追梦专项总结突破卷(五)一元一次方程&(六)数据的收集与整理-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年新教材七年级上册数学（北师大版2024）

-2AB 的值为 8。 追梦专项总结突破卷(四) 基本平面图形 1. 解:(1)3 (2)因为 DB= 2. 5cm,AD= 8. 5cm,所以 AB= AD+DB = 11cm。 因为 C 是线段 AB 的中点,所以 AC = 1 2 AB = 5. 5cm。 分两种情况:①当点 E 在线段 CA 上时,CE = AC-AE= 5. 5-3 = 2. 5( cm)。 ②当点 E 在线段 CA 的 延长线上时,则 CE=AC+AE= 5. 5+3 = 8. 5( cm);综上 所述,线段 CE 的长度为 2. 5cm 或 8. 5cm。 (3) 11 3 　 　 3 或 13 3 2. 解:(1)3 或 5 或 7 或 9 (2)设 BC= x,因为 AB= 6,CD = 2,所以 AD = AB+BC+ CD= 8+x。 因为点 P、Q 分别为 AD、BC 的中点,所以 PD= 1 2 AD= 4+ 1 2 x,CQ= 1 2 x,所以 PQ=PD-CD-CQ= 4+ 1 2 x-2- 1 2 x= 2; (3)设线段 CD 运动的时间为 ts,则 AM= 2t,BC= t, 所以 BM=AB-AM= 6-2t 或 BM=AM-AB= 2t-6,BD= BC+CD= t+2。 因为点 N 是线段 BD 的中点,所以 DN =BN= 1 2 BD= 1 2 t+1。 因为 MN= 2DN,所以 6-2t+ 1 2 t +1 = 2( 1 2 t+1)或(2t-6) -( 1 2 t+1)= 2( 1 2 t+1),解得 t= 2 或 t= 18,故线段 CD 运动的时间为 2s 或 18s。 3. 南偏东 45°(或东南)　 4. 20° 5. 解:(1)因为∠BOC = ∠AOB+∠AOC = α+β,射线 OM 平分∠BOC,所以∠COM = 1 2 ∠BOC = 1 2 (α+β)。 因 为 ON 平分∠AOC,所以∠CON = 1 2 ∠AOC = 1 2 β,所 以∠MON= ∠COM-∠CON= 1 2 (α+β) - 1 2 β= 1 2 α; (2)因为 AB=m,BC = n,所以 AC = AB+BC = m+n。 因 为点 M,N 分别为 AC,BC 的中点,所以 CM = 1 2 AC = 1 2 (m + n),CN = 1 2 BC = 1 2 n,所以 MN = CM -CN = 1 2 m。 6. 解:(1)15 (2)EF 的长度不变,理由:因为 E、F 分别是 AC、BD 的中点,所以 EC = 1 2 AC,DF = 1 2 DB,所以 EF = EC+ CD+DF = 1 2 ( AC +DB) +CD = 1 2 ( AB - CD) + CD = 1 2 (AB+CD)。 因为 AB = 24cm,CD = 6cm,所以 EF = 1 2 ×(24+6)= 15(cm); (3) ①因为 OE、OF 分别平分∠AOC 和∠BOD,所以 ∠COE= 1 2 ∠AOC,∠DOF = 1 2 ∠BOD,所以∠EOF = ∠EOC + ∠COD + ∠DOF = 1 2 ( ∠AOC + ∠BOD ) + ∠COD= 1 2 ( ∠AOB - ∠COD) + ∠COD = 1 2 ∠AOB + 1 2 ∠COD= 1 2 (∠AOB+∠COD)。 因为∠AOB = 144°, ∠COD = 36°, 所 以 ∠EOF = 1 2 ( ∠AOB + ∠COD ) = 90°; ②∠EOF= 1 2 (∠AOB+∠COD)。 追梦专项总结突破卷(五) 一元一次方程 1. 解:(1)去括号,得 4x-4 = 1-3x+9。 