第二章 有理数及其运算 追梦基础训练卷(二)-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年新教材七年级上册数学（北师大版2024）

第二章追梦基础训练卷(二) 有理数的乘除、乘方及混合运算 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 得分:　 　 　 　 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1. 下列各组数中,互为倒数的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 2 和-2 B. -2 和- 1 2 C. 2 和 | -2 | D. -2 和 | - 1 2 | 2. 文化情境·传统文化 陕西历史博物馆,是中国第一座大型现代 化国家级博物馆,被誉为“古都明珠,华夏宝库”。 馆藏文物约 1 718 000 件( 组), 数据 1 718 000 用 科 学 记 数 法 可 表 示 为(　 　 ) A. 1 718×103 B. 0. 171 8×105 C. 1. 718×106 D. 1. 718×107 3. 下列说法正确的是(　 　 ) A. 近似数 2. 7×103 精确到十分位 B. 近似数 1. 28 万精确到百分位 C. 数 3. 995 3 精确到百分位为 4. 00 D. 近似数 6. 5 与 6. 50 精确度相同 4. 下列计算正确的是(　 　 ) A. 1 3 - 1 3 ×4 = 0×4 = 0 B. 5÷( -2) ×( - 1 2 )= 5÷1 = 5 C. (36÷12) ÷ 3 2 = 2 D. 24-4×32 = 24-4×6 = 0 5. 已知 | a-2 | +(b+3) 4 = 0,则 ba 的值是(　 　 ) A. -6 B. 6 C. -9 D. 9 6. 利用乘法对加法的分配律计算( -100 98 99 ) ×99 时,正确的方法可 以是(　 　 ) A. -(100+98 99 ) ×99 B. -(100-98 99 ) ×99 C. (100-98 99 ) ×99 D. ( -101- 1 99 ) ×99 7. 文化情境·数学文化 (陕西一模)《孙子算经》中载有“今有出门 望见九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢…”大意为:今天出门 看见 9 座堤坝,每座堤坝上有 9 棵树,每棵树上有 9 根树枝,每 根树枝上有 9 个鸟巢,…,文中的鸟巢共有(　 　 ) A. 93 B. 103 C. 94 D. 104 8. 已知 a、b 为有理数,且 ab>0,则 a | a | + b | b | + ab | ab | 的值是(　 　 ) A. 3 B. -1 C. -3 D. 3 或-1 9. 若“!”是一种运算符号,且 1! = 1,2! = 2×1,3! = 3× 2× 1,4! = 4×3×2×1,…,则计算2 025! 2 024! 正确的是(　 　 ) A. 2 025 B. 2 024 C. 2 025 2 024 D. 2 025×2 024 10. 有四个互不相等的整数 a、b、c、d 且 abcd = 9,那么 a+b+c+d 等于(　 　 ) A. 0 B. 8 C. 4 D. 不能确定 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 已知(a-3) 2 与 | b-1 |互为相反数,则 a2 +b2 = 　 　 　 　 。 12. 学习情境·24 点游戏 算“24”是一种常见的数学游戏。 一座 有三道环路的数字迷宫,每一个入口处都设置一个数,要求每 一个进入者都把自己当作数“1”,进入时必须 形成一种运算(加、减、乘、除或乘方),与入口 处的数进行计算,并将结果带到下一个入口, 依次累计下去。 在通过最后一个入口时,如果 计算结果是 24 才能到达迷宫中心。 请选择一条可以到达迷宫 中心的道路,列出其对应的算式为 　 。 13. 生活情境·金属丝 当温度每下降 10℃ 时,某种金属丝缩短 0. 02 mm。 把 30℃时 10 mm 长的这种金属丝冷却到零下 5℃ , 那么这种金属丝在零下 5℃时的长度是　 　 　 　 mm。 14. 学习情境·程序框图 如图是一个计算程序,若输入的值为 1,则 输出的值应为　 　 　 　 。 