精品解析：江苏省宿迁市宿城区 南京师范大学附属中学宿迁分校（宿迁树人学校）2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试题

树人八年级第一次月考 一、选择题 1. 下列图形中，不是轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，，点D，E在直线上，，，则的长为（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 4. 等腰三角形的一边为4，一边为3，则此三角形的周长是（　　） A 10 B. 11 C. 6或8 D. 10或11 5. A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（     ） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点 6. 如图1，已知三角形纸片，，，将其折叠，如图2所示，使点A与点B重合，折痕为，点E，D分别在，上，那么的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，已知周长是，和的角平分线交于点O，于点D，若，则的面积是（ ） A B. C. D. 8. 如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与交于点，则一下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；④的长不变；其中正确的个数为（　　）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题 9. 如图，已知，要使，还要添加的一个条件可以是______．（只需填上一个正确的条件） 10. 如图，在中，点D、E、F分别是上的点，若，，则________． 11. 如图，把一个长方形纸条沿折叠，若，则_______． 12. 如图，在3×3的方格中，每个小方格的边长均为1，则与的数量关系是________． 13. 如图所示.A，B，C，D是四个村庄，B，D，C在一条东西走向公路的沿线上，，，村庄A与C，A与Ｄ间也有公路相连，且公路是南北走向，，只有A，B之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路.现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得，，则建造的斜拉桥长至少有____________． 14. 如图，在中，，，和的平分线交于点E，过点E作分别交AB、AC于点M、N，则的周长为_________． 15. 如图，的面积为，垂直的平分线于点，则的面积为__________． 16. 如图，在射线上分别截取，连接，在、上分别截取，连接，…按此规律作下去，若，则______． 17. 如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动．同时点Q在射线上运动，当点P运动结束时，点Q随之结束运动，当点P，Q运动到某处时有，则Q的运动速度是______． 18. 如图，在中，，平分，交于点，点分别为上的动点，若，的面积为，则的最小值为_______． 三、解答题 19. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线l成轴对称的． （2）的面积为__________． （3）在直线l上找一点P（在答题纸上图中标出），使的长最短． 20. 如图，已知B、E、C、F在同一条直线上，，，，与交于点G． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 21. 麒麟某数学兴趣小组的同学用数学知识测一池塘的长度，他们所绘如图，点B，F，C（点F，C之间不能直接测量，为池塘的长度），点A，D在l的异侧，且，，测得． （1）求证：； （2）若，求池塘的长． 22. 如图，四边形中，，，，与相交于点F． （1）求证： （2）判断线段与的位置关系，并说明理由． 23. 如图，在中，分别垂直平分和，交于两点，与相交于点． （1）若的周长为，求的长； （2）若，求的度数． 24. 如图，已知，点P为的平分线上一点，，，垂足分别为E、F （1）求证∶ （2）若，求证：点P在的垂直平分线上． 25. 如图，已知（），请用无刻度的直尺和圆规，完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）； （1）如图1，在边上寻找一点，使； （2）如图2，在边上寻找一点，使得． 26. 如图甲，已知在中，，，直线经过点C，且于D，于E． （1）说明． （2）说明． （3）已知条件不变，将直线绕点C旋转到图乙位置时，若、，则_____． 27. 阅读理解： 【概念学习】 定义①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”． 定义②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧妙分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在中，，，平分，则与______（填“是”或“不是”）互为“形似三角形”． （2）如图2，在中，平分，，，求证：为“巧妙分割线”； 【概念应用】 （3）在中，，是的巧妙分割线，直接写出的度数． 28. 在中，，点M从点B出发沿射线移动，同时点N从点C出发沿线段的延长线移动，点M，N移动的速度相同，与相交于点D． （1）如图1，过点M作，交于点E； ①图中与相等的线段________、_________； ②求证：； （2）如图2，若，当点M移动到的中点时，求的长度； （3）如图3，过点M作于点F，在点M从点B向点A（点M不与点A，B重合）移动的过程中，线段与的和是否保持不变？若保持不变，请直接写出与的长度和；若改变，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 树人八年级第一次月考 一、选择题 1. 下列图形中，不是轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项符合题意； 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 如图，，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据全等三角形的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，， ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 3. 