5.3 函数的单调性10题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册） 5.3 函数的单调性10题型分类 知识点1 函数的单调性 1、增函数、减函数的概念 一般地，设函数的定义域为，区间 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． 注：（1）属于定义域内某个区间上； （2）任意两个自变量且； （3）都有； （4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． 上升趋势 下降趋势 2、单调性与单调区间 （1）单调区间的定义 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． 函数的单调性是函数在某个区间上的性质． 注：①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集； ②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的； ③不能随意合并两个单调区间，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； ④有的函数不具有单调性； ⑤遵循最简原则，单调区间应尽可能大． 3、函数单调性的判断方法 （1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． （2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． （3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． （4）记住几条常用的结论 ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 4、单调性定义的等价形式 （1）函数在区间上是增函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． （2）函数在区间上是减函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． 知识点2 基本初等函数的单调性 1、正比例函数 当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数． 2、一次函数 当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数． 3、反比例函数 当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间； 当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间． 4、二次函数 若，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数； 若，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数． 知识点3 函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最大值，即当时，是函数的最大值，记作． 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最小值，即当时，是函数的最小值，记作． 3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个． （一） （1）不是所有的函数在定义域上都具有单调性，如函数y＝x2，y＝等． （2）在增函数和减函数定义中，不能把“任意x1，x2∈I”改为“存在x1，x2∈I”，如对于函数y＝－x2，存在－4<2，且－(－4)2<－22，但y＝－x2不是增函数． 题型1：单调性的概念 1-1．（2024高一下·江西·阶段练习）已知函数的定义域为，则“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 1-2．（2024高一上·北京东城·期中）如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 1-3．（2024高一上·浙江·期中）已知函数的定义域为，则“恒成立”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 1-4．（2024高一上·北京海淀·期中）“函数在区间上不是增函数”的一个充要条件是（    ） A．“存在a，，使得且” B．“存在a，，使得且” C．“存在，使得” D．“存在，使得” （二） 证明函数单调性的步骤 （1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且； （2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； （3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系； （4）得出结论． 题型2：函数的单调性的证明 2-1．（2024高一上·青海海南·期中）已知函数，且． (1)求的值； (2)判断在上的单调性，并给予证明． 2-2．（2024高一上·山东济宁·阶段练习）已知函数. (1)求的定义域； (2)判断函数在上的单调性，并加以证明 2-3．（2024高一·全国·专题练习）已知函数（，），当时，用单调性的定义证明在上是增函数. 2-4．（2024高一上·河南郑州·期中）函数在区间内的单调性是 . 题型3：抽象函数单调性的证明 3-1．（2024高三·全国·专题练习）函数的定义域为，且对一切都有，当时，有． (1)求的值； (2)判断的单调性并证明； 3-2．（2024高一上·广东河源·阶段练习）定义在R上的函数满足：对任意实数m，n总有，且当时，. (1)试求的值； (2)判断的单调性并证明你的结论． 3-3．（2024高一上·湖南益阳·阶段练习）已知定义在上的函数，对任意，都有，且当时，. (1)求并判断的奇偶性； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. （三） 1.求函数单调区间的方法 (1)利用基本初等函数的单调性，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解． (2)利用函数的图象，图象从左向右上升，则函数单调递增；图象从左向右下降，则函数单调递减．对于能作出图象的函数，都可应用图象法判断其单调性．图象法主要应用于常见函数(如一次函数、二次函数、反比例函数等)的单调性判断，或应用于能通过常见函数图象的平移、翻折等变换得到所给函数的图象的函数单调性的判断．　 提醒：若所求出函数的单调递增区间或单调递减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开． 2.复合函数单调性的判断 讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下： （1）若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数； （2）若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数． 列表如下： 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减． 因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作： （1）将复合函数分解成基本初等函数：，； （2）分别确定各个函数的定义域； （3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间． 若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则为增函数；若为一增一减或一减一增，则为减函数． 注：（1）单调区间必须在定义域内； （2）要确定内层函数的值域，否则就无法确定的单调性． （3）若，且在定义域上是增函数，则都是增函数． 题型4：求函数的单调区间 4-1．（2024高一上·全国·课后作业）已知的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（    ） A． B．和 C． D．和 4-2．（2024高一上·广东茂名·阶段练习）已知，则函数的单调递增区间为 . 4-3．（2024高一·全国·专题练习）函数的单调区间为 4-4．（2024高一上·安徽六安·期中）函数的单调递减区间为 ． （四） 利用函数单调性求参数的范围 若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解． （1）在上恒成立在上的最大值． （2）在上恒成立在上的最小值． 实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转化为求函数在其定义域上的最大值和最小值问题． 题型5：利用函数单调性求参数的取值范围 5-1．（2024高一上·上海松江·期末）若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是 . 5-2．（2024高一上·安徽马鞍山·期中）函数在上是单调函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5-3．（2024高一上·安徽安庆·期中）若在区间上是增函数，则实数a的取值范围是 . 5-4．（2024高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数在R上单调递增，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． （五） 在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．　 