追梦专项总结突破卷(一)有理数的相关计算&(二)整式及其加减-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年新教材七年级上册数学（华东师大版2024）

追梦专项总结突破卷(一) 有理数的相关计算 题型 1　 有理数非负性的应用 1. 已知: | a+2 | +(b+1) 2 取最小值,则 ab+ a b = 　 　 　 　 . 2. 如果(a+1) 2 +(2b+3) 2 + | c-1 | = 0,那么ab 3c +a-c b 的值是多少? 题型 2　 有理数的简便计算方法 3. 计算: (1) -3 5 6 +( -8 2 3 ) +16 3 4 +( -5 1 2 ); (2) 1 2 + 1 6 + 1 12 + 1 20 + 1 30 + 1 42 + 1 56 ; (3) 1 2 +( 1 3 + 2 3 ) +( 1 4 + 2 4 + 3 4 ) +( 1 5 + 2 5 + 3 5 + 4 5 ) +…+( 1 60 + 2 60 +…+ 58 60 +59 60 ). 题型 3　 有理数的新定义运算问题 4. 中考新考法·新定义 现规定一种新的运算“ ★”:a★b = ab . 例 如,3★2 = 32 = 9. 计算下列各式: (1)( - 1 3 )★3; (2)[ -3. 5÷( - 7 8 ) ×( - 3 4 )]★( -2+4) . 题型 4　 与数轴有关的动点问题 5. 学科素养·数形结合 已知:a 是最大的负整数,b 是最小的正整 数,且 c=a+b,请回答下列问题: (1)请直接写出 a,b,c 的值:a= 　 　 　 　 ;b= 　 　 　 　 ; c= 　 　 　 　 ; (2)a,b,c 在数轴上所对应的点分别为 A,B,C,请在如图所示的 数轴上表示出 A,B,C 三点; (3)在(2)的情况下,点 A,B,C 开始在数轴上运动,若点 A,点 C 以每秒 1 个单位长度的速度向左运动,同时,点 B 以每秒 5 个单 位长度的速度向右运动,假设 t 秒钟过后,若点 B 与点 C 之间的 距离表示为 BC,点 A 与点 B 之间的距离表示为 AB,请问:AB- BC 的值是否随着时间的变化而改变? 若变化,请说明理由;若 不变,请求出 AB-BC 的值. 6. 如图,直径为 1 个单位长度的圆片上有一点 A 与数轴上的原点 重合,AB 是圆片的直径. (1)把圆片沿数轴向右滚动 1 周,点 A 到达数轴上点 C 的位置, 点 C 表示的数是　 　 　 　 ; (2)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数,圆片在数轴上向 左滚动的周数记为负数,依次运动情况记录如下: +2,-1,+3,-4,-3. ①第几次滚动后,A 点距离原点最近? ②当圆片结束运动时,A 点运动的路程共有多少? 此时点 A 所 表示的数是多少? ·32· 追梦专项总结突破卷(二) 整式及其加减 题型 1　 与整式的加减有关的新定义运算 1. 中考新考法·新定义 请阅读以下材料,并完成下列问题: 定义:若 a+b=n,则称 a 与 b 是关于整数 n 的“平衡数”,比 如 3+(-4)= -1,则 3 与-4 是关于-1 的“平衡数”,2+8 = 10, 则 2 与 8 是关于 10 的“平衡数” . (1)填空:-6 与 8 是关于　 　 　 　 的“平衡数”; (2)若 a= 2x2 -3(x2 +x) +4,b= 2x-[3x-(4x+x2) -2],判断 a 与 b 是不是关于 1 的“平衡数”,并说明理由. 题型 2　 整式加减中的无关型问题 2. 中考新考法·过程性学习 七年级学习代数式求值时,遇到这样 一类题“代数式 ax-y+6+3x-5y-1 的值与 x 的取值无关,求 a 的 值”,通常的解题方法是:把 x,y 看作字母,a 看作系数,合并同 类项,因为代数式的值与 x 的取值无关,所以含 x 项的系数为 0, 即原式= (a+3)x-6y+5,所以 a+3 = 0,则 a= -3. (1)若关于 x 的多项式 2mx-3m+2m2 -3x 的值与 x 的取值无关, 求 m 值; (2)已知 A = 2x2 -2x+3xy-1,B = -x2 +xy-1,且 3A+6B 的值与 x 的取值无关,求 y 的值; 【能力提升】 (3)7 张如图 1 的小长方形纸片,长为 a,宽为 b,按照图 2 方式 不重叠地放在大长方形 ABCD 内,大长方形中未被覆盖的两个 部分(图中阴影部分),设右上角的面积为 S1,左下角的面积为 S2,当 AB 的长变化时,S1 -S2 的值始终保持不变,求 a 与 b 的数 量关系. 