22.1 比例线段-【探究在线】2024-2025学年九年级上册数学高效课堂导学案（沪科版）

第22章 相似形 22.1 比例线段 @第1课时 相似图形 块小菜地都与原大矩形菜地相似，则大矩形菜 基础在线 、知识使点分类练 地与小矩形菜地的相似比为 知识点1 相似图形 1.下列哪个才是相似图形的本质属性 A.大小不同 B.大小相同 C.形状相同 D.形状不同 7,如图，四边形ABCD的对角线相交于点O, 2.(阜阳期中)下列各组图形中，是相似图形的是 A'.B',C',D'分别是OA,OB,OC,OD的中 点，试判断四边形ABCD与四边形A'B'C'D 是否相似，并说明理由. B 知识点2相似多边形及相似比 3.如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似， 且顶点都在格点上，它们的相似比是() BI A.12 B.1:4C.2:1 D.4:1 4.(教材P65练习T2变式)当钝角a= 时，图中的两个菱形相似. 145 3 拓展在线沙肆优拔尖提升练 5.如图，四边形ABCD与四边形A,B,CD1相 似，∠A=116°，∠B=40°，∠C=65.则x 8.(中考·威海)如图，四边形ABCD是一张矩 形纸片，将其按如图所示的方式折叠：使DA ∠D= 0 边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为 DE:使CB边落在CD边上，点B落在点G处， 折痕为CF.若矩形HEFG与原矩形ABCD相 似，AD=1,则CD的长为 H ②能力在线沙方法规黛合耀 6.如图，某校给初三年级划了一块大的矩形菜 地，年级又将它分为大小、形状完全相同的三 A.w2-1 B.w5-1 块分给三个班，同学们测量后惊奇的发现，每 C.2+1 D.5+1 第22章48 ©第2课时 比例线段 ①基础在线 知识委点分类然 ②能力在线 ,方法规律综合练 知识点1两条线段的比 7.如果a=1,=5,1,c=3一5，那么（ 2 2 1.(六安期中)若线段a=8cm,b=4dm,则 A.a是b,c的比例中项 B.c是a,b的比例中项 A号 B.5 C. D.2 C.b是a,c的比例中项 2.(宝山区期末)如果C是线段AB延长线上一 D.a,b,c,1成比例 点，且AC:BC=31,那么AB:BC等于( 8.如图，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC, A.2:1 B.1:2 再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段 C.4:1 D.1:4 AB于点P,那么AP:AB等于 () 知识点2成比例线段 A.1:/2 B.1:3 3.(安庆期中)下列各组中的四条线段成比例的 C.v2:3 D.2:3 是 ( 培优拔尖提升练 A.1,2,3,4 B.2,4.3,5 ③拓展在线沙 C.4,8,5,10 D.3,9,4,7 9.如图，在R1△ABC中，∠ABC=90°，BD是 4.(毫州阶段练习)已知a,b,c,d是成比例线段， AC边上的高，已知BC=5,AC=13. 其中a=6cm,b=8cm,c=24cm,则线段d的 长度为 cm. a求提和是的值： 5.(合肥阶段练习)已知线段b是线段a,c的比例 (2)再找两条线段和AB,BC构成比例线段. 中项，a=4cm,b=9cm,那么c= cm. )易错点没有分情况讨论导致漏解 6.如图，直线y=3.x十3与x轴交于点A,与y轴 交于点B.在x轴正半轴上有一点P,取线段 OA,OB,OP,当其中一条线段的长是其他两 条线段长的比例中项时，则点P的坐标为 第6题图 第8题图 49探究在线九年级数学（上）·HK ©第3课时 比例的性质与黄金分割 ①基础在线沙 如识受点分类练… 知识点2黄金分割 7.(滁州期中)如图，点B是线段AC的黄金分割 知识点1 比例的基本性质 点(BC>AB),则下列结论中正确的是() 1.