追梦专项总结突破卷(二)整式的加减&(三)一元一次方程的解法及应用-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年新教材七年级上册数学（沪科版2024）

追梦专项总结突破卷(二) 整式的加减 题型 1　 整式的化简及求值 1. 有这样一道题:“求(2x3 -3x2y-2xy2) -(x3 -2xy2 +y3) +( -x3 +3x2y -y3)的值,其中 x = - 1 2 ,y = -1”,小马虎把“x = - 1 2 ”错抄成“x = 1 2 ”,但他计算的结果却是正确的,你觉得可能吗? 请用具体过 程说明为什么? 2. 【知识背景】定义 1:一个关于 x,y 多项式 ax2 +bxy+cy2 +dx+ey+f, 如果把其中 x,y 互换,所得的结果都与原式相同,则称此多项式 是关于 x,y 的二元对称多项式. 如 x+y,x2 +3xy+y2 都是关于 x,y 的二元对称多项式. 定义 2:若多项式组[A,B,C] (A,B,C 是关于 x,y 的整式)中的 三个整式满足两个条件:①多项式 C 是二元对称多项式;②整 式 A,B 通过已学过的某一种运算后可得到多项式 C. 我们把这 样的多项式组称为“二元对称关联式” . 例如:[x2 +3xy,y2,x2 +3xy+y2 ],[2x2 -xy-y2,x2 -xy-2y2,x2 +y2 ], [ -x2 +y2 +xy,2xy+2y2,x2 +xy+y2]都是“二元对称关联式” . 【知识应用】(1)若[A,xy+y2,x2 -2xy+y2]是“二元对称关联式”, 写出所有符合条件的多项式 A,并说明理由; (2)已知[m2x2 +n2y2 +mx+y,-3x2 +x+my-4my2,x2 +y2 +nx+ny]是 关于 x,y 多项式组(m,n 为常数,mn≠0),这个多项式组能否为 “二元对称关联式”? 若可以,分别求出 m,n 的值;若不能,说明 理由. 题型 2　 整式加减中的无关型问题 3. 学习代数式求值时,遇到这样一类题“代数式 ax-y+6+3x-5y-1 的值与 x 的取值无关,求 a 的值”,通常的解题方法是:把 x,y 看 作字母,a 看作系数,合并同类项,因为代数式的值与 x 的取值 无关,所以含 x 项的系数为 0,即原式= (a+3)x-6y+5,所以 a+3 = 0,则 a= -3. (1)若关于 x 的多项式(2x- 3)m+ 2m2 - 3x 的值与 x 的取值无 关,求 m 值; (2)已知 A= (2x2 -x-1) -(x-3xy),B= -x2 +xy-1,且 3A+6B 的值 与 x 的取值无关,求 y 的值; (3)7 张如图 1 的小长方形,长为 a,宽为 b,按照图 2 方式不重 叠地放在大长方形 ABCD 内,大长方形中未被覆盖的两个部分 (图中阴影部分),设右上角的面积为 S1,左下角的面积为 S2,当 AB 的长变化时,S1 -S2 的值始终保持不变,求 a 与 b 的等量 关系. 图 1 　 　 图 2 题型 3　 整式中的规律 4. 按一定规律排列的单项式:a2,-4a3,9a4,-16a5,25a6,……,第 n 个单项式是(　 　 )A 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. ( -1) n+1n2an+1 B. ( -1) nn2an+1 C. ( -1) n+1n2an D. ( -1) nn2an 5. 下列图形是按照一定规律画出的. 对于第 n 个图形,有 x 个正方 形和一定数量的三角形,三角形的个数可以表示为(　 　 )A A. 4x-4 B. 4n-4 C. 4x+n D. 4n+x 6. 观察下列一组图形中点的个数,其中第 1 个图中共有 4 个点,第 2 个图中共有 10 个点,第 3 个图中共有 19 个点,……按此规律, 则第 5 个图中共有点的个数是(　 　 )B 　 　 　 　 A. 31 B. 46 C. 51 D. 66 题型 4　 数形结合思想 7. 如图:在数轴上点 A 表示数 a,点 B 表示数 b,点 C 表示数 c,数 a 是多项式-2x2 -3x+1 的一次项系数,数 b 是最大的负整数,数 c 是单项式- 1 2 x2y 的次数. (1)a= 　 　 　 　-3 ,b= 　 　 　 　-1 ,c= 　 　 　 　3 ; (2)点 A,B,C 开始在数轴上运动,若点 B 和点 C 分别以每秒 1 个单位长度和每秒 3 个单位长度的速度向右运动,点 A 以每秒 2 个单位长度的速度向左运动,t 秒过后,若点 A 与点 B 之间的 距离表示为 AB,点 B 与点 C 之间的距离表示为 BC,则 AB = 　 　 　 　3t+2 ,BC= 　 　 　 　2t+4 (用含 t 的代数式表示); (3)试问:在(2)的条件下,3BC-2AB 的值是否随着时间 t 的变 化而改变? 