精品解析：四川省内江市隆昌市知行中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题

2023-2024学年四川省内江市隆昌市知行中学九年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中，不能与合并的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. 2 C. D. 6 5. 已知，，在数轴上的位置如图所示，化简为（ ） A. B. C. D. 6. 把方程化成（a，b为常数）的形式，a，b的值分别是（ ）． A. 2，7 B. 2，5 C. ，7 D. ，5 7. 若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）． A. B. 且 C. 且 D. 9. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ） A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 2023 10. 有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242个人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则满足的方程是（　　） A B. C. D. 11. 设，则代数式的值为（　　） A. 6 B. 4 C. D. 12. 在《代数学》中记载了求方程x2+8x＝33正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．小明尝试用此方法解关于x的方程x2+10x+c＝0时，构造出如图2所示正方形．已知图2中阴影部分的面积和为39，则该方程的正数解为（　　） A. 2 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13. 已知关于的方程是一元二次方程，则的值为__________． 14. 若代数式有意义，则的取值范围为_____________． 15. 设x，y为实数，且，则的值是______． 16. 非零实数a，b满足，，则的值是________． 三、解答题（本大题共5个小题，共44分．解答题必须写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程： （1） （2） 19. 已知，，求下列代数式的值： （1）； （2）． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程的两个根分别为，且满足，求实数m的值． 21. 社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示，已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车区，要铺花砖，其余部分是通道，且宽度相等．已知铺花砖的面积为640平方米． （1）求通道的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位．为了维护消费者利益，物价部门规定，每个车位租金不得超过500元，要想让停车场的月租金收入为14400元，每个车位的月租金应上涨多少元？ 四、填空题（本题4个小题，每小题6分，满分共计24分） 22. 已知关于x的方程的解是，，则关于x的方程的解是_________________________． 23. 已知，，则代数式值是_____________ 24. 如果，那么的值为_____． 25. 已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是________． 五、解答题（本大题3个小题，每小题12分，共36分．解题必须写出必要文字说明或推演步骤．） 26. 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：．善于思考的小明进行了一下探索： 若设（其中a、b、m、n、均为整数），则有．这样小明就找到一种把类似的式子化作平方式的方法． 请仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含有m、n的式子分别表示a、b，得_______，_______． （2）若，且x、m、n均为正整数，求x、m、n的值． （3）化简： 27. 阅读材料:若，求m、n的值. 解:， ， ， . 根据你观察，探究下面的问题: （1）已知，求的值. （2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求边c的最大值. （3）若已知，求的值. 28. 阅读材料，用配方法求最值． 已知a，b非负实数，∵0， ∴，当且仅当“a＝b”时，等号成立．示例：当x＞0时，求的最小值； 解：，当，即x＝2时，y的最小值为5． （1）若m＞0，的最小值为 　 　； （2）探究：当x＞0时，求的最小值； （3）如图，已知P为双曲线（x＜0）上任意一点，过点P作PB⊥x轴，PA⊥y轴且C（0，﹣4），D（6，0），求四边形ABCD的面积的最小值，并求此时A，B的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年四川省内江市隆昌市知行中学九年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：A、整理得：，是一元一次方程，不符合题意； B、有两个未知数，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、是分式方程，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则进行计算． 【详解】解：以及无法进行计算， 故选项A、B错误； ，故选项C错误； ，故选项D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次根式的运算法则，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3. 下列二次根式中，不能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得答案． 【详解】解：选项A、，可以与合并，不符合题意； 选项B、，可以与合并，不符合题意； 选项C、，不可以与合并，符合题意； 选项D、，可以与合并，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式， 关键是掌握被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式． 4. 如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. 2 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先由题意得到大正方形的边长和小正方形的边长，再求阴影部分的面积. 【详解】由题意可得，大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴图中阴影部分面积为：，故选B． 【点睛】本题考查矩形面积的求法，解题的关键是得到大正方形的边长和小正方形的边长. 5. 已知，，在数轴上的位置如图所示，化简为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数轴表示数的方法得到，再利用二次根式的性质，绝对值的性质化简原式，即可求解． 【详解】解：由数轴得， ∴，， ∴ ． 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值，二次根式的性质，解题的关键是根据正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数进行化简绝对值． 6. 把方程化成（a，b为常数）的形式，a，b的值分别是（ ）． A. 2，7 B. 2，5 C. ，7 D. ，5 【答案】C 【解析】 【分析】利用配方法将一元二次方程进行化简变形即可得． 【详解】解：， ， ， ， ∴，， 故选：C． 【点睛】题目主要考查利用配方法将一元二次方程进行变形，熟练掌握配方法是解题关键． 7. 若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把化成最简二次根式，由最简二次根式的含义：被开方数相同，可得关于m的方程，解方程即可． 