(中考·甘孜)若工=2，则二义 A.AC°=AB+BC B.AB2=AC·BC 2.(中考·武成)若号-名则6 c0 2 D.C-51 2 A.6 R号 C.1 8.已知点C把线段AB分成两条线段AC,BC, 下列说法错误的是 3.(六安期中)甲、乙两地相距1600米，在地图 上，用8厘米表示这两地的距离，那么这幅地 A如果S-C,那么线段AB被点C黄金 图的比例尺是 ( ) 分割 A.1:200 B.120000 B.如果BC=AB·AC,那么线段AB被点C C.20000:1 D.1:4000 黄金分割 4.(教材P69练习T4变式)（毫州阶段练习）若 C.如果线段AB被点C黄金分割，那么AC与 (m十n)n=7:4,则mn的值是 ( ) AB的比叫做黄金比 A.4:3 B.7:4 D.0.618是黄金数的近似值 C.34 D.4:7 9.(滁州期中)大自然是美的 设计师，即使是一个小小的 5.(教材P69练习T6变式)（六安阶段练习）已 盆景，经常也会产生最具美 知8-后-号=2.且6+1+f≠0，则中号 感的黄金分割比（黄金分割 ( 比约为0.618).如图，点B 为AC的黄金分割点(AB>BC),若AC= A.-2 B.2 D.2 100cm,则BC约为 8已知- A.42 cm B.38 cm C.62 cm D.70 cm 易错点忽略a十b十c=0的情况导致漏解 2a-3弘的值： (1)求代数式a+46 10.题目：“已知数x,y,,m满足+=y十 (2)当2a+3b一3=35时，求a,b的值. 十=m,求m的值.”对于其答案，甲答：m y =2,乙答：m=2,丙答：m=一1，则正确的是 A.甲的答案正确 B.甲、乙的答案合在一起才完整 C.乙、丙的答案合在一起才完整 D.甲、丙的答案合在一起才完整 第22章50 ②能力在线》 ,方法规律绿合然 3 拓展在线沙培快拔尖提升娠 11.如图，以线段AB为边作正方形 G 15.如图，在△ABC中，点D在边AB上，且DB ABCD,取AD的中点E,连接 H.B =DC=AC,已知∠ACE=108°，BC=2. BE,延长DA至点F,使得EF (1)求∠B的度数： =BE,以AF为边作正方形 (2)我们把有一个内角等于36的等腰三角形 AFGH,则点H即是线段AB的黄金分割 称为黄金三角形.它的腰长与底边长的比（或 点，若记矩形BCIH的面积为S:,正方形 者底边长与腰长的比)等于黄金比5， AFGH的面积为S,则S,与S2的大小关系 是 ①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明 A.S>S2 B.S<S2 理由： C.S=S2 D.不能确定 ②求AD的长： 12.(中考·达州)如图，乐器上的一根弦AB= ③在直线AB或线段BC上是否存在点P(点 80cm,两个端点A,B固定在乐器板面上，支 A,B除外)，使△PDC是黄金三角形？若存 撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D 在，在图中画出点P,简要说明画出点P的方 是靠近点A的黄金分割点，则C,D之间的距 法（不要求证明）：若不存在，说明理由。 离为 cm. D 13.(合肥阶段练习)已知k=a+b-c=a一b+g =一a+b+c,且√m+5+n+9=6,则关于 自变量x的一次函数y=kx十m十n的图象 一定经过 象限 14.(宣城阶段练习)已知a,b,c是△ABC的三 边，且满足寄-生3-中8a+6+=12, 4 试判断△ABC的形状，并说明理由， 51探究在线九年级数学（上）·HK ©第4课时 平行线分线段成比例定理及其推论 基础在线》如识度点分美然…一 知识点1平行线分线段成比例定理 1.(蚌埠期中)如图，直线L1∥1∥l3,直线AC分 别交l1,l2,l4于点A,B,C,直线DF分别交 第4题图 第5题图 l1,l,l于点D,E,F,若AB=5,BC=3,则 5.