移项,合并同类 项,得 7x= 14,方程两边同除以 7,得 x= 2; (2)去括号,得 2 3 x- 4 3 x+ 1 = 3x+3 4 。 去分母,得 8x- 16x+12 = 3(3x+3)。 去括号,得 8x-16x+12 = 9x+9。 移项、合并同类项,得- 17x = - 3。 方程两边同除以 -17,得 x= 3 17 。 2. 解:(1)a　 -a (2)原方程可化为 | 3x+1 | = 5,当 3x+1≥0 时,方程可 化为 3x+1 = 5,解得 x= 4 3 ;当 3x+1<0,方程可化为 3x +1 = -5,解得 x= -2。 所以原方程的解为 x = 4 3 或 x = -2。 3. -4　 【解析】由题意,得 x+3+x+ | x+3-x | 2 = -1,所以 x = -4。 4. 解:解方程 4x+2m = 3x+1,得 x = 1-2m。 解方程 3x+ 2m= 6x+1,得 x= 2m-1 3 。 因为两个方程同解,所以 1- 2m= 2m-1 3 ,解得 m= 1 2 ,所以 x= 1-2m= 0。 5. 解:错误去分母,得 2(2x-1) = 3(x+a) -1。 去括号, 得 4x-2 = 3x+3a-1。 把 x= 10 代入解得 a= 3。 6. 解:(1)(4a+3b)　 (a+2b) (2)设所制作的 A 型、B 型两种铁盒的数量各有 y 个, 则需要 7y 张长方形铁片,3y 张正方形铁片。 依题意 有 m= 3y,n= 7y,所以 3n= 7m; (3)设可制作 A 型铁盒 x 个,则可制作 B 型铁盒 50-x 2 个,依题意有 4x+ 3(50-x) 2 = 100,解得 x = 10, 50-x 2 = 20。 故可制作 A 型铁盒 10 个, 可制作 B 型铁盒 20 个。 7. 解:(1)设该超市购进甲种商品 x 件,则购进乙种商 追梦之旅铺路卷·七年级上·ZBB·数学　 第 12 页 品(2x+10)件。 依题意得 22(2x+10) +34x= 4 900,解 得 x= 60,2×60+10 = 130(件),即该超市购进甲种商 品 60 件,购进乙种商品 130 件; (2)(50×0. 9-34) ×60+(35×0. 8-22) ×130 = 11×60+6 × 130 = 1 440 ( 元)。 即这批商品全部售完可获 利 1 440 元。 8. 解:(1)设乙工程队平均每天掘进 x 米,则甲工程队 平均每天掘进(x+2)米,依题意有 2(x+2) +(x+x+2) ×1 = 26,解得 x = 5,所以 x+2 = 5+2 = 7。 故甲工程队 平均每天掘进 7 米,乙工程队平均每天掘进 5 米; (2)设完成这项隧道贯穿工程一共需要 y 天。 依题 意有(7+5)·(y-3) = 146-26,解得 y = 13。 故完成 这项隧道贯穿工程一共需要 13 天。 9. 解:(1)设小明每分钟走 a 米,则[ -120-( -600)] ÷60 ×a = 200 - ( - 600),解得 a = 100,故小明每分钟走 100 米; (2)因为[200-( -120)] ÷(100+60)= 2(分钟),2×60 +( -120)= 0。 故两人于学校(点 O 处)再次相遇; (3)设从出发到再次相遇,x 分钟时两人相距 100m, 分两种情况:①小明到家前,依题意有 100x- 60x = 100,解得 x= 5 2 ;②小明到家后,依题意有 100x+60x+ 100 = 800×2,解得 x = 75 8 。 故从出发到再次相遇, 5 2 或 75 8 分钟时两人相距 100m。 追梦专项总结突破卷(六) 数据的收集与整理 1. A　 2. D　 3. C　 【解析】两个扇形统计图分别反映两家各类支出费 用占各自的总支出费用的百分比,因为不知道各家庭 支出的总费用和收入,所以无法比较两个家庭各类支 出费用和年收入的多少,A、B、D 错误。 