如图，，点D，E在直线上，，，则的长为（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由，可得，由点D，E在直线上，可得，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点D，E在直线上， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质．解题的关键在于明确线段之间的数量关系． 4. 等腰三角形的一边为4，一边为3，则此三角形的周长是（　　） A. 10 B. 11 C. 6或8 D. 10或11 【答案】D 【解析】 【分析】分边4是底边和腰长两种情况讨论，再根据三角形的任意两边之和大于第三边判断是否能组成三角形，然后求解即可． 【详解】解：若4是底边，则三角形的三边分别为4、3、3， 能组成三角形，周长， 若4是腰，则三角形的三边分别为4、4、3， 能组成三角形，周长， 综上所述，此三角形的周长是10或11． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论并判断是否能组成三角形． 5. A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（     ） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点 【答案】A 【解析】 【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上． 【详解】解：利用线段垂直平分线性质得：要放在三边垂直平分线的交点上． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键． 6. 如图1，已知三角形纸片，，，将其折叠，如图2所示，使点A与点B重合，折痕为，点E，D分别在，上，那么的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，根据，可求得，结合折叠的性质，得到根据,选择即可． 【详解】．∵，, ∴， 折叠的性质，得到, ∴, 故选B． 7. 如图，已知的周长是，和的角平分线交于点O，于点D，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，根据角平分线的性质定理可得OD=OE=OF=3cm，再由，即可求解． 【详解】解∶如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F， ∵和的角平分线交于点O，， ∴OD=OE，OD=OF， ∴OD=OE=OF=3cm， ∵的周长是， ∴AB+BC+AC=36cm， ∵， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离是解题的关键． 8. 如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与交于点，则一下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；④的长不变；其中正确的个数为（　　）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的性质，作，可得，由此可判定①②③，连接，根据三角形三边关系可判定④，由此即可求解． 【详解】解：∵点在的角平分线上， ∴， 如图所示，过点作于点，作于点， ∴，，， ∴在四边形中，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由①正确可得，， ∴，故②正确； 由可得， ∴， ∴四边形的面积是定值，故③正确； 如图所示，连接，由上述结论可得，，，，， ∴，即的长度发生变化，故④错误； 综上所述，正确有①②③，共3个， 故选：C ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，四边形面积的计算方法等知识，掌握添加合理的辅助线，构造三角形全等是解题的关键． 二、填空题 9. 如图，已知，要使，还要添加的一个条件可以是______．（只需填上一个正确的条件） 【答案】（或） 【解析】 【分析】根据平行线的性质得到，结合公共边，利用全等三角形的判定定理得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴添加可根据得到， 添加可根据得到， 添加可根据得到， 故答案为：（或）． 【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 10. 如图，在中，点D、E、F分别是上的点，若，，则________． 【答案】##72度 【解析】 【分析】由“”可证，可得，由外角的性质可得，可求解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定是本题的关键． 11. 如图，把一个长方形纸条沿折叠，若，则_______． 【答案】##度 【解析】 【分析】先证明，，由折叠可得，利用平角的含义可得，从而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， 由折叠可得：， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查的是平行线的性质，轴对称的性质，熟记轴对称的性质与平行线的性质求解角度的大小是解本题的关键． 12. 如图，在3×3的方格中，每个小方格的边长均为1，则与的数量关系是________． 【答案】 【解析】 【分析】证明得出，根据即可得出． 详解】解：根据网格特点可知，，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 13. 如图所示.A，B，C，D是四个村庄，B，D，C在一条东西走向公路的沿线上，，，村庄A与C，A与Ｄ间也有公路相连，且公路是南北走向，，只有A，B之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路.现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得，，则建造的斜拉桥长至少有____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定得出，进而得出，这样可以得出斜拉桥长度． 【详解】解：由题意知：，， ∵在和中， ， ∴， ∴， 故斜拉桥至少有， 故答案为． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定及其性质，根据已知得出是解题的关键． 14. 如图，在中，，，和平分线交于点E，过点E作分别交AB、AC于点M、N，则的周长为_________． 【答案】9.5 【解析】 【分析】根据角平分线定义、平行线的性质和可得，进而求解． 【详解】解∶平分， 同理可得∶， 故答案为∶9.5 【点睛】本题考查等腰三角形的判定及性质，解题关键是掌握角平分线的定义，掌握平行线的性质． 15. 