追梦专项总结突破卷(四)二元一次方程组的解法及应用-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年新教材七年级上册数学（沪科版2024）

x= -2; (2)整理,得 10x 7 -17 -20x 3 = 1. 去分母,得 30x-7(17- 20x)= 21. 去括号,得 30x-119+140x = 21. 移项、合并 同类项,得 170x= 140. 系数化为 1,得 x= 14 17 . 2. -21　 【解析】解方程 x-6 2 = -6,得 x = -6,解方程 x 2 + m 3 = x-4,得 x= 2 3 m+8,因为两个方程的解相同,所以 2 3 m+8 = -6,解得 m= -21. 3. - 19 5 　 【解析】解方程 2(x-1)-3(x+1)= 0,得 x = -5, 解方程 k+x 2 -3k-2 = 2x 得 x = - 5 3 k- 4 3 ,因为两个方程 的解互为相反数,所以-5+( - 5 3 k- 4 3 )= 0 解得 k = -19 5 . 4. 解:由题意,得 3y+a = 2y+4. 即 y = 4-a. 因为 y = 3,所 以 4-a= 3,解得 a= 1. 则原方程为 3(y+1)= 2y+4,解 得 y= 1. 综上所述,a 的值是 1,方程的正确的解是 y= 1. 5. A 6. 解:(1)设购进 A 品牌运动裤 x 条,则购进 B 品牌运 动裤(100-x)条. 根据题意,得 200×(100-x) -150x = 6000,解得 x = 40. 所以 100-x = 60. 即购进 A 品牌运 动裤 40 条,购进 B 品牌运动裤 60 条; (2)设有 y 条 B 品牌运动裤打七折出售,B 品牌运动 裤每条按进价加价 100%后的售价为 200×(1+100%) = 400(元) . 根据题意,得(230-150) ×40+(400-200) ×(60-y) +(400×70%-200) y = 14000. 解得 y = 10. 即 有 10 条 B 品牌运动裤打七折出售. 7. 解:(1)设该工厂有 x 名工人生产 A 零件,则有(60- x)名工人生产 B 零件. 根据题意得 2 × 15x = 20(60 - x),解得 x= 24,即该工厂有 24 名工人生产 A 零件; (2)由(1)知:生产 B 零件原有 60-24 = 36(名)工人, 设从生产 B 零件的工人中调出 y 名工人生产 A 零件. 依题意可得(24+y) ×15×10+(36-y) ×20×5-(24×15× 10+36×20×5)= 600,解得 y = 12,即从生产 B 零件的 工人中调出 12 名工人生产 A 零件. 8. 解:(1)24　 28 (2)设点 P 表示的数为 x,则 x-( -16)= 8-x,解得 x= -4,即点 P 表示的数为-4; (3)由题意得:2t+t= 28,解得 t= 28 3 ; (4) t= 10 3 或 10. 追梦专项总结突破卷(四) 二元一次方程组的解法及应用 1. 解:(1) 2x +y= 3① x-y= 6②{ ,①+②得 3x = 9,解得 x = 3,把 x = 3 代入②得 3 - y = 6,解得 y = - 3,故原方程组的解 是 x= 3 y= -3{ ; (2)整理原方程组得 3x -y= 7① 3x+y= 6②{ ,①+②得 6x = 13,解 得 x= 13 6 ,把 x= 13 6 代入①得 3× 13 6 -y= 7,解得 y= - 1 2 , 故原方程组的解为 x= 13 6 y= - 1 2 ì î í ï ï ï ï . 2. 解: x -y= 4a-3① x+2y= -5a②{ ,②-①,得 3y = -9a+3,即 y = -3a+ 1. 把 y= -3a+1 代入①,得 x= a-2. 由题意得 x+y = 0, 即 a-2+( -3a+1)= 0,解得 a= -0. 5. 3. 