精品解析：浙教版2023-2024学年八年级数学上册期中测试卷

期中测试卷 一、仔细选一选（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个手机品牌商标中，属于对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 以a，b，c为边的三角形是直角三角形的是（　　） A. a=2，b=3，c=4 B. a=1，b= ，c=2 C. a=4，b=5，c=6 D. a=2，b=2，c= 【答案】B 【解析】 【分析】分别用勾股定理的逆定理判断每个选项即可． 【详解】A．22+32≠42，故不是直角三角形，不符合题意； B．12+=22，故是直角三角形，符合题意； C．42+52≠62；故不是直角三角形，不符合题意； D．22+22≠；故不是直角三角形，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，熟练掌握其性质是解题的关键． 3. 在下列各组条件中，不能说明的是（ ） A ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件结合全等三角形的判定定理分别进行分析即可． 【详解】解：A. ，，，可以利用定理证明，故不符合题意； B. ，，，可以利用定理证明，故不符合题意； C. ，，，不能证明，故符合题意； D. ，，，可以利用定理证明，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 4. 如图，交的延长线于点E，交的延长线于点F，于点D，则在中，边上的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形高的定义，在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴在中，边上的高是， 故选：C． 5. 如图，∠AOB=30°，OP 平分∠AOB，PC∥OA，PD⊥OA，如 果 PC=6，那么 PD 等于（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的性质，角平分线上的点到两角的距离相等，因而过P作PE⊥OA于点E，则PD=PE，因为PC∥OB，得角相等，而OP平分∠AOB，得∠ECP=∠COP+∠OPC=30°根据三角形的外角的性质得到答案． 【详解】 解：过P作PE⊥OA于点E， ∵OP 平分∠AOB，则PD=PE， ∵PC∥OB，∠AOB=30° ∴∠ECP=∠AOB=30° 在中， ∴PD=PE=3， 故选B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等． 6. 如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，等边三角形的性质与判定等等，连接、，由，，可知，由垂直平分线的性质可知，，，则，，进而可知，可知为等边三角形，可知，再结合可求结果． 【详解】解：如图所示，连接、， 在中，，， ， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ， 故选：C． 7. 下列命题：①有一个角为的等腰三角形是等边三角形；②三边长为，，的三角形为直角三角形；③等腰三角形的两条边长为2，4，则等腰三角形的周长为10或8；④在直角三角形中，角所对直角边等于斜边的一半．正确的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边三角形的判定定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形的概念和三角形的三边关系、直角三角形的性质判断即可． 【详解】①有一个角为的等腰三角形是等边三角形，本说法正确； ②， 三边长为，，的三角形不是直角三角形，本说法错误； ③等腰三角形的两条边长为2，4，则等腰三角形的周长为10，本说法错误； ④在直角三角形中，角所对直角边等于斜边的一半，本说法正确； 故选：C． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于D，AE∥BD交CB延长线于点E，若∠AEB＝25°，则∠ADB的度数为（　　） A. 50° B. 70° C. 75° D. 80° 【答案】C 【解析】 【分析】由平行线的性质和角平分线的性质可得∠ABD＝∠DBC＝∠AEB＝25°，由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝50°，再由外角的性质可得∠ADB的度数． 详解】解：∵AE∥BD， ∴∠E＝∠DBC＝25°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC＝25°， ∴∠ABC＝∠ACB＝50°， ∴∠ADB＝∠ACB+∠DBC＝75°， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，求出∠ACB的度数是本题关键． 9. 如图，是中的角平分线，于点，，，，则长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角的平分线性质，三角形面积公式的应用，过D作于F，根据角平分线性质求出，根据和三角形面积公式求出即可． 【详解】解：如图，过D作于F， ∵是中的角平分线，于点E，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故选：A． 10. 如图，已知四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AB=AC=5，AD=3，BC=CD.则点C到AB的距离是( ) A. B. C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】在AB上截取AE=AD=3，连接CE，过C作CF⊥AB于F点，根据SAS定理得出△ADC≌△AEC，故可得出CE=CD，再由垂直平分线的性质求出AF的长，根据勾股定理即可得出结论． 【详解】在AB上截取AE=AD=3，连接CE，过C作CF⊥AB于F点． ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC=∠DAC． 