若变化,请说明理由;若不变,请求出这个值. 解:3BC-2AB 的值不改变. 3BC-2AB = 3(2t+4) -2(3t+2)= 6t+ 12-6t-4 = 8. ·32· 追梦专项总结突破卷(三) 一元一次方程的解法及应用 题型 1　 解一元一次方程 1. 解方程: (1)9-2(x+3)= x-(3+6x);　 　 　 (2) x 0. 7 -0. 17-0. 2x 0. 03 = 1. 题型 2　 与一元一次方程有关的参数问题 类型 1　 同解(互为相反数)问题 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 【解题技巧】解决一元一次方程有关的同解(互为相反数) 问题时,一般将参数看成已知数,用含参数的式子表示出方 程的解,再根据两个方程的解的关系,建立以参数为未知数 的方程,求出参数的值. 2. 若关于 x 的方程 x 2 +m 3 = x-4 与方程x -6 2 = -6 的解相同,则 m 的 值为　 　 　 　-21 . 3. 方程 2(x-1) -3(x+1) = 0 的解与关于 x 的方程k +x 2 -3k-2 = 2x 的解互为相反数,则 k 的值为　 　 　 　 . 类型 2　 错解问题 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 【解题技巧】解决一元一次方程有关的错解问题时,一般先 根据题意写出错解的方程,将所得的解代入该方程,解得参 数的值,将参数的值代入原方程,可求出原方程的解. 4. 小明解关于 y 的一元一次方程 3(y+a)= 2y+4,在去括号时,将 a 漏乘了 3,得到方程的解是 y= 3,请你求出 a 的值及方程的正确 的解. 题型 3　 一元一次方程的应用题 5. 文化情境·数学文化 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一 首古算诗:“林下牧童闹如簇,不知人数不知竹. 每人六竿多十 四,每人八竿恰齐足. ”其大意是:牧童们在树下拿着竹竿高兴 地玩耍,不知有多少人和竹竿. 每人 6 竿,多 14 竿;每人 8 竿,恰 好用完. 若设牧童有 x 人,根据题意可列方程为(　 　 )A A. 6x+14 = 8x　 　 　 　 　 　 B. 6(x+14)= 8x C. 8x+14 = 6x D. 8(x-14)= 6x 6. 某商场从厂家购进了 A、B 两种品牌的运动裤共 100 条,已知购 买 B 品牌运动裤比购买 A 品牌运动裤多花 6 000 元,其中 A 品 牌运动裤每条进价是 150 元,B 品牌运动裤每条进价是 200 元. (1)求购进 A、B 两种品牌运动裤各多少条? (2)在销售过程中,A 品牌运动裤每条售价是 230 元,很快全部 售出;B 品牌运动裤每条按进价加价 100%销售,售出一部分后, 出现滞销,商场决定打七折出售剩余的 B 品牌运动裤,两种品 牌运动裤全部售出后共获利 14 000 元,有多少条 B 品牌运动裤 打七折出售? 7. 生产劳动情境·制作零件 某工厂车间有 60 名工人生产 A 零件和 B 零件,每人每天可生产 A 零件 15 个或 B 零件 20 个(每人每天 只能生产一种零件),一个 A 零件配两个 B 零件,且每天生产的 A 零件和 B 零件恰好配套. 工厂将零件批发给商场时,每个 A 零 件可获利 10 元,每个 B 零件可获利 5 元. (1)求该工厂有多少名工人生产 A 零件? (2)因市场需求,该工厂每天要多生产出一部分 A 零件供商场 零售使用,现从生产 B 零件的工人中调出多少名工人生产 A 零 件,才能使每日生产的零件总获利比调动前多 600 元? 8. 数学思想·数形结合 已知数轴上的原点为 O,A、B、C 三点对应 的数分别为-16,8 和 12,动点 P 从点 A 出发,以每秒 2 个单位 长度的速度沿数轴正方向运动,同时,动点 Q 从点 C 出发,以每 秒 1 个单位长度的速度沿数轴负方向运动,设点 P 的运动时间 为 t 秒. (1)线段 AB 的长为　 　 　 　24 ,线段 AC 的长为　 　 　 　28 . (2)当点 P 运动到与点 A、B 距离相等时,求点 P 表示的数. (3)当 P、Q 两点相遇时,求 t 的值. (4)当 PO+QB= 10 时,直接写出 t 的值. ·42· (2)52. 