故选 C。 4. B　 【解析】由题意可知:A. 甲型垃圾桶的利润 1 月至 4 月逐月减少,4 月以后又出现增长,因此选项 A 不 符合题意;B. 3 月份两种型号的垃圾桶利润相同,因 此选项 B 符合题意;C. 乙型垃圾桶的利润 1 月至 5 月有增加,有减少,因此选项 C 不符合题意;D. 甲型 垃圾桶在 6 月份的利润不一定超过乙型垃圾桶,因此 选项 D 不符合题意。 故选 B。 5. 40 6. 解:(1)40　 10 (2)补全的频数直方图如图所示: (3)360°× 6 40 = 54°,即扇形统计图中,D 组所对应的扇 形圆心角的度数为 54°。 追梦期末达标测试卷(一) 1. D　 2. C 3. D　 【解析】A. 3x2 -y+5xy2 是三次三项式;B. 2m2n 5 的 系数是 2 5 ;C. 3a2bc 与 bca2 是同类项。 故选 D。 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　【易错提醒】①单项式的系数是指除字母之外的所有 数,包含分母;②单项式的次数是所有字母的指数和, 不包含数字的指数;③多项式的次数是指多项式中最 高项的次数;④判断是否是同类项只看是否有相同的 字母及相同的字母的指数是否相同,与系数及字母的 顺序无关。 4. C 5. C　 【解析】因为∠AOC = ∠BOD = 78°,∠BOC = 35°, 所以 ∠COD = ∠BOD - ∠BOC = 43°,所 以 ∠AOD = ∠AOC+∠COD= 78°+43° = 121°。 故选 C。 6. B　 7. A 8. D　 【解析】调查只让班里的所有男生举手表决,太片 面,不具有代表性,错误。 故选 D。 9. D 10. B　 【解析】∠AOB = 90° - 54° + 90° + 15° = 141°。 故 选 B。 11. B　 【解析】 A、C、D 的依据是两点确定一条直线。 故选 B。 12. B　 【解析】根据题意,得这个多项式为 3x2 +2x-1- (2x2 +5x)= x2 -3x-1。 故选 B。 13. A　 【解析】设杆的单价为 x 元,则底座的单价为(x+ 5)元,根据题意,得 20(x+5) +30x = 350,解得 x = 5, 所以底座的单价为 5+5 = 10(元)。 故选 A。 14. D　 【解析】设 AP= xcm,则 BP= 2xcm。 分两种情况: ①当从点 A 处对折,x+x = 40,得 x = 20,则绳子的原 长为 2(x+2x)= 120;②当从点 B 处对折时,2x+2x = 40,得 x= 10。 则绳子的原长为 2( x+ 2x) = 60。 综 上,绳子的原长为 60cm 或 120cm。 故选 D。 15. C　 【解析】因为 ab<0,所以 a、b 异号。 若 a<0,则 b >0,所以 x= a -a + b b - ab -ab = (-1)+1-(-1)= 1。 若 a> 0,则 b<0,所以 x= a a + b -b - ab -ab = 1+(-1)-(-1)= 1。 则 x2 +3x+7 = 1+3+7 = 11。 故选 C。 16. B　 【解析】第一个图案需 7 根木棒,7 = 1×(1+3) + 3,第 2 个图案需要 13 根木棒,13 = 2×(2+3)+3,第 3 个图案需 21 根木棒,21 = 3×(3+3) +3,…第 n 个图 案需 n(n+3)+3 根木棒,所以第 11 个图案需要 11× (11+3)+3 = 157(根)木棒。 故选 B。 17. <　 【解析】两个负数比较大小,绝对值大的反而小, 故- 2 3 <- 1 2 。 18. (1) 0　 (2) 1　 【解析】 (1) ( - 4)〇 3 = 3 ×( - 4) - (-4)×3 = -12+12 = 0;(2)因为 2 〇(x-1)= 6,所以 3×2-2(x-1)= 6,解得 x= 1。 