题型6：利用函数单调性的性质解不等式 6-1．（2024高一上·重庆·期中）若函数在上是减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6-2．（2024高一上·四川成都·期末）已知定义在上的函数满足：且都有.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6-3．（2024高一上·甘肃白银·期中）函数是定义在上的增函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． （六） 利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上． 题型7：利用函数单调性的性质比较函数值的大小关系 7-1．（2024高一上·重庆南岸·期中）定义在上函数满足以下条件：①函数图象关于轴对称，②在区间是单调递减函数，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7-2．（2024高一上·河南·期中）已知函数在区间上单调递减，且，则（    ） A． B． C． D． 7-3．（2024高三上·江苏南通·期中）已知函数的定义域为，且，对定义域内任意的，，当时，，若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7-4．（2024高一上·广西南宁·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意的，都有，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． （七） 利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论： （1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值． （2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值． 若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值． （3）若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是． （4）若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是． 题型8：求函数的最值 8-1．（2024高一上·河北石家庄·期中）函数在区间上的最小值为 ． 8-2．（2024高一上·福建福州·期中）设，若是的最小值，则a的取值范围是 ． 8-3．（2024高一上·北京·期中）已知函数在区间上的最大值为，则等于（    ） A． B． C． D．或 8-4．（2024高一上·吉林长春·期中）已知，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8-5．（2024高一上·河南安阳·期末）已知函数，且. (1)求. (2)用定义证明函数在上是增函数. (3)求函数在区间上的最大值和最小值. 8-6．（2024高一上·湖北·阶段练习）若在上的最大值为，则实数的最大值为 . （八） 分类讨论二次函数的最值 (1)二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素． (2)利用二次函数图象，进行分类讨论，提升直观想象的数学素养． 题型9：二次函数在闭区间上的最值问题 9-1．（2024高一上·上海浦东新·期末）已知函数． (1)证明函数在区间上是严格减函数； (2)求函数在区间上的最值． 9-2．（2024高一上·天津宁河·期末）已知函数，且. (1)求实数m的值； (2)根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增. (3)若，求值域. 9-3．（2024高一上·广东梅州·期末）已知二次函数. (1)若，求在上的值域； (2)求在上的最小值. 题型10：恒成立与能成立问题 10-1．（2024高一上·广东东莞·阶段练习）已知函数． （1）试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明； （2）对任意时，都成立，求实数的取值范围． 10-2．（2024高一上·广东汕头·期末）已知函数，． (1)若，试求函数（）的最小值； (2)对于任意的，不等式成立，试求实数a的取值范围． 10-3．（2024高一上·上海·期末）已知函数，且不等式的解集为． (1)求实数的值； (2)已知，若存在，，使得成立，求实数的取值范围． 一、单选题 1．（2024高一上·北京·期中）已知函数是上的增函数，函数是上的减函数，则下列函数一定是增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一·全国·专题练习）已知函数是区间内的减函数，则与的大小关系为（　　） A． B． C． D．不确定 3．（2024高一上·福建福州·期中）函数为定义在上的单调增函数，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024高一上·辽宁·期中）定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（2024高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B．C． D． 6．（2024高一上·福建福州·期中）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2024高二下·广西玉林·期末）在R上是增函数的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 8．（2024高一上·浙江宁波·阶段练习）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2024高一上·河北邢台·阶段练习）已知，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 10．（2024高一上·上海·专题练习）如果函数，满足对任意，都有成立，那么的取值范围（    ） A． B． C． D． 11．（2024高一上·上海静安·期中）函数为定义在上的单调增函数，若，则（    ） A． B． C． D． 12．（2024高一上·广东深圳·期中）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 13．（2024高一上·海南海口·阶段练习）已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（2024高一上·浙江温州·期末）已知函数在定义域上是减函数，则的值可以是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 15．（2024高一上·云南曲靖·期末）若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（2024高一上·浙江杭州·期末）如果函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围（　　） A． B． C． D． 17．（2024高一·全国·课后作业）关于函数的单调性的说法，正确的是（    ） A．在定义域内是减函数 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减，在上单调递减 D．在上单调递增，在上单调递减 18．（2024高一上·北京·期中）下列函数中，在区间上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 19．（2024高一上·北京·期中）已知函数，则“”是“函数在区间上存在最小值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 20．（2024高一上·江苏宿迁·期末）若函数是上的单调函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 21．（2024高一上·浙江嘉兴·阶段练习）若函数满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 22．（2024高一上·北京·期中）函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（2024高一上·河南安阳·期中）若定义在上的函数满足，则的单调递增区间为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 24．（2024高一上·河北邯郸·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 25．（2024高一上·湖北荆州·阶段练习）已知，若，则（    ） A．在区间内递减 B．在区间内递减 C．在区间内递增 D．在区间内递增 26．（2024高一上·北京·期中）已知函数是上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 27．（2024高一上·浙江宁波·期中）函数在是减函数，且，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 28．（2024高一上·云南德宏·期末）已知定义在上的函数满足：对任意的，当时，都有，若不等式恒成立，则实数m的可能取值为（    ） A． B． C．0 D．1 29．（2024高一上·四川内江·期中）以下函数在其定义域上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 30．（2024高一·全国·课堂例题）下列命题中为真命题的是（    ） A．定义在上的函数，如果有无穷多个，当时，有，那么在上单调递增 B．