追梦专项总结突破卷(三)图形的初步认识-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年新教材七年级上册数学（华东师大版2024）

追梦专项总结突破卷(三) 图形的初步认识 题型 1　 立体图形的视图 1. (鹤壁期末)如图是由 6 个大小相同的小正方体组成 的几何体,它的主视图是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. B. C. D. 2. 一个几何体由大小相同的立方块搭成,其俯视图如图所示,其中 小正方形中的数字表示在该位置的立方块个数. (1)在所给的方框中分别画出该几何体的主视图和左视图; (2)若允许从该几何体中拿掉部分立方块,使剩下的几何体的 主视图和原几何体的主视图相同,则最多可拿掉　 　 　 　 个立 方块. 俯视图 　 　 主视图 　 　 左视图 题型 2　 找正方体的相对面 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 快速确定正方体展开图中相对面的方法: 1. 找“Z”字形 　 　 在正方体展开图中形如“Z”字形的几个面中,位于“Z” 字端的两个面是相对面,如图 3,4,5 中,A 与 B 所在的面为 相对面. 2. 找间隔 　 　 如果正方体的展开图中有 3 个或 4 个小正方形连成 “一”字形,那么间隔一个小正方形的两个小正方形所在的 面是正方体的相对面. 如图 1,A 与 C,B 与 D 所在的面为相 对面,如图 2,A 与 B 所在的面为相对面. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 图 1 　 　 　 　 图 2 　 　 　 　 图 3 图 4 　 　 　 　 图 5 3. 跨学科试题·语文 范晔在《后汉书·联食传》中写道:“将军前 在南阳,建此大策,常以为落落难合,有志者事竟成也. ”将“有” “志”“者”“事” “竟” “成”六个字分别写在某个正方体的表面 上,如图是它的一种展开图,则在原正方体中,与“者”字所在面 相对的面上的汉字是(　 　 ) A. 有 B. 事 C. 竟 D. 成 第 3 题图 　 　 　 　 　 第 4 题图 4. 如图,纸板上有 19 个无阴影的小正方形,从中选涂 1 个,使它与 图中 5 个有阴影的小正方形一起能折叠成一个正方体纸盒,一 共有　 　 　 　 种选法. 题型 3　 其他柱体的展开与折叠 5. 下列图形中,能通过折叠围成一个三棱柱的是(　 　 ) A. B. C. D. 题型 4　 利用基本事实解释生活中的现象 6. (漳州期末)如下列图片中所示,可以用基本事实“两点之间线 段最短”来解释的是(　 　 ) A. 解放军叔叔练习打靶 B. 沿虚线剪掉后,剩余树叶的周长变小 C. 只能弹出一条笔直的墨线 D. 跑步终点处设置的“撞线” 7. 跨学科试题·体育 (苏州期末)如图,在立定跳远后, 体育老师是这样测量运动员的成绩的,用一块直角 三角板的一边附在跳线上,另一边与拉的皮尺重合, 这样做的理由是　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 题型 5　 线段中的动点问题 8. (南阳期末)如图,点 C 是线段 AB 的中点. 点 D 在线段 CB 上, 且 DB= 2. 5 cm,AD= 8. 5 cm. (1)线段 CD 的长度为　 　 　 　 cm. (2)若点 E 在射线 CA 上,且 AE= 3 cm,请求出线段 CE 的长度. (3)动点 M 从点 A 出发以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 方向 运动,同时,点 N 从点 B 出发以每秒 1 个单位长度的速度向点 A 方向运动,假设 t 秒时点 M 与点 N 相遇,则 t = 　 　 　 　 ;假设第 m 秒时,点 M 与点 N 之间的距离为 2 cm,则 m= 　 　 　 　 . ·52· 9. 