高中数学中的“隐形圆”问题讲义-2025届高三数学一轮复习

高中数学中的“隐形圆”问题 “隐形圆”问题是高中数学中难度较大的一个跨单元内容，它承接于初中的圆，融入了高中的平面向量、解三角形、解析几何等内容，试题的难度以中档或中高档为主，注重考查学生的综合能力.当然，这部分内容在教材上也多有涉及，比如阿波罗尼斯圆、圆的参数方程等.本文将借助几个数学模型来讲解高中数学中的“隐形圆”问题. 一、“圆的定义”模型 例1 已知点在动直线上的射影点为，若点，那么的最大值为__________. 变式1 已知点是圆的动点，直线上存在两点，，使得恒成立，则线段长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 结论 此类问题往往利用圆的定义或圆的几何性质确定隐形圆.，是定点，动点满足：①，②，③，④则是以为直径的圆（①③④需除去，两点）. 二、“三角形对边对角”模型 例2 已知，，分别为△的三个内角，，的对边，，且 ，则△面积的最大值为__________. 变式2 在△ABC中， （1）求； （2）若，求△ABC周长的最大值. 结论 此类问题往往已知三角形的对边对角，结合正弦定理确定隐形圆. 三、“阿波罗尼斯圆”模型 例3（教材P97例6改编）已知，，动点与点的距离是它与的距离的倍，求点的轨迹. 思考 如果把例3中的“倍”改为“（）倍”，点的轨迹又是什么？ 变式3 满足条件，的三角形面积的最大值是__________. 结论 已知平面上两定点、，则满足（且）的点的轨迹是一个圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯（前262—前190）发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆. 四、“距离平方和”模型 例4 在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则实数的取值范围是____________. 变式4 在平面直角坐标系中，已知，为圆上两点，点，且，则线段长的取值范围为____________. 结论 已知平面上两定点、，则满足（其中）的点的轨迹是一个圆. （1）代数证明 设（）. 以中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系.则，. 又设，则由得. 化简得，整理有. 所以当时，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆.（需要特别说明的是，由于坐标系的不同，故该圆圆心的坐标表示不唯一.） （2）几何证明 设为中点，故，. 所以. 所以，即. 所以当时，点的轨迹是以（中点）为圆心，为半径的圆. 五、“向量数量积”模型 例5 （多选）已知点，，若圆上存在点满足，则实数的值可以为（ ） A. B. C. D. 变式5 已知点，，点在直线上，若满足等式的点有两个，则实数的取值范围是____________. 结论 已知平面上两定点、，则满足（其中）的点的轨迹是一个圆. （1）代数证明 设（）. 以中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系.则，. 又设，则由得，整理有. 所以当时，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆.（需要特别说明的是，由于坐标系的不同，故该圆圆心的坐标表示不唯一） （2）几何证明 设为中点，故，. 所以，故. 所以. 所以当时，点的轨迹是以（中点）为圆心，为半径的圆. 六、“圆的参数方程”模型 例6 （教材P89第10题改编）在平面直角坐标系中，如果点的坐标满足，其中为参数，则点的轨迹方程为____________. 变式6 已知，则的最小值是____________. 结论 （其中为参数）为圆的参数方程，表示圆心为，半径为的圆. 课后巩固 1.已知点在圆上，点，，满足的点的个数为（ ） A. B. C. D. 2.已知点，若过点的直线与圆交于、两点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 3.已知，，是平面向量，是单位向量.若非零向量与的夹角为，向量满足 ，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 4.已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的取值范围是____________. 5.若对任意，直线与圆均无公共点，则实数的取值范围为____________. 6.已知点到的距离是点到的距离的2倍. （1）求点的轨迹方程； （2）若点与点关于点对称，点，求的最大值； （3）若过点的直线与第二问中的轨迹交于，两点，探索是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$高中数学中的“隐形圆”问题 “隐形圆”问题是高中数学中难度较大的一个跨单元内容,它承接于初中的圆,融入了高中的平面向量、解三角形、解析几何等内容,试题的难度以中档或中高档为主,注重考查学生的综合能力.