如图，的面积为，垂直的平分线于点，则的面积为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】延长交于点，根据角平分线和垂线的定义，易证，得到，，进而得到，即可求出的面积． 【详解】解：如图，延长交于点， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 和等底同高， ， ， 的面积为， ， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，三角形面积公式等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 16. 如图，在射线上分别截取，连接，在、上分别截取，连接，…按此规律作下去，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形两底角相等用表示出，依此类推即可得到结论． 【详解】解：，， ， 同理， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，图形的变化规律，依次求出相邻的两个角的差，得到分母成2的指数次幂变化，分子不变的规律是解题的关键． 17. 如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动．同时点Q在射线上运动，当点P运动结束时，点Q随之结束运动，当点P，Q运动到某处时有，则Q的运动速度是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用（几何问题）等知识点，运用全等三角形对应边相等列方程是解题的关键． 设它们运动的时间为，点在射线上的运动速度为，则，，，然后根据得到，，再分别列出方程求解即可． 【详解】解：设它们运动的时间为，点在射线上的运动速度为， 则，，， ∵， ∴，， ，， 解得：，； ∴的运动速度是， 故答案为：． 18. 如图，在中，，平分，交于点，点分别为上的动点，若，的面积为，则的最小值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，根据等腰三角形的性质可知，垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，由此可得，又由“两点之间线段最短”和“垂线段最短”可得当三点共线且时最短，根据三角形的面积公式可求出的长，即的最小值，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，平分， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 如图，当三点共线且时， ，此时最小，即的值最小， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题 19. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线l成轴对称的． （2）的面积为__________． （3）在直线l上找一点P（在答题纸上图中标出），使的长最短． 【答案】（1）图见解析 （2） （3）图见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称作图，三角形面积计算，轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． （1）先作出点B、C关于直线l对称的点、，然后再顺次连接即可； （2）利用割补法求值三角形的面积即可； （3）连接，交l于P，点P即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求． 【小问2详解】 解：． 故答案为：． 【小问3详解】 解：连接，交l于P，点P即为所求． 连接，根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当B、P、在同一直线上时，最小，即最小． 20. 如图，已知B、E、C、F在同一条直线上，，，，与交于点G． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由得出，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质得出，再由三角形内角和定理计算即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：如图： ， ∵， ∴， ∴． 21. 麒麟某数学兴趣小组的同学用数学知识测一池塘的长度，他们所绘如图，点B，F，C（点F，C之间不能直接测量，为池塘的长度），点A，D在l的异侧，且，，测得． （1）求证：； （2）若，求池塘的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长是40m 【解析】 【分析】（1）利用“”即可求证； （2）利用全等三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 在与中， ∴； 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∴， ∴， ∵ ∴m． 答：的长是40m 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟记相关定理内容是解题关键． 22. 如图，四边形中，，，，与相交于点F． （1）求证： （2）判断线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据即可证明． （2）根据得到，结合得到，即可得结论． 【小问1详解】 解： 在和中， ∴． 【小问2详解】 解：．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，常用的判定方法有：、、、、等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 23. 如图，在中，分别垂直平分和，交于两点，与相交于点． （1）若的周长为，求的长； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用． （）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后求出的周长； （）根据三角形的内角和定理列式求出 ，再求出，根据等边对等角可得，，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵、分别垂直平分和， ∴，， ∴的周长， ∵的周长为， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 24. 如图，已知，点P为的平分线上一点，，，垂足分别为E、F （1）求证∶ （2）若，求证：点P在的垂直平分线上． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）通过证明，即可求证； （2）连接、，通过证明，得到，即可求证． 【小问1详解】 证明：∵点P为的平分线上一点 ∴ ∵， ∴ 在和中 ∴ ∴ 小问2详解】 证明：连接、，如下图： 由（1）可得： 又∵， ∴ ∴ ∴点P在的垂直平分线上 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质． 25. 如图，已知（），请用无刻度的直尺和圆规，完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）； （1）如图1，在边上寻找一点，使； （2）如图2，在边上寻找一点，使得． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）作AC的垂直平分线，交BC于点N即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】此题考查作图问题，关键是根据作一个角等于已知角和线段垂直平分线的作法解答． 26. 如图甲，已知在中，，，直线经过点C，且于D，于E． （1）说明． （2）说明． （3）已知条件不变，将直线绕点C旋转到图乙的位置时，若、，则_____． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线的定义，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂线的定义得出，再由同角的余角相等得出，最后利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，即可得证； （3）由垂线的定义得出，再由同角的余角相等得出，最后利用证明，得出，，即可得解． 【小问1详解】 证明：∵于D，于E． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴，， ∴； 【小问3详解】 证明：∵于D，于E． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：2.5． 27. 阅读理解： 【概念学习】 定义①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”． 定义②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧妙分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在中，，，平分，则与______（填“是”或“不是”）互为“形似三角形”． （2）如图2，在中，平分，，，求证：为的“巧妙分割线”； 【概念应用】 （3）在中，，是的巧妙分割线，直接写出的度数． 【答案】（1）是；（2）证明见解析；（3）或 【解析】 【分析】（1）由题意推出，，，从而得出结论； （2）根据题意，通过计算得出是等腰三角形，，，，从而得出结论； （3）根据题意，分为当是等腰三角形和是等腰三角形两类，当 是等腰三角形时，再分为：，，三种情形讨论；同样当是等腰三角形时，也分为三种情形讨论，分别计算出的度数即可． 【详解】解：（1）∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴与是互为“形似三角形”， 故答案为：是； （2）∵在中,，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴与是互为“形似三角形”，且是等腰三角形， ∴为的“巧妙分割线”； （3）（Ⅰ）当是等腰三角形，另一个三角形与原三角形是“形似三角形”时， ①如图1所示： 当时，则， ， 此时，是“形似三角形”，可知， ∴， ∴舍去， ②如图2所示： 当时，则， 此时，是“形似三角形”，可知， ； ③当时，这种情况不存在； （Ⅱ）当是等腰三角形，另一个三角形与原三角形是“形似三角形”时， ①如图3所示： 当时，，同理可知舍去，； ②如图4所示： 当时，， 此时，是“形似三角形”，可知， ， 在中，由三角形内角和可知，得， ， ； ③当时，这种情况不存在； 综上所述：的度数为或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决问题的关键是利用分类讨论的思想求解． 28. 在中，，点M从点B出发沿射线移动，同时点N从点C出发沿线段的延长线移动，点M，N移动的速度相同，与相交于点D． （1）如图1，过点M作，交于点E； ①图中与相等的线段________、_________； ②求证：； （2）如图2，若，当点M移动到的中点时，求的长度； （3）如图3，过点M作于点F，在点M从点B向点A（点M不与点A，B重合）移动的过程中，线段与的和是否保持不变？若保持不变，请直接写出与的长度和；若改变，请说明理由． 【答案】（1）①CN、EM； ②见解析；（2）的长度为2；（3）保持不变；BF+CD=4． 【解析】 【分析】（1）①根据移动过程分析和等腰三角形的性质即可解答；②由平行的性质、等腰三角形的性质进行等边和等角转换，最后运用AAS即可证明结论； （2）由（1）的结论和等边三角形的性质，通过等量转换即可得解； （3）首先过点M作ME//AC，由等腰三角形的性质以及全等三角形的性质，即可求得BF与CD的长度保持不变． 【详解】(1) ①∵点M、N同时移动且移动的速度相同， ∴BM=CN， ∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB 又∵ME//AC， ∴∠N=∠DME，∠ACB=∠MEB， ∴∠MEB=∠B， ∴BM=ME， 故答案是：CN、EM； ②∵BM=ME，BM=CN. ∴ME=CN， ∵MN与BC相交于点D， ∴∠MDE=∠NDC， 在△DME和△DNC中 ∠MDE=∠NDC，∠DME=∠N，ME=NC ∴△DME≌△DNC（AAS）； (2) 如图:过点M作ME//AC，交BC于点E ∵∠A=60°，AB=AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠ACB=60° ∵ME//C， ∴∠BEM=∠ACB=60°， ∴△BEM是等边三角形， ∴BE=BM. ∵M是AB的中点， ∴ ∴BE=CE=4. 由（1）可证△DME≌△DNC ∴DE=CD， ∴CD=CE=2， ∴CD的长度为2； (3)保持不变，理由如下： 如图:过点M作ME//AC，交BC于点E 由（1）可证△DME≌△DNC，BM=ME， ∴DE=CD，△MBE是等腰三角形。 ∵MF⊥BC， ∴MF是△MBE的中线， ∴BF=EF， ∴BF+CD=EF+DE=BC=4， ∴BF与CD的长度和保持不变 【点睛】本题主要考查了等腰三角形、全等三角形的判定与性质以及动点综合问题，掌握全等三角形的判定与性质成为解答本题的关键 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $