追梦专项总结突破卷(三)整式及其加减&(四)基本平面图形-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年新教材七年级上册数学（北师大版2024）

(2)要保持从正面看和从左面看到的形状图不变, 则从上面看到的几何体的形状图为 3 4 3 3 3 3 3 3 3 ,最多可 以添加 3 × 8 + 4 -(2 + 3 + 4 + 1 + 2 + 3) = 13(个) 小立 方块。 追梦专项总结突破卷(二) 有理数及其运算 1. C 2. 解:(1)因为 | a+1 | + | 2b-3 | + | c+1 | = 0,所以 a+1 = 0, 2b-3 = 0,c+1 = 0,所以 a = -1,b = 3 2 ,c = -1,所以 ab 3c + a-c b = 1 2 +0 = 1 2 ; (2)因为 | x-y | = y-x,所以 x≤y。 因为 | x | = 2, | y | = 3,所以 x= ±2,y= 3。 当 x= 2,y= 3 时,2x-y= 1;当 x = -2,y= 3 时,2x-y= -7。 综上所述,2x-y= 1 或-7。 3. A 4. C　 【解析】因为 21 = 2,22 = 4,23 = 8,24 = 16,25 = 32,26 = 64,27 = 128,28 = 256,…,所以 2027÷4 = 506……3, 所以末位数字是 8。 故选 C。 5. D　 【解析】根据题中的新定义得:原式 = (1- 1 2 )· (1- 1 3 )·(1- 1 4 ) ·…· (1- 1 101 )= 1 2 × 2 3 × 3 4 ×…× 100 101 = 1 101 。 故选 D。 6 解:(1)原式 = ( + 1 5 + 2 4 5 ) +( - 2 1 3 - 3 2 3 ) = 3 - 6 = -3; (2)原式= -3. 61×0. 75+0. 61×0. 75+( -0. 2) ×0. 75 = 0. 75×( -3. 61+0. 61-0. 2)= 0. 75×( -3. 2)= -2. 4。 7. 解:(1)1　 3　 【解析】因为 61 = 6,23 = 8,所以 log66 = 1,log28 = 3。 (2)因为 log2(m-2)= 4,所以 2 4 =m-2,则 m= 18。 8. 解:(1) -4+7-9-8-5+3+4 = -12(千米)。 故 B 地与 A 地相距 12 千米,B 地在 A 地南方; (2) | -4 | + | +7 | + | -9 | + | -8 | + | -5 | + | +3 | + | +4 | = 4+ 7+9+8+5+3+4 = 40(千米)。 故汽车在这一天中共行 驶了 40 千米; (3)第一次: | -4 | = 4,相距 4 千米;第二次:-4+7 = 3, 相距 3 千米;第三次:3-9 = -6,相距 6 千米;第四次: -6-8 = -14,相距 14 千米;第五次:-14-5 = -19,相距 19 千米;第六次:-19+3 = -16,相距 16 千米;第七次: -16+4 = -12,相距 12 千米。 因为 3<4<6<12<14<16 <19,所以此养护小组一天中距 A 地的最远距离为 19 千米。 9. 解:(1)二　 35. 03　 一　 34. 22 (2)上　 0. 67 (3)34+0. 22+0. 81+( -0. 36) +0. 03+0. 29+( -0. 35) + ( -0. 01) = 34. 63(米),因为 34. 63>34,34. 63 - 34 = 0. 63( 米),故本周末水库水位是上升了, 变化了 0. 63 米。 10. 解:(1)①5 ②如图 1 所示; 图 1 (2)如图 2 所示;4 图 2 (3)①c-a ②数轴上的原点是 B 点,理由如下:因为数轴上标 出的若干个点中每相邻两点相距 1 个单位,所以 AD = d-a= 7,即 d= a+7。 又因为 d-2a = 10,所以 a+7- 2a= 10。 