5.2 函数的表示方法8题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册） 5.2 函数的表示方法8题型分类 知识点1 函数的表示法 函数的三种表示方法： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值． 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势． 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值． 知识点2 分段函数 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． （一） 函数解析式的求解策略有： （1）直接法：已知的解析式，求的解析式类型，直接将整体代入中的； （2）待定系数法：即由已知函数类型设出函数解析式（通常是一次函数和二次函数类型），再根据条件列方程（或方程组），通过解方程（或方程组）求出待定系数，进而得出函数的解析式； （3）换元法（或者叫配凑法）：已知抽象函数的解析式求的解析式，这个方法可以看成代入法的逆向思维，即令，反解出，然后代入中得到，进而得到的解析式； （4）解方程组法：该方法是针对含有关于两个不同变量的函数，而这两种变量存在某种特定的关系，在中学阶段这种关系通常是互为相反数或者互为倒数，然后“互换”两个变量建立一个新的关于这两个变量的关系，通过解方程组消去一个变量，从而得到只含一个的解析式，最后可以得到的解析式； （5）赋值法：赋值法是很常用的处理抽象函数之间的一种方法，对涉及任意量词（含，）题目，要特别注意可以通过赋特殊的值，求出特殊的值对应函数值，进而求出函数的解析式． 题型1：已知函数类型求解析式 1-1．（2024高一上·河南郑州·阶段练习）已知函数是一次函数且，则函数的解析式为 ． 1-2．（2024高一上·江苏泰州·期中）若一次函数满足：对任意都有，则的解析式为 ． 1-3．（2024高一上·全国·专题练习）根据下列条件，求的解析式.已知是二次函数，且满足 1-4．（2024高一上·河南郑州·阶段练习）已知二次函数，满足，.则 . 题型2：已知求解析式 2-1．（2024高一上·浙江·期中）已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 2-2．（2024高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 2-3．（2024高二下·安徽亳州·期末）已知，则=（    ）． A． B． C． D． 2-4．（2024高一上·重庆黔江·阶段练习）已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 2-5．（2024高一上·重庆）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 题型3：函数方程组法求解析式 3-1．（2024高一上·湖北荆门·阶段练习）已知满足，则解析式为 ． 3-2．（2024高一上·江西宜春·阶段练习）已知函数满足，且，则 . 3-3．（2024高一上·江苏徐州·期中）已知函数对任意实数都有，则 . 题型4：求抽象函数的解析式 4-1．（2024高一上·江西南昌·阶段练习）已知函数满足，则的解析式可以是 （写出满足条件的一个解析式即可）． 4-2．（2024高三·广东深圳·阶段练习）写出一个满足：的函数解析式为 . 4-3．（2024高一上·湖北·阶段练习）已知函数，且 ， ，则函数的一个解析式为 . （二） 分段函数求值 (1)分段函数求值的方法 ①先确定要求值的自变量属于哪一段区间． ②然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． (2)已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解． 题型5：求分段函数的值或者解析式 5-1．（2024高一上·浙江杭州·期中）已知函数，则 . 5-2．（2024高一上·湖北恩施·期末）设函数，则 . 5-3．（2024高一上·宁夏固原·阶段练习）已知函数，用表示中的较小者，记为. (1)在给定的坐标系中，画出函数的图象； (2)结合图象写出函数的解析式. 5-4．（2024高一上·北京·期中）已知函数的图象如图所示，其中y轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段．    (1)写出函数的解析式、定义域和值域； (2)求，的值． 题型6：已知分段函数的值求参数或自变量 6-1．（2024高一上·河北邯郸·期中）已知函数，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6-2．（2024高一上·浙江温州·期中）已知函数，若，则的所有可能值为（    ） A． B．， C．， D．，， 6-3．（2024高一上·陕西西安·期中）设，若，则（        ） A． B． C． D． （三） 分段函数与不等式的综合，解简单的分段函数不等式只需将对应的不等式解集与定义域取交集，最后再将得到的答案取并集即可.