已知,直线 l 上线段 AB= 6,线段 CD = 2(点 A 在点 B 的左侧,点 C 在点 D 的左侧) . (1)若线段 BC= 1,则线段 AD= 　 　 　 　 ; (2)如图 2,点 P、Q 分别为 AD、BC 的中点,求线段 PQ 的长度; (3)若线段 CD 从点 B 开始以 1 个单位长度 /秒的速度向右运动, 同时,点M 从点 A 开始以 2 个单位长度 /秒的速度向右运动,点 N 是线段 BD 的中点,若 MN= 2DN,求线段 CD 运动的时间. 图 1 图 2 图 3 题型 6　 角的相关计算 10. 如图是一个长方形纸片 ABCD,将纸片沿 EF, EG 折叠,点 A 对应点为点 A′,点 D 对应点为 点 D′,并且点 D′在线段 A′E 上. 若∠AEF = 15°,则∠DEG 的大小为(　 　 ) A. 80° B. 75° C. 70° D. 45° 11. 学习情境·推理探究 (滕州期末)如图,以直线 AB 上一点 O 为 端点作射线 OC,使∠BOC = 70°,将一个直角三角形的直角顶 点放在点 O 处. (注:∠DOE= 90°) (1)如图 1,若直角三角板 DOE 的一边 OD 放在射线 OB 上,则 ∠COE= 　 　 　 　 °; (2)如图 2,将直角三角板 DOE 绕点 O 逆时针方向转动到某个 位置,若 OC 恰好平分∠BOE,求∠COD 的度数; (3)如图 3,将直角三角板 DOE 绕点 O 转动,如果 OD 始终在 ∠BOC 的内部,试猜想∠BOD 和∠COE 有怎样的数量关系? 并说明理由. 图 1 　 图 2 　 图 3 题型 7　 线段与角的综合探究问题 12. 学习情境·类比迁移 (济南期末)(1)理解计算:如图 1,∠AOB = 90°,∠AOC 为∠AOB 外的一个角,且∠AOC = 30°,射线 OM 平分∠BOC,ON 平分∠AOC,求∠MON 的度数; (2)拓展探究:如图 2,∠AOB = α,∠AOC = β(α,β 为锐角),射 线 OM 平分∠BOC,ON 平分∠AOC,求∠MON 的度数; (3)迁移应用:其实线段的计算与角的计算存在着紧密的联 系,图 3,线段 AB=m,延长线段到 C,使得 BC = n,点 M,N 分别 为 AC,BC 的中点,求 MN 的长. 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 13. (东莞期末)如图甲,已知线段 AB = 24 cm,CD = 6 cm,线段 CD 在线段 AB 上运动,E,F 分别是 AC,BD 的中点. (1)若 AC= 8 cm,则 EF= 　 　 　 　 cm; (2)当线段 CD 在线段 AB 上运动时,试判断 EF 的长度是否发 生变化? 如果不变,请求出 EF 的长度,如果变化,请说明 理由; (3)对于角,也有和线段类似的规律. 如图乙,已知∠COD 在 ∠AOB 内部转动,OE,OF 分别平分∠AOC 和∠BOD. ①若∠AOB= 144°,∠COD= 36°,求∠EOF; ②请你猜想∠EOF,∠AOB 和∠COD 会有怎样的数量关系,直 接写出你的结论. 甲 　 　 　 乙 ·62· AB,∴ ∠PGK = 90° - 60° = 30°, ∴ ∠PGH = 2 ∠PGK = 60°,∴ ∠PHG= 180°-∠EPG-∠PGH= 90°; (6 分) ②如图,GH∥EF,则∠PGH = ∠EPG = 30°,∴ ∠HGK = ∠PGK= 1 2 ∠PGH= 15°. ∵ KG⊥AB,∴ ∠HGK+∠HGB = 90°,∴ ∠HGB= 90°-15° = 75°. ∵ EF∥MN,∴ GH∥MN∥ EF,∴ ∠ABM= ∠HGB= 75°. (10 分) 23. 