解:( 1) 例:选择小王的思路, 5a +4b= 16① 4a+5b= 5k+1②{ ,① + ②,得 9a+9b = 5k+17,因为 a+b = 3,所以 9( a+b) = 27,所以 5k+17 = 27,解得 k= 2; (2) x -y= 2m-3① x+2y= 3-m②{ ,①+②×2,得 3x+3y = 3,所以 x+y = 1,所以不论 m 取何值,x+y 的值始终不变. 4. -1　 【解析】联立 x +y= 5 2x-y= 1{ ,解得 x= 2 y= 3{ . 把 x,y 的值代 入其余的两个方程得 8a+15b= -22 2a-3b= 8{ ,解得 a= 1 b= -2{ ,则 (a+b) 2025 = (1-2) 2025 = -1. 5. 解:把 x = 1 y= 2{ 代入①得 a + 2b = 6,即 a = 6 - 2b③. 把 x= 2 y= 1{ 代入 ax+by= 6,得 2a+b = 6. 把③代入 2a+b = 6, 得 2(6-2b) +b= 6,解得 b= 2,把 b= 2 代入③得 a = 2. 把 x= 2 y= 1{ 代入方程 cx-4y= -2 得 2c-4 = -2,解得 c= 1. 故 a= 2,b= 2,c= 1. 6. A　 7. A 8. 解:设这个两位数十位上的数字是 x,个位上的数字 为 y,根据题意,得 x +3 = y 6y= 10x+y{ ,解得 x= 3 y= 6{ . 答:这个两 位数是 36. 9. 解:设有 x 个盗贼,有 y 匹绢. 根据题意,得 6x = y-6 7x= y+7{ , 解得 x= 13 y= 84{ ,答:有 13 个盗贼,有 84 匹绢. 10. 解:设甲机器每天加工 x 个零件,乙机器每天加工 y 个零件. (1 +3)x+3y= 450-40 4x+4y= 450+30{ ,解得 x= 50 y= 70{ . 答:甲 机器每天加工 50 个零件,乙机器每天加工 70 个 零件. 11. 解:(1)设七一班男队胜了 x 场,平了 y 场. 依题意得 2x-y= 1 3x+y= 14{ ,解得 x= 3 y= 5{ ,答:七一班男队胜了 3 场; (2)因为该校七年级共有 16 个班,所以七一班男队 共比赛 15 场,设七一班男队负了 z 场,则平了 kz 场, k 是整数. 依题意得:3(15-kz-z) +kz = 15,解得(2k+ 3) z= 30. 因为 k 为整数,所以(2k+3)只能是奇数. 即(2k+3)为 30 的正奇数约数,所以(2k+3)只可能 为 1、3、5、15. 当 2k+3 = 1 时,z = 30,不合题意,舍去; 当 2k+3 = 3 时,k = 0,z = 10;当 2k+3 = 5 时,k = 1,z = 6;当 2k+3 = 15 时,k= 6,z= 2. 综上可知,七一班男队 最少负了 2 场. 追梦之旅铺路卷·七年级上·ZBK·数学　 第 12 页 12. 解:(1)设该商场第 1 次购进 A 商品 x 件,购进 B 商品 y 件.依题意,得 1200x +1000y=390000 (1350-1200)x+(1200-1000)y=60000{ , 解得 x=200 y=150{ .答:该商场第1 次购进 A 商品200 件,B 商 品 150 件; (2)设 B 种商品是打 m 折销售,依题意,得:200 × (1350-1200) +150×2×(1200× m 10 -1000)= 54000,解 得 m= 9. 答:B 种商品是打 9 折销售的. 13. (1)3 (2) 设甲型车需 x 辆,乙型车需 y 辆,根据题意得 20x+30y= 360 300x+400y= 5100{ ,解得 x= 9 y= 6{ . 答:甲型车需 9 辆, 乙型车需 6 辆; (3)设使用 a 辆甲型车,b 辆乙型车,则使用(11-a- b)辆丙型车,根据题意得:20a+30b+40(11-a-b) = 360,所以 b = 8- 2a. 又因为 a,b,11 -a-b 均为正整 数,所以 a = 1 b= 6{ 或 a= 2 b= 4{ 或 a= 3 b= 2{ ,所以共有 3 种运输 方案,方案 1:使用 1 辆甲型车,6 辆乙型车,4 辆丙 型车;方案 2:使用 2 辆甲型车,4 辆乙型车,5 辆丙 型车;方案 3:使用 3 辆甲型车,2 辆乙型车,6 辆丙 型车. 