所以 a= -3,d= 4,所以 b= 0,所以数轴上的 原点是 B 点。 追梦专项总结突破卷(三) 整式及其加减 1. 解:(1)2 (2)a 与 b 不是关于 1 的“平衡数”。 理由:a+b = 2x2 - 3(x2 +x) +4+2x-[3x-(4x+x2 ) -2] = 2x2 -3x2 -3x+4+ 2x-3x+4x+x2 +2 = 6≠1,所以 a 与 b 不是关于 1 的“平 衡数”。 2. 解:(1)2mx-3m+2m2 -3x = (2m-3) x+2m2 -3m,因为 其值与 x 的取值无关,所以 2m-3 = 0,解得 m = 3 2 ,故 当 m= 3 2 时,多项式 2mx-3m+2m2 -3x 的值与 x 的取 值无关; (2)3A+6B= 3[(2x2 -x-1) -(x-3xy)] +6( -x2 +xy-1) = 3(2x2 -x-1-x+3xy) -6x2 +6xy-6 = 6x2 -3x-3-3x+ 9xy-6x2 +6xy-6 = 15xy-6x-9 = x(15y-6) -9,因为 3A +6B 的值与 x 无关,所以 15y-6 = 0,即 y= 2 5 ; (3)设 AB= x,由图可知 S1 = ax-3ab,S2 = 2bx-4ab,所 以 S1 -S2 = ax-3ab-(2bx-4ab)= (a-2b)x+ab,因为当 AB 的长变化时,S1 -S2 的值始终保持不变,所以 S1 - S2 的取值与 x 无关,所以 a-2b= 0,即 a= 2b。 3. B　 【解析】a1 = 0,a2 = - | a1 +1 | = -1,a3 = - | a2 +2 | = - | -1+2 | = - 1,a4 = - | a3 + 3 | = - | - 1 + 3 | = - 2,a5 = - | a4 +4 | = - | -2+4 | = - 2,…,所以 n 为偶数时,an = - n 2 ,n 为奇数时,an = - n-1 2 。 所以 a2025 = - 2025-1 2 = -1012。 故选 B。 4. 解:(1)1640 (2)S=m(m+1) (3)原式= (2+4+6+…+200) -(2+4+6+…+80)= 100 ×101-1640 = 8460。 5. B　 【解析】 设第 n 个图形共有 an 个点( n 为正整 数),观察图形,可知 a1 = 10 = 6+4,a2 = 16 = 6×2+4,a3 = 22 = 6×3+4,a4 = 28 = 6×4+4,…,所以 an = 6n+4(n 为正整数)。 故选 B。 6. B 　 【解析】由图可知,每数 8 个数循环一次,因为 2024÷8 = 253,所以数到 2024 时对应的指头和数到 8 时的一样,即为食指。 故选 B。 7. 解:(1) -3　 -1　 3 (2)3t+2　 2t+4 (3)3BC-2AB 的值不随时间 t 的变化而改变,3BC- 2AB= 3(2t+4) -2(3t+2)= 6t+12-6t-4 = 8,所以 3BC 追梦之旅铺路卷·七年级上·ZBB·数学　 第 11 页 -2AB 的值为 8。 追梦专项总结突破卷(四) 基本平面图形 1. 解:(1)3 (2)因为 DB= 2. 5cm,AD= 8. 5cm,所以 AB= AD+DB = 11cm。 因为 C 是线段 AB 的中点,所以 AC = 1 2 AB = 5. 5cm。 分两种情况:①当点 E 在线段 CA 上时,CE = AC-AE= 5. 5-3 = 2. 5( cm)。 ②当点 E 在线段 CA 的 延长线上时,则 CE=AC+AE= 5. 5+3 = 8. 5( cm);综上 所述,线段 CE 的长度为 2. 5cm 或 8. 5cm。 (3) 11 3 　 　 3 或 13 3 2. 解:(1)3 或 5 或 7 或 9 (2)设 BC= x,因为 AB= 6,CD = 2,所以 AD = AB+BC+ CD= 8+x。 