价为 x 万元,B 型汽车 每辆的进价为 y 万元. 依题意,得 2x +3y= 80 3x+2y= 95{ ,解得 x= 25 y= 10{ . 答:A 型汽车每辆的进价为 25 万元,B 型汽 车每辆的进价为 10 万元; 追梦之旅铺路卷·七年级上·ZBK·数学　 第 14 页