5% 　 136. 8° 　 【解析】 《全唐诗》中“春”字 出现的百分比是 21000 40000 ×100% = 52. 5%;扇形统计图 中“秋”字所在的圆心角是 360°× 15200 40000 = 136. 8°. (3)20000×52. 5% = 10500(次),答:估计《全宋词》 中“春”大约出现了 10500 次. 追梦专项总结突破卷(一) 有理数的相关计算 1. 7 2. 解:由题意,得 a+b= 0,cd= 1,m= ±2. 当 m= 2 时,原式 = 0-1 × 2 + 22 = 2;当 m = - 2 时,原式 = 0 - 1 ×( - 2) + ( -2) 2 = 6. 综上所述, a+b abm -cdm+m2 的值为 2 或 6. 3. 4 4. 解:由题意,得 a+1 = 0,2b+3 = 0,c-1 = 0,解得 a = -1, b= - 3 2 ,c= 1,原式= -1×( - 3 2 ) 3×1 + -1-1 - 3 2 = 1 2 + 4 3 = 11 6 . 5. D 6. 解:(1)同号得正,异号得负,并把绝对值相加　 都等 于这个数的绝对值 (2) -8 7. B　 8. D 9. 解:(1) 1 n-1 - 1 n 　 (2)① 2024 2025 　 ② n n+1 (3)原式= 1 2 ×( 1 2 - 1 4 + 1 4 - 1 6 +…+ 1 2024 - 1 2026 )= 1 2 × ( 1 2 - 1 2026 )= 253 1013 . 10. 解:(1)原式 = ( + 1 5 +2 4 5 ) +( -2 1 3 -3 2 3 ) = 3-6 = -3; (2)原式= -3. 16×0. 75+0. 61×0. 75+( -0. 2) ×0. 75 = 0. 75 × ( - 3. 61 + 0. 61 - 0. 2 ) = 0. 75 × ( -3. 2 ) = -2. 4. 11. 解:(1)原式= ( 5 2 -9-4+18) ÷5×1 = 15 2 ÷5×1 = 3 2 ; (2)原式= -1+ | - 8 - 10 | -( - 3) ÷( - 1) = - 1 + 18 - 3 = 14. 12. 解:原式= [( -2017) +( - 5 6 )] +[( -2018) +( - 2 3 )] + ( 4000 + 3 4 ) + [( - 1 ) + ( - 1 2 )] = [( - 2017 ) + ( -2018) +( -1) +4000] +[( - 5 6 ) +( - 2 3 ) +( - 1 2 ) + 3 4 ] = -36+( - 5 4 )= -37 1 4 . 13. 解:(1) -1　 1　 0 (2)如图所示: (3)AB-BC 的值不会随着时间的变化而改变,理由: 因为 BC= (1+5t) -(0-t)= 1+6t,AB= (1+5t) -( -1- t)= 2+6t,所以 AB-BC= 2+6t-(1+6t)= 1,所以 AB- BC 的值不会随着时间的变化而改变,AB-BC 的值 为 1. 14. 解:(1)π (2)①依次运动的终点的位置为 2π,π,4π,0,-3π, 所以第四次 A 点距离原点最近; ②当圆片结束运动时,A 点运动的路程 = 2π+π+3π +4π+3π = 13π,此时 A 点所表示的数是-3π. 15. 解:(1)①5　 ②原点 O 的位置如图 1 所示:　 图 1 图 2 (2)4　 点 O 如图 2 所示; (3)①c-a ②数轴上的原点是 B 点,理由如下:因为数轴上标 出的若干个点中每相邻两点相距 1 个单位,所以 AD =d-a= 7,又因为 d-2a = 10,把 d-a = 7 代入,得 a = -3,所以 b= 0,所以数轴上的原点是 B 点. 追梦专项总结突破卷(二) 整式的加减 1. 解:可能,理由:原式= 2x3 -3x2y-2xy2 -x3 +2xy2 -y3 -x3 +3x2y-y3 = -2y3,因为化简后的结果不含 x,所以原式 的值与 x 值无关,所以他计算的结果正确. 2. 