在△ADC与△AEC中， ∴△ADC≌△AEC（SAS）， ∴CE=CD． ∵CD=CB， ∴CE=CB． ∵CF⊥BE， ∴CF垂直平分BE． ∵AB=5，AE=AD=3 ∴BE=2， ∴EF=1， ∴AF=4， 在Rt△ACF中， ∵CF2=AC2-AF2=52-42=9， ∴CF=3． 故选C 【点睛】本题考查的是勾股定理及全等三角形，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键． 二、认真填一填（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：_____． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【解析】 【分析】本题考查了命题的概念，命题是由题设和结论两部分组成，根据命题的概念作答即可． 【详解】解：把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等， 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 12. 在中，，则与相邻的外角的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，根据三角形的一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和进行求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴与相邻的外角的度数， 故答案为：． 13. 三个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝50°，则∠1+∠2＝___°． 【答案】130． 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质和平角的定义，表示出∠ABC，∠ACB，∠BAC，结合三角形内角和定理，即可求解． 【详解】∵图中是三个等边三角形，∠3＝50°， ∴∠ABC＝180°﹣60°﹣50°＝70°，∠ACB＝180°﹣60°﹣∠2＝120°﹣∠2，∠BAC＝180°﹣60°﹣∠1＝120°﹣∠1， ∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴70°+（120°﹣∠2）+（120°﹣∠1）＝180°， ∴∠1+∠2＝130°． 故答案为：130． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，平角的定义以及三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°，是解题的关键． 14. 若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为_______． 【答案】3或##或3 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理：如果三角形两条边平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，再分5为斜边或第三边为斜边两种情况考虑，即可求出第三边． 【详解】解：当较大的数5为斜边时，第三边， 当第三边为斜边时，第三边， 故答案为：3或． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，熟练掌握勾股定理的逆定理及分情况考虑是解题关键． 15. 如图，在△ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，BC＝8cm，点D、E分别在AC、AB上，且△BCD和△BED关于BD对称，则△ADE的周长为__cm． 【答案】8 【解析】 【分析】先根据△BCD和△BED关于BD对称，得出△BCD≌△BED，故BE=BC，由此可得出AE的长，再由△ADE的周长=AE+AD+DE=AE+AC即可得出结论． 【详解】∵△BCD和△BED关于BD对称， ∴△BCD≌△BED， ∴BE=BC=8cm，DC=DE， ∴AE=10−8=2cm， ∴△ADE的周长=AE+AD+DE=AE+AC=8cm. 故答案为8. 【点睛】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练的掌握轴对称的性质. 16. 已知：分别是的高、中线，，则的长为________． 【答案】2或10 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线和三角形高的知识，由已知条件，可推导出；再假设D点所在的不同位置，分别计算，即可得到答案． 【详解】解：∵是的中线，且， ∴； 假设点D在的延长线上，如下图： ∵是的中线，且， ∴， ∵， ∴，和图形不符， ∴该假设不成立； 假设点D在点E和点B之间，如下图： ∵，， ∴，和图形不符， ∴该假设不成立； 假设点D在点E和点C之间，如下图 ∴； 假设点D在点延长线上，如下图 ∴； 故答案为：2或10． 三、全面答一答（本题有8小题，共66分） 17. 如图所示，七年级和八年级有两个班的学生在M、N处参加植树活动，要在道路的交叉区域内设 一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，而且要使，请你用尺规作图的方法找出P点． （不写作法，但保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，作垂线：因为使P到两条道路的距离相等，所以点P应在的平分线上；而且要使，所以点P还应在的中垂线上，即的平分线和的中垂线的交点，即为点P． 【详解】解：如图所示，点P即为所求． 18. 如图，已知，与交于点，，求证：. 【答案】详见解析 【解析】 【分析】由证明得出，由等腰三角形的判定定理即可得出结论． 【详解】∵， ∴和是直角三角形， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的判定定理，证明三角形全等是解题的关键． 19. 如图，点E，C分别在上，已知 垂足为O， 求 与 的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，先由三角形外角的性质得到，再由三角形内角和定理得到，则可求出． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20. 