图 1 　 　 图 2 题型 3　 数字方面的规律探索 3. 阅读下列材料,解答后面的问题. 材料:一组正整数 1,2,3,4,5,……,按下面的方法进行排列: 第 1 列 第 2 列 第 3 列 第 4 列 第 5 列 第 6 列 1 2 3 4 5 6 第一行 12 11 10 9 8 7 第二行 … … 我们规定,正整数 2 的位置记为(1,2),正整数 8 的位置记为 (2,5) . 问题: (1)若一个数 a 的位置记作(4,3),则 a = 　 　 　 　 ;若一个数 b 的位置记作(5,4),则 b= 　 　 　 　 ; (2)正整数 2 024 的位置可记为　 　 　 　 . 4. 中考新考法·过程性学习 观察下列等式:第一个等式:x1 = a 1×4 = a 3 (1- 1 4 );第二个等式:x2 = a 4×7 = a 3 ( 1 4 - 1 7 );第三个等式:x3 = a 7×10 = a 3 ( 1 7 - 1 10 );第四个等式:x4 = a 10×13 = a 3 ( 1 10 - 1 13 );其中 a 为常数,按照上面的规律,则 x5 = 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ;xn = 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ;若 a= 6 073,则 x1 +x2 +x3 +……+x2 024 = 　 . 题型 4　 图形中的规律探索 5. 下列图形是按照一定规律画出的. 对于第 n 个图形,有 x 个正方 形和一定数量的三角形,三角形的个数可以表示为(　 　 ) A. 4x-4 B. 4n-4 C. 4x+n D. 4n+x 第 5 题图 　 　 　 　 　 第 6 题图 6. 数学文化情境·阿基米德曲线 如图所示,直线 AB,CD 相交于点 O,“阿基米德曲线”从点 O 开始生成,如果将该曲线与每条射线 的交点依次标记为 1,-2,3,-4,5,-6,…. 那么标记为“ -2 024” 的点在(　 　 ) A. 射线 OA 上 B. 射线 OB 上 C. 射线 OC 上 D. 射线 OD 上 题型 5　 数形结合思想 7. (新乡期末)如图:在数轴上点 A 表示数 a,点 B 表示数 b,点 C 表示数 c,数 a 是多项式-2x2 -3x+1 的一次项系数,数 b 是最大 的负整数,数 c 是单项式- 1 2 x2y 的次数. (1)a= 　 　 　 　 ,b= 　 　 　 　 ,c= 　 　 　 　 . (2)点 A,B,C 开始在数轴上运动,若点 B 和点 C 分别以每秒 1 个单位长度和每秒 3 个单位长度的速度向右运动,点 A 以每秒 2 个单位长度的速度向左运动,t 秒过后,若点 A 与点 B 之间的 距离表示为 AB,点 B 与点 C 之间的距离表示为 BC,则 AB= 　 　 　 　 ,BC= 　 　 　 　 . (用含 t 的代数式表示) (3)试问:3BC-2AB 的值是否随着时间 t 的变化而改变? 若变 化,请说明理由;若不变,请求出这个值. ·42· AB,∴ ∠PGK = 90° - 60° = 30°, ∴ ∠PGH = 2 ∠PGK = 60°,∴ ∠PHG= 180°-∠EPG-∠PGH= 90°; (6 分) ②如图,GH∥EF,则∠PGH = ∠EPG = 30°,∴ ∠HGK = ∠PGK= 1 2 ∠PGH= 15°. ∵ KG⊥AB,∴ ∠HGK+∠HGB = 90°,∴ ∠HGB= 90°-15° = 75°. ∵ EF∥MN,∴ GH∥MN∥ EF,∴ ∠ABM= ∠HGB= 75°. (10 分) 23. 解:(1)平行于同一条直线的两条直线互相平行　 两直 线平行,同旁内角互补　 等式的性质 (3 分) (2)∠CPD= ∠α+∠β. 理由:过点 P 作 PE∥AD 交 CD 于 点 E,∵ AD∥BC,∴ AD∥PE∥BC,∴ ∠α = ∠DPE,∠β = ∠CPE,∴ ∠CPD= ∠DPE+∠CPE= ∠α+∠β; (7 分) (3)∠CPD= ∠β-∠α 或∠CPD= ∠α-∠β. (11 分) 【解析】当点 P 在 BA 延长线上时,过点 P 作 PE∥AD 交 CD 延长线于点 E,同 ( 2) 可知,∠α = ∠DPE, ∠β = ∠CPE,∴ ∠CPD= ∠β-∠α;当点 P 在 OB 上时,过点 P 作 PF∥AD 交 OC 于点 F,同(2)可知,∠α= ∠DPF,∠β = ∠CPF,∴ ∠CPD= ∠α-∠β. 追梦专项总结突破卷(一) 有理数的相关计算 1. 4 2. 