第2单元：线与角（讲义）-2024-2025学年四年级数学上册北师大版

线与角 (思维导图+知识梳理+典例分析+高频真题+答案解析) 【直线、线段和射线的认识】 1． 概念： （1）直线：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的．一条直线可以用一个小写字母表示． （2）线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点．一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示． （3）射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线．这个点叫做射线的端点．一条射线可以用端点和射线上另一点来表示． 2．直线、射线、线段区别： （1）直线没有端点，两边可无限延长； （2）射线有一端有端点，另一端可无限延长； （3）线段，有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度． 3、注意事项： （1） 线和射线无长度，线段有长度． （2） （2）直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点． 【平行】 1、定义：在同一平面内，永远不相交的两条直线称为平行线。 2、平行线间的距离：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离。 3、定理：平行线间的距离处处相等。 4、平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 5、平行公理推论：平行于同一条直线的两直线平行。 6、这个可以用来判定两条直线平行。 【相交与垂直】 1、当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。这两条直线的交点叫做垂足。 （1）、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。垂直一定会出现90°。 （2）、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。 （3）、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 【垂直与平行的特征及性质】 1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”），读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）． 2．垂线的性质： 性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 性质2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短． 3．垂直的判定：垂线的定义． 4．平行线的概念：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 5．平行线的判定方法： （1）平行于同一条直线的两直线平行． （2）垂直于同一条直线的两直线平行． （3）平行线的定义． 【角的概念和表示】 1、定义：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边. （1）如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角. （2）如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角. 2、角的表示方法： （1）用三个字母表示，如∠AOB； （2）用数字表示角，如∠1； （3）用一个大写字母表示，如∠A 3、注意事项： （1）角的组成部分为：两条边和一个顶点； （2）顶点是这两条边的交点； （3）角的两条边是射线，是无限延伸的. （4）射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部. 【角的度量】 1．角的度量：角度的测量是最基本的测量，最常用的工具是量角器． 2．度量方法： （1）、量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐． （2）、量角器的0刻度线和角的一条边对齐． （3）、做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度． （4）、看刻度要分清内外圈． 【角的分类（锐角直角钝角）】 1、根据角的度数，可以把角分为周角、平角、钝角、直角、锐角。 （1）如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角.规定平角为180° （2）如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角.规定周角为360° （3）规定平角的一半是90°，直角的两边互相垂直。规定大于90°的角为钝角，小于90°的角为锐角。 【画指定度数的角】 三角板能画出15、30、45、60、75、90、105、120、135、150、165、180度的角，是30°，45°，60°，90度的和差，因为通过三角尺只能作角的和差．其余的度数只能通过量角器画角． 【典例1】小明的爸爸想从家门口铺一条到公路的小路(如图)，怎么修最近呢?   