解含参的分段函数不等式要注意以下两个问题：（1）问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；（2）求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求． 题型7：解分段函数不等式 7-1．（2024高一上·辽宁朝阳·期中）已知函数． (1)求； (2)当时，求x的取值范围． 7-2．（2024高一上·山西朔州·阶段练习）已知函数,若，则的取值范围是 . 7-3．（2024高一上·浙江·期中）已知函数若，则的取值范围为 . （四） 分段函数图象及其应用，根据每段函数的定义区间和解析式在同一坐标系中作出图象，然后应用，作图时要注意每段图象端点的虚实. 注意： ①因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值． ②“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则． 题型8：分段函数性质及应用 8-1．（2024高一上·福建泉州·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8-2．【多选】（2024高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A．的值域为 B． C．若，则 D． 8-3．（2024高一上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数. (1)画出函数的图象； (2)求函数的值域. 一、单选题 1．（2024高一上·安徽阜阳·阶段练习）已知函数，则函数的解析式是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2024高一上·北京丰台·期中）下列图象中，表示定义域和值域均为的函数是（    ） A．    B．    C．    D．    3．（2024高一上·湖南·期中）已知函数的对应关系如表所示，函数的图象是如图所示，则的值为（    ） 1 2 3 4 3 -1      A．-1 B．0 C．3 D．4 4．（2024高一上·贵州遵义·阶段练习）设函数若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024高一上·广东广州·期中）已知函数，，设函数则的最大值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．不存在 6．（2024高一上·吉林长春·期中）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 7．（2024高一·全国·课后作业）已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（2024高一上·天津滨海新·期中）已知函数，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．（2024高一上·河南南阳·阶段练习）设函数,则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2024高一上·四川成都·期中）设函数，则的值（    ） A． B． C． D． 11．（2024高一上·湖北黄冈·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D．1 12．（2024高一上·广东广州·期中）设，则（    ） A．10 B．9 C．6 D．4 13．（湖北省黄冈市浠水县第一中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题）函数满足若，则（    ） A． B． C． D． 14．（安徽省宿州市省、市示范高中2023-2024学年高一上学期期中教学质量检测数学试题）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（2024高一上·河北·期中）函数，若，则实数的值为（    ） A． B．－1或 C．－3 D．－3或－1 16．（2024高一上·浙江丽水·期末）已知，，为一次函数，若对实数满足，则的表达式为（    ） A． B． C． D． 17．（2024高一上·山西·期中）如图，四边形是矩形，是等腰直角三角形．点从点出发，沿着边运动到点，点在边上运动，直线．设点运动的路程为的左侧部分的多边形的周长（含线段的长度）为．当点在线段上运动时，的解析式为（    ）    A． B． C． D． 18．（2024高一上·湖北·期中）已知，则函数的解析式为（        ） A． B．（） C．（） D．（） 二、多选题 19．（2024高一上·浙江宁波·期中）设，则下列选项中正确的有（    ） A．与的图象有两个交点，则 B．与的图象有三个交点，则 C．的解集是 D．的解集是 20．（2024高一上·贵州遵义·期末）（多选题）函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是 （    ） A． B． C． D． 