19. (1) -1　 (2)1 或-3　 【解析】(1)若 A′与 B 重合,则 C 点表示的数是 -8+6 2 = -1;(2)设点 C 表示的数为 x,当 A′在线段 CB 的延长线上时,因为 A′B= 4,所以 点 A′表示的数为 6+4 = 10,因为 AC = A′C,所以 x- (-8)= 10-x,解得 x = 1;当 A′在线段 CB 上时,因为 A′B= 4,所以点 A′表示的数为 6 - 4 = 2,因为 AC = 追梦之旅铺路卷·七年级上·ZBB·数学　 第 13 页 追梦专项总结突破卷(五) 一元一次方程 题型一　 解一元一次方程 1. 解方程: (1)4(x-1)= 1-3(x-3);　 　 (2)2[ x 3 -( 2 3 x- 1 2 )] = 3(x +1) 4 。 题型二　 解含有绝对值的方程 2. 阅读材料:由绝对值的意义可知:当 a≥0 时, | a | = 　 　 　 　 ;当 a<0 时, | a | = 　 　 　 。 利用这一特性,可以帮助我们解含有绝 对值的方程。 比如:方程 | x-2 | = 3, 当 x-2≥0 时,原方程可化为 x-2 = 3,解得 x= 5; 当 x-2<0 时,原方程可化为 x-2 = -3,解得 x= -1。 所以原方程的解是 x= 5 或 x= -1。 (1)请补全题目中横线上的结论; (2)仿照上面的例题,解方程: | 3x+1 | -5 = 0。 题型三　 用新定义解一元一次方程 3. 对两个有理数 a,b,定义新运算:a◇b = a +b+ | a-b | 2 。 若( x+ 3) ◇x= -1,则 x 的值为　 　 　 　 。 题型四　 与一元一次方程有关的参数问题 类型 1　 同解问题 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　 　 解决一元一次方程有关的同解问题时,一般将参数看 成已知数,用含参数的式子表示出方程的解,再根据两个方 程的解的关系,建立以参数为未知数的方程,求出参数的 值。 4. 已知关于 x 的方程 4x+2m= 3x+1 和方程 3x+2m = 6x+1 的解相 同,求 m 的值及方程的解。 类型 2　 错解问题 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　 　 解决一元一次方程有关的错解问题,一般先根据题意 写出错解的方程,将所得的解代入该方程,解得参数的值, 将参数的值代入原方程,可求出原方程的解。 5. 小玉在解方程2x -1 3 = x+a 2 -1 去分母时,方程右边的“ -1”项没有 乘 6,因而求得的解是 x= 10,试求 a 的值。 题型五　 一元一次方程的实际应用 6. 某加工厂利用如图 1 所示的长方形和正方形铁片(长方形的宽 与正方形的边长相等),焊接成如图 2 所示的 A 型铁盒与 B 型 铁盒,两种铁盒均无盖。 (1)现在要做 a 个 A 型铁盒和 b 个 B 型铁盒,共需要　 　 　 　 张长方形铁片,　 　 　 　 张正方形铁片; (2)现有 m 张正方形铁片,n 张长方形铁片,若这些铁片全部用 完时,所制作的 A 型、B 型两种铁盒的数量恰好相等,m、n 应满 足怎样的数量关系? (3)现有正方形铁片 50 张,长方形铁片 100 张,若这些铁片恰好 用完,则可制作 A 型、B 型两种铁盒各多少个? 图 1 　 　 　 图 2 7. 某超市用 4 900 元购进甲、乙两种商品,且购进乙种商品的数量 比甲种商品数量的 2 倍还多 10 件。 甲、乙两种商品的进价和标 价如表: 甲 乙 进价(元 / 件) 34 22 标价(元 / 件) 50 35 (1)该超市购进甲、乙两种商品各多少件? (2)若甲商品打 9 折销售,乙商品打 8 折销售,这批商品全部售 完可获利多少元? ·72· 8. 