15. 生活情境·哈利波特 (宁波期末)电影《哈利波特》中,小哈利 波特穿越墙进入“9 3 4 站台”的镜头(如示意图的 Q 站台),构 思奇妙,给观众留下深刻的印象。 若 A、B 站台分别位于- 2 3 , 8 3 处,若 P 站台到 A 站台的距离是到 B 站台距离的 2 倍,则 P 站 台用类似电影的方法可称为“　 　 　 　 站台”。 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 75 分) 16. (8 分)计算。 (1)0. 25×( -2) 3 - 4÷( - 2 3 ) 2 +1é ë ê ê ù û ú ú +( -1) 2 025; (2) -14 -( -5 1 2 ) × 4 11 +( -2) 3 ÷ | -32 +1 | 。 17. (8 分)已知 m、n 互为相反数,p、q 互为倒数,x 的绝对值为 2, 求 m+n 2 024 +2 025pq+x2。 18. (9 分)计算:( -6) 2 ×( 1 4 -■) -23。 芳芳在做作业时,发现题中 有一个数字被墨水污染了。 (1)如果被污染的数字是 1 3 ,请计算( -6) 2 ×( 1 4 - 1 3 ) -23; (2)如果计算结果等于 4,求被污染的数字。 ·5· 19. 学习情境·接力游戏 (9 分)老师设计了接力游戏,用合作的方 式完成有理数运算,规则是:每人只能看到前一人给的式子,并 进行一步计算,再将结果传递给下一人,最后完成计算。 过程 如图所示。 (1)接力中,计算错误的学生是　 　 　 　 　 　 　 ; (2)请正确计算老师出示的算式; (3)计算:-14 -10÷ 1 2 ×( -2) 2 +5。 20. (10 分)小明有 5 张写着不同数字的卡片,请你按要求抽出卡 片,完成下面各题: -3 　 -5 　 0 　 +3 　 +4 (1)从中抽出 2 张卡片,使这 2 张卡片上数字的乘积最大,如何 抽取? 最大值是多少? (2)从中抽出 4 张卡片,用学过的运算方法,使结果为 24。 如 何抽取? 写出运算式子(一种即可)。 21. 学习情境·过程性学习 (10 分)数学老师布置了一道思考题:计 算:( - 1 12 ) ÷( 1 3 - 5 6 )。 小华的解法:原式= - 1 12 ÷ 1 3 -( - 1 12 ) ÷ 5 6 = - 1 4 + 1 10 = - 3 20 。 大白的解法: 原式的倒数为( 1 3 - 5 6 ) ÷( - 1 12 )……………第一步 = ( 1 3 - 5 6 ) ×( -12)……………第二步 = -4+10………………………第三步 = 6……………………………第四步 所以( - 1 12 ) ÷( 1 3 - 5 6 )= 1 6 。 分析两位同学的解法,请你回答下列问题: (1)两位同学的解法中,　 　 　 　 同学的解答正确; (2)大白的解法中,第二步到第三步的运算依据是　 　 　 　 　 　 　 　 ; (3)用一种你喜欢的方法计算:( - 1 36 ) ÷( 1 2 - 1 3 + 3 4 )。 22. 文化情境·数学文化 (10 分)概念感知:第十四届国际数学教 育大会(ICME-14)会徽(如图 1)的主题图案有着丰富的数学 元素,展现了我国古代数学的文化魅力,其右下方的“卦”是用 我国古代的计数符号写出的八进制数 3745。 八进制是以 8 作 为进位基数的数字系统,有 0 ~ 7 共 8 个基本数字,八进制数 3745 换算成十进制数是 3×83 +7×82 +4×81 +5×80 = 2021,表示 ICME-14 的举办年份。 注:任何非 0 的数的 0 次幂都为 1。 (1)请把八进制数 2163 换算成十进制数; (2)应用拓展:我国古代《易经》一书中记载,远古时期,人们通 过在绳子上打结来记录数量,如图 2,一位妇女在从右到左依 次排列的绳子上打结来记录采集到的野果数量,满六进一,她 一共采集到的野果数量为多少个? 图 1 　 　 图 2 23. (11 分)观察下列各式: 1 1×2 = 1- 1 2 , 1 2×3 = 1 2 - 1 3 , 1 3×4 = 1 3 - 1 4 ,…, 1 n·(n+1) = 1 n - 1 n+1 , 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 +…+ 1 2 023×2 024 = 1- 1 2 + 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 +…+ 1 2 023 - 1 2 024 = 1- 1 2 024 = 2 023 2 024 . 