解:(1)令 B = xy+y2,C = x2 -2xy+y2,①A = C+B = x2 - 2xy+y2 +(xy+y2)= x2 -xy+2y2,②A=C-B= x2 -2xy+y2 - (xy+y2)= x2 -3xy,③A = B-C = xy+y2 -( x2 -2xy+y2 ) = -x2 +3xy; (2)令 A=m2x2 +n2y+mx+y,B = -3x2 +x+my-4my2,C = x2 +y2 +nx+ny,因为多项式 C 中 x2 的系数为 1 且 A-B 中,x2 的系数为 m2 +3≠1,B-A 中,x2 系数为-3-m2 ≠ 1,此时 A+B= (m2 -3)x2 +(n2 -4m) y2 +(m+1) x+(m+ 1)y,所以 m2 -3 = 1,n2 -4m = 1,m+1 = n,所以 m = ±2, ①m= 2 时,n= 3,②m= -2 时,n = -1(舍去),综上,当 m= 2,n= 3 时,这个多项式组能成为“二元对称关联 式” . 3. 解:(1)原式 = 2mx- 3m+ 2m2 - 3x = ( 2m- 3) x+ 2m2 - 3m,因为其值与 x 的取值无关,所以 2m-3 = 0,解得 m = 3 2 ; (2)由题意,得 3A+ 6B = 3[(2x2 -x- 1) -( x- 3xy)] + 6( -x2 +xy-1)= 3x(5y- 2) - 9,因为 3A+ 6B 的值与 x 的取值无关,所以 5y-2 = 0,解得 y= 2 5 ; (3)设 AB= x,由图可知 S1 = a(x-3b),S2 = 2b(x-2a), 所以 S1 -S2 = a(x-3b) -2b(x-2a) = (a-2b) x+ab,因 为当 AB 的长变化时,S1 -S2 的值始终保持不变,所以 S1 -S2 的值与 x 的取值无关,所以 a-2b= 0,a= 2b. 4. A　 5. A　 6. B 7. 解:(1) -3　 -1　 3　 (2)3t+2　 2t+4 (3)3BC-2AB 的值不改变. 3BC-2AB= 3(2t+4) -2(3t +2)= 6t+12-6t-4 = 8. 追梦专项总结突破卷(三) 一元一次方程的解法及应用 1. 解:(1)去括号,得 9-2x-6 = x-3-6x. 移项,得-2x-x+ 6x= -3-9+6. 合并同类项,得 3x = -6. 系数化为 1,得 追梦之旅铺路卷·七年级上·ZBK·数学　 第 11 页 x= -2; (2)整理,得 10x 7 -17 -20x 3 = 1. 去分母,得 30x-7(17- 20x)= 21. 去括号,得 30x-119+140x = 21. 移项、合并 同类项,得 170x= 140. 系数化为 1,得 x= 14 17 . 2. -21　 【解析】解方程 x-6 2 = -6,得 x = -6,解方程 x 2 + m 3 = x-4,得 x= 2 3 m+8,因为两个方程的解相同,所以 2 3 m+8 = -6,解得 m= -21. 3. - 19 5 　 【解析】解方程 2(x-1)-3(x+1)= 0,得 x = -5, 解方程 k+x 2 -3k-2 = 2x 得 x = - 5 3 k- 4 3 ,因为两个方程 的解互为相反数,所以-5+( - 5 3 k- 4 3 )= 0 解得 k = -19 5 . 4. 解:由题意,得 3y+a = 2y+4. 即 y = 4-a. 因为 y = 3,所 以 4-a= 3,解得 a= 1. 则原方程为 3(y+1)= 2y+4,解 得 y= 1. 综上所述,a 的值是 1,方程的正确的解是 y= 1. 5. A 6. 解:(1)设购进 A 品牌运动裤 x 条,则购进 B 品牌运 动裤(100-x)条. 根据题意,得 200×(100-x) -150x = 6000,解得 x = 40. 所以 100-x = 60. 即购进 A 品牌运 动裤 40 条,购进 B 品牌运动裤 60 条; (2)设有 y 条 B 品牌运动裤打七折出售,B 品牌运动 裤每条按进价加价 100%后的售价为 200×(1+100%) = 400(元) . 根据题意,得(230-150) ×40+(400-200) ×(60-y) +(400×70%-200) y = 14000. 解得 y = 10. 即 有 10 条 B 品牌运动裤打七折出售. 7. 解:(1)设该工厂有 x 名工人生产 A 零件,则有(60- x)名工人生产 B 零件. 根据题意得 2 × 15x = 20(60 - x),解得 x= 24,即该工厂有 24 名工人生产 A 零件; (2)由(1)知:生产 B 零件原有 60-24 = 36(名)工人, 设从生产 B 零件的工人中调出 y 名工人生产 A 零件. 