社会发展情境·乡村振兴 为实施乡村振兴战略,解决某山区老 百姓出行难的问题,当地政府决定修建一条高速公路,其中一段 长为 146 米的山体隧道贯穿工程由甲、乙两个工程队负责施工, 甲工程队独立工作 2 天后乙工程队加入,两个工程队又联合工 作了 1 天,这 3 天共掘进 26 米,已知甲工程队平均每天比乙工 程队多掘进 2 米。 (1)求甲、乙两个工程队平均每天分别掘进多少米? (2)若甲、乙两个工程队按此施工速度进行隧道贯穿工程,剩余 工程由这两个工程队联合施工,求完成这项隧道贯穿工程一共 需要多少天? 9. (郑州期末)应用一元一次方程解应用题: 如图,数轴的原点 O 表示学校的位置,超市位于学校正西 600 m 的点 A 处,小明家位于学校正东 200 m 的点 B 处,小明与妈妈在 该超市购物后,同时从超市出发,沿 AB 步行回家,两人的速度 保持不变。 小明先把部分物品送到家,当小明妈妈行至点 C 处 时,小明刚好到家并立即沿原路返回,帮妈妈拿余下的物品。 已 知小明妈妈每分钟走 60 m。 (1)小明每分钟走多少米? (2)两人于何处再次相遇? (3)从出发到再次相遇,多少分钟时两人相距 100 m? 追梦专项总结突破卷(六) 数据的收集与整理 题型一　 普查与抽查 1. 下列调查中,适合抽样调查的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 调查全市七年级学生当天作业完成的时长 B. 了解“嫦娥五号”探测器的零部件状况 C. 了解全班同学的身高情况 D. 调查郑州每户市民 7·20 洪水受灾情况 2. 下列调查:①对一批新入伍的飞行员进行视力检查;②了解电视 机显示屏的使用寿命;③了解某班学生的身高情况;④了解某村 一共有多少户家庭;⑤为保证火箭的成功发射,对其零件进行检 查。 其中适合普查的有(　 　 ) A. ①④⑤ B. ②③④ C. ①②④⑤ D. ①③④⑤ 题型二　 条形统计图、扇形统计图和折线统计图 3. 如图是甲和乙两家庭全年支出费用的扇形统计图,根据图中信 息,下列判断正确的是(　 　 ) A. 甲家庭教育支出费用与乙家庭衣着支出费用相同 B. 乙家庭食品支出费用高于甲家庭食品支出费用 C. 甲家庭教育投入费用比例大于乙家庭教育投入比例 D. 两个家庭的年收入相同 第 3 题图 　 第 4 题图 4. 某超市销售甲、乙两种型号的垃圾桶,在 1-5 月的盈利情况统 计图如图所示,下列结论正确的是(　 　 ) A. 甲型垃圾桶的利润逐月减少 B. 3 月份两种型号的垃圾桶利润相同 C. 乙型垃圾桶的利润逐月增加 D. 甲型垃圾桶在 6 月份的利润必然超过乙型垃圾桶 5. 如图是某晚报“百姓热线”一周内接到的热线电话的问题归类 条形统计图,其中有关环境保护的问题最多,共有 70 个,那么有 关道路交通问题的电话有　 　 　 　 个。 题型三　 频数直方图 6. 某中学发起了“让阅读成为习惯”的读书活动,鼓励学生利用周 末积极阅读课外书籍。 为了解该校七年级学生周末两天的读书 时间,学校随机调查了七年级部分学生的读书时间 x(单位:分 钟),把读书时间分为四组:A(30≤x<60),B(60≤x<90),C(90 ≤x<120),D(120≤x<150)。 部分数据信息如下: ①C 组和 D 组的所有数据:90、125、100、110、95、130、110、100、 140、90、135、100、120、115、145、110。 ②根据调查结果绘制了如下尚不完整的频数直方图和扇形统 计图: 请根据以上信息,回答下列问题: (1)被调查的学生共有　 　 　 　 人,根据①中所给数据信息,C 组的人数(频数)为　 　 　 　 ; (2)请补全频数直方图; (3)请求出扇形统计图中,D 组所对应的扇形圆心角的度数。 ·82·