方案 1 所需运费为 300 × 1 + 400 × 6 + 450 × 4 = 4500(元);方案 2 所需运费为 300×2+400×4+450×5 = 4450(元);方案 3 所需运费为 300×3+400×2+450 ×6 = 4400(元),因为 4500>4450>4400,所以最少运 费是 4400 元. 追梦专项总结突破卷(五) 线段与角的相关计算 1. 解:(1)6 (2)①< ②因为 AD= 10,BC = 8,所以 AB+CD = AD-BC = 2. 因 为 M 是 AB 的中点, N 是 CD 的中点, 所以 BM = 1 2 AB,CN= 1 2 CD,所以 BM+CN = 1 2 (AB+CD)= 1 2 ×2 = 1. 所以 MN=BM+CN+BC= 9. 2. 解:(1)因为 D 是线段 BC 的中点,CD= 3cm,所以 BC = 2CD= 6cm. 因为 BC= 3AB,所以 AB= 1 3 BC= 2cm,所 以 AC=AB+BC= 2+6 = 8(cm); (2)因为 E 是 AC 的中点,所以 EC= 1 2 AC = 4cm,所以 ED=EC-DC= 4-3 = 1(cm) . 3. 解:(1)当 t= 1 时,由题意,得 BD = 2cm,PC = 1cm,则 BD= 2PC. 因为 PD= 2AC,所以 BD+PD = 2(PC+AC), 即 PB= 2AP. 因为 AB = 12cm,AB = AP+PB,所以 12 = 3AP,则 AP= 4cm; (2)根据 C、D 的运动速度知:BD = 2PC,因为 PD = 2AC,所以 BD+PD= 2(PC+AC),即 PB= 2AP. 因为 AB = 12cm,所以 AP= 4cm; (3)当点 Q 在线段 AB 上时,因为 AQ-BQ = PQ,所以 AQ=PQ+BQ. 所以点 Q 在线段 BP 上,所以 AQ = AP+ PQ,所以 AP=BQ. 又因为 PB= 2AP,所以 PQ= 1 3 AB= 4cm;当点 Q 在 AB 的延长线上时,AQ-BQ=PQ= AB = 12cm. 综上所述,PQ= 4cm 或 12cm. 4. 解:(1)当 DP = 2PE 时,DP = 2 3 DE = 10cm;当 2DP = PE 时,DP = 1 3 DE = 5cm. 综上所述:DP 的长为 5cm 或 10cm; (2)①根据题意,得(1+2) t= 15,解得 t= 5. ②(I)点 P、Q 重合前,AP= t,PQ= 15-t-2t = 15-3t,当 2AP=PQ 时,有 2t= 15-3t,解得 t= 3;当 AP = 2PQ 时, 有 t= 2(15-3t),解得 t= 30 7 ;(II)点 P、Q 重合后,AP= t,PQ= (2-1)( t-5)= t-5,当 AP = 2PQ 时,有 t = 2( t- 5),解得 t= 10;当 2AP=PQ 时,有 2t= t-5,解得 t= -5 (不合题意,舍去) . 综上所述:当 t = 3 秒或 30 7 秒或 10 秒时,点 P 是线段 AQ 的三等分点. 5. 解: ( 1) 因为 ∠EOD = 140°, OA 平分 ∠EOD, 所以 ∠AOE= ∠AOD = 70°. 因为∠BOD = 90°,所以∠AOB = 90°-70° = 20°,所以∠EOB= 70°-20° = 50°; (2)因为∠BOD = 90°,所以∠AOD = 90°-α. 因为 OF 平分∠AOD,所以∠AOF = 1 2 ∠AOD = 1 2 (90°-α) . 因 为∠AOC = 180° - α,OG 平分 ∠AOC,所以 ∠AOG = 1 2 ∠AOC= 1 2 (180°-α),所以∠FOG = ∠AOG-∠AOF = 1 2 (180°-α) - 1 2 (90°-α)= 45°; (3) ∠MON 的度数为 α 或 180° -α. 　 【解析】因为 ∠AOM 与∠AOB 互余,∠BON 与∠AOB 互余,所以 ∠AOM = ∠BON = 90° - α, 则 当 ON 在 BC 上 方, ∠MON= 90° - (90° -α) = α,当 ON 在 BC 下方时, ∠MON= 90°+(90°-α)= 180°-α. 6. 