第1章二次函数测试卷2024-2025学年湘教数学九年级上册

二次函数测试卷 考试时间：120分钟；总分：120分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1、 单选题(每题3分，共30分） 1．抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．轴 2．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 4．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．对称轴为直线 B．最高点的坐标为 C．经过点 D．与y轴的交点坐标为 5．抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 6．函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 7．若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 8．如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（    ） A． B． C．且 D．或 9．二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为实数）．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，在中，已知，，．点D是边上的一个动点（不与端点A和B重合），过D作交于点E，点F在边上，连接、．若，的面积为，则下面四个选项中最能反映与之间的函数关系图象的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共24分） 11．原价为160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数表达式为 ． 12．请你写出一个开口向上，且经过的抛物线的解析式 ． 13．已知二次函数，当时，y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）． 14．将抛物线向左平移4个单位长度后，所得的抛物线对应的函数解析式是 ． 15．当时，则二次函数的最小值为 ． 16．反比例函数与二次函数的图像的交点个数为 ． 17．已知二次函数的图象与一次函数的图象相交于，两点，则关于的不等式的解集是 ． 18．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①； ②（为任意实数）； ③； ④若是抛物线上不同的两个点，则． 其中正确的结论有 ． 三、解答题（19题8分，20题10分，其余每题12分） 19．已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，求抛物线的解析式． 20．若函数是二次函数． (1)求的值． (2)当时，求的值． 21．某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． (1)求与的关系式； (2)当时，求今年的总产值为多少万元？ 22．如图，抛物线与轴的交点为（点在点的左边），且点的坐标为与轴交于点，该抛物线的顶点为． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接求的面积． 23．伴随经济发展和生活水平的日益提高，水果超市如雨后春笋般兴起．万松园一水果超市从外地购进一批水果，其进货成本是每吨0.4万元，根据预测，此批水果一段时间内的销量y（吨）（纵坐标）与每吨的销售价x万元（横坐标）之间的函数关系如图所示． (1)请直接写出y与x之间的函数关系． (2)如果销售利润为W万元，当每吨销售价是多少万元时，销售利润最大？最大利润是多少？ (3)若超市共花费4万元购进此批水果，按照第（2）问的售价销售一半水果后用时8天，因水果开始变质及为售卖其他新品种水果决定在后4天内将此水果全部售完，请问超市是盈利还是亏损？金额多少？ 24．如图，抛物线的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线经过B，C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线第一象限上的一动点，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C D D A B A C D 1．D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质即可直接得出答案． 【详解】解：根据二次函数的图象与性质可知： 抛物线的对称轴是直线，即轴， 故选：． 2．A 【分析】本题考查二次函数的性质，根据题目中的函数顶点解析式的特征，可以直接写出该函数图象的顶点坐标． 【详解】解：二次函数， 该函数图象的顶点坐标为， 故选：A． 3．C 【分析】本题考查了二次函数的定义．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．利用二次函数的一般形式为：是常数，，进而判断得出即可． 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故本选项不正确； B、是一次函数，不是二次函数，故本选项不正确； C、符合二次函数的定义，故本选项正确； D、的右边不是整式，因此不是二次函数，故本选项不正确． 故选：C． 4．D 【分析】本题主要考查二次函数的性质及与坐标轴的交点问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． 由抛物线解析式可求得对称轴、顶点坐标，从而可判断A和B；把代入解析式可判断C；令可判断D． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为 ，对称轴为直线 ， ∴A错误，不符合题意； ∵抛物线开口向上， ∴最低点的坐标为，B错误，不符合题意； 当时，，故C错误，不符合题意； 当时，，故与y轴交点坐标为，选项D正确，符合题意； 故选：D． 5．D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数自变量二次项系数决定开口大小和方向，平移过程中不会改变开口大小即可判断． 【详解】二次函数自变量二次项系数决定开口大小和方向，平移过程中不会改变开口大小， 选项A、B、C抛物线形状没有发生变化，都能够平移得到；选项D自变量二次项系数发生了改变，不能平移得到． 故选：D． 6．A 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象，先根据一次函数的图象判断的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，即可得出答案，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线与y轴交于点， A、由可得，则，故抛物线开口向上，即对称轴，符合题意； B、由可得，则，故抛物线开口向上，即对称轴，不符合题意； C、由可得，则，故抛物线开口向下，即对称轴，不符合题意； D、由可得，则，故抛物线开口向上，即对称轴，不符合题意； 故选：A． 7．B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数解析式可得对称轴为，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，由此即可求解． 【详解】解：二次函数的对称轴为，， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； ∵， ∴， ∵，则，， ∴时的函数值与的函数值相等，且， ∴， ∴， 故选：B ． 8．A 【分析】本题考查了二次函数与不等式、二次函数的对称性，先利用抛物线的对称性求出与x轴的另一个交点坐标，然后写出抛物线在x轴上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴不等式的解集是． 故选：A． 9．