依题意可得(24+y) ×15×10+(36-y) ×20×5-(24×15× 10+36×20×5)= 600,解得 y = 12,即从生产 B 零件的 工人中调出 12 名工人生产 A 零件. 8. 解:(1)24　 28 (2)设点 P 表示的数为 x,则 x-( -16)= 8-x,解得 x= -4,即点 P 表示的数为-4; (3)由题意得:2t+t= 28,解得 t= 28 3 ; (4) t= 10 3 或 10. 追梦专项总结突破卷(四) 二元一次方程组的解法及应用 1. 解:(1) 2x +y= 3① x-y= 6②{ ,①+②得 3x = 9,解得 x = 3,把 x = 3 代入②得 3 - y = 6,解得 y = - 3,故原方程组的解 是 x= 3 y= -3{ ; (2)整理原方程组得 3x -y= 7① 3x+y= 6②{ ,①+②得 6x = 13,解 得 x= 13 6 ,把 x= 13 6 代入①得 3× 13 6 -y= 7,解得 y= - 1 2 , 故原方程组的解为 x= 13 6 y= - 1 2 ì î í ï ï ï ï . 2. 解: x -y= 4a-3① x+2y= -5a②{ ,②-①,得 3y = -9a+3,即 y = -3a+ 1. 把 y= -3a+1 代入①,得 x= a-2. 由题意得 x+y = 0, 即 a-2+( -3a+1)= 0,解得 a= -0. 5. 3. 解:( 1) 例:选择小王的思路, 5a +4b= 16① 4a+5b= 5k+1②{ ,① + ②,得 9a+9b = 5k+17,因为 a+b = 3,所以 9( a+b) = 27,所以 5k+17 = 27,解得 k= 2; (2) x -y= 2m-3① x+2y= 3-m②{ ,①+②×2,得 3x+3y = 3,所以 x+y = 1,所以不论 m 取何值,x+y 的值始终不变. 4. -1　 【解析】联立 x +y= 5 2x-y= 1{ ,解得 x= 2 y= 3{ . 把 x,y 的值代 入其余的两个方程得 8a+15b= -22 2a-3b= 8{ ,解得 a= 1 b= -2{ ,则 (a+b) 2025 = (1-2) 2025 = -1. 5. 解:把 x = 1 y= 2{ 代入①得 a + 2b = 6,即 a = 6 - 2b③. 把 x= 2 y= 1{ 代入 ax+by= 6,得 2a+b = 6. 把③代入 2a+b = 6, 得 2(6-2b) +b= 6,解得 b= 2,把 b= 2 代入③得 a = 2. 把 x= 2 y= 1{ 代入方程 cx-4y= -2 得 2c-4 = -2,解得 c= 1. 故 a= 2,b= 2,c= 1. 6. A　 7. A 8. 解:设这个两位数十位上的数字是 x,个位上的数字 为 y,根据题意,得 x +3 = y 6y= 10x+y{ ,解得 x= 3 y= 6{ . 答:这个两 位数是 36. 9. 解:设有 x 个盗贼,有 y 匹绢. 根据题意,得 6x = y-6 7x= y+7{ , 解得 x= 13 y= 84{ ,答:有 13 个盗贼,有 84 匹绢. 10. 解:设甲机器每天加工 x 个零件,乙机器每天加工 y 个零件. (1 +3)x+3y= 450-40 4x+4y= 450+30{ ,解得 x= 50 y= 70{ . 答:甲 机器每天加工 50 个零件,乙机器每天加工 70 个 零件. 11. 解:(1)设七一班男队胜了 x 场,平了 y 场. 依题意得 2x-y= 1 3x+y= 14{ ,解得 x= 3 y= 5{ ,答:七一班男队胜了 3 场; (2)因为该校七年级共有 16 个班,所以七一班男队 共比赛 15 场,设七一班男队负了 z 场,则平了 kz 场, k 是整数. 依题意得:3(15-kz-z) +kz = 15,解得(2k+ 3) z= 30. 因为 k 为整数,所以(2k+3)只能是奇数. 即(2k+3)为 30 的正奇数约数,所以(2k+3)只可能 为 1、3、5、15. 当 2k+3 = 1 时,z = 30,不合题意,舍去; 当 2k+3 = 3 时,k = 0,z = 10;当 2k+3 = 5 时,k = 1,z = 6;当 2k+3 = 15 时,k= 6,z= 2. 综上可知,七一班男队 最少负了 2 场. 追梦之旅铺路卷·七年级上·ZBK·数学　 第 12 页