解:(1)120　 30 (2) ∠AOM - ∠NOC = 30°. 理由如下:因为∠BOC = 120°,所以∠AOC= 60°,所以∠AON = 60°-∠NOC. 又 因为 ∠AOM + ∠AON = 90°, 所 以 ∠AOM + ( 60° - ∠NOC)= 90°,即∠AOM-∠NOC= 30°; (3)6 或 24 数据的收集与整理 1. A　 2. C　 【解析】两个扇形统计图分别反映两家各类支出费 用占各自的总支出费用的百分比,因为不知道各家庭 支出的总费用和收入,所以无法比较两个家庭各类支 出费用和年收入的多少,A、B、D 错误. 故选 C. 3. 解:(1)40　 126° (2)补全条形统计图如下: 追梦之旅铺路卷·七年级上·ZBK·数学　 第 13 页 追梦专项总结突破卷(四) 二元一次方程组的解法及应用 题型 1　 解二元一次方程组 1. 解下列方程组. (1) 2x+y= 3 x-y= 6{ ;　 　 　 　 　 　 (2) 3(x-1)= y+4 x+y 3 +x-y 6 = 1 ì î í ï ï ï ï . 题型 2　 解含参的二元一次方程组 类型 1　 由方程组解的关系求参数值 解题技巧:由方程组的解的特点可得到第 3 个方程,解此类题通常有如 下 3 种方法:①将方程组中的参数看成已知数并解之,再将求得的解代 入第 3 个方程即可求得参数的值;②将其中两个不含参数的方程重新 组成一个新方程组后解之,再将求得的解代入第 3 个含参数的方程即 可求得参数的值;③观察方程组中的两个方程与第 3 个方程的关系,对 方程组中的参数做整体化处理. 2. 已知关于 x,y 的二元一次方程组 x-y= 4a-3 x+2y= -5a{ 的解 x,y 互为相反 数,求 a 的值. 3. 阅读以下内容:已知数 a,b 满足 a+b = 3,且 5a+4b= 16 4a+5b= 5k+1{ ,求 k 的值. 以下共有三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路: 小明:先解以上关于 a,b 的方程组,再把解代入 a+b = 3,从而求 k 的值; 小王:可先将原方程组中的两个方程直接相加,再求 k 的值; 小丽:先解方程组 a+b= 3 5a+4b= 16{ ,再把所得解代入 4a+5b = 5k+1, 即求 k 的值. (1)试选择其中一名同学的思路,完整地解答此题; (2)试说明关于 x,y 的方程组 x-y= 2m-3 x+2y= 3-m{ ,不论 m 取何值,x+y 的值始终不变. 类型 2　 同解问题 解题技巧:两个方程组同解,其实就是这两个方程组中的四个方程 有公共解,解此类题时通常可先将其中两个不含参数的方程重新组 成一个方程组后解之,再将求得的解代入由另外两个含参数的方程 组成的方程组中,解之即可求得参数的值. 4. 已知关于 x,y 的方程组 x+y= 5 4ax+5by= -22{ 与 2x-y= 1 ax-by-8 = 0{ 有相同的 解,求(a+b) 2 025 的值　 　 　 　-1 . 类型 3　 由方程组的错解求参数值 解题技巧:把求得的错解(分别)代入没有看错的方程中,构建出关 于参数的方程(组),解之即可求得参数的值. 5. 学习情境·错解问题 解方程组 ax+by= 6① cx-4y= -2②{ 时,小强正确解得 x= 2 y= 1{ ,而小刚看错了 c,解得 x= 1 y= 2{ ,求出 a、b、c 的值. 题型 3　 二元一次方程组的应用 类型 1　 配套问题 6. 工坊用木料制作餐桌,1 立方米的木料可以制作 6 张桌子或者 制作 12 把椅子,一张桌子与四把椅子配成一套餐桌. 现有 612 立方米的木料,设用 x 立方米木料制作桌子,y 立方米木料制作 椅子,恰好配套成餐桌,则符合题意的方程是(　 　 )A 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. x+y= 612 4×6x= 12y{ B. x+y= 612 6x= 4×12y{ C. x+y= 612 4x 12 = 6y ì î í ï ï ï ï D. x+y= 612 4x 6 = y 12 ì î í ï ï ï ï 7. 