因为点 P、Q 分别为 AD、BC 的中点,所以 PD= 1 2 AD= 4+ 1 2 x,CQ= 1 2 x,所以 PQ=PD-CD-CQ= 4+ 1 2 x-2- 1 2 x= 2; (3)设线段 CD 运动的时间为 ts,则 AM= 2t,BC= t, 所以 BM=AB-AM= 6-2t 或 BM=AM-AB= 2t-6,BD= BC+CD= t+2。 因为点 N 是线段 BD 的中点,所以 DN =BN= 1 2 BD= 1 2 t+1。 因为 MN= 2DN,所以 6-2t+ 1 2 t +1 = 2( 1 2 t+1)或(2t-6) -( 1 2 t+1)= 2( 1 2 t+1),解得 t= 2 或 t= 18,故线段 CD 运动的时间为 2s 或 18s。 3. 南偏东 45°(或东南)　 4. 20° 5. 解:(1)因为∠BOC = ∠AOB+∠AOC = α+β,射线 OM 平分∠BOC,所以∠COM = 1 2 ∠BOC = 1 2 (α+β)。 因 为 ON 平分∠AOC,所以∠CON = 1 2 ∠AOC = 1 2 β,所 以∠MON= ∠COM-∠CON= 1 2 (α+β) - 1 2 β= 1 2 α; (2)因为 AB=m,BC = n,所以 AC = AB+BC = m+n。 因 为点 M,N 分别为 AC,BC 的中点,所以 CM = 1 2 AC = 1 2 (m + n),CN = 1 2 BC = 1 2 n,所以 MN = CM -CN = 1 2 m。 6. 解:(1)15 (2)EF 的长度不变,理由:因为 E、F 分别是 AC、BD 的中点,所以 EC = 1 2 AC,DF = 1 2 DB,所以 EF = EC+ CD+DF = 1 2 ( AC +DB) +CD = 1 2 ( AB - CD) + CD = 1 2 (AB+CD)。 因为 AB = 24cm,CD = 6cm,所以 EF = 1 2 ×(24+6)= 15(cm); (3) ①因为 OE、OF 分别平分∠AOC 和∠BOD,所以 ∠COE= 1 2 ∠AOC,∠DOF = 1 2 ∠BOD,所以∠EOF = ∠EOC + ∠COD + ∠DOF = 1 2 ( ∠AOC + ∠BOD ) + ∠COD= 1 2 ( ∠AOB - ∠COD) + ∠COD = 1 2 ∠AOB + 1 2 ∠COD= 1 2 (∠AOB+∠COD)。 因为∠AOB = 144°, ∠COD = 36°, 所 以 ∠EOF = 1 2 ( ∠AOB + ∠COD ) = 90°; ②∠EOF= 1 2 (∠AOB+∠COD)。 追梦专项总结突破卷(五) 一元一次方程 1. 解:(1)去括号,得 4x-4 = 1-3x+9。 移项,合并同类 项,得 7x= 14,方程两边同除以 7,得 x= 2; (2)去括号,得 2 3 x- 4 3 x+ 1 = 3x+3 4 。 去分母,得 8x- 16x+12 = 3(3x+3)。 去括号,得 8x-16x+12 = 9x+9。 移项、合并同类项,得- 17x = - 3。 方程两边同除以 -17,得 x= 3 17 。 2. 解:(1)a　 -a (2)原方程可化为 | 3x+1 | = 5,当 3x+1≥0 时,方程可 化为 3x+1 = 5,解得 x= 4 3 ;当 3x+1<0,方程可化为 3x +1 = -5,解得 x= -2。 所以原方程的解为 x = 4 3 或 x = -2。 3. -4　 【解析】由题意,得 x+3+x+ | x+3-x | 2 = -1,所以 x = -4。 4. 解:解方程 4x+2m = 3x+1,得 x = 1-2m。 解方程 3x+ 2m= 6x+1,得 x= 2m-1 3 。 因为两个方程同解,所以 1- 2m= 2m-1 3 ,解得 m= 1 2 ,所以 x= 1-2m= 0。 5. 解:错误去分母,得 2(2x-1) = 3(x+a) -1。 去括号, 得 4x-2 = 3x+3a-1。 把 x= 10 代入解得 a= 3。 6. 