【答案】如下图所示． 【典例2】过点P画直线AB的平行线． 【答案】 【典例3】下图中，张明如果从A点横过马路，怎样走路线最短？把最短的路线画出来． 【答案】从A点横过马路的最短路线是从A点向路对面作垂线段 【详解】根据垂直线段的性质：从直线外一点向已知直线画垂直线段和斜线，垂线段最短．所以从A点横过马路的最短路线是从A点向路对面作垂线段，据此解答． 如图所示：，红色路线即为最短路线． 【典例4】量出下列各角的大小． ∠1= ，∠2= ，∠3= 【答案】 30° 90° 120° 【典例5】画一画． 通过任意两点画一条直线，再过直线外一点画出它的平行线． 【答案】 【思路分析】考查平行线的画法． 【详解】先通过AC画出一条直线，把三角板的一条直角边与已知直线AC重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和B点重合，过B点沿三角板的直角边画已知直线的平行线即可． 1．在方格纸上过点A画出已知直线的平行线，并过点A画出该直线的垂线。 2．李爷爷从A点到对面的河边取水，怎样走才最近呢？请在图中画出来。 3．在下面点子图中分别画一个锐角、一个直角和一个钝角。 4．过点P分别画出直线AB的平行线和垂线。 5．过A点画出已知直线m的平行线和垂线。    6．在如图所示中画出两条互相平行的直线。 7．过P点画已知直线L1的垂线。 8．过A点，画下面直线的平行线和垂线。 9．从苹苹家到公路要修一条小路，你来帮苹苹设计一下，在哪儿修路才最省钱，把它画在图上。 10．淘淘准备游泳过河，怎样游路程最短？请画出来。 11．如图，A，B两个村庄位于公路的两侧。现在两村计划分别修一条小路和主公路连通。要使这两条小路最短，应该怎样修？请在图中画出来。    12．下图是甜甜在体育课上跳远后留下的脚印，请你在图中画出测量成绩时卷尺摆放的位置。 13．在点子图上画出一个锐角、直角、钝角、平角、周角。 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 14．如图，在公路MN的一侧有A，B两个村庄，A村庄的王奶奶要先去B村庄找同伴，再一起到公路边打车去集市，怎么走路线最短？画出路线图。 15．看图解答。 （1）在如图中过点O分别画线段AB线段CD的平行线，并过点O画出线段BC的垂线。量一量点O到线段BC的距离是（    ）。 （2）在如图中过点C分别画线段AB的平行线和垂线，画出的这两条直线的关系是（    ）。 16．用三角尺画一画。 （1）画一条长4厘米的线段AB，经过AB的中点画AB的垂线。 （2）先画一个直角，再画一条射线，把这个直角平分成两个锐角。 17．下图是淘气新家的户型图，请你在图上分别找出一组互相平行的线段（用红笔描出）和一组互相垂直的线段（用蓝笔描出，并画上直角符号）。 18．过三角形的顶点A向对边BC作垂线。 19．将军饮马。将军骑着疲惫的战马到处找水，走怎样的路线才能让战马尽快喝到水？ 20．从A，B两村各修一条小路与公路连接，怎样修最近？请画出来。 21．如图是某市区地图的一部分，请在上面分别画出一组互相平行和互相垂直的道路。 22．过N点画已知直线L的平行线。 23．在下图中过点A画出线段BC的垂线，过点B画出线段AC的平行线。 24．过直线外一点P，作已知直线L的平行线与垂线。       25．王红在游泳池里游泳，她想从点A处尽快游到泳池边。请你帮她设计一条游到泳池边的最短路线，在下图中画出来。 26．请先画出一条射线OA，然后再画出和OA平行的一条直线a，最后做出两条平行线之间的一条垂直线段。 27．如图，分别过A、B点作已知直线的垂线。 28．小东要去河边画画，请你画出从A点处到河边的最短路线。 29．按要求画一画。 （1）过点O作直线a的垂线； （2）在该条垂线上找到点H，使线段OH的长度为2cm； （3）作射线HK，与直线a相交，交点为K点。 30．量出∠1和∠2的度数．   第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1．见详解 【思路分析】（1）画已知直线的平行线的步骤：固定三角尺，将一条直角边与已知直线重合；用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺使直线外的点在三角尺的直角边上；沿着这条直角边画出另一条直线。 （2）过直线上或直线外一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号，这条直线就是已知直线的垂线。 【详解】 2．见详解 【思路分析】从直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最段，所以只需从A点作小河左边所在直线的垂线，即可确定最近的路线。 【详解】最近的路线如图所示： 3．见详解 【思路分析】小于90°的角叫锐角，等于90°的角叫直角，大于90°小于180°的角叫钝角。 【详解】 【名师点评】熟记锐角、直角、平角的特征是解题关键。 4．见详解 【思路分析】过直线上或直线外一点作垂线的步骤： 1、把三角尺的一条直角边与已知直线重合。 2、沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上。 3、沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。 这条直线就是已知直线的垂线。 过直线外一点，画已知直线的平行线可以借助直尺和三角尺来完成。 1、把三角尺的一条直角边与已知直线重合。 