如果函数在区间上单调递减，在区间上也单调递减，那么在区间上就一定单调递减 C．，且，当时，在上单调递减 D．，且，当时，在上单调递增 三、填空题 31．（2024高一上·北京·期中）函数，的单调递减区间为 ． 32．（2024高一上·江西上饶·期末）函数的单调递减区间是 . 33．（2024高一上·天津·期中）已知，则最大值为 ． 34．（2024高一·全国·假期作业）已知函数，函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是 ． 35．（2024高一上·重庆·期末）已知函数，若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为 . 36．（2024高一上·广东潮州·期中）已知函数，的值域是，则实数 . 37．（2024高一·全国·专题练习）函数的定义域是，则其值域为 38．（2024高一上·陕西西安·阶段练习）函数的单调增区间是 ． 39．（2024高一上·天津和平·期中）函数的值域为 . 40．（2024高一上·宁夏银川·期中）函数的定义域为，且在定义域内是增函数，若，则的取值范围是 ． 41．（2024高一上·河南新乡·阶段练习）函数的单调递增区间为 . 42．（2024高一上·浙江台州·期末）若函数在 上的最小值为1，则正实数的值为 . 四、解答题 43．（2024高一上·全国·期末）已知函数． (1)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； (2)求函数的值域． 44．（2024高一下·河南·开学考试）已知函数满足． (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域． 45．（2024高一上·山东济宁·阶段练习）已知函数. (1)判断在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求在区间上的最大值和最小值. 46．（2024高一上·甘肃白银·期中）函数. (1)判断函数在上的单调性，并加以证明. (2)求函数在上的最值. 47．（2024高一上·北京·期中）设，函数.求函数在区间上的最小值. 48．（2024高一上·上海·期末）已知函数是上的严格增函数，是上的严格减函数，判断函数的单调性，并利用定义证明． 49．（2024高一上·黑龙江双鸭山·阶段练习）已知函数的图像过点． (1)求实数m的值； (2)判断在区间上的单调性，并用定义证明； 50．（2024高一·全国·专题练习）已知定义在上的函数对任意，恒有，且当时，.试判断在的单调性，并证明； 51．（2024高一·全国·课后作业）用定义证明：函数在上是增函数． 52．（2024高一上·新疆克孜勒苏·期末）已知函数，且． (1)求函数的解析式； (2)用定义证明函数在上是增函数. 53．（2024高一上·重庆·期末）已知定义在上的函数满足，且对任意． (1)证明：在上单调递减； (2)解不等式． 54．（2024高一上·安徽·期末）已知函数的定义域为，，，总有成立.若时，. (1)判断并证明函数的单调性； (2)若，求解关于x的不等式的解集. 55．（2024高一上·广西桂林·期末）已知函数. (1)判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； (2)求在上的值域. 56．（2024高一上·福建漳州·期末）设函数，其中. (1)若命题“，”为假命题，求实数的取值范围； (2)判断在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论. 57．（2024高一上·江苏盐城·期末）已知二次函数的图像过点，满足且函数是偶函数，函数. (1)求二次函数的解析式； (2)若，使成立，求实数的取值范围. 58．（2024高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）已知二次函数满足，且. (1)求解析式； (2)讨论在区间上的最大值. 59．（2024高一·全国·专题练习）已知函数的定义域为，判断在上的单调性，并用定义证明； 60．（2024高一·全国·专题练习）已知定义域为R，对任意都有，且当时，.试判断的单调性，并证明； 61．（2024高一·全国·专题练习）已知函数的定义域为R，且对任意的均有，且对任意的，都有，试判断函数在定义域上的单调性. 62．（2024高一·全国·专题练习）定义在上的函数满足下面三个条件： ① 对任意正数，都有；② 当时，；③ (1)求和的值； (2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数； 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册） 5.3 函数的单调性10题型分类 知识点1 函数的单调性 1、增函数、减函数的概念 一般地，设函数的定义域为，区间 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． 注：（1）属于定义域内某个区间上； （2）任意两个自变量且； （3）都有； （4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． 上升趋势 下降趋势 2、单调性与单调区间 （1）单调区间的定义 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． 函数的单调性是函数在某个区间上的性质． 注：①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集； ②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的； ③不能随意合并两个单调区间，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； ④有的函数不具有单调性； ⑤遵循最简原则，单调区间应尽可能大． 3、函数单调性的判断方法 （1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． （2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． （3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． （4）记住几条常用的结论 ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 4、单调性定义的等价形式 （1）函数在区间上是增函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． （2）函数在区间上是减函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． 知识点2 基本初等函数的单调性 1、正比例函数 当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数． 2、一次函数 当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数． 3、反比例函数 当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间； 当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间． 4、二次函数 若，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数； 若，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数． 知识点3 函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最大值，即当时，是函数的最大值，记作． 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最小值，即当时，是函数的最小值，记作． 3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个． （一） （1）不是所有的函数在定义域上都具有单调性，如函数y＝x2，y＝等． （2）在增函数和减函数定义中，不能把“任意x1，x2∈I”改为“存在x1，x2∈I”，如对于函数y＝－x2，存在－4<2，且－(－4)2<－22，但y＝－x2不是增函数． 题型1：单调性的概念 1-1．（2024高一下·江西·阶段练习）已知函数的定义域为，则“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【分析】利用函数单调性的定义易得“”是“函数在区间上单调递增”的必要条件；可通过举例子说明“”不是“函数在区间上单调递增”的充分条件，即得. 【详解】由得不到“函数在区间上单调递增”， 如，，显然满足，但是函数在上递增，在上递减， 故“”不是“函数在区间上单调递增”的充分条件； 而由“函数在区间上单调递增”可得.则“”是“函数在区间上单调递增”的必要不充分条件. 故选：D. 1-2．（2024高一上·北京东城·期中）如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用增函数的定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A项，因为在上是增函数， 所以对于任意的，（）， 当时，，所以，，所以， 当时，，所以，，所以， 综述：，故A项正确； 对于B项，因为在上是增函数， 所以对于任意的，（）， 当时，，所以，，所以， 当时，，所以，，所以， 综述：，故B项不成立； 对于C项、D项，由于，的大小关系不确定，所以与的大小关系不确定，故C项不成立，D项不成立. 故选：A. 1-3．（2024高一上·浙江·期中）已知函数的定义域为，则“恒成立”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】函数为上增函数，，反之不成立，即可判断出结论． 