解:(1)平行于同一条直线的两条直线互相平行　 两直 线平行,同旁内角互补　 等式的性质 (3 分) (2)∠CPD= ∠α+∠β. 理由:过点 P 作 PE∥AD 交 CD 于 点 E,∵ AD∥BC,∴ AD∥PE∥BC,∴ ∠α = ∠DPE,∠β = ∠CPE,∴ ∠CPD= ∠DPE+∠CPE= ∠α+∠β; (7 分) (3)∠CPD= ∠β-∠α 或∠CPD= ∠α-∠β. (11 分) 【解析】当点 P 在 BA 延长线上时,过点 P 作 PE∥AD 交 CD 延长线于点 E,同 ( 2) 可知,∠α = ∠DPE, ∠β = ∠CPE,∴ ∠CPD= ∠β-∠α;当点 P 在 OB 上时,过点 P 作 PF∥AD 交 OC 于点 F,同(2)可知,∠α= ∠DPF,∠β = ∠CPF,∴ ∠CPD= ∠α-∠β. 追梦专项总结突破卷(一) 有理数的相关计算 1. 4 2. 解:由题意,得 a+1 = 0,2b+3 = 0,c-1 = 0,解得 a = -1,b = - 3 2 ,c= 1,原式= -1×(- 3 2 ) 3×1 +-1-1 - 3 2 = 1 2 + 4 3 = 11 6 . 3. 解:(1)原式= [(-3)+( - 5 6 )] +[( -8) +( - 2 3 )] +(16+ 3 4 )+[( - 5) + ( - 1 2 )] = [( - 3) + ( - 8) + 16 + (-5)] + [(- 5 6 )+(- 2 3 )+ 3 4 +(- 1 2 )] = 0+(-1 1 4 )= - 5 4 ; (2)原式= 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 + 1 4×5 + 1 5×6 + 1 6×7 + 1 7×8 = 1- 1 2 + 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 + 1 4 - 1 5 + 1 5 - 1 6 + 1 6 - 1 7 + 1 7 - 1 8 = 1- 1 8 = 7 8 ; (3)把原式记为①,把①式括号内的数倒序后,得 1 2 + ( 2 3 + 1 3 )+( 3 4 + 2 4 + 1 4 ) +( 4 5 + 3 5 + 2 5 + 1 5 ) +…+( 59 60 + 58 60 +…+ 2 60 + 1 60 )②,①+②,得 1+2+3+4+…+58+59 = 1770,所以原式= 1 2 ×1770 = 885. 4. 解:(1)原式= (- 1 3 ) 3 = - 1 27 . (2)原式= [( - 7 2 ) ÷( - 7 8 ) ×( - 3 4 )] ★2 = ( - 3) ★2 = (-3) 2 = 9. 5. 解:(1)-1　 1　 0 (2)如图 (3)AB-BC 的值不会随着时间的变化而改变,理由:因为 BC= (1+5t)-(0-t)= 1+6t,AB = (1+5t) -(-1-t)= 2+6t, 所以 AB-BC= 2+6t-(1+6t)= 1,所以 AB-BC 的值不会随 着时间的变化而改变,AB-BC 的值为 1. 6. 解:(1)π (2)①依次运动的终点的位置为 2π,π,4π,0,-3π,所以 第四次滚动后 A 点距离原点最近; ②当圆片结束运动时,A 点运动的路程= 2π+π+3π+4π+ 3π = 13π,此时点 A 所表示的数是-3π. 追梦专项总结突破卷(二) 整式及其加减 1. 解:(1)2 (2)a 与 b 不是关于 1 的“平衡数”,理由如下: a+b= 2x2 -3(x2 +x)+4+2x-[3x-(4x+x2 ) -2] = 2x2 -3x2 - 3x+4+2x-(3x-4x-x2 -2)= 2x2 -3x2 -3x+4+2x-3x+4x+x2 +2 = 6≠1,∴ a 与 b 不是关于 1 的“平衡数” . 