2、用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺。 3、平移后，使直线外的点在三角尺的一条直角边（刚才与已知直线重合的那一条直角边）上，沿直角边画出另一条直线。 这条直线就是已知直线的平行线。 【详解】如图： 【名师点评】本题考查了学生平行线和垂线的作法，培养学生的作图能力。 5．见详解 【思路分析】 过一点作直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线； 过直线外一点作直线的平行线：把三角板的一边靠紧直线，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，当与直线重合的一边经过已知点时，沿这边画直线就是过该点作的直线的平行线。 【详解】   【名师点评】熟练掌握平行线和垂线的画法是解答本题的关键。 6．见详解（答案不唯一） 【思路分析】在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线；据此作图。 【详解】如图： （答案不唯一） 【名师点评】此题考查了平行的特征和性质，要熟练掌握。 7．见详解 【思路分析】过直线上或直线外一点作垂线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上。再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。 【详解】 【名师点评】本题考查过直线上或直线外一点作垂线的方法，旨在考查学生利用三角尺作图的方法。 8．见详解 【思路分析】把三角尺的一条直角边与这条直线重合，使得点A过直角三角尺的另一条直角边，过点A画直线即为已知直线的垂直；把三角尺的一条直角边与这条直线重合，使得点A过直角三角尺的另一条直角边，将直尺靠在三角尺的这条直角边上，且点A在其上，过直尺画直线即为已知直线的平行线。 【详解】 【名师点评】在同一平面内，永不相交的两条直线互相平行。作平行线与垂线时都要用到直尺与三角尺。 9．见详解 【思路分析】从苹苹家作公路的垂线段，沿垂线段修路最省钱。 【详解】 【名师点评】本题主要考查了直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短的实际应用，熟练掌握垂线的画法是解答本题的关键。 10．见详解 【思路分析】从淘淘所在的位置作一条到对岸的垂线段即可。 【详解】 【名师点评】直线外一点到该直线的所有线段中垂线最短 11．见详解 【思路分析】分别从A、B两个村庄作公路的垂线段，沿垂线段修最短，据此画图即可。 【详解】 【名师点评】本题主要考查了垂线特征的实际应用，熟练掌握垂线的画法是解答本题的关键。 12．见详解 【思路分析】测量跳远成绩时，从起跳线开始，测量到脚印距离起跳线最近的一点，这段距离就是甜甜的跳远成绩，甜甜跳远后距离起跳线最近的一点在她右脚脚后跟处，即从甜甜的右脚脚后跟开始，画一条垂直于起跳线的线段，这条线段所在的位置就是测量成绩时卷尺应摆放的位置，据此解答。 【详解】根据分析画出测量成绩时卷尺的位置如下： 【名师点评】本题解答的关键是明确从起跳线距离脚后跟最近的点，画一条垂直于起跳线的线段即是测量时卷尺摆放的位置。 13．见详解 【思路分析】小于90°的角叫做锐角，90°的角叫做直角，大于90°小于180°的角叫做钝角，180°的角叫做平角，360°的角叫做周角，据此画图即可。 【详解】 【名师点评】熟练掌握各个角的定义是解决本题的关键。 14．见详解 【思路分析】先从A村到B村，且要路线最短，连接从A点到B点的线段即可，再去公路边打车，从B点到公路边的最短距离是从B点向公路作的垂线段的长度。 【详解】 【名师点评】点到直线的最短距离是点到这条直线的垂线段的长度。 15．见详解 【思路分析】（1）把三角板的一条直角边分别与已知直线AB、CD重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和O点重合，过O点沿三角板的直角边画直线即可；用三角板的一条直角边的已知直线BC重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和O点重合，过O沿直角边向已知直线画直线；再量出O点到线段BC的距离即可。 （2）把三角板的一条直角边与已知直线AB重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和C点重合，过C点沿三角板的直角边画直线即可；用三角板的一条直角边的已知直线AB重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和C点重合，过C沿直角边向已知直线画直线；再判断这两条直线的关系即可。 【详解】（1）过点O画线段AB、CD的平行线；过点O画BC的垂线如下： 点O到线段BC的距离是3厘米。 （2）过C点画AB的平行线和垂下如下： 画出的这两条直线的关系是垂直。 【名师点评】熟练掌握画平行线和垂线的方法是本题解答的关键。 16．见详解 【思路分析】（1）先画一条长4厘米的线段AB，在右边距离A点2厘米处点上一点，根据过直线上一点作垂线的方法，经过这个点画出AB的垂线。 （2）先用三角尺画一个直角，要把这个直角平分成两个锐角，每个锐角等于45°；利用三角形45°的角，在直角的中间画一条射线，把这个直角平分成两个锐角。 【详解】作图如下： （1） （2） 【名师点评】本题主要考查了用三角尺作图，熟练掌握作垂线的方法以及熟记三角尺每个角的度数是解答此题的关键。 