【详解】函数为上增函数，，反之不成立， 例如定义在,上，，且在上满足，则有“”， “”是“函数为增函数”的必要不充分条件． 故选：B． 1-4．（2024高一上·北京海淀·期中）“函数在区间上不是增函数”的一个充要条件是（    ） A．“存在a，，使得且” B．“存在a，，使得且” C．“存在，使得” D．“存在，使得” 【答案】B 【分析】由增函数的定义，结合全称命题的否定形式，即可判断选项. 【详解】若函数在区间是增函数， 即任意，使得且， 则若函数在区间不是增函数， 即存在，使得且. 故选：B （二） 证明函数单调性的步骤 （1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且； （2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； （3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系； （4）得出结论． 题型2：函数的单调性的证明 2-1．（2024高一上·青海海南·期中）已知函数，且． (1)求的值； (2)判断在上的单调性，并给予证明． 【答案】(1) (2)在上的单调递增；证明见解析； 【分析】（1）将代入计算即可求得； （2）利用函数单调性的定义，按照取值、作差、变形定号、下结论即可证明得出结论； 【详解】（1）由可得， 可得； （2）在上的单调递增； 证明如下：取，且， 则， 易知，又，所以； 可得，即； 因此可得，在上的单调递增. 2-2．（2024高一上·山东济宁·阶段练习）已知函数. (1)求的定义域； (2)判断函数在上的单调性，并加以证明 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 【分析】（1）利用具体函数定义域的求法求解即可； （2）先判断的单调性，再利用函数单调性的定义法，结合作差法即可得证. 【详解】（1）要使函数有意义，当且仅当， 由得， 所以函数的定义域为. （2）函数在上单调递减，证明如下： 任取，， 所以. 因为，，所以，，， 又，所以，故，即， 因此函数在上单调递减. 2-3．（2024高一·全国·专题练习）已知函数（，），当时，用单调性的定义证明在上是增函数. 【答案】证明见解析 【分析】当时，，利用定义法即可证明函数的单调性. 【详解】当时，， 任取，且， 则. 因为，所以，，， 所以，即. 所以在上是增函数. 2-4．（2024高一上·河南郑州·期中）函数在区间内的单调性是 . 【答案】单调递减 【分析】化简函数解析式，用定义证明函数的单调性即可. 【详解】因为， ，且，则 ， 由，则， 于是， ，即， 所以在单调递减. 故答案为：单调递减. 题型3：抽象函数单调性的证明 3-1．（2024高三·全国·专题练习）函数的定义域为，且对一切都有，当时，有． (1)求的值； (2)判断的单调性并证明； 【答案】(1)0 (2)在上是增函数，证明见解析 【分析】（1）令，代入可求； （2）设，由，得，可证在上是增函数． 【详解】（1）． （2）在上是增函数． 证明：设，则由， 得， 因为，所以． 所以，即， 即在上是增函数． 3-2．（2024高一上·广东河源·阶段练习）定义在R上的函数满足：对任意实数m，n总有，且当时，. (1)试求的值； (2)判断的单调性并证明你的结论． 【答案】(1) (2)单调递减，证明见解析 【分析】（1）令,得，即可得到答案； （2）函数在上单调递减.任取,取,则已知条件可化为,利用定义证明即可证明单调性. 【详解】（1）在中,令,得.因为,所以. （2）函数在上单调递减.任取,且设. 在已知条件中, 若取,则已知条件可化为, 由于,所以. 在中,令,则得. 当时,,所以,又,所以对于任意的均有，所以. 所以函数在上单调递减. 3-3．（2024高一上·湖南益阳·阶段练习）已知定义在上的函数，对任意，都有，且当时，. (1)求并判断的奇偶性； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，奇函数 (2) 【分析】（1）令,得到与的关系,可判断函数奇偶性. （2）先判断函数单调性.再利用函数奇偶性和单调性解不等式,再把恒成立问题转化为求最值问题.即可求解. 【详解】（1）令可得：       （2）先证明：在R上为减函数 证明：设任意，且，则 又当时，， 即在R上为减函数. ， 可得恒成立 当时，2>0恒成立 当时，，综上实数的取值范围是 （三） 1.求函数单调区间的方法 (1)利用基本初等函数的单调性，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解． (2)利用函数的图象，图象从左向右上升，则函数单调递增；图象从左向右下降，则函数单调递减．对于能作出图象的函数，都可应用图象法判断其单调性．图象法主要应用于常见函数(如一次函数、二次函数、反比例函数等)的单调性判断，或应用于能通过常见函数图象的平移、翻折等变换得到所给函数的图象的函数单调性的判断．　 提醒：若所求出函数的单调递增区间或单调递减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开． 2.复合函数单调性的判断 讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下： （1）若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数； （2）若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数． 列表如下： 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减． 因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作： （1）将复合函数分解成基本初等函数：，； （2）分别确定各个函数的定义域； （3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间． 若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则为增函数；若为一增一减或一减一增，则为减函数． 注：（1）单调区间必须在定义域内； （2）要确定内层函数的值域，否则就无法确定的单调性． （3）若，且在定义域上是增函数，则都是增函数． 题型4：求函数的单调区间 4-1．（2024高一上·全国·课后作业）已知的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】B 【分析】根据函数图象直接确定递增区间即可. 【详解】由图象知：该函数的单调增区间为和. 故选：B 4-2．（2024高一上·广东茂名·阶段练习）已知，则函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】将绝对值去掉，转化为分段函数，画出图象求解即可. 【详解】，画出函数图象，    结合图象得函数的单调递增区间为. 故答案为：. 4-3．（2024高一·全国·专题练习）函数的单调区间为 【答案】增区间为和，无单调递减区间， 【分析】分离常数，即可求解. 【详解】，所以的单调递增区间为和 故答案为：单调递增区间为和，无单调递减区间， 4-4．（2024高一上·安徽六安·期中）函数的单调递减区间为 ． 【答案】 【分析】首先求出函数的定义域为，利用复合函数单调性，同增异减的原则，先确定外函数的单调性，再确定内函数的单调性即可得到答案. 【详解】令，解得， 设，， 外函数为增函数，则复合函数的减区间即为内函数的减区间， ，对称轴为，其开口向下，故其减区间为. 故答案为：. （四） 利用函数单调性求参数的范围 若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解． （1）在上恒成立在上的最大值． （2）在上恒成立在上的最小值． 实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转化为求函数在其定义域上的最大值和最小值问题． 题型5：利用函数单调性求参数的取值范围 5-1．（2024高一上·上海松江·期末）若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用函数在区间上的单调性，结合定义法求实数的取值范围， 【详解】函数在区间上是严格增函数，则任取，都有， 即， 由，有，，所以， 由，则，即实数的取值范围是. 故答案为： 5-2．（2024高一上·安徽马鞍山·期中）函数在上是单调函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的单调性判断. 【详解】因为函数开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递减， ，解得，所以的取值范围是. 故选：A. 5-3．（2024高一上·安徽安庆·期中）若在区间上是增函数，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意在区间上是增函数，同时在区间上恒成立，即可求出结果. 【详解】因为在区间上是增函数， 所以在区间上是增函数， 则，即， 同时在区间上恒成立， 又在区间上是增函数， 所以，即， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 5-4．（2024高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数在R上单调递增，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对勾函数的性质以及反比例函数的性质，即可由分类讨论，结合分段函数的单调性求解. 【详解】因为函数，在上单调递增， 当时，由于和均在单调递增函数， 故在上单调递增， 所以，解得， 当时，根据对勾函数的性质可知，若在上单调递增， 则，解得， 当时，，此时，显然满足在上单调递增， 综上，． 故选：B （五） 在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．　 