【详解】∵，而最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念是解题的关键．但要注意，要把化成最简二次根式． 8. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）． A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式，即可解答． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴，解得：， ∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， 综上：k的取值范围是且， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 9. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ） A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 2023 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 由m，n为方程的解，把代入方程求出的值，再利用根与系数的关系求出的值，原式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴把代入方程，得， ∴， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴ ∴ ， 故选：C． 10. 有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242个人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则满足的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列出一元二次方程. 【详解】解：∵每轮传染中平均一个人传染了个人 ∴两个人可感染个人 故一轮感染后，患流感人数为： 同理：个人可感染个人 故两轮感染后，患流感人数为： ∴ 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程与传播问题．找到每一轮感染新增人数是解题关键． 11. 设，则代数式的值为（　　） A. 6 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用已知条件得a＋2＝ ，两边平方后得到＋4a＝1，再把＋4−a＋6变形为a（＋4a）−a＋6，然后利用整体代入的方法计算． 详解】解：∵a＝−2， ∴，即＋4a＝1， ∴＋4−a＋6＝a（＋4a）−a＋6 ＝a×1−a＋6 ＝6． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 12. 在《代数学》中记载了求方程x2+8x＝33正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．小明尝试用此方法解关于x的方程x2+10x+c＝0时，构造出如图2所示正方形．已知图2中阴影部分的面积和为39，则该方程的正数解为（　　） A. 2 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积等于阴影部分的面积+4个小正方形的面积，从而可得大正方形的边长，再用其减去两个空白正方形的边长即可得解． 【详解】解：如图2， 先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为： 39+（）2×4＝39+25＝64， ∴该方程的正数解为 ﹣×2＝3． 故选：C． 【点睛】此题考查了解一元二次方程的几何解法，用到的知识点是长方形、正方形的面积公式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程﹒ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13. 已知关于的方程是一元二次方程，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：含一个未知数，含未知数的项的最高次数为2的整式方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，且， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查根据一元二次方程的定义求参数的值，解题的关键是掌握一元二次方程的定义． 14. 若代数式有意义，则的取值范围为_____________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据分式和二次根式有意义的条件确定x的取值范围即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：且； 故答案为：且 【点睛】本题考查分式成立的条件及二次根式有意义的条件，掌握分母不能为0和被开方数不能为负数是本题的解题关键． 15. 设x，y为实数，且，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到的值，再利用乘方的运算法则即可解答． 【详解】解：∵，为实数，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义条件，乘方的运算法则，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 16. 非零实数a，b满足，，则的值是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，分两种情况：当时，实数a，b是方程的两个不同的根；当时，实数a，b是方程的同一个根，分别计算即可得解． 【详解】解：∵非零实数a，b满足，， ∴当时，实数a，b是方程的两个不同的根，由根与系数的关系可得，，此时； 当时，实数a，b是方程的同一个根，此时； 综上所述，的值是或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共5个小题，共44分．解答题必须写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二次根式的运算法则及平方差公式计算即可； （2）先根据绝对值、有理数的乘方、立方根、零指数幂和负整数指数幂的意义计算，然后合并即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 【点睛】本题考查了实数及二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、零指数幂和负整数指数幂是解决问题的关键． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可； （2）变形后用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 由题意得，， 则， ∴， 即，； 【小问2详解】 可变为， 则或 解得，； 【点睛】此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 19. 已知，，求下列代数式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）先求出，再根据进行求解即可； （2）先根据完全平方公式的变形求出，再由进行求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ∴ ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值，分式的求值，正确根据题意得到是解题的关键． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程的两个根分别为，且满足，求实数m的值． 【答案】（1）实数m的取值范围是； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得根的判别式，据此得到不等式求解即可； （2）由根与系数的关系可得；然后代入求出m的值即可． 【小问1详解】 解：∵方程有实数根， ∴，整理得，解得， ∴实数m的取值范围是； 【小问2详解】 解：由两根关系得， ∵， ∴， 整理得： 解得：（不符合要求，舍去）或， ∴． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． 21. 