C 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴的交点位置可判断①②；由，及a与b的数量关系可判断③，由函数取最小值可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴ ∵抛物线对称轴为直线， ∴ ∴ ∴，②正确 ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ，①错误 由图像得：当时 ③正确 由函数取最小值可得 ，④正确． 故答案为：C． 【点睛】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 10．D 【分析】本题考查了动点问题的函数图象的应用，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，作于．表示出、，证明，由相似三角形的性质表示出，再利用三角形面积表示出函数即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于． 由题意得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，其中． 故选D． 11． 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据现在的价格等于原价乘以（1降价的百分率）的平方，即可得解． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 12．（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，因为一个开口向上，且经过，所以的，据此即可作答． 【详解】解：∵开口向上， ∴的， ∴ ∵经过 则时， ∴ 故答案为：（答案不唯一） 13．增大 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的增减性由开口方向和对称轴两个因素决定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的开口方向和对称轴，即可得出答案。 【详解】解：∵二次函数， ， ∴二次函数的图象开口向上， 且对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小， 故答案为：增大． 14． 【分析】本题考查了二次函数与几何变换，根据平移的原则：上加下减左加右减，即可得出答案． 【详解】将抛物线向左平移4个单位长度后，那么所得新抛物线的表达式是，即． 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，二次函数的图象与系数的关系，把y=ax2+bx+c化成顶点式，二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．将二次函数化成顶点式，然后根据二次函数的图象与性质即可求得答案． 【详解】解：将二次函数化成顶点式，得： ， 二次函数的顶点坐标为， ， 二次函数开口向上， 二次函数顶点的横坐标为， 二次函数顶点的横坐标满足， 当时，二次函数的最小值为， 故答案为：． 16．3个 【分析】根据数形结合的思想进行判断即可； 【详解】，画出图像如图所示： 即可得到有三个交点． 故答案是3． 【点睛】本题主要考查了二次函数与反比例函数的图象问题，准确分析是解题的关键． 17．或或 【分析】本题考查了二次函数与不等式，观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：分两种情况： 如图，当时， 根据图象可知当或时，直线在抛物线的下方， ∴关于的不等式的解集是或； 如图，当时， 根据图象可知当时，直线在抛物线的下方， ∴关于的不等式的解集是， 综上，关于的不等式的解集是或或， 故答案为：或或． 18．①②③ 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题时要熟练掌握二次函数的性质并能数形结合是关键． 依据题意，由抛物线图象与性质，即可逐个判断得解． 【详解】解：由题意，抛物线开口向下， ． 又抛物线的对称轴是直线， ． 又抛物线交轴正半轴， 当时，． ，故①正确． 由题意，当时，取最大值为， 对于抛物线上任意的点对应的函数值都． 对于任意实数，当时，． ，故②正确． 由图象可得，当时，， 又， ，故③正确． 由题意抛物线为， ，故④错误． 综上，正确的有①②③共2个． 故答案为：①②③． 19． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 解法一：由对称轴求出，再把即可求解；解法二：先求出抛物线与x轴的另一个交点为，然后用两点式即可求解． 【详解】解：解法一：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， 又∵抛物线经过点， 2－8＋c＝0， 解得， ∴抛物线的解析式为． 解法二：∵抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于点， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴抛物线的解析式为． 20．(1)； (2)． 【分析】（）根据二次函数的定义解答即可求解； （）把代入（）中所得的函数解析式计算即可求解； 本题考查了二次函数的定义，求函数值，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，，且， 解得； （2）解：把代入得，， ∴当时，． 21．(1) (2)当时，今年的总产值为万元． 【分析】（1）利用增长率公式即可找出y关于x的函数关系式； （2）代入，求出y值即可得出结论． 【详解】（1）依题意得：； （2）当时，， 答：当时，今年的总产值为万元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，掌握增长率问题的公式是解题的关键，若起始值为a，经过n年后值为b，设增长率为x，则有． 22．(1) (2)1 【分析】本题考查求二次函数的解析式，二次函数与面积问题； （1）将点代入计算即可； （2）先求出、坐标，再求面积即可． 【详解】（1）将点代入 得， ， ． （2）将配方，得 点的坐标为 抛物线的对称轴为 点的坐标为 ． 23．(1) (2)每吨销售价为1.5万元时，销售利润最大，最大利润是1.21万元 (3)盈利了，金额10.25万元 【分析】（1）由图可知，销售量与每吨销售价之间成一次函数，并经过点和点，使用待定系数法列出方程组求解． （2）由（1）知销售量，而每吨的利润为，所以，进而使用配方法求出最值； （3）把已知中的“一段时间内”理解为每天，先计算花费4万元购进此批水果的数量，先求出前8天的盈利，再求出后4天每天需要销售的水果数，代入（1）问中的函数求出售价，再计算利润，最后相加可得结论． 此题主要考查了二次函数的应用以及利用待定系数法求解一次函数关系式，并利用关系式求值的运算技能和从坐标系中提取信息的能力，是一道综合性较强的代数应用题，有一定的能力要求． 【详解】（1）解：设销售量与每吨销售价的函数关系式为： 把点和点分别代入 由题意得：， 解得：， 则与的函数关系式为：； （2）解： ， 当时，， 每吨销售价为1.5万元时，销售利润最大，最大利润是1.21万元； （3）解：依题意，（吨）， 由题意可知：5吨售8天， ∵按照第（2）问的售价销售一半水果后用时8天 获利：， 在后4天内售完5吨，则每天售出：（吨）， ， ， 获利：， 则（万元）， 答：超市是盈利了，金额10.25万元． 24．(1) (2)当点P的坐标为时，的面积有最大值 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）先求出B、C两点的坐标，然后代入二次函数解析式求解即可； （2）过过点P向x轴作垂线交直线于点Q，设，则， 得到与的关系式，进而得到，再根据二次函数的性质计算即可； 【详解】（1）解：在中，当时，， 当时，， ，， 将，，代入中可得，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：如图所示，过点P向x轴作垂线交直线于点Q， 设，则， ， ， ， 当时，最大，最大值为， ， 当点P的坐标为时，的面积有最大值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$