21．（2024高一上·浙江·期中）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 22．（2024高一上·吉林长春·期中）已知函数，分别由下表给出，若，则a的值可以是（    ） 1 2 3 4 2 3 1 2 3 4 1 4 A．1 B．2 C．3 D．4 三、填空题 23．（2024高一上·山西运城·阶段练习）已知且，则的值为 . 24．（2024高一上·广东深圳·期中）已知函数，若，则 ． 25．（2024高一上·江苏扬州·期中）已知，则 ． 26．（2024高一上·江苏宿迁·期中）写出一个的二次函数的解析式 ． 27．（2024高一上·河南郑州·期中）已知函数，，若存在且，则实数 . 28．（2024高一上·四川自贡·期中）已知，则的解析式 ． 29．（2024高一·全国·竞赛）若函数在其定义域内满足，则的函数表达式为 .（含自变量的取值范围） 30．（2024高一上·安徽阜阳·期中）已知函数满足，则函数的解析式为 . 31．（2024高一上·上海徐汇·期末）已知，且，则的值为 ． 32．（2024高一上·海南海口·期中）已知函数，且，则 ． 33．（2024高一·全国·竞赛）函数满足，则常数 ． 34．（2024高一上·重庆九龙坡·阶段练习）请写出一个定义域为、值域为的函数： .（写出一个函数即可） 35．（2024高一上·山东威海·期中）已知函数是一次函数，满足，则 ． 36．（2024高一·全国·专题练习）已知函数＝x2－mx＋n，且＝－1，＝m，则＝ ，＝ ． 37．（2024高一·全国·竞赛）定义在整数集上的函数满足：，则 ． 四、解答题 38．（2024高一上·全国·课后作业）已知函数，求. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册） 5.2 函数的表示方法8题型分类 知识点1 函数的表示法 函数的三种表示方法： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值． 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势． 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值． 知识点2 分段函数 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． （一） 函数解析式的求解策略有： （1）直接法：已知的解析式，求的解析式类型，直接将整体代入中的； （2）待定系数法：即由已知函数类型设出函数解析式（通常是一次函数和二次函数类型），再根据条件列方程（或方程组），通过解方程（或方程组）求出待定系数，进而得出函数的解析式； （3）换元法（或者叫配凑法）：已知抽象函数的解析式求的解析式，这个方法可以看成代入法的逆向思维，即令，反解出，然后代入中得到，进而得到的解析式； （4）解方程组法：该方法是针对含有关于两个不同变量的函数，而这两种变量存在某种特定的关系，在中学阶段这种关系通常是互为相反数或者互为倒数，然后“互换”两个变量建立一个新的关于这两个变量的关系，通过解方程组消去一个变量，从而得到只含一个的解析式，最后可以得到的解析式； （5）赋值法：赋值法是很常用的处理抽象函数之间的一种方法，对涉及任意量词（含，）题目，要特别注意可以通过赋特殊的值，求出特殊的值对应函数值，进而求出函数的解析式． 题型1：已知函数类型求解析式 1-1．（2024高一上·河南郑州·阶段练习）已知函数是一次函数且，则函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】设，根据已知条件列方程组，由此求得，进而求得正确答案. 【详解】设， 由得， 即， 所以，解得， 所以． 故答案为： 1-2．（2024高一上·江苏泰州·期中）若一次函数满足：对任意都有，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】设，代入题干等式，化简，即可求得. 【详解】设一次函数， ， 化简得：， 因为对任意，上式都满足，取和代入上式得： ，解得：， 所以. 故答案为：. 1-3．（2024高一上·全国·专题练习）根据下列条件，求的解析式.已知是二次函数，且满足 【答案】. 【分析】采用待定系数法，可设，结合可求，进而得解. 【详解】由题意设， 因为，所以， 因为， 所以， 所以， 所以，得， 所以. 1-4．（2024高一上·河南郑州·阶段练习）已知二次函数，满足，.则 . 【答案】 【分析】先根据，求出，进而根据对应系数相等即可求出结果. 【详解】因为，所以， 而， 又因为， 所以，解得， 因此的解析式为. 故答案为：. 题型2：已知求解析式 2-1．（2024高一上·浙江·期中）已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用换元法求函数解析式，注意定义域. 【详解】令，则， 所以， 综上，. 故选：B 2-2．（2024高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过化简即可得出函数的解析式. 