当然,这部分内容在教材上也多有涉及,比如阿波罗尼斯圆、圆的参数方程等.本文将借助几个数学模型来讲解高中数学中的“隐形圆”问题. 一、“圆的定义”模型 例1 已知点在动直线上的射影点为,若点,那么的最大值为_. 解析 动直线方程可化为,故直线恒过定点.因为定点在动直线上的射影点为.所以,则点的轨迹是以为直径的圆,圆心为的中点,圆的半径.又因为,所以点在圆外,故的最大值为. 变式1 已知点是圆的动点,直线上存在两点,,使得恒成立,则线段长度的最小值是( ) A. B. C. D. 解析 A 知识升华 此类问题往往利用圆的定义或圆的几何性质确定隐形圆.,是定点,动点满足:①,②,③,④则是以为直径的圆(①③④需除去,两点). 二、“三角形对边对角”模型 例2 已知,,分别为 的三个内角,,的对边,,且 ,则 面积的最大值为_. 解析 由题意知,由正弦定理知,所以,故,所以.又因为(为 外接圆半径),所以点为优弧(不含、点)上任意点.故当距离最远时(此时 为等边三角形), 的面积最大,最大值为. 变式2 在 ABC中, (1)求; (2)若,求 ABC周长的最大值. 解析 (1);(2). 知识升华 此类问题往往已知三角形的对边对角,结合正弦定理确定隐形圆. 三、“阿波罗尼斯圆”模型 例3(教材P97例6改编)已知,,动点与点的距离是它与的距离的倍,求点的轨迹. 思考 如果把例3中的“倍”改为“()倍”,点的轨迹又是什么? 变式3 满足条件,的三角形面积的最大值是_. 解析 以中点为原点,直线为轴建立平面直角坐标系,则,. 设,则由知. 化简得,即. 所以点的轨迹是以为圆心,为半径的圆(除去轴上的两个点),故三角形的高最大值为圆的半径. 所以三角形的面积最大值为. 知识升华 已知平面上两定点、,则满足(且)的点的轨迹是一个圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯(前262—前190)发现,故称阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆. 四、“距离平方和”模型 例4 在平面直角坐标系中,已知圆,点,若圆上存在点,满足,则实数的取值范围是_. 解析 设,由得. 化简得,故点在圆上. 又因为点在圆上,故圆与圆 相交或相切时满足题意. 由两圆位置关系知,,所以的取值范围是. 变式4 在平面直角坐标系中,已知,为圆上两点,点,且,则线段长的取值范围为_. 解析 知识升华 已知平面上两定点、,则满足(其中)的点的轨迹是一个圆. (1)代数证明 设(). 以中点为原点,直线为轴建立平面直角坐标系.则,. 又设,则由得. 化简得,整理有. 所以当时,点的轨迹是以为圆心,为半径的圆.(需要特别说明的是,由于坐标系的不同,故该圆圆心的坐标表示不唯一.) (2)几何证明 设为中点,故,. 所以. 所以,即. 所以当时,点的轨迹是以(中点)为圆心,为半径的圆. 五、“向量数量积”模型 例5 (多选)已知点,,若圆上存在点满足,则实数的值可以为( ) A. B. C. D. 解析 BD 变式5 已知点,,点在直线上,若满足等式的点有两个,则实数的取值范围是_. 解析 知识升华 已知平面上两定点、,则满足(其中)的点的轨迹是一个圆. (1)代数证明 设(). 以中点为原点,直线为轴建立平面直角坐标系.则,. 又设,则由得,整理有. 所以当时,点的轨迹是以为圆心,为半径的圆.(需要特别说明的是,由于坐标系的不同,故该圆圆心的坐标表示不唯一) (2)几何证明 设为中点,故,. 所以,故. 所以. 所以当时,点的轨迹是以(中点)为圆心,为半径的圆. 六、“圆的参数方程”模型 例6 (教材P89第10题改编)在平面直角坐标系中,如果点的坐标满足,其中为参数,则点的轨迹方程为_. 变式6 已知,则的最小值是_. 解析 知识升华 (其中为参数)为圆的参数方程,表示圆心为,半径为的圆. 课后巩固 1.已知点在圆上,点,,满足的点的个数为( ) A. B. C. D. 解析 B 2.已知点,若过点的直线与圆交于、两点,则的最大值为( ) A. B. C. D. 解析 设AB中点为P,则,且,所以点P的轨迹是以NC为直径的圆,圆心为,当P在圆Q上运动的过程中,的最大值为,所以的最大值为12. 3.已知,,是平面向量,是单位向量.若非零向量与的夹角为,向量满足 ,则的最小值是( ) A. B. C. D. 解析 A 4.已知圆和两点,,若圆上存在点,使得,则的取值范围是_. 解析 5.若对任意,直线与圆均无公共点,则实数的取值范围为_. 解析 6.已知点到的距离是点到的距离的2倍. (1)求点的轨迹方程; (2)若点与点关于点对称,点,求的最大值; (3)若过点的直线与第二问中的轨迹交于,两点,探索是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由. 解析 (1);(2)138;(3)-3 1 学科网(北京)股份有限公司 $$