题型6：利用函数单调性的性质解不等式 6-1．（2024高一上·重庆·期中）若函数在上是减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用单调性脱去法则求解不等式即得. 【详解】由函数在上是减函数，，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 6-2．（2024高一上·四川成都·期末）已知定义在上的函数满足：且都有.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数单调性的定义求解即可. 【详解】由题意可得在上单调递减， 若可得. 故选：D. 6-3．（2024高一上·甘肃白银·期中）函数是定义在上的增函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性，可得关于x的不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知函数是定义在上的增函数， 则由，得， 解得，即， 故选：D （六） 利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上． 题型7：利用函数单调性的性质比较函数值的大小关系 7-1．（2024高一上·重庆南岸·期中）定义在上函数满足以下条件：①函数图象关于轴对称，②在区间是单调递减函数，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的对称性与单调性比较大小. 【详解】由函数图象关于轴对称， 则，， 又函数在区间是单调递减函数， 所以， 即， 故选：B. 7-2．（2024高一上·河南·期中）已知函数在区间上单调递减，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的周期性，把函数放在同一单调区间内，再利用单调性比较大小即可. 【详解】因为，所以. 因为在区间上单调递减，所以，即. 故选：A 7-3．（2024高三上·江苏南通·期中）已知函数的定义域为，且，对定义域内任意的，，当时，，若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】变形得到确定为上的增函数，构造，确定函数为增函数计算函数值得到答案. 【详解】当时，，即， 所以为上的增函数． 令，因为，所以为上的增函数． 因为，故，所以． 故选：D 7-4．（2024高一上·广西南宁·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意的，都有，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，分析单调性即可得结果． 【详解】由题意可知，可得， 构造函数，则是上的减函数. 故，即，由此得， 故选：C. （七） 利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论： （1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值． （2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值． 若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值． （3）若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是． （4）若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是． 题型8：求函数的最值 8-1．（2024高一上·河北石家庄·期中）函数在区间上的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】分离常数得到在上单调递增，从而得到最小值. 【详解】在上单调递增， 故当时，取得最小值，； 故答案为： 8-2．（2024高一上·福建福州·期中）设，若是的最小值，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用二次函数与反比例函数的性质，结合分段函数的最值即可得解. 【详解】因为， 当时，； 当时，开口向上，对称轴为， 又是的最小值，， 所以，解得，故a的取值范围为. 故答案为：. 8-3．（2024高一上·北京·期中）已知函数在区间上的最大值为，则等于（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】求得函数的对称轴，对分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由函数，对称轴的方程为， 当时，则时，函数取得最大值，不满足题意； 当时，可函数在区间上单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值为， 解得或（舍去）. 故选：C. 8-4．（2024高一上·吉林长春·期中）已知，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】化简函数解析式，根据函数的单调性求得正确答案. 【详解】设， 则， 在区间上单调递减；在区间上单调递增. ，所以最大值为. 故选：C 8-5．（2024高一上·河南安阳·期末）已知函数，且. (1)求. (2)用定义证明函数在上是增函数. (3)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）由题意列式计算，即可求得答案； （2）根据函数单调性的定义，即可证明结论； （3）根据函数的单调性，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知函数，且， 故，则 （2）证明：由（1）知， 任取且， 则， 因为且，可得，则， 所以，即， 所以函数在上为单调递增函数. （3）函数在上为单调递增函数， 所以， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 8-6．（2024高一上·湖北·阶段练习）若在上的最大值为，则实数的最大值为 . 【答案】 【分析】解方程可得出，分、两种情况讨论，结合可求得实数的取值范围，即可得解. 【详解】由可得，解得或， 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数在上单调递减，此时； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 由题意可得，此时，. 综上，，因此，实数的最大值为. 故答案为：. （八） 分类讨论二次函数的最值 (1)二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素． (2)利用二次函数图象，进行分类讨论，提升直观想象的数学素养． 题型9：二次函数在闭区间上的最值问题 9-1．（2024高一上·上海浦东新·期末）已知函数． (1)证明函数在区间上是严格减函数； (2)求函数在区间上的最值． 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值为8，最小值为 【分析】（1）根据函数单调性的定义即可求证， （2）根据二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）任取，， 由，可得，，所以，又， 所以，即， 所以函数在区间上是严格减函数． （2）由于函数在单调递减，在单调递增， 又， 所以的最大值为8，最小值为 9-2．（2024高一上·天津宁河·期末）已知函数，且. (1)求实数m的值； (2)根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增. (3)若，求值域. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由，代入函数解析式，求实数m的值； （2）定义法证明的单调性； （3）由函数单调性求区间内函数的值域. 【详解】（1）由，得； （2）由（1）可知，， 任取，则， ，，有，即， 所以在区间上单调递增. （3）由二次函数的性质，在上单调递减，在上单调递增， ，，， 所以时，值域为. 9-3．（2024高一上·广东梅州·期末）已知二次函数. (1)若，求在上的值域； (2)求在上的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定单调性，再根据单调性求值域； （2）分，，讨论，确定单调性即可得最小值. 【详解】（1）若，则，对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以在上的值域为； （2）二次函数， 对称轴为， 当，即时，在上单调递增，， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，， 当，即时，在上单调递减，， 综上：. 题型10：恒成立与能成立问题 10-1．（2024高一上·广东东莞·阶段练习）已知函数． （1）试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明； （2）对任意时，都成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）在上单调递减，证明见解析；（2）. 【分析】（1）利用单调性定义：设并证明的大小关系即可. （2）由（1）及函数不等式恒成立可知：在已知区间上恒成立，即可求的取值范围． 【详解】（1）函数在区间上单调递减，以下证明：设， ∵， ∴，，， ∴， ∴在区间上单调递减； （2）由（2）可知在上单调减函数， ∴当时，取得最小值，即， 对任意时，都成立，只需成立， ∴，解得：． 10-2．