第四章 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数课件-2025届高三数学一轮复习

第四章 三角函数与解三角形 第一节 任意角和弧度制 及任意角的三角函数 ——你若不想做,会找一个或无数个借口;你若想做,会想一个或无数个办法。 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 1 考试要求 1.了解任意角的概念和弧度制. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 核心回扣 1.角的定义:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形. 2.分类: 3.终边相同的角:所有与角 终边相同的角,连同角 在内,可构成一个集合S={ | =_,k∈Z}或{ | =_,k∈Z}. +k 360 +2k 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 象限角及终边相同的角 1.与240 角终边相同的角的集合是( ) A. B. C. D. D 变:若角 的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边在直线y=x上,则角 的取值集合是_ 练:若 =45 +k 180 (k∈Z),则 的终边在( ) A.第二或第三象限 B.第一或第三象限 C.第二或第四象限 D.第三或第四象限 B 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 1. 为第一象限角,则2 为第_象限角。 变: 为第一象限角,则为第_象限角。 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 1.判断象限角的方法 作出已知角并根据象限角的定义判断该角是第几象限角或将已知角化为k 360 + (0 ≤ <360 ,k∈Z)的形式,由角 终边所在的象限判断已知角是第几象限角. 2.确定k ,(k∈N*)的终边位置的方法 (方法一)先写出k 或的范围,然后根据k的可能取值确定k 或的终边所在的位置. (方法二)数形结合求的终边位置:将各象限角平均分成k等份,从x轴正半轴开始,逆时针循环写出1,2,3,4,…,k, 为第几象限角,则相应标号区域即 为的终边所在的位置. 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 3.求终边在某直线上的角的方法 在平面直角坐标系中画出该直线,按逆时针方向写出[0,2 )内的角,再由终边相同角的表示方法写出满足条件的角的集合并化简. 提醒:确定角的终边位置时易忽视角的终边与坐标轴重合的情况. 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 核心回扣 1.定义:长度等于_的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,记作1 rad. 2. 的弧度数公式:| |=(弧长用l表示,半径用r表示). 3.角度与弧度的换算: (1)1 = rad; (2)1 rad=() ≈57.30 . 4.弧长公式:弧长l=_. 5.扇形面积公式:S=_ = _. 半径长 | |r lr | |r2 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 注意点: (1)把弧度作为单位表示角时,“弧度”两字可以省略不写,但把度( )作为单位表示角时,度( )就一定不能省略. (2)角度制与弧度制可利用180 = rad进行互化,在同一个式子中,采用的度量制必须一致,不可混用. 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 扇形的弧长、面积公式 【例1】(1)(2024 日照模拟)我国北宋时期科技史上的杰作《梦溪笔谈》收录了计算扇形弧长的近似计算公式: =弦+,公式中“弦”是指扇形中圆弧所对弦的长,“矢”是指圆弧所在圆的半径与圆心到弦的距离之差,“径”是指圆弧所在圆的直径.如图,已知扇形的面积为,扇形中圆弧所在圆O的半径为2,利用上述公式,计算该扇形弧长的近似值为( ) A.+2 B. C. D.2+1 √ 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 (2)一扇形的圆心角为 ,半径为R,弧长为l.已知 =,R=10 cm,求扇形的面积. 扇形的弧长、面积公式 [变式1] 若本例(2)条件不变,求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积. [变式2] 若本例(2)已知条件改为“扇形周长为 20 cm”,当扇形的圆心角 为多少弧度时,这个扇形的面积最大? 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度. (2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决,有时也利用基本不等式及导数求最值. (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形. 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 核心回扣 1.定义:任意角 的终边与单位圆交于点P(x,y),则y=sin ,x=cos ,=tan (x≠0). 2.定义的推广:P(x,y)是角 的终边上异于顶点的任意一点,设点P到原点O的距离为r,则sin =,cos =,tan =(x≠0). 3.三角函数值在各个象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦,如图. 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 4.若角 , 的终边关于x轴对称,则sin =-sin ,cos =cos ;若角 , 的终边关于y轴对称,则sin =sin ,cos =-cos . 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 自查自测 知识点三 任意角的三角函数 1.已知角 的终边过点P(-1,2),则sin =( ) A. C.- D.- B 解析:因为|OP|== (O为坐标原点),所以sin ==. √ 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 2.(教材改编题)若sin <0,且tan >0,则 是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 C 解析:由sin <0知 的终边在第三、第四象限或y轴的非正半轴上;由tan >0知 的终边在第一或第三象限,故 是第三象限角.故选C. √ 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 3.在平面直角坐标系中,角 与角 的始边均与x轴的非负半轴重合,它们的终边关于x轴对称.若sin =,则sin =_. - 解析:设角 的终边与单位圆相交于点P(x,y),则角 的终边与单位圆相交于点Q(x,-y).由题意知y=sin =,所以sin =-y=-. 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 【常用结论】 1.象限角 2.轴线角 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 应用1 若 是第二象限角,则- 是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 C 解析:因为 是第二象限角,可得+2k < < +2k ,k∈Z,所以- -2k <- <-2k ,k∈Z,此时- 位于第三象限. √ 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 应用2 在平面直角坐标系中,如果角 与角 的终边互相垂直,那么角 与角 的关系式为( ) A. = +90 B. = 90 C. = +90 +k 360 (k∈Z) D. = 90 +k 360 (k∈Z) D 解析:因为角 与角 的终边互相垂直,所以 = 90 +k 360 (k∈Z). √ 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 三角函数的定义及应用 考向1 三角函数的定义 【例2】(1)已知角 的终边经过点P(-2,4),则sin -cos 的值为( ) A. B.- C. D.- √ [变式] 本例(1)中条件改为“终边落在直线x+y=0上”,求sin ,cos ,tan 的值. 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 三角函数的定义主要应用于两方面 利用三角函数的定义,已知角 终边上一点P的坐标,可以求出角 的三角函数值;已知角 的三角函数值,也可以求出点P的坐标. 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 考向2 判断三角函数值的符号 【例3】(1)若sin cos >0,cos tan <0,则 的终边落在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 C √ 练:sin1 cos2 tan3_0 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时,特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况. 核心考点 提升“四能” 必备知识 落实“四基” 课时质量评价 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 THANKS 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 $$