2. 解:(1)2mx-3m+ 2m2 - 3x = (2m- 3) x+ 2m2 - 3m,因为其 值与 x 的取值无关,所以 2m-3 = 0,解得 m= 3 2 ,故当 m= 3 2 时,多项式 2mx-3m+2m2 -3x 的值与 x 的取值无关; (2)因为 A= 2x2 -2x+3xy-1,B= -x2 +xy-1,所以 3A+6B = 3(2x2 -2x+3xy-1)+6(-x2 +xy-1)= 6x2 -6x+9xy-3-6x2 + 6xy-6 = 15xy-6x-9 = x(15y-6) -9,因为 3A+6B 的值与 x 的取值无关,所以 15y-6 = 0,即 y= 2 5 ; (3)设 AB= x,由图可知 S1 =ax-a·3b= ax-3ab,S2 = 2bx- 2b·2a= 2bx-4ab,所以 S1 -S2 = (ax-3ab) -(2bx-4ab) = (a-2b)x+ab,因为当 AB 的长变化时,S1 -S2 的值始终保 持不变,所以 S1 -S2 的值与 x 的取值无关,所以 a-2b= 0, 即 a= 2b. 3. (1)22　 28 (2)(338,5) 4. a 13×16 = a 3 ( 1 13 - 1 16 ) a (3n-2)(3n+1) = a 3 ( 1 3n-2 - 1 3n+1 )　 2024 5. A　 6. D 7. 解:(1)-3　 -1　 3 (2)3t+2　 2t+4 (3)3BC-2AB= 3(2t+4) - 2(3t+ 2) = 6t+ 12- 6t- 4 = 8. 计 算 3BC-2AB 的结果为 8,故 3BC-2AB 的值不随时间 t 的 变化而改变. 追梦专项总结突破卷(三) 图形的初步认识 1. C 2. 解:(1)如图所示: 追梦之旅铺路卷·七年级上·ZBH·数学　 第 11 页 主视图 　 　 左视图 (2)6 3. D　 4. 4　 5. B　 6. B 7. 垂线段最短 8. 解:(1)3 (2)∵ DB= 2. 5cm,AD= 8. 5cm,∴ AB=AD+BD = 11(cm), ∴ AC=BC= 5. 5(cm) . 当点 E 在线段 CA 上时,则 CE=AC -AE= 5. 5-3 = 2. 5(cm); 当点 E 在线段 CA 的延长线上时,则 CE=AC+AE= 5. 5+3 = 8. 5(cm); 综上所述,线段 CE 的长度为 2. 5cm 或 8. 5cm. (3) 11 3 　 3 或13 3 9. 解:(1)7 或 9 (2)设 BC= x,则 AD = AB+BC+CD = 8+x. ∵ 点 P、Q 分别 为 AD、BC 的中点,∴ PD= 1 2 AD= 4+ 1 2 x,CQ = 1 2 x,∴ PQ =PD-CD-CQ= 4+ 1 2 x-2- 1 2 x= 2; (3)设线段 CD 运动的时间为 t,则 AM = 2t,BC = t,∴ BM =AB-AM= 6-2t 或 BM=AM-AB = 2t-6,BD =BC+CD = t+ 2. ∵ 点 N 是线段 BD 的中点,∴ DN=BN= 1 2 BD= 1 2 t+1. ∵ MN= 2DN,∴ 6-2t+ 1 2 t+1 = 2( 1 2 t+1)或(2t-6) -( 1 2 t +1)= 2( 1 2 t+1),解得 t= 2 或 t= 18,故线段 CD 运动的时 间为 2s 或 18s. 10. B 11. 解:(1)20 (2)∵ OC 平分∠EOB,∠BOC= 70°,∴ ∠EOB = 2∠BOC = 140°. ∵ ∠DOE = 90°, ∴ ∠BOD = ∠BOE - ∠DOE = 50°. ∴ ∠COD= ∠BOC-∠BOD= 20°; (3) ∠COE - ∠BOD = 20°, 理由: ∵ ∠BOD + ∠COD = ∠BOC= 70°,∠COE+∠COD = ∠DOE = 90°,∴ ( ∠COE +∠COD)-(∠BOD+∠COD) = ∠COE+∠COD-∠BOD - ∠COD = ∠COE - ∠BOD = 20°, 即 ∠COE - ∠BOD = 20°. 