【详解】因为，∴， 故选：A. 2-3．（2024高二下·安徽亳州·期末）已知，则=（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元法求解函数解析式，即可得答案. 【详解】令，则 ，则， 所以， 故选：D. 2-4．（2024高一上·重庆黔江·阶段练习）已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】换元令，则，代入已知，即可得出答案. 【详解】令，则， 由已知可得，， 故的解析式为：． 故选：B． 2-5．（2024高一上·重庆）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法令，代入运算求解即可. 【详解】令，则，由于，则， 可得， 所以. 故选：B. 题型3：函数方程组法求解析式 3-1．（2024高一上·湖北荆门·阶段练习）已知满足，则解析式为 ． 【答案】 【分析】用代得出一个式子，利用方程思想求解函数解析式. 【详解】由   ① 用代可得，  ② 由①②可得： 故答案为： 3-2．（2024高一上·江西宜春·阶段练习）已知函数满足，且，则 . 【答案】 【分析】用替换,再解方程组可得答案. 【详解】由①， 用替换，得②， ①×2－②，得，得. 故答案为：. 3-3．（2024高一上·江苏徐州·期中）已知函数对任意实数都有，则 . 【答案】 【分析】由可列出方程组：，从而求解. 【详解】由题意得：对任意实数都有， 所以：，解得：. 故答案为：. 题型4：求抽象函数的解析式 4-1．（2024高一上·江西南昌·阶段练习）已知函数满足，则的解析式可以是 （写出满足条件的一个解析式即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用待定系数法求解即可，若设，然后代入化简求出即可. 【详解】设，由， 代入可得，，解得， . 故答案为：.（答案不唯一只要正确即可） 4-2．（2024高三·广东深圳·阶段练习）写出一个满足：的函数解析式为 . 【答案】 【分析】赋值法得到，，求出函数解析式. 【详解】中，令，解得， 令得，故， 不妨设，满足要求. 故答案为： 4-3．（2024高一上·湖北·阶段练习）已知函数，且 ， ，则函数的一个解析式为 . 【答案】（不唯一） 【分析】根据所给条件，利用累乘法及换元法即可得解. 【详解】由题意，， 累乘可得，即， 令，则， 所以， 故答案为：（不唯一） （二） 分段函数求值 (1)分段函数求值的方法 ①先确定要求值的自变量属于哪一段区间． ②然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． (2)已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解． 题型5：求分段函数的值或者解析式 5-1．（2024高一上·浙江杭州·期中）已知函数，则 . 【答案】/ 【分析】根据分段函数解析式直接求解即可. 【详解】. 故答案为： 5-2．（2024高一上·湖北恩施·期末）设函数，则 . 【答案】 【分析】根据题意，结合函数的解析式，逐次计算，即可求解. 【详解】由函数， 则. 故答案为：. 5-3．（2024高一上·宁夏固原·阶段练习）已知函数，用表示中的较小者，记为. (1)在给定的坐标系中，画出函数的图象； (2)结合图象写出函数的解析式. 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）先画出，的图象，再根据函数的定义可得答案； （2）数形结合可得答案. 【详解】（1）由解得或， 画出的图象如下图所示，    而表示中的较小者，所以函数的图象如下图所示：    （2）由，解得或， 结合图象可得的解析式： . 5-4．（2024高一上·北京·期中）已知函数的图象如图所示，其中y轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段．    (1)写出函数的解析式、定义域和值域； (2)求，的值． 【答案】(1)，定义域为，值域为； (2)，. 【分析】（1）根据图象结合待定系数法计算解析式，定义域和值域即可； （2）直接根据（1）的结论计算即可. 【详解】（1）根据题意及图象可知：当时，可设线段解析式为， 将点代入解析式可得，即； 当时，图象为抛物线一部分，可设解析式为， 由图象可知其顶点为且过点，所以， 即， 则， 结合图象，所以的定义域为，值域为； （2）由上可知，， 即，. 题型6：已知分段函数的值求参数或自变量 6-1．（2024高一上·河北邯郸·期中）已知函数，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由内向外，先求，则，代入式子即可求得a. 【详解】，， 解得， 故选：B. 6-2．（2024高一上·浙江温州·期中）已知函数，若，则的所有可能值为（    ） A． B．， C．， D．，， 【答案】C 【分析】分与两种情况，解方程，求出答案. 【详解】若，则，解得， 若，则，解得或1（舍去）， 故的所有可能值为，. 故选：C 6-3．