解:由题意,得 a+1 = 0,2b+3 = 0,c-1 = 0,解得 a = -1,b = - 3 2 ,c= 1,原式= -1×(- 3 2 ) 3×1 +-1-1 - 3 2 = 1 2 + 4 3 = 11 6 . 3. 解:(1)原式= [(-3)+( - 5 6 )] +[( -8) +( - 2 3 )] +(16+ 3 4 )+[( - 5) + ( - 1 2 )] = [( - 3) + ( - 8) + 16 + (-5)] + [(- 5 6 )+(- 2 3 )+ 3 4 +(- 1 2 )] = 0+(-1 1 4 )= - 5 4 ; (2)原式= 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 + 1 4×5 + 1 5×6 + 1 6×7 + 1 7×8 = 1- 1 2 + 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 + 1 4 - 1 5 + 1 5 - 1 6 + 1 6 - 1 7 + 1 7 - 1 8 = 1- 1 8 = 7 8 ; (3)把原式记为①,把①式括号内的数倒序后,得 1 2 + ( 2 3 + 1 3 )+( 3 4 + 2 4 + 1 4 ) +( 4 5 + 3 5 + 2 5 + 1 5 ) +…+( 59 60 + 58 60 +…+ 2 60 + 1 60 )②,①+②,得 1+2+3+4+…+58+59 = 1770,所以原式= 1 2 ×1770 = 885. 4. 解:(1)原式= (- 1 3 ) 3 = - 1 27 . (2)原式= [( - 7 2 ) ÷( - 7 8 ) ×( - 3 4 )] ★2 = ( - 3) ★2 = (-3) 2 = 9. 5. 解:(1)-1　 1　 0 (2)如图 (3)AB-BC 的值不会随着时间的变化而改变,理由:因为 BC= (1+5t)-(0-t)= 1+6t,AB = (1+5t) -(-1-t)= 2+6t, 所以 AB-BC= 2+6t-(1+6t)= 1,所以 AB-BC 的值不会随 着时间的变化而改变,AB-BC 的值为 1. 6. 解:(1)π (2)①依次运动的终点的位置为 2π,π,4π,0,-3π,所以 第四次滚动后 A 点距离原点最近; ②当圆片结束运动时,A 点运动的路程= 2π+π+3π+4π+ 3π = 13π,此时点 A 所表示的数是-3π. 追梦专项总结突破卷(二) 整式及其加减 1. 解:(1)2 (2)a 与 b 不是关于 1 的“平衡数”,理由如下: a+b= 2x2 -3(x2 +x)+4+2x-[3x-(4x+x2 ) -2] = 2x2 -3x2 - 3x+4+2x-(3x-4x-x2 -2)= 2x2 -3x2 -3x+4+2x-3x+4x+x2 +2 = 6≠1,∴ a 与 b 不是关于 1 的“平衡数” . 2. 解:(1)2mx-3m+ 2m2 - 3x = (2m- 3) x+ 2m2 - 3m,因为其 值与 x 的取值无关,所以 2m-3 = 0,解得 m= 3 2 ,故当 m= 3 2 时,多项式 2mx-3m+2m2 -3x 的值与 x 的取值无关; (2)因为 A= 2x2 -2x+3xy-1,B= -x2 +xy-1,所以 3A+6B = 3(2x2 -2x+3xy-1)+6(-x2 +xy-1)= 6x2 -6x+9xy-3-6x2 + 6xy-6 = 15xy-6x-9 = x(15y-6) -9,因为 3A+6B 的值与 x 的取值无关,所以 15y-6 = 0,即 y= 2 5 ; (3)设 AB= x,由图可知 S1 =ax-a·3b= ax-3ab,S2 = 2bx- 2b·2a= 2bx-4ab,所以 S1 -S2 = (ax-3ab) -(2bx-4ab) = (a-2b)x+ab,因为当 AB 的长变化时,S1 -S2 的值始终保 持不变,所以 S1 -S2 的值与 x 的取值无关,所以 a-2b= 0, 即 a= 2b. 3. (1)22　 28 (2)(338,5) 4. a 13×16 = a 3 ( 1 13 - 1 16 ) a (3n-2)(3n+1) = a 3 ( 1 3n-2 - 1 3n+1 )　 2024 5. A　 6. D 7. 解:(1)-3　 -1　 3 (2)3t+2　 2t+4 (3)3BC-2AB= 3(2t+4) - 2(3t+ 2) = 6t+ 12- 6t- 4 = 8. 计 算 3BC-2AB 的结果为 8,故 3BC-2AB 的值不随时间 t 的 变化而改变. 追梦专项总结突破卷(三) 图形的初步认识 1. C 2. 解:(1)如图所示: 追梦之旅铺路卷·七年级上·ZBH·数学　 第 11 页