12. 解:(1)∵ ∠BOC= ∠AOB+∠AOC = 120°,射线 OM 平分 ∠BOC,∴ ∠COM = 1 2 ∠BOC = 60°. ∵ ON 平分∠AOC, ∴ ∠CON= 1 2 ∠AOC = 15°,∴ ∠MON = ∠COM-∠CON = 60°-15° = 45°; (2) ∵ ∠BOC = ∠AOB + ∠AOC = α + β,射线 OM 平分 ∠BOC,∴ ∠COM = 1 2 ∠BOC = 1 2 (α+ β) . ∵ ON 平分 ∠AOC,∴ ∠CON= 1 2 ∠AOC= 1 2 β,∴ ∠MON= ∠COM- ∠CON= 1 2 (α+β)- 1 2 β= 1 2 α; (3)∵ AB=m,BC=n,∴ AC=AB+BC=m+n. ∵ 点 M,N 分 别为 AC,BC 的中点,∴ CM = 1 2 AC = 1 2 (m+n),CN = 1 2 BC= 1 2 n,∴ MN=CM-CN= 1 2 m. 13. 解:(1)15 (2)EF 的长度不变,理由:∵ E、F 分别是 AC、BD 的中 点,∴ EC= 1 2 AC,DF= 1 2 DB,∴ EF=EC+CD+DF = 1 2 AC +CD+ 1 2 DB= 1 2 (AC+DB)+CD= 1 2 (AC+CD+DB-CD) + CD= 1 2 (AB-CD) +CD = 1 2 (AB+CD) . ∵ AB = 24cm,CD = 6cm,∴ EF= 1 2 ×(24+6)= 15(cm); (3)①∵ OE、OF 分别平分∠AOC 和∠BOD,∴ ∠COE = 1 2 ∠AOC, ∠DOF = 1 2 ∠BOD, ∴ ∠EOF = ∠EOC + ∠COD+ ∠DOF = 1 2 ∠AOC + ∠COD + 1 2 ∠BOD = 1 2 (∠AOC+∠BOD)+∠COD= 1 2 (∠AOC+∠COD+∠BOD -∠COD)+∠COD = 1 2 ∠AOB+ 1 2 ∠COD = 1 2 ( ∠AOB+ ∠COD)= 90°; ②∠EOF= 1 2 (∠AOB+∠COD) . 　 【解析】∵ OE、OF 分 别平分∠AOC 和∠BOD,∴ ∠COE = 1 2 ∠AOC,∠DOF = 1 2 ∠BOD, ∴ ∠EOF = ∠EOC + ∠COD + ∠DOF = 1 2 ∠AOC + ∠COD + 1 2 ∠BOD = 1 2 ( ∠AOC + ∠BOD) + ∠COD= 1 2 (∠AOC+∠COD+∠BOD-∠COD) +∠COD = 1 2 ∠AOB+ 1 2 ∠COD= 1 2 (∠AOB+∠COD) . 追梦专项总结突破卷(四) 相交线和平行线 1. B　 2. C　 3. C 4. 65°或 25° 5. 解:(1)∵ OM⊥AB,∴ ∠AOM = ∠BOM = 90°,∴ ∠COM+ ∠AOC= 90°. ∵ ∠COM= ∠AON,∴ ∠AON+∠AOC = 90°, 即∠CON= 90°; (2) 设∠AON = x,则∠COM = x,∴ ∠BON = 180° - x. ∵ ∠AOM= ∠BOM= 90°,由(1)知∠CON = 90°,∴ ∠DON = 90°. ∴ ∠BOC = ∠AOD = 90° + x. ∵ ∠BON - ∠COM = ∠BOC,∴ 180°-x-x= 90°+x,解得 x= 30°,∴ ∠AOD = 90° +30° = 120°. 6. 解: ( 1) ∵ OE 平分 ∠BOC, ∠BOE = 65°, ∴ ∠BOC = 2∠BOE = 130°, ∴ ∠AOC = 50°. 又 ∵ ∠COF = 90°, ∴ ∠AOF= 40°; 追梦之旅铺路卷·七年级上·ZBH·数学　 第 12 页