解:(1)(4a+3b)　 (a+2b) (2)设所制作的 A 型、B 型两种铁盒的数量各有 y 个, 则需要 7y 张长方形铁片,3y 张正方形铁片。 依题意 有 m= 3y,n= 7y,所以 3n= 7m; (3)设可制作 A 型铁盒 x 个,则可制作 B 型铁盒 50-x 2 个,依题意有 4x+ 3(50-x) 2 = 100,解得 x = 10, 50-x 2 = 20。 故可制作 A 型铁盒 10 个, 可制作 B 型铁盒 20 个。 7. 解:(1)设该超市购进甲种商品 x 件,则购进乙种商 追梦之旅铺路卷·七年级上·ZBB·数学　 第 12 页 追梦专项总结突破卷(三) 整式及其加减 题型一　 与整式的加减有关的新定义运算 1. 请阅读以下材料,并完成下列问题: 定义:若 a+b=n,则称 a 与 b 是关于整数 n 的“平衡数”,比如 3+ (-4)= -1,则 3 与-4 是关于-1 的“平衡数”,2+8 = 10,则 2 与 8 是关于 10 的“平衡数”。 (1)填空:-6 与 8 是关于　 　 　 　 的“平衡数”; (2)若 a= 2x2 -3(x2 +x) +4,b= 2x-[3x-(4x+x2) -2],判断 a 与 b 是不是关于 1 的“平衡数”,并说明理由。 题型二　 整式加减中的无关型问题 2. 学习代数式求值时,遇到这样一类题“代数式 ax-y+6+3x-5y-1 的值与 x 的取值无关,求 a 的值”,通常的解题方法是:把 x,y 看 作字母,a 看作系数合并同类项,因为代数式的值与 x 的取值无 关,所以含 x 项的系数为 0,即原式= (a+3)x-6y+5,所以 a+3 = 0,则 a= -3。 (1)若关于 x 的多项式 2mx-3m+2m2 -3x 的值与 x 的取值无关, 求 m 的值; (2)已知 A= (2x2 -x-1) -(x-3xy),B= -x2 +xy-1,且 3A+6B 的值 与 x 无关,求 y 的值; 【能力提升】 (3)7 张如图 1 的小长方形,长为 a,宽为 b,按照图 2 方式不重 叠地放在大长方形 ABCD 内,大长方形中未被覆盖的两个部分 (图中阴影部分),设右上角的面积为 S1,左下角的面积为 S2,当 AB 的长变化时,S1 -S2 的值始终保持不变,求 a 与 b 的数量 关系。 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 图 1　 　 　 　 图 2 题型三　 数字方面的规律探索 3. 已知整数 a1、a2、a3、a4、…,满足下列条件:a1 = 0、a2 = - | a1 +1 | 、 a3 = - | a2 +2 | 、a4 = - | a3 +3 | 、a5 = - | a4 +4 | 、…,依此类推,则 a2 025 = (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. -1 011 B. -1 012 C. -2 024 D. -2 025 4. 观察:从 2 开始的连续偶数相加,它们的和的情况如下表: 加数(m)的个数 和(S) 1 2 = 1×2 2 2+4 = 6 = 2×3 3 2+4+6 = 12 = 3×4 4 2+4+6+8 = 20 = 4×5 5 2+4+6+8+10 = 30 = 5×6 … … 解答下列问题: (1)2+4+6+…+80 = 　 　 　 　 ; (2)当从 2 开始的连续 m 个正偶数相加时,设它们的和为 S,请 你用公式表示 S 与 m 之间的关系　 　 　 　 　 　 　 ; (3)根据你发现的规律计算 82+84+86+…+200 的值。 题型四　 图形中的规律探索 5. 观察下列图形: 第 1 个图形 　 第 2 个图形 　 第 3 个图形 　 第 4 个图形 　 … 它们是按一定规律排列的,依照此规律,第 n(n 为正整数)个图 形中的点的个数是(　 　 ) A. 6n-1 B. 6n+4 C. 5n-1 D. 5n+4 6. 