如图，已知在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AM平分∠BAC，D为AC的中点，E为BC延长线上的一点，且CE＝BC. (1)求ME的长． (2)求证：△DMC是等腰三角形． 【答案】（1）ME=6；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由条件可知M是BC的中点，可知BM=CM=CE=3； （2）由条件可知DM为Rt△AMC斜边上的中线，可得DM=DC，问题得证. 【详解】（1）∵AB=AC，AM平分∠BAC， ∴BM=CM=BC=3， ∵CE＝BC，∴CE=3， ∴ME=MC+CE=3+3=6； （2）∵AB＝AC，AM平分∠BAC， ∴AM⊥BC， ∵D为AC中点， ∴DM＝DC，. ∴△DMC是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质及直角三角形的性质，由条件得到M为BC的中点及AM⊥BC是解题的关键． 21. （1） 当 3时，分别求出代数式 与 的值； （2）判断下列命题是真命题还是假命题，若是真命题，给出证明；若是假命题，举出反例． 命题1．对任何正整数n， 的值都是自然数； 命题 2．对任何正整数n， 的值都是自然数． 【答案】（1）当时，，；当时，，；当时，，；（2）命题1是假命题，命题2是真命题，证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，证明命题的真假： （1）直接代值计算即可； （2）利用完全平方公式得到，，再根据的非负数求解即可． 【详解】解：（1）当时，，； 当时，，； 当时，，； （2）命题1是假命题，命题2是真命题，证明如下： ∵， ∴当时，，此时不是自然数，故命题1是假命题； ∵， ∴当n为自然数时，为大于等于1的整数，即此时也为自然数，故命题2是真命题． 22. 已知，如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BD为∠ABC的角平分线交AC于D，过点D作DE垂直AB于点E， （1）求BC的长； （2）求AE长； （3）求BD的长 【答案】（1）6；（2）4；（3）3 【解析】 【分析】（1）在Rt△ABC中，直接利用勾股定理即可求出BC的长； （2）根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，再利用“HL”证明Rt△BCD和Rt△BED全等，根据全等三角形对应边相等可得BE＝BC，再根据AE＝AB﹣BE计算即可得解； （3）设CD＝DE＝x，利用勾股定理列式求出x，再利用勾股定理列式计算即可求出BD． 【详解】（1）∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8， ∴BC＝＝6； （2）∵BD为∠ABC的角平分线，DE⊥AB， ∴CD＝DE， 在Rt△BCD和Rt△BED中，， ∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL）， ∴BE＝BC＝6， ∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4； （3）设CD＝DE＝x，则AD＝8﹣x， 在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2， 即42+x2＝（8﹣x）2， 解得x＝3， 所以，CD＝DE＝3， 在Rt△BCD中，BD＝＝3． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，难点在于（3）多次利用勾股定理． 23. 如图，已知，且． （1）求证：． （2）是什么三角形？请说明理由． （3）如果，那么吗？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）是等腰直角三角形．理由见解析； （3），理由见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定： （1）可通过证明△得到；  （2）由（1）可知是等腰三角形，再证明即可；  （3）根据等腰三角形的性质：三线合一证明即可． 【小问1详解】 证明：在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解；是等腰直角三角形．理由如下： 由（1）知， ∴， ∴． ∴为等腰直角三角形． 【小问3详解】 解：，理由如下： ∵为等腰直角三角形，且， ∴， ∴． 24. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，若点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线A﹣B﹣C﹣A运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）AC＝　 　cm； （2）若点P恰好在AB的垂直平分线上，求此时t的值； （3）在运动过程中，当t为何值时，△ACP是以AC为腰的等腰三角形（直接写出结果）？ 【答案】（1）3；（2）t为秒或秒；（3）t为3秒或秒或6秒． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可以得到，代入数值计算即可； （2）点P恰好在AB的垂直平分线上时，分两种情况讨论：①当点P运动到点D时；②当点P运动到点E时，根据图形计算即可； （3）若△ACP是等腰三角形，分情况讨论：①当AP＝AC时；②当CA＝CP时，利用勾股定理，三角形面积相等来计算即可． 