（2024高一上·广东汕头·期末）已知函数，． (1)若，试求函数（）的最小值； (2)对于任意的，不等式成立，试求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）时，利用基本不等式求函数（）的最小值； （2）任意的不等式成立，问题等价于在上恒成立，利用二次函数的性质求解. 【详解】（1），时，函数， 当且仅当，即时等号成立， 所以时函数（）的最小值为. （2），任意的，不等式成立， 即在上恒成立， 设，在上恒成立， 则，解得， 所以实数a的取值范围为. 10-3．（2024高一上·上海·期末）已知函数，且不等式的解集为． (1)求实数的值； (2)已知，若存在，，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意判断出即是方程的两根，即可求解； （2）设的值域为，的值域为，判断出，列不等式组，求出的范围. 【详解】（1）不等式，即， 因为不等式的解集为，即是方程的两根， 将代入方程得，解得， 再由韦达定理得，故. （2）因为存在，，使得成立， 设的值域为，的值域为，则， 的对称轴为，故在上单调递增， 则，即，所以， 当时，，不满足题意； 当时，在上单调递增， 则，即，所以， 由，得，解得； 当时，在上单调递减， 则，即，所以， 由，得，解得， 综上所述，. 一、单选题 1．（2024高一上·北京·期中）已知函数是上的增函数，函数是上的减函数，则下列函数一定是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性的性质逐一判断即可. 【详解】解：因为函数是上的增函数，函数是上的减函数， 所以函数是上的增函数， 函数是上的减函数， 函数，的单调性无法判断. 故选：B. 2．（2024高一·全国·专题练习）已知函数是区间内的减函数，则与的大小关系为（　　） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】由已知结合二次函数的性质及函数的单调性即可比较大小． 【详解】因为， 又是区间内的减函数， 所以. 故选：B． 3．（2024高一上·福建福州·期中）函数为定义在上的单调增函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单调性判断． 【详解】是增函数， 时，，；时，，；，因此，；时，，， 故选：C． 4．（2024高一上·辽宁·期中）定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设 ，由已知可得在区间上单调递减，原不等式等价于，所以解得. 【详解】 又，，有， 设 ，有，则，都有，所以在区间上单调递减， ，则当时，由，得 ， 即， 解得，故原不等式的解集为. 故选：D. 5．（2024高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B．C． D． 【答案】C 【分析】根据的单调性，以及定义域，结合一元二次不等式的求解，直接计算即可. 【详解】对，且定义域为，由复合函数单调性可知其在定义域单调递增， 故，等价于， 由，即，，解得； 由，即，解得； 故实数的取值范围为. 故选：C. 6．（2024高一上·福建福州·期中）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据在上的单调递增，可以列出相应的不等式方程组，从而得解. 【详解】因为在上单调递增， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为. 故选：C. 7．（2024高二下·广西玉林·期末）在R上是增函数的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的单调性，可得a的范围，再由充分必要条件的含义，得解. 【详解】在R上是增函数， 则有，解得， 所以在R上是增函数的充要条件是， 则充分不必要条件要求是的真子集，只有D选项满足，即. 故选：D 8．（2024高一上·浙江宁波·阶段练习）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据复合函数的单调性得到为减函数，且在区间上大于零恒成立，即可得到答案. 【详解】因为函数在上单调递增， 设，则为减函数，且在区间上大于零恒成立. 所以. 故选：A 9．（2024高一上·河北邢台·阶段练习）已知，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得到，，然后根据单调性比较大小即可. 【详解】因为，所以，， 因为在上单调递减，所以. 故选：A. 10．（2024高一上·上海·专题练习）如果函数，满足对任意，都有成立，那么的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数的单调性即可求解. 【详解】若函数对于任意的实数，都有成立， 则在上单调递增， 则有：，解得：， 故选：A． 11．（2024高一上·上海静安·期中）函数为定义在上的单调增函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由函数单调性的定义和性质依次分析选项，综合可得答案. 【详解】函数为定义在上的单调增函数， 当时，，故错误； 当时，，故错误； 当时，，故正确； 当时，，故错误； 故选：C． 12．（2024高一上·广东深圳·期中）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知，先判断函数的奇偶性，然后分段画出图像，即可读取单调减区间. 【详解】由已知，函数为偶函数， 当时，；当时，； 可画出函数图像，图下图所示： 所以函数的单调递减区间为、， 故选：A. 13．（2024高一上·海南海口·阶段练习）已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先得到，故恒成立，画出的图象，得到其单调递增，从而得到不等式，求出实数的取值范围，检验后满足要求，得到答案. 【详解】， ， 画出的图象，如下： 故在上单调递增， 故，解得， 只需，其中， 故，解得， 此时，不包含0，符合要求. 故选：D 14．（2024高一上·浙江温州·期末）已知函数在定义域上是减函数，则的值可以是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】由题意只需，由此对比选项即可得解. 【详解】由题意当时，单调递减，当时，单调递增， 若函数在定义域上是减函数，只需， 解得，对比选项可知的值可以是. 故选：D. 15．（2024高一上·云南曲靖·期末）若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性以及单调性，判断函数值的正负情况，由结合函数的性质列出不等式组，可求得答案. 【详解】因为定义域为的偶函数在内单调递减，且， 所以在上单调递增，且， 所以当时，，当时，， 所以由可得或或或， 所以得或或， 所以满足的的取值范围是． 故选：B． 16．（2024高一上·浙江杭州·期末）如果函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合一次、二次函数的图象与性质，分类讨论，即可求解. 【详解】由函数在区间上为单调递增函数， 当时，在上为单调递增函数，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 故选：D. 17．（2024高一·全国·课后作业）关于函数的单调性的说法，正确的是（    ） A．在定义域内是减函数 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减，在上单调递减 D．在上单调递增，在上单调递减 【答案】C 【分析】由复合函数的单调性的结论即可判断. 【详解】函数的定义域为， 函数是由函数和复合而成， 而函数在和上单调递增， 在和上单调递减， 由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递减. 故选：C 18．（2024高一上·北京·期中）下列函数中，在区间上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用函数单调性定义可判断得结果. 【详解】选项A：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为减函数，故A正确； 选项B：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故B错误； 选项C：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故C错误； 选项D：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故D错误； 故选：A. 19．（2024高一上·北京·期中）已知函数，则“”是“函数在区间上存在最小值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用对勾函数性质求出的范围，然后利用充分条件、必要条件判断即可. 【详解】因为函数在区间上存在最小值，所以函数不单调，且为先减再增函数， 故，由对勾函数单调性知，在单调递减，在上单调递增，则， 所以，则反向成立； 若，则，根据对勾函数单调性知，在单调递减，在上单调递增，所以在时取得最小值，故正向成立， 所以“”是“函数在区间上存在最小值”的充分必要条件. 故选：C. 20．（2024高一上·江苏宿迁·期末）若函数是上的单调函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用特殊值验证法，排除选项，即可推出结果． 【详解】函数, 当时，， 当时，，函数图像的对称轴为，函数不是单调函数，不满足题意，排除B、C； 当时，， 当时，，函数图像的对称轴为，函数不是单调函数，排除D. 故选：A． 21．（2024高一上·浙江嘉兴·阶段练习）若函数满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对任意，都有成立可判断是上的减函数，通过各段上的单调性分析及区间端点函数值的比较，列出不等式组求解即可. 【详解】由题意可知： 对任意的实数，都有成立， 是上的减函数， ，解得， 实数的取值范围是. 故选：B. 22．（2024高一上·北京·期中）函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论，根据一次函数、二次函数性质运算求解即可. 【详解】当时，在区间上单调递增，符合题意； 当时，因为函数的对称轴为， 若函数在区间上是增函数， 则或，所以或； 综上，，故实数的取值范围是. 故选：D 23．（2024高一上·河南安阳·期中）若定义在上的函数满足，则的单调递增区间为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】当可求得；当时，，由已知关系式可得，进而得到；由二次函数性质可得单调递增区间. 【详解】当时，，则， 在上单调递增； 当时，，， ， 在上单调递增； 综上所述：的单调递增区间为和. 故选：B. 24．（2024高一上·河北邯郸·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法求出定义域后求解参数即可. 【详解】根据题意，设，则，因为在上单调递增， 所以在区间上单调递增，则有，解得， 故选：B． 25．（2024高一上·湖北荆州·阶段练习）已知，若，则（    ） A．在区间内递减 B．在区间内递减 C．在区间内递增 D．在区间内递增 【答案】A 【分析】通过令，则，根据条件，利用判断复合函数单调性的方法“同增异减”，求出的单调区间，再结合各个选项，即可得出结果. 【详解】令，则，因为，故， 易知，在上单调递减， 在上单调递增， 又易知，在上单调递增，在上单调递减， 由，得到或，由，得到， 因为在区间上单调递增，此时，且在区间上单调递减， 故由复合函数的单调性知，在区间上单调递减， 因为在区间上单调递减，此时，且在区间上单调递减， 故由复合函数的单调性知，在区间上单调递增， 又因为在区间上单调递增，此时，且在区间上单调递增， 故由复合函数的单调性知，在区间上单调递增， 因为在区间上单调递减，此时，且在区间上单调递增， 故由复合函数的单调性知，在区间上单调递减， 故选：A. 26．（2024高一上·北京·期中）已知函数是上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数在各段单调递增且断点左侧的函数值不大于右侧的函数值得到不等式组，解得即可. 【详解】因为函数是上的增函数， 所以，解得，即的取值范围是. 故选：D 二、多选题 27．（2024高一上·浙江宁波·期中）函数在是减函数，且，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据函数单调性及，得到，进而判断出ABC正确，D错误. 【详解】AB选项，在是减函数，且，故， ，AB正确； CD选项，因为，，所以， ，C正确，D错误. 故选：ABC 28．（2024高一上·云南德宏·期末）已知定义在上的函数满足：对任意的，当时，都有，若不等式恒成立，则实数m的可能取值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【分析】首先判断的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，即可求出参数的取值范围，即可判断. 【详解】因为对任意的，当时，都有， 所以在上单调递增， 又不等式恒成立，即，解得， 所以符合题意的有A、B、C. 故选：ABC 29．（2024高一上·四川内江·期中）以下函数在其定义域上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据基本初等函数的单调性判断即可. 【详解】解：对于A选项，，由于反比例函数为减函数， 故为减函数，故A错误； 对于B选项，的对称轴为，开口向上，故为增函数，故B正确； 对于C选项，由于在上是增函数，又在定义域上单调递增， 故由复合函数的单调性得在定义域上单调递增，故C正确； 对于D选项，为减函数，故D选项错误. 故选：BC. 30．（2024高一·全国·课堂例题）下列命题中为真命题的是（    ） A．定义在上的函数，如果有无穷多个，当时，有，那么在上单调递增 B．如果函数在区间上单调递减，在区间上也单调递减，那么在区间上就一定单调递减 C．，且，当时，在上单调递减 D．，且，当时，在上单调递增 【答案】CD 【分析】根据单调性定义可判断ACD；举反例可判断B. 【详解】对于A， “无穷多个”不能代表“所有”“任意”，所以A是假命题； 对于B，，当时，是单调递减函数， 当时，是单调递减函数， 而在不具备单调性，故B是假命题； 对于C，， ∵等价于， 而此式又等价于或， 即或， ∴在上单调递减，故C是真命题； 对于D，，且，由得， 或， 即或， ∴在上单调递增，故D是真命题. 故选：CD. 三、填空题 31．（2024高一上·北京·期中）函数，的单调递减区间为 ． 【答案】 【分析】利用二次函数的单调性直接计算即可. 【详解】由二次函数的性质可知的对称轴为，开口向上， 所以其单调区间为. 故答案为：. 32．（2024高一上·江西上饶·期末）函数的单调递减区间是 . 【答案】 【分析】根据二次函数的性质判断即可. 【详解】二次函数开口向上，对称轴为， 所以函数的单调递减区间为. 故答案为： 33．（2024高一上·天津·期中）已知，则最大值为 ． 【答案】/ 【分析】根据二次函数的性质求解即可. 【详解】由， 因为函数的对称轴为， 且在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值. 故答案为：. 34．（2024高一·全国·假期作业）已知函数，函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】，则函数在上为增函数，则，即，所以函数的值域是．又在上的值域是，若存在，使得成立，则．若，则或，即或，所以实数的取值范围是． 答案： 35．（2024高一上·重庆·期末）已知函数，若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据存在性的性质，结合二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为函数的对称轴为， 所以当时，该二次函数单调递增，所以， 因为存在，使得不等式成立， 所以有，或， 因此实数的取值范围为， 故答案为： 36．（2024高一上·广东潮州·期中）已知函数，的值域是，则实数 . 【答案】或 【分析】分，与三种情况，结合函数单调性得到方程，求出答案. 【详解】若，此时， 其在上单调递增， 故，解得，满足要求， 若，此时， 其在上单调递减， 故，解得，满足要求， 若，此时的最小值为0，当时，等号成立， 此时不满足值域是. 故答案为：或 37．（2024高一·全国·专题练习）函数的定义域是，则其值域为 【答案】 【分析】判断函数的单调性，根据单调性可求得函数最小值以及最大值，即得答案. 【详解】由题意知函数均在上单调递增， 故在定义域上为增函数， 所以，， 即的值域为， 故答案为： 38．（2024高一上·陕西西安·阶段练习）函数的单调增区间是 ． 【答案】 【分析】求出函数的定义域，利用复合函数“同增异减”的性质即可求得其单调增区间. 【详解】由题意可知，解得，即函数定义域为， 易知函数由复合而成， 且在单调递减，在单调递增，在上单调递减； 利用复合函数单调性可得的单调增区间是 故答案为：. 39．（2024高一上·天津和平·期中）函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据函数解析式可得其定义域为，由函数性质易知其在定义域内为单调递增，代入计算即可求得值域为. 【详解】根据题意可知，该函数定义域需满足，即； 所以可得其定义域为； 又易知函数在上单调递增，而在上单调递减， 所以函数在单调递增， 因此，； 即可得该函数值域为. 故答案为： 40．（2024高一上·宁夏银川·期中）函数的定义域为，且在定义域内是增函数，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数的单调性逆用解抽象不等式. 【详解】由得， 因为函数的定义域为，且在定义域内是增函数， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 41．（2024高一上·河南新乡·阶段练习）函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】利用分离常数法，得，结合的范围可得答案. 【详解】， 由，得， 当时，单调递减，单调递增； 当时，单调递减，单调递增， 所以的单调增区间为． 故答案为：． 42．（2024高一上·浙江台州·期末）若函数在 上的最小值为1，则正实数的值为 . 【答案】 【分析】对参数进行分类讨论，根据分段函数的单调性和最值，即可求得结果. 【详解】由题可得, 因为函数在 上的最小值为1， 当时，在 上，在单调递减，单调递增， 所以，解得（舍）； 当时，在 上在单调递减，单调递增， 所以，解得（舍）； 当时，在 上，在单调递减，单调递增， 所以，解得. 故答案为： 四、解答题 43．（2024高一上·全国·期末）已知函数． (1)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； (2)求函数的值域． 【答案】(1)在上是增函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据函数单调性的定义及判定方法，即可求解； （2）令，结合换元法结合单调性求函数的值域. 【详解】（1）解：函数在上是增函数. 证明如下： 任取，且， 则 因为，且，所以，， 所以，即， 所以函数在上是增函数． （2）解：令，则， 则的值域即为求的值域， 由（1）知函数在是单调递增， 所以当时，即，即时，取最小值， 所以，所以函数的值域为. 44．