17．见详解 【思路分析】同一平面内，永不相交的两条直线互相平行，据此来找平行线。 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，据此解答。 【详解】画图如下： （画法不唯一） 【名师点评】熟练掌握平行和垂直的特征是解答此题的关键。 18．见详解 【思路分析】过直线上或直线外一点作垂线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上。再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。 【详解】 【名师点评】本题考查过直线上或直线外一点作垂线的方法，旨在考查学生的作图能力。 19．见详解 【思路分析】要想尽快喝到水，那么就要走最近的路，从现在所在的位置向河边作垂线段，此垂线段即为最短的路程。 【详解】 【名师点评】点到直线的最短距离即为点到直线的垂线段的长度。 20．见详解 【思路分析】直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短，据此画图即可。 【详解】只要分别作出A、B两点到公路的垂线段，这两条小路就是最短的。 【名师点评】本题考查的是垂线的性质，需要熟练掌握。 21．见详解 【思路分析】在同一平面内，永不相交的两条直线互相平行，据此画图；两条直线互相垂直，即这两条直线所成的角是90°，据此作图。 【详解】 【名师点评】此题重点考查学生对平行、垂直的理解，根据定义和题目要求直接作图即可。 22．见详解 【思路分析】画已知直线的平行线：先固定三角尺，沿一条直角边先画一条直线。再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺。平移后，沿直角边画出另一条直线。 【详解】 【名师点评】本题考查画已知直线的平行线的方法，旨在考查学生的作图能力。 23．见详解 【思路分析】过一点作直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线； 过直线外一点作直线的平行线：把三角板的一边靠紧直线，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，当与直线重合的一边经过已知点时，沿这边画直线就是过该点作的直线的平行线。 【详解】 【名师点评】熟练掌握垂线和平行线的画法是解答本题的关键。 24．见详解 【思路分析】（1）过点P作直线L的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线L，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过点P时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线； （2）过点P作直线L的平行线：把三角板的一边靠紧直线L，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，当与直线重合的一边经过点P时，沿这边画直线就是过该点作的直线的平行线。 【详解】 【名师点评】本题主要考查学生作平行线和垂线方法的掌握，是基础知识，要牢固掌握。 25．见详解 【思路分析】点A到游泳池边的垂直线段的距离最短，据此画出点A到游泳池边的垂线即可。 【详解】 【名师点评】熟练掌握直线外一点到直线的垂线段的距离最短，是解答此题的关键。 26．见详解 【思路分析】从点O向一边画一条直的线，即可得到一条射线；再从射线外一点作射线的一条平行线直线a，从a上一点作OA的垂线，这点与垂足之间的线段即为两条平行线的垂线段。 【详解】 【名师点评】本题主要考查学生对射线、平行线和垂线段画法的掌握。 27．见详解 【思路分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，B点重合，过A、B点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可；注意在垂足处加上直角标志。 【详解】用直尺和三角板，分别过A、B点作已知直线的垂线，画图如下： 【名师点评】本题考查了学生垂线的作法，培养学生的作图能力。 28．见详解 【思路分析】从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此可知，要求最短路线，则从A点向河边作垂线，这条垂线即为所求。 【详解】 【名师点评】解决本题的关键是明确从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。而这个性质常用于解决求最短路线的问题。 29．见详解 【思路分析】（1）使三角板的一条直角边与直线a重合，另一条直角边过O点时，沿另一条直角边画的直线即为a的垂线。 （2）在这条垂线上以O为端点量出2cm长的地方点上一点，标上字母H，OH的长度即为2cm。 （3）以H为射线的端点画一条射线，使它与直线a相交，交点标上字母K。 【详解】（1）（2）（3）见下图： 【名师点评】熟练掌握射线、垂线和线段的画法是解答本题的关键。 30．∠1=120°，∠2=60° 【思路分析】用量角器的圆点和角的顶点重合，0刻度线和角的一条边重合，另一条边在量角器上的刻度就是该角的度数．本题主要考查了学生对测量角方法的掌握情况． 【详解】 故答案为∠1=120°，∠2=60° 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$