阅读以上解题过程,解答下列问题: (1)计算: 1 2 + 1 6 + 1 12 + 1 20 + 1 30 + 1 42 + 1 56 ; (2)计算: 1 1×5 + 1 5×9 + 1 9×13 +…+ 1 2 021×2 025 。 ·6· (3)因为长方体纸盒的底面是一个正方形,所以长 与宽相等为 5acm,因为长方体纸盒所有棱长的和是 88cm,所以 4(a+5a+5a) = 88,解得 a = 2,所以 5a = 10, (9 分) 所以这个长方体纸盒的体积为 2 × 10 × 10 = 200 (cm3)。 (11 分) 第二章追梦基础训练卷(一) 1. C　 2. C 3. D　 【解析】由题意可知,指针指向负数表示音调偏 低,需拧紧琴弦,所以选 C 或 D。 又因为指针越接近 0 就越接近标准音, | -25 | = 25, | -5 | = 5,25>5,所以 -5 更接近 0。 故选 D。 4. C　 【解析】当点 A 在原点右侧时,点 A 表示的数为 4;当点 A 在原点左侧时,点 A 表示的数为 - 4。 故 选 C。 5. C　 【解析】 -3-( -5)= 2,②错误;( - 3 4 ) +( - 4 3 )= -25 12 ,④错误,所以 2 个正确,得 50 分。 故选 C。 6. D　 7. D 8. B　 【解析】结合数轴,得墨迹盖住的整数有-6,-5, -4,-3,-2,1,2,3,4,共 9 个。 故选 B。 9. B　 10. D　 11. C　 12. A　 【解析】由题意,得 x = ±7,y = ±5。 因为 x+y>0, 所以 x = 7,y = ± 5,所以 x-y = 7 - 5 = 2 或 x-y = 7 - (-5)= 12。 故选 A。 13. > 14. 7　 【解析】由题可知 a= 1,b = 0,m = 6,则 a-b+m = 1 -0+6 = 7。 15. ②③ 16. -10　 【解析】3∗(-5)= [3+(-5)] -[3-( -5)] = -2-8 = -10。 17. 解:(1)原式= 15+7-10 = 12; (4 分) (2)原式= 1 1 2 - 5 6 +2 3 4 + 3 8 -3 2 3 = 1 8 。 (8 分) 18. 解:正有理数集合:{ 5 12 ,+16. 71,1000,4,6%…}; (2 分) 负数集合:{ -0. 1,-9,- 17 3 ,-26,-3. 8…}; (4 分) 整数集合:{ -9,0,1000,4,-26…}; (6 分) 分数集合:{ -0. 1, 5 12 ,+16. 71,- 17 3 ,-3. 8,6%…}。 (8 分) 19. 解:因为点 A、B 表示的数都是绝对值是 4 的数,且 点 A 在点 B 的左边,所以点 A 表示的数为-4,点 B 表示的数为 4, (2 分) 因为点 C 表示负整数,点 D 表示正整数,且这两个 数的差是 3,所以当点 C 表示的数为-1 时,点 D 表 示的数为 2;当点 C 表示的数为-2 时,点 D 表示的 数为 1, (6 分) 因为点 E 表示的数的相反数是它本身,所以点 E 表 示的数为 0,所以点 A、B、C、D、E 表示的数分别为 -4,4,-1,2,0 或-4,4,-2,1,0。 (8 分) 20. 解:(1)B (2 分) (2)2 (4 分) (3)数 2025 排列在图中,它的位置对应 C。 理由:由 图可知,奇数的符号是正,偶数的符号是负,所以 2025 在排列图中,每 6 个数是一组循环,因为 2025÷ 6 = 337……3,所以数 2025 对应的位置是 C。 (9 分) 21. 解:(1) (3 分) (2)不能,电瓶车一共走的路程为 2+2. 5+8. 5+4 = 17(千米), (7 分) 因为 17>15,所以该电瓶车不能在一开始充好电而 中途不充电的情况下完成此次任务。 (9 分) 22. 解:原式 = [( -2023) +( -2024) +4046] +[( - 2 3 ) + ( - 5 6 ) +( - 1 2 )] (5 分) = ( -1) +( -2)= -3。 (9 分) 23. 