（2024高一下·河南·开学考试）已知函数满足． (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用换元法进行求解即可； （2）根据二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）令，得， 则， 故的解析式为． （2）由题意得， 函数的对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， ， 故在上的值域为． 45．（2024高一上·山东济宁·阶段练习）已知函数. (1)判断在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)在单调递增，证明见解析 (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）先转化，判断其单调性，再利用函数单调性的定义，结合作差法即可得证； （2）利用（1）中结论即可得解. 【详解】（1）因为， 因为在单调递减， 所以在单调递增. 定义法证明如下： 任取，，则， ， 所以，故在单调递增. （2）由（1）得在区间上单调递增， 所以，， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 46．（2024高一上·甘肃白银·期中）函数. (1)判断函数在上的单调性，并加以证明. (2)求函数在上的最值. 【答案】(1)函数在上单调递减，证明见解析 (2) 【分析】（1）判断函数的单调性，利用函数单调性的定义即可证明； （2）根据函数在区间上的单调性，代入求值，即得答案. 【详解】（1）函数在上单调递减，证明如下： 函数，任取，设， 则， 因为，，则， 故，即， 故函数在上单调递减； （2）由（1）知函数在上单调递减， 故. 47．（2024高一上·北京·期中）设，函数.求函数在区间上的最小值. 【答案】答案见解析 【分析】分，，三类讨论，在每一种情况内确定函数在区间上的单调性即可得出最小值. 【详解】函数的图象开口向上，对称轴为. 当，即时，函数在区间上单调递增，此时； 当，即时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，此时； 当，即时，函数在区间上单调递减，此时. 综上可得：当时， ； 当时， ； 当时， . 48．（2024高一上·上海·期末）已知函数是上的严格增函数，是上的严格减函数，判断函数的单调性，并利用定义证明． 【答案】函数是上的单调递增函数；证明见解析 【分析】根据题意，结合函数的单调性的定义和判定方法，即可得证. 【详解】解：函数是上的单调递增函数. 证明如下：任取且， 因为函数 是上的严格增函数， 是上的严格减函数， 可得， 则， 即， 所以函数为上的严格增函数. 49．（2024高一上·黑龙江双鸭山·阶段练习）已知函数的图像过点． (1)求实数m的值； (2)判断在区间上的单调性，并用定义证明； 【答案】(1) (2)在区间上单调递增，证明见解析 【分析】（1）将代入解析式，得到m的值； （2）利用定义法证明函数单调性步骤：取值，作差，判号，下结论. 【详解】（1）将点代入函数中，可得，解得． （2）单调递增，证明如下． 由（1）可得， 任取，则 ，因为， 则，，，即， 所以，即， 所以在区间上单调递增． 50．（2024高一·全国·专题练习）已知定义在上的函数对任意，恒有，且当时，.试判断在的单调性，并证明； 【答案】在上单调递减，证明见解析 【分析】由题意，设，结合和定义法证明函数的单调性，即可求解. 【详解】设是区间上的任意两个实数，且， 所以， 因为且，所以，所以， 所以，即， 所以在上单调递减. 51．（2024高一·全国·课后作业）用定义证明：函数在上是增函数． 【答案】证明见解析 【分析】根据函数单调性定义证明即可． 【详解】对任意，， 则， 因为， 所以， 又， 所以， 故函数在上是增函数． 52．（2024高一上·新疆克孜勒苏·期末）已知函数，且． (1)求函数的解析式； (2)用定义证明函数在上是增函数. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）代入，即可求解函数的解析式； （2）利用函数单调性的定义，设，再作差，分解因式，判断正负，即可证明函数的单调性. 【详解】（1），； （2）设， ， ，即 则函数在上是增函数 53．（2024高一上·重庆·期末）已知定义在上的函数满足，且对任意． (1)证明：在上单调递减； (2)解不等式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用单调性的定义证明即可； （2）首先求出，则得到，根据（1）中的结论即可得到不等式，解出即可. 【详解】（1）任取，且． 因为，即，令， 则． 因为，所以． 由题意， 所以． 故在上单调递减． （2），令，得． 因为， 所以． 由（1）得，， 解得． 54．（2024高一上·安徽·期末）已知函数的定义域为，，，总有成立.若时，. (1)判断并证明函数的单调性； (2)若，求解关于x的不等式的解集. 【答案】(1)在上单调递减，证明见解析 (2) 【分析】（1）利用单调性的定义结合已知即可证明； （2）利用赋值法求出，根据已知结合函数的单调性，将不等式化得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】（1）在上单调递减，证明如下： 因为，，总有成立，当时，， ，且，则， 则，即， 所以在上单调递减. （2）因为因为，，总有成立， 所以，则， 因为，所以， 所以不等式可化为， 所以，解得. 所以不等式的解集为. 55．（2024高一上·广西桂林·期末）已知函数. (1)判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； (2)求在上的值域. 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析； (2) 【分析】（1）利用定义法取值、作差、变形再判断符号即可； （2）根据函数单调性即可得到其值域. 【详解】（1）在上单调递增. 证明：任取，且， ， ，且， ，即， 在上单调递增. （2）由（1）可知在上单调递增， ， 所以在上的值域为. 56．（2024高一上·福建漳州·期末）设函数，其中. (1)若命题“，”为假命题，求实数的取值范围； (2)判断在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论. 【答案】(1) (2)在区间上单调递减，证明见解析 【分析】（1）根据题意可推出“，”为真命题，结合判别式列不等式，即可求得答案； （2）由题意可得的表达式，判断其单调性，利用函数单调性的定义，即可证明结论. 【详解】（1）因为命题“，”为假命题， 所以“，”为真命题， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. （2）在区间上单调递减.证明如下： ，且， 则 ， 因为，且， 所以，，， 所以，即，即， 所以在区间上单调递减. 57．（2024高一上·江苏盐城·期末）已知二次函数的图像过点，满足且函数是偶函数，函数. (1)求二次函数的解析式； (2)若，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由待定系数法即可求得二次函数解析式； （2）由（1）可得在单调递增，结合条件转化为，然后构造函数，求得其最小值即可. 【详解】（1）设二次函数解析式为， 由题意可得，所以， 又函数是偶函数，则其函数图像关于轴对称， 所以的图像关于对称，即，所以， 故，所以. （2）由（1）可得，则， 当时，单调递增，则， 若，使成立， 即，即， 令， 当时，，不符合； 当时，在单调递减，则， 即，解得； 当时，在单调递增，， 即，解得，且，则； 综上所述，，即实数的取值范围为. 58．（2024高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）已知二次函数满足，且. (1)求解析式； (2)讨论在区间上的最大值. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用待定系数法，，结合题意运算求解； （2）根据（1）中解析式，结合二次函数对称性分析求解. 【详解】（1）设，则， 而， 可得，解得， 所以. （2）由（1）可得， 可知在上单调递减，上单调递增，且， 当时，在区间上的最大值为； 当时，在区间上的最大值为. 59．（2024高一·全国·专题练习）已知函数的定义域为，判断在上的单调性，并用定义证明； 【答案】在上单调递增，证明见解析 【分析】判断函数的单调性，利用函数单调性的定义即可证明. 【详解】在上单调递增，证明如下：设， ； 因为，，，，所以， 所以是在上单调递增. 60．（2024高一·全国·专题练习）已知定义域为R，对任意都有，且当时，.试判断的单调性，并证明； 【答案】在上单调递增，证明见解析 【分析】利用赋值法，结合函数的单调性定义即可证明. 【详解】函数在上单调递增，证明如下： 设，则，所以，即， 任取，且，则， 所以， 即，所以在上单调递增. 61．（2024高一·全国·专题练习）已知函数的定义域为R，且对任意的均有，且对任意的，都有，试判断函数在定义域上的单调性. 【答案】在定义域上单调递增 【分析】先利用赋值法结合奇函数定义得在R上是奇函数，再借助函数单调性的定义，进行赋值证明即可. 【详解】令，则，解得， 令，则，所以，故在R上是奇函数. 任取，且，令，则， 因为在R上是奇函数，所以， 所以，因为当时，， 由，所以，所以， 所以，即， 所以在定义域上单调递增. 62．（2024高一·全国·专题练习）定义在上的函数满足下面三个条件： ① 对任意正数，都有；② 当时，；③ (1)求和的值； (2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数； 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）利用赋值法计算即可得解；（2）根据定义法即可证明函数的单调性. 【详解】（1）令，得，则， 而， 又，所以； （2）任取，且，， 当时，，， ，即 在上为减函数． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$