用白铁皮做罐头盒,每张铁皮可制盒身 16 个,或制盒底 48 个, 一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒. 现有 15 张白铁皮,用来 制盒身和盒底,可以刚好配(　 　 )A A. 144 套 B. 9 套 C. 6 套 D. 15 套 类型 2　 数字问题 8. 跨学科试题·语文 在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算 题,这些题目叙述生动、活泼,它们大都是关于方程或方程组的 应用题. 由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏,因而一扫纯数学 的枯燥无味之感,令人耳目一新、回味无穷. 请根据下列诗意列 方程组解应用题. 周瑜寿属:而立之年督东吴,早逝英年两位数; 十比个位正小三,个位六倍与寿符. 哪位同学算得快,多少年寿 属周瑜? 诗的意思是:周瑜病逝时的年龄是一个大于 30 的两位 数,其十位数上的数字比个位上的数字小 3,个位上的数字的 6 倍正好等于这个两位数,求这个两位数. ·52· 类型 3　 古算术问题 9. 文化情境·数学文化 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作, 其中有如下问题:今有人盗库绢,不知所失几何,但闻草中分绢, 人得六匹,盈六匹;人得七匹,不足七匹. 问人、绢各几何? 大意 是:有几个盗贼偷了仓库里的绢,不知道具体偷盗了多少匹绢, 只听盗贼在草丛中分绢时说:“每人分 6 匹,会剩下 6 匹;每人分 7 匹,还差 7 匹. ”问有多少盗贼? 多少匹绢? 类型 4　 生产问题 10. 二十大报告明确提出,积极稳妥推进碳达峰碳中和,为响应国 家号召,某公司购买了甲、乙两台新能源机器,现要加工 450 个 零件,若甲机器先加工 1 天,然后两台机器共加工 3 天,则还有 40 个没有加工;若两台机器共同加工 4 天,则可多加工 30 个. 甲、乙两台机器每天各加工多少个零件? 类型 5　 积分问题 11. 某足球特色学校在七年级各班男队开展足球单循环比赛,即每 个班男队都与其他各班男队比赛一场,再按各队总积分(即该 队所有比赛场得分之和)排列名次. 记分办法是胜一场得 3 分, 平一场得 1 分,负一场得 0 分. (1)比赛中,若七一班男队胜场数的两倍比平场数多 1 场,总 积分为 14 分,求七一班男队胜了多少场? (2)已知该校七年级共有 16 个班,比赛中,若七一班男队的平 场数是负场数的整数倍,且总积分为 15 分,请推算七一班男队 最少负了多少场? 类型 6　 利润问题 12. 某商场第 1 次用 39 万元购进 A,B 两种商品,销售完后获得利 润 6 万元,它们的进价和售价如表(总利润 = 单件利润×销售 量): 商品价格 进价(元 / 件) 售价(元 / 件) A 1 200 1 350 B 1 000 1 200 (1)该商场第 1 次购进 A,B 两种商品各多少件? (2)商场第 2 次以原进价购进 A,B 两种商品,购进 A 商品的件 数不变,而购进 B 商品的件数是第 1 次的 2 倍,A 商品按原售 价销售,而 B 商品打折销售,若两种商品销售完毕,要使得第 2 次经营活动获得利润等于 5. 4 万元,则 B 种商品是按几折销售 的? 类型 7　 运输问题 13. 某物流公司有 360 箱货物需要运送,现有甲、乙、丙三种车型供 运输选择,每辆车的运载能力和运费如表所示:(假设每辆车 均满载) 车型 甲 乙 丙 运载量(箱 / 辆) 20 30 40 运费(元 / 辆) 300 400 450 (1)全部货物一次性运送可用甲型车 6 辆,乙型车 4 辆,丙型车 　 　 　 　3 辆; (2)若全部货物仅用甲、乙两种车型一次性运完,需运费 5 100 元,求甲、乙两种车型各需多少辆? (3)若该公司打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送,已知车 辆总数为 11 辆,且一次性运完所有货物,请设计出所有的运送 方案,并写出最少运费. ·62·