小时候,我们就用手指练习过数数,一个小朋友按如图所示的规 则练习数数,数到 2 024 时对应的指头是(　 　 ) A. 小指 B. 食指 C. 中指 D. 大拇指 题型五　 数形结合思想 7. 如图:在数轴上点 A 表示数 a,点 B 表示数 b,点 C 表示数 c,数 a 是多项式-2x2 -3x+1 的一次项系数,数 b 是最大的负整数,数 c 是单项式- 1 2 x2y 的次数。 (1)a= 　 　 　 　 　 ,b= 　 　 　 　 　 ,c= 　 　 　 　 　 ; (2)点 A,B,C 开始在数轴上运动,若点 B 和点 C 分别以每秒 1 个单位长度和每秒 3 个单位长度的速度向右运动,点 A 以每秒 2 个单位长度的速度向左运动,t 秒过后,若点 A 与点 B 之间的 距离 表 示 为 AB, 点 B 与 点 C 之 间 的 距 离 表 示 为 BC, 则 AB= 　 　 　 　 ,BC= 　 　 　 　 ;(用含 t 的代数式表示) (3)试问:3BC-2AB 的值是否随着时间 t 的变化而改变? 若变 化,请说明理由;若不变,请求出这个值。 ·52· 追梦专项总结突破卷(四) 基本平面图形 题型一　 线段中的动点问题 1. 如图,C 是线段 AB 的中点,点 D 在线段 CB 上,DB = 2. 5 cm,AD = 8. 5 cm。 (1)则线段 CD 的长度为　 　 　 　 cm; (2)若点 E 在射线 CA 上,且 AE= 3 cm,请求出线段 CE 的长度; (3)动点 M 从点 A 出发以每秒 2 cm 的速度向点 B 方向运动,同 时,点 N 从点 B 出发以每秒 1 cm 的速度向点 A 方向运动,假设 t 秒时点 M 与点 N 相遇,则 t = 　 　 　 　 ;假设第 m 秒时,点 M 与点 N 之间的距离为 2 cm,则 m= 　 　 　 　 。 2. 已知,直线 l 上线段 AB= 6、线段 CD= 2。 (1)若线段 BC= 1,则线段 AD= 　 　 　 　 ; (2)如图 1,点 P、Q 分别为 AD、BC 的中点,求线段 PQ 的长度; (3)如图 2,线段 CD 从点 B 开始以 1 个单位长度 /秒的速度向 右运动,同时,点 M 从点 A 开始以 2 个单位长度 /秒的速度向右 运动,点 N 是线段 BD 的中点。 若 MN= 2DN,求线段 CD 运动的 时间。 图 1 图 2 题型二　 角的相关计算 3. (焦作期末)如图,点 A 在点 O 的北偏西 15°方向,点 B 在点 O 的北偏东 30°方向。 若∠1 = ∠AOB,则点 C 在点 O 的 　 　 　 　 方向。 第 3 题图 　 　 　 　 第 4 题图 4. (平顶山期末) 如图,点 O 在直线 AB 上,已知∠COD = 90°, ∠AOC= 40°,且 OE 平分∠BOC,则∠DOE= 　 　 　 　 。 题型三　 线段与角的综合探究问题 5. (1)探究:如图 1,∠AOB = α,∠AOC = β(α,β 为锐角),射线 OM 平分∠BOC,ON 平分∠AOC,求∠MON 的度数; (2)迁移:其实线段的计算与角的计算存在着紧密的联系,如图 2,线段 AB=m,延长线段到 C,使得 BC = n,点 M,N 分别为 AC, BC 的中点,求 MN 的长。 图 1 　 　 　 　 　 　 图 2 6. 如图甲,已知线段 AB= 24 cm,CD= 6 cm,线段 CD 在线段 AB 上 运动,E、F 分别是 AC、BD 的中点。 (1)若 AC= 8 cm,则 EF= 　 　 　 　 cm。 (2)当线段 CD 在线段 AB 上运动时,试判断 EF 的长度是否发 生变化? 如果不变,请求出 EF 的长度;如果变化,请说明理由。 (3)对于角,也有和线段类似的规律。 如图乙,已知∠COD 在 ∠AOB 内部转动,OE、OF 分别平分∠AOC 和∠BOD。 ①若∠AOB= 144°,∠COD= 36°,求∠EOF; ②请你猜想∠EOF,∠AOB 和∠COD 会有怎样的数量关系,直 接写出你的结论。 图甲 　 　 　 　 　 　 图乙 ·62·