详解】（1）如甲图所示： ∵∠ACB＝90°， ∴△ABC是直角三角形， 在ABC中，由勾股定理得， ， 又AB＝5cm，BC＝4cm， ， 故答案为3； （2）点P恰好在AB的垂直平分线上时， 如乙图所示： ∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD＝，AE＝BE， ①当点P运动到点D时， ∵AB＝5cm，点P从点A出发，以每秒1cm的速度运动， ∴＝秒， ②当点P运动到点E时，设BE＝x，则EC＝4﹣x， ∵AE＝BE， ∴AE＝x， 在Rt△AEC中，由勾股定理得， ∵AC＝3，AE＝x，EC＝4﹣x， ∴32+（4﹣x）2＝， 解得：x＝， ∴AB+BE＝， ∴秒， 即点P在AB的垂直平分线上时，运动时间t为秒或秒， 故答案为：秒或秒； （3）运动过程中，△ACP是等腰三角形， ①当AP＝AC时，如丙图（1）所示： ∵AC＝3， ∴AP＝3， ∴＝3秒， ②当CA＝CP时，如丙图（2）所示： 若点P运动到时，AC＝C，过点C作CH⊥AB 交AB于点H， ∵， AB＝5cm，BC＝4cm，AC＝3cm， ∴CH＝cm， 在Rt△AHC中，由勾股定理得， AH＝cm， 又∵A＝2AH＝cm， ∴秒， 若点P运动到时，AC＝C， ∵AC＝3cm， ∴C＝3cm， 又∵B＝BC﹣C， ∴B＝1cm， ∴AP+B＝5+1＝6cm， ∴＝6秒， 综合所述，△ACP是以AC为腰的等腰三角形时，t为3秒或秒或6秒， 故答案为：3秒或秒或6秒． 【点睛】本题主要考查了三角形的综合应用，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理的应用，三角形中动点问题，能熟练运用勾股定理解直角三角形在本题中至关重要，掌握等腰三角形的性质和会分类讨论思想是解决（3）的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中测试卷 一、仔细选一选（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个手机品牌商标中，属于对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 以a，b，c为边的三角形是直角三角形的是（　　） A. a=2，b=3，c=4 B. a=1，b= ，c=2 C. a=4，b=5，c=6 D. a=2，b=2，c= 3. 在下列各组条件中，不能说明的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 如图，交的延长线于点E，交的延长线于点F，于点D，则在中，边上的高是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，∠AOB=30°，OP 平分∠AOB，PC∥OA，PD⊥OA，如 果 PC=6，那么 PD 等于（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 如图，在中，垂直平分线交于点M，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 下列命题：①有一个角为的等腰三角形是等边三角形；②三边长为，，的三角形为直角三角形；③等腰三角形的两条边长为2，4，则等腰三角形的周长为10或8；④在直角三角形中，角所对直角边等于斜边的一半．正确的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于D，AE∥BD交CB延长线于点E，若∠AEB＝25°，则∠ADB的度数为（　　） A. 50° B. 70° C. 75° D. 80° 9. 如图，是中的角平分线，于点，，，，则长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，已知四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AB=AC=5，AD=3，BC=CD.则点C到AB的距离是( ) A. B. C. 3 D. 2 二、认真填一填（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：_____． 12. 在中，，则与相邻的外角的度数为________． 13. 三个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝50°，则∠1+∠2＝___°． 14. 若三角形两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为_______． 15. 如图，在△ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，BC＝8cm，点D、E分别在AC、AB上，且△BCD和△BED关于BD对称，则△ADE的周长为__cm． 16. 已知：分别是的高、中线，，则的长为________． 三、全面答一答（本题有8小题，共66分） 17. 如图所示，七年级和八年级有两个班的学生在M、N处参加植树活动，要在道路的交叉区域内设 一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，而且要使，请你用尺规作图的方法找出P点． （不写作法，但保留作图痕迹） 18. 如图，已知，与交于点，，求证：. 19. 如图，点E，C分别在上，已知 垂足为O， 求 与 度数． 20. 如图，已知在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AM平分∠BAC，D为AC中点，E为BC延长线上的一点，且CE＝BC. (1)求ME的长． (2)求证：△DMC是等腰三角形． 21. （1） 当 3时，分别求出代数式 与 的值； （2）判断下列命题是真命题还是假命题，若是真命题，给出证明；若是假命题，举出反例． 命题1．对任何正整数n， 值都是自然数； 命题 2．对任何正整数n， 的值都是自然数． 22. 已知，如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BD为∠ABC的角平分线交AC于D，过点D作DE垂直AB于点E， （1）求BC的长； （2）求AE的长； （3）求BD的长 23. 如图，已知，且． （1）求证：． （2）是什么三角形？请说明理由． （3）如果，那么吗？请说明理由． 24. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，若点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线A﹣B﹣C﹣A运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）AC＝　 　cm； （2）若点P恰好在AB的垂直平分线上，求此时t的值； （3）在运动过程中，当t为何值时，△ACP是以AC为腰的等腰三角形（直接写出结果）？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$