(中考·吉林)如图，在△ABC中，点D在边 DE:EF的值等于 ( AB上，过点D作DE∥BC,交AC于点E.若 A哥 C. 0.8 AD=2,BD=3,则A长的值是 () D/ A号 c n号 6.如图，已知EG∥BC,GF∥CD,AE=3,EB=1, F C AF=6,求AD的长 第1题图 第2题图 2.(淮北期中)如图，AB∥CD∥EF,则下列结论 正确的是 ( A邵 B能- cs品 DS票 3.(教材P71练习T4变式)如图，已知AD∥BE ∥CF,它们依次交直线，l:于点A,B,C和 点D,E,F,且AB=6,BC=8,DE=5,求DF 易错点图形的不唯一导致漏解 的长， 7.在△ABC中，AB=6,AC=9,P是直线AB上 一点，且AP=2,过点P作BC边的平行线，交 直线AC于点M,则MC的长为 2 能力在线沙方法规律综合练 8.如图，AB∥CD∥EF,AF交BE于点G,若AC =CG,AG=FG,则下列结论错误的是() 知识点2 平行线分线段成比例定理的推论 4.如图，DE∥BC,下列各式不正确的是() A智能 B.AD_AE BD CE A品-号 =2 B.DG_1 c把指 D架怨 D.AC1 第22草52 9.(中考·恩施)如图，在△ABC中，DE∥BC分 目拓屐在线沙塔桃技爽提升猴一 别交AC,AB于点D,E,EF∥AC交BC于 4 点F,能-号，BF=8,则DE的长为 13.阅读下列材料，完成相应的学习任务： ( 已知角平分线分线段成比例定理内容：三角形 A.s B. C.2 D.3 内角平分线分对边所得的两条线段和这个前 的两边对应成比例. 知图①，在△ABC中，AD平分∠BAC,则 AC -BD D,下面是这个定理的部分证明过程， 第9题图 第10题图 证明：如图②，过点C作CE∥DA,交BA的延 10.如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一 长线于点E. 点，且AE:ED=1:2,BE的延长线交AC于 根据下列要求完成相应任务： 点F,则AF:FC= ( (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩 A.1:2 B.13 余部分： C.1:4 D.1:5 (2)如图③，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°， 11.如图，直线a∥b∥c,直线m,n D\A/ AC=3,BC=4,AD平分∠BAC,求△ABD的 相交于点O,且分别与直线a, 周长 h,c相交于点A,B,C和点D, E,F.已知OA=3,OB=4,BC =6,EF=5,则DO的长为 12如图，在△ABC中，D为AC上一点，且邪 图① 图② 图 2过点D作DE∥BC交AB于点E,连接 CE,过点D作DF∥CE交AB于点F.若AB =15,求线段EF的长度. 53探究在线九年级数学（上）·HK吉一一+0-，服停*（减r-- 阶段测评3(21.5一21.61 (学)试烧车能通过汽迪，理自年羊： 2#号得2×法十8×山一1=1，解得=2 1.D.CL0.40Ca,D无±28- 尊11-吉×学6-儿 品s=h=4如E=且 .4,03,44 7.D &.C 9.B 16.D “前物线L的对称维为直nx户一空 1-3,10,013,213,口 上4,4六高4m,克1m的度车使通过孩性道 力在线 拉徐超意：设一一号，渊y一十身 1你A北>这.号1这A 11.C1n万-10m)天第三，周 义：直线r表些式为一子 1.△AC是直身三角形，型出如下， 六当能胸线【羽道应在查线上流左制时停广K士 六把3-1g4m-1-1代人y6+亭 核心素养是升 14.90④① 设牛中学中， 时：丽得<4，虹时：夏攻（一2,2）为国象G黄离从的生标 部海/6 第22章相似形 11=-+ 14,= 渊x=动一44一2一1=4一我 当抛物线乙答限点在白线”左制时单一三时，解 21比例线镜 +6=1江，3动=+以=1十==1 六y与跨而数表达大考y-十昌 常1环时格根瑞和 ∴=2∴4=5,6=34- 得O4,成时直线M与抛我线L的交（位一多十司 1L1限据随意基得A1,2, 蒂意在线 N女/=1平+=2= 寿图象G最高的生 将A1.2代人ym+1,得=1. LC么B&Ck瓦警138 △A以：是直箱三角形 21.4埠合与实战获取最大利润 桥议一次丽数的表达式为=+1 箱展在候 能力在拔 线1H=g= ()2mr+6,精(1,126)，46,81代入，得 2当D.木等发如十是格解电 &唇1i 渊∠B∠D∠A=∠LD 为2 7.相白.理如下，'，，/什时是小作，心的中点 ∠H=∠B=',期∠CDL∠ADar 11)当61u时.设y-4r十A 时=一2十12 ÷I》AHp'AD.Ar-子n,'p'-号m 又∠ACE6,六∠I+∠CAD= 第0,2,10.1的1代人上式， “+2°-108：=36.∠B0 (2)取桶再样的为元3， ，用 六2∠angr-∠aa.2awD-∠an.g- 8黄金三角形有三个.4C.△A,△IC甲由降 :△.队AC是第金三角B, +8r+880=-1-17)+4418 y=,+0It%0h 25当0<：6t时，浸)兰，将(10.1o0)代人上式，得 ∠XrC-∠，∠C-∠B.∠CmA' “0 mE-2,A'w5-1 一[r十4 0四-一搭·解释n-16.-L四 ,-赛-瓷--瓷 BA-NC-2.BD-1. 第十规流，第？天的日第围利溪品大，品大日纳声料钢为 将点，代人y一1四.得期-里.算得一凯 六AD=且1-80=2-F-11-一5 r 拓黑在拔 公存在.有三个钓合条件的直.” (850 2,1)腾如围所承 8 1以D为载边的属量三角形：作中的量直平分线分 单元蝶合复习一引二次函登与反比例函数 第2课时比州线教 刚定直线，线段议荐同直P:A 热门考点突罐 ■以CD长为腰的黄金三箱蛋，以么C为圆6，巴D发半 1.A3,D4, 基进有地 径作置与线口议的丝点为声严 ,13)楚物线=十Ar十过(一11，倒4,0 1i3Ax083,号 /+-, (}o.mo1或5.m 能力在核 由国如，这几个点依一直上：以y与是 LC LA 次函数兵乳 121如图，先楼0识 拓深在线 :A-1,,队，03-0，-41- 线(1)在R△AC中，∠A-r,C-,C-1山 第4课时 平行我分域授成比钢定理及具推论 ”这个一次用数的周象经过11D,50国).43D.4005这简点， 川-尊 --m-心-号 基袖在战 1A ZD 3,片AD》8(家， 提牒 (?)成工艺厂试箱度工艺晶特天复骨的料到是皆无，根据 AB=6,C=8.呢=6， 7s-5n+5m-5m4 W=(一10(-10r十0)=-10u+r一760 -16一40)+90， -g+号-=号 nar-BD度-景 动亦ǒ体-琴 1.C且.A ,当一的时，W有酷大值世国， ,A7.A8. 二和A形，C掉成比钢线段的两条线段是A,(答卖 答：当m再原给室为D无件时，工艺厂或第孩工之品样 天使再的和国是大，量大料朝是D网元 把丛，d代人y-+,牌-a 不唯一1 :活-提 第3课时北创的社魔与黄全分到 ()对于数W=-0(一40+00. .0品 气移时，界的值精看x植牌增大面用太， 二抛将找的表动式为y一一了小6 蒂健在线 L1云.A元B1.C6 当产38时，w:4=一10X158一每十90=B9L 当-0时，言广+- “带能呼-品 答：镜售单的定为刘元许时，工无厂销有该工艺昌每天 ?学-是4-沙-地 ,FD=空 我用的利煎大，最大利到是8的元 解得==一： 十K5 ADAF+FD-B A=《=60=2，AB的为12 7,617 18 一深究在纸·九，年级数学（上》·HK 能力在拔 韩展在候 花黑在援 ÷△AHA△A么 发B多AmCL身 L1s.过点Q作QF8交AD于点F, ,(1)正明：连接C.闲边后aD是王方形4 ∠B=∠D=-∠C=T-32”=88, ,∠ABM=∠ACF- 2:Ec器 ∴AFORAADIE÷器荒需 ∠AC-∠EAF=,∠MM=∠CAF 夏：-Er,:-q.ET-E 器思 ,QD.△APQA△Ak 2Ac,-设-者 A-n…智-号 AF-ZAM 型当那，C往州位干点D的月简时（条为月由可得 解科AE-13, -.:士C鱼E+D △ADU△AA.∠D=∠=1 D ∠A-∠D+∠D-1+=1 那水m需士罗-需是 第4球时和归三角形的利定定理 用D 基褪在性 (2)正明：连接M,“烤边后LD见L方形。 L.D 8.DEF 11 拓黑在线 ∠M=∠AF=B 4.D,E,F分周是△1C的三边以，C11山的中或 13,1)望明：加国由，过点（作事A.交点的延教线于 ∠EAF=∠IC=4T,∠MM=∠AF E下，FD,D5为△AC的中位线 点， E/aD.帶-得∠-∠，∠-∠E 如过点QQ5文AD点F,过P ,△DEFA△AC 5∠1=∠2.六∠AF=∠ AF=区A PHC交AD于点H, 3,AH与力平行，理由年下 ARC提0器 QF友PH.品△F@E△HPE (33AF=70 第3课时 相低三角影的鹁瓷定理 已是：脚品兴侣 (2妇博0，：A-1.=4.∠A-0. 品-贯爵 蒂意在越 .△A△围二 度Q=EP.PH=QF.F=E 142,CXA4,1w ∠A=∠BH巴 "AD平分∠BC, ABCD D 06An六是盖 反世C-D器黑 .n7.花 CD度-助音是 rH∥化△rHn△n.若-0器 其，∠亡=∠A,.△△ 镜为在线 (2):△ABo△MC∠HMm4. M:8真B1a,H ÷品治兽品怎理带 ∠AD=∠我'， 丘同边霜ACD是正为用 山嘴“带-茶器 第2球时相恒三角那竹料定定理1 ∠B=乙C=T,AB=r=CD=AD △A度0△ADE △D网长为号+要- 基糖在献 段AH=H=D=A0=4. h∠BnC=∠DAE 4∠1=∠C1,D1,CLB4,C6 22,2相信三角形的判定 ∠BAC-∠AFm∠AE-∠AF ,AB=AC,∠H=∠， E为道g的中点机F-宁A, 每∠A1D=∠TA名 第1球时用平行我法利定三角移相饭 4∠AE-∠H,∠Ax-∠AMg+∠DE-∠B+∠LM 1t△A0△AD2 基在俊 品∠&D=∠4E 六-Bf-是-麝-2 品∠AC=∠ADE LP球加四吉 △ABDA△DCE ÷证-景△△Ii成 ,乙A=ZAE+∠E1C.A证=∠AE+∠ED ,11第，”∠.C=,AD是料边C上的风 213,14,A3,i6B7,A 元D减特 ∠-∠AD= 盆，“E笔△A的角平分线，品∠A山眼-∠BE :∠AB=r=∠LC 霜根在候 又∠=∠， YCD,∠CDEe∠E=∠AE 能力在拔 211证围，舟附我定整理A8一.M=5,用C=5 ,△ADa△CA AB+AC-E. AB9CD. CnDL吉 “△A57ACn ma△1，带-0 根然匀2定界的连空厘，对△AKC为直自三角形， 12,<1道明：：∠C0=∠A 2△A保相△下相制：厘由如下， 能力在线 即告一器号 i∠RAD+∠iC=∠AE+∠M, 由41中数留，得AB一2F,AC=5-2-5, Cunt比受 即∠RC'∠DLE B,D 由量电理年0E4泛.F-2三，EF-w可 13,)E晴：AD度C,,△7△ 能力在线 曾 潘 1L△3B11.A1三G △民A△D1B. 提平平 以(1公四边用A仪中星平行料应形 -需-受 ÷AB8 ∠A0-∠s鼎是是是 2)四AD9C ∠A)∠百∠&0=∠EU “△KMB△1B∠E-∠ △A△(0E 世∠B=40.∠ACE=4 :米-茶-停：△ArM△E △球，一证一票由孺瓷 a△悲器-器 属在线 1门如周，选装：：，：P,P+△PP八率所求作的 紧需 山，分周种钟配 角用. 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