社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示，已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车区，要铺花砖，其余部分是通道，且宽度相等．已知铺花砖的面积为640平方米． （1）求通道的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位．为了维护消费者利益，物价部门规定，每个车位租金不得超过500元，要想让停车场的月租金收入为14400元，每个车位的月租金应上涨多少元？ 【答案】（1）6； （2）40 【解析】 【分析】（1）设通道的宽为x米，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可； （2）设每个车位的月租金上涨a元，则租出的车位数量为个，再根据“月租金=每个车位的月租金×租出的车位数”列方程并求解． 【小问1详解】 解：设通道的宽为x米， 根据题意，得， ， ， 或（不符合实际，舍去）， 答：通道的宽是6米； 【小问2详解】 解：设每个车位的月租金上涨a元，停车场的月租金收入为14400元， 根据题意，得， 整理，得， 解得，或， ， 不符合题意，舍去， （元） 故每个车位的月租金应上涨40元时，停车场的月租金收入为14400元． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意找出等量关系列出方程是解答此题的关键． 四、填空题（本题4个小题，每小题6分，满分共计24分） 22. 已知关于x的方程的解是，，则关于x的方程的解是_________________________． 【答案】或 【解析】 【分析】把后面方程中的看作整体，相当于前面方程中的，据此求解即可． 【详解】解：关于x的方程的解是，， 方程可变形为， 此方程中或， 解得：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了解一元二次方程及方程的解的定义，由两个方程的结构特点进行简便计算是解题关键． 23. 已知，，则代数式的值是_____________ 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意可得，再根据二次根式的性质化简，再计算，即可． 【详解】解：，， ， ． 故答案：3 【点睛】本体主要考查了二次根式的性质，二次根式的加减，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 24. 如果，那么的值为_____． 【答案】0 【解析】 【详解】原等式可变形为： a﹣2+b+1+|﹣1|=4+2﹣5 （a﹣2）+（b+1）+|﹣1|﹣4﹣2+5=0 （a﹣2）﹣4+4+（b+1）﹣2+1+|﹣1|=0 （﹣2）2+（﹣1）2+|﹣1|=0； 即：﹣2=0，﹣1=0，﹣1=0， ∴=2，=1， =1， ∴a﹣2=4，b+1=1，c﹣1=1， 解得：a=6，b=0，c=2； ∴a+2b﹣3c=6+0﹣3×2=0． 25. 已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据a－b2＝4得出，代入代数式a2－3b2＋a－14中，通过计算即可得到答案． 【详解】∵a－b2＝4 ∴ 将代入a2－3b2＋a－14中 得： ∵ ∴ 当a=4时，取得最小值为6 ∴的最小值为6 ∵ ∴的最小值6 故答案为：6． 【点睛】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解． 五、解答题（本大题3个小题，每小题12分，共36分．解题必须写出必要文字说明或推演步骤．） 26. 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：．善于思考的小明进行了一下探索： 若设（其中a、b、m、n、均为整数），则有．这样小明就找到一种把类似的式子化作平方式的方法． 请仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含有m、n的式子分别表示a、b，得_______，_______． （2）若，且x、m、n均为正整数，求x、m、n的值． （3）化简： 【答案】（1） （2），或， （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算和完全平方公式，能根据完全平方公式展开是解此题的关键．（1）先根据完全平方公式展开，再得出a、b的值即可；（2）根据完全平方公式求出，求出，求出，根据m、n为正整数得出或，再求出即可；（3）将化为的形式进行计算即可． 【小问1详解】 解：， 又， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ， 又， ， ， 都为正整数， 或， 当时，； 当时，， ，或，； 【小问3详解】 ． 27. 阅读材料:若，求m、n的值. 解:， ， ， . 根据你的观察，探究下面的问题: （1）已知，求的值. （2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求边c的最大值. （3）若已知，求的值. 【答案】（1）2（2）6（3）7 【解析】 【分析】（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x与y的值，即可求出x﹣y的值； （2）将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a与b的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c的长； （3）由a﹣b=4，得到a=b+4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b与c的值，进而求出a的值，即可求出a﹣b+c的值． 【详解】（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1=0 ∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）=0 ∴（x+y）2+（y+1）2=0 ∴x+y=0y+1=0 解得：x=1，y=﹣1 ∴x﹣y=2； （2）∵a2+b2﹣6a﹣8b+25=0 ∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）=0 ∴（a﹣3）2+（b﹣4）2=0 ∴a﹣3=0，b﹣4=0 解得：a=3，b=4 ∵三角形两边之和＞第三边 ∴c＜a+b，c＜3+4，∴c＜7．又∵c是正整数，∴△ABC的最大边c的值为4，5，6，∴c的最大值为6； （3）∵a﹣b=4，即a=b+4，代入得：（b+4）b+c2﹣6c+13=0，整理得：（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）=（b+2）2+（c﹣3）2=0，∴b+2=0，且c﹣3=0，即b=﹣2，c=3，a=2，则a﹣b+c=2﹣（﹣2）+3=7． 故答案为7． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 28. 阅读材料，用配方法求最值． 已知a，b为非负实数，∵0， ∴，当且仅当“a＝b”时，等号成立．示例：当x＞0时，求的最小值； 解：，当，即x＝2时，y的最小值为5． （1）若m＞0，的最小值为 　 　； （2）探究：当x＞0时，求的最小值； （3）如图，已知P为双曲线（x＜0）上任意一点，过点P作PB⊥x轴，PA⊥y轴且C（0，﹣4），D（6，0），求四边形ABCD的面积的最小值，并求此时A，B的坐标． 【答案】（1）；（2）5；（3）最小值为21，A(0，2)，B(－3，0) 【解析】 分析】（1）由阅读材料即可求得最小值； （2）变形得：，则由阅读材料可求得最小值； （3）设，其中x<0，则可把四边形ABCD的面积用x的代数式表示出来，然后可用阅读材料中的求最小值的方法求得最小值，同时求得两点的坐标． 【详解】（1） 当，即时，有最小值； 故答案为：； （2）∵ ∴当，即x=1时，的最小值为5； （3）设，其中x<0 ∵PB⊥x轴，PA⊥y轴 ∴OB=-x， ∵C（0，﹣4），D（6，0） ∴，OC=4 ∴ 当，即时，有最小值21 此时点P的坐标为(－3，2) 所以点A的坐标为(0，2)，点B的坐标为(-3，0) 【点睛】本题是一则材料题，根据提供的材料来解答，考查了配方法的应用，反比例函数的图象与性质，求图形的面积，关键是读懂题目提供的材料，并能灵活运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$