解:(1)141 (2 分) (2)①5 (4 分) ②-9+18-11+5-9+14+2-18+8 = 0(米),因为 10 名 运动员的里程波动值的和是 0,所以第 7 棒里程波 动值是 0,即第 7 棒运动员的实际里程为 150 米。 (10 分) 24. 解:(1) | 3-( -1) | (2 分) (2)①1 或 7 (4 分) ②当 x 所表示的点在-1 和 4 之间(包含-1 和 4 两 点)时可满足条件,所以所有符合条件的整数 x 为 4,3,2,1,0,-1; (6 分) (3)根据题意可知, | x+1 | + | x-6 | 表示 x 到-1 和 6 的点的距离之和,所以 | x+1 | + | x-6 |的最小值为 7; (9 分) (4)根据题意可知, | x+1 | + | x-4 | + | x-9 | 表示 x 到 -1,4,9 的点的距离之和,所以当 x = 4 时,式子有最 小值。 (11 分) 第二章追梦基础训练卷(二) 1. B　 2. C　 3. C 4. C　 【解析】A. 原式= 1 3 - 4 3 = -1;B. 原式= 5× 1 2 × 1 2 = 5 4 ;D. 原式= 24-4×9 = 24-36 = -12。 故选 C。 5. D　 【解析】根据 | a-2 | +(b+3) 4 = 0 可知 a-2 = 0,b+3 = 0,则 a= 2,b= -3,所以 ba = (-3) 2 = 9。 故选 D。 6. A　 7. C 8. D　 【解析】因为 ab>0,所以当 a>0,b>0 时, a | a | + b | b | + ab | ab | = a a + b b +ab ab = 1+1+1 = 3;当 a<0,b<0 时, a | a | + b | b | + ab | ab | = a -a + b -b +ab ab = -1-1+1 = -1。 故选 D。 9. A 10. A　 【解析】因为 9 = (-1)×1×3×(-3),所以 a+b+c+ d= -1+1+3-3 = 0。 故选 A。 11. 10　 【解析】由题可得(a-3) 2 + | b-1 | = 0,则 a-3 = 0,b-1 = 0,解得 a= 3,b= 1,a2 +b2 = 32 +12 = 10。 12. 1+4+3+16 = 24(答案不唯一) 追梦之旅铺路卷·七年级上·ZBB·数学　 第 2 页 13. 9. 93　 【解析】10+[(-5)-30]÷10×0. 02= 9. 93(mm)。 14. 4 15. 1 5 9 或 6　 【解析】A 站台与 B 站台之间的距离= 8 3 - (- 2 3 )= 10 3 ,当 A 站台与 P 站台之间的距离 = 10 3 × 2 2+1 = 20 9 时,P 站台是- 2 3 + 20 9 = 1 5 9 ;当 A 站台与 P 站台之间的距离 = 10 3 ×2 = 20 3 时,P 站台是- 2 3 +20 3 = 6。 故 P 站台用类似电影的方法可称为“1 5 9 或 6 站 台”。 16. 解:(1)原式= 1 4 ×( -8) -(4× 9 4 +1) -1 (2 分) = -2-10-1 = -13; (4 分) (2)原式= -1-( -2) +( -8) ÷8 = -1+2-1 = 0。 (8 分) 17. 解:因为 m、n 互为相反数,所以 m+n= 0, (2 分) 因为 p,q 互为倒数,所以 pq= 1, (4 分) 又因为 x 的绝对值为 2,所以 x2 = 4, (6 分) 所以原式= 0+2025×1+4 = 2029。 (8 分) 18. 解:(1)原式=36×( 1 4 - 1 3 )-8=36× 1 4 -36× 1 3 -8=9-12 -8=-11; (4 分) (2)由题意可得,( -6) 2 ×( 1 4 -■) -23 = 4,所以 36× ( 1 4 -■) -8 = 4, (7 分) 所以■ = - 1 12 ,即被污染的数字是- 1 12 。 (9 分) 19. 解:(1)小明和小强 (3 分) (2)原式= -16+( -5) -6×( -8) = -16-5+48 = -21+ 48 = 27; (6 分) (3)原式= -1-10×2×4+5 = -1-80+5 = -81+5 = -76。 (9 分) 20. 解:(1)抽取-3 和-5,( -3) ×( -5)= 15,故最大值为 15; (5 分) (2)例:抽取-3、-5、+3、+4,[ -3-( -5)] ×( +3) ×4 = 24。 (10 分) 21. 解:(1)大白 (2 分) (2)乘法对加法的分配律 (4 分) (3)因为原式的倒数为:( 1 2 - 1 3 + 3 4 ) ÷( - 1 36 ) = ( 1 2 - 1 3 + 3 4 ) × ( - 36) = 1 2 × ( - 36) - 1 3 × ( - 36) + 3 4 × ( -36)= -18+12-27 = -33, (8 分) 所以( - 1 36 ) ÷( 1 2 - 1 3 + 3 4 )= - 1 33 。 (10 分) 22. 解:(1)2×83 +1×82 +6×81 +3×80 = 1024+64+48+3 = 1139; (5 分) (2)1×64 +2×63 +3×62 +0×61 +2×60 = 1296+432+108+ 2 = 1838(个),即她一共采集到的野果数量为 1838 个。 (10 分) 23. 解:(1)原式= 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 + 1 4×5 + 1 5×6 + 1 6×7 + 1 7×8 = 1- 1 2 + 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 + 1 4 - 1 5 + 1 5 - 1 6 + 1 6 - 1 7 + 1 7 - 1 8 = 1- 1 8 = 7 8 ; (5 分) (2)原式= 1 4 ×(1- 1 5 ) + 1 4 ×( 1 5 - 1 9 ) + 1 4 ×( 1 9 - 1 13 ) +…+ 1 4 ×( 1 2021 - 1 2025 )= 1 4 ×(1- 1 5 + 1 5 - 1 9 + 1 9 - 1 13 + …+ 1 2021 - 1 2025 ) (9 分) = 1 4 ×(1- 1 2025 )= 506 2025 。 (11 分) 第二章追梦综合演练卷 1. A　 2. C　 3. C 4. C　 【解析】因为一个数的倒数为-2,所以这个数是 - 1 2 ,它的相反数为 1 2 。 故选 C。 5. B　 【解析】A. -3-3 = -6,C. (- 1 3 ) 3 = - 1 27 ,D. (-2) ÷ 1 2 = -4。 故选 B。 6. B 7. C　 【解析】因为第一次剪去绳子的 2 3 ,还剩 1 3 m;第 二次剪去剩下绳子的 2 3 ,还剩 1 3 ×(1- 2 3 )= ( 1 3 ) 2m, …,所 以 第 100 次 剪 完 后 剩 下 绳 子 的 长 度 为 ( 1 3 ) 100m。 故选 C。 8. A　 9. D 10. D　 【解析】由图形可知:n = 1 时,“ ”的个数为:1×2 +1 = 3;n= 2 时,“ ”的个数为:2 × 3 + 1 = 7;n = 3 时, “ ”的个数为:3×4+1 = 13;n= 4 时,“ ”的个数为:4× 5+1 = 21;当 n= 10 时,“ ”的个数为:10×11+1 = 111。 故选 D。 11. <　 12. ±2023　 -2024 13. 12　 【解析】 22 + 4 +( - 8) +( - 5) + 6 +( - 3) + 2 + 1 + (-7)= 12(人)。 14. -4 15. 8　 【解析】本题提供的“F 运算”,需要对正整数 n 分情况(奇数、偶数)循环计算,由于 n = 449 为奇数 应先进行 F①运算,即 3×449+5 = 1352(偶数),需再 进行 F②运算,即 1352÷23 = 169(奇数),再进行 F① 运算,得到 3×169+5 = 512(偶数),再进行 F②运算, 即 512÷29 = 1(奇数),再进行 F①运算,得到 3×1+5 = 8(偶数),再进行 F②运算,即 8÷23 = 1,再进行 F ①运算,得到 3×1+5 = 8(偶数),…,即第 1 次运算结 果为 1352,…,第 4 次运算结果为 1,第 5 次运算结 果为 8,第 6 次运算结果为 1,第 7 次运算结果为 8, …,可以发现从第 4 次运算结果开始循环,且奇数次 运算的结果为 8,偶数次为 1,而第 499 次是奇数,这 样循环计算一直到第 449 次“F 运算”,得到的结果 为 8。 追梦之旅铺路卷·七年级上·ZBB·数学　 第 3 页