（2024高一上·陕西西安·期中）设，若，则（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分、两种情况解方程，求出的值，然后代值计算可得出的值. 【详解】因为，且. 当时，则，由可得，解得，合乎题意. 当时，由可得，无解. 所以，，则. 故选：C. （三） 分段函数与不等式的综合，解简单的分段函数不等式只需将对应的不等式解集与定义域取交集，最后再将得到的答案取并集即可.解含参的分段函数不等式要注意以下两个问题：（1）问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；（2）求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求． 题型7：解分段函数不等式 7-1．（2024高一上·辽宁朝阳·期中）已知函数． (1)求； (2)当时，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，所以，代入求解即可； （2）分和分别求解即可. 【详解】（1）因为时，，所以； 因为时，，所以； 即； （2）由，得或， 解得或， 所以x的取值范围是． 7-2．（2024高一上·山西朔州·阶段练习）已知函数,若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】讨论的范围，把不等式具体化，解出不等式即可. 【详解】根据分段函数的定义可知， 当时，不等式可化为， 解得； 当时，不等式可化为， 解得； 当，不等式可化为，无解. 综上知，的取值范围为 故答案为： 7-3．（2024高一上·浙江·期中）已知函数若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】分类讨论，按分类解不等式． 【详解】对于函数 （i）当，则，解得，故此时不存在； （ii）当，则， 解得或，故此时的取值范围为； （iii）当，则，即，其中，不等式恒成立，故此时的取值范围为. 综上，的取值范围为. 故答案为：． （四） 分段函数图象及其应用，根据每段函数的定义区间和解析式在同一坐标系中作出图象，然后应用，作图时要注意每段图象端点的虚实. 注意： ①因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值． ②“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则． 题型8：分段函数性质及应用 8-1．（2024高一上·福建泉州·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的值域为，结合分段函数性质，列出相应的不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意知当时，， 故要使函数的值域为， 需满足，解得， 故的取值范围是， 故选：D 8-2．【多选】（2024高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A．的值域为 B． C．若，则 D． 【答案】ACD 【分析】根据分段函数的性质，结合函数图象即可求解值域，分别代入即可判定BCD. 【详解】对选项A：当时，，当时，， 故函数值域为，正确； 对选项B：，错误； 对选项C：当时，，，不成立； 当时，，或（舍），故，正确； 对选项D： 故选：ACD.    8-3．（2024高一上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数. (1)画出函数的图象； (2)求函数的值域. 【答案】(1)图象见解析； (2). 【分析】（1）借助一次函数、二次函数的图象，结合分段函数特征作出函数的图象. （2）利用一次函数、二次函数的性质求出函数的值域. 【详解】（1）依题意，当时，，则函数在上的图象是抛物线在的部分， 当时，，则函数在上的图象是直线在的部分， 当时，，则函数在上的图象是抛物线在的部分，如图， （2）当时，的取值集合为， 当时，的取值集合为， 当时，的取值集合为， 所以函数的值域为. 一、单选题 1．（2024高一上·安徽阜阳·阶段练习）已知函数，则函数的解析式是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用配凑法求解析式即可. 【详解】，且，所以，. 故选：B. 2．（2024高一上·北京丰台·期中）下列图象中，表示定义域和值域均为的函数是（    ） A．    B．    C．    D．    【答案】C 【分析】根据函数的定义以及定义域和值域的概念分析即可. 【详解】选项A：定义域为，但是值域不是故错误； 选项B：定义域不是，值域为，故错误； 选项C：定义域和值域均为，故正确； 选项D：不满足函数的定义，故错误； 故选：C. 3．（2024高一上·湖南·期中）已知函数的对应关系如表所示，函数的图象是如图所示，则的值为（    ） 1 2 3 4 3 -1      A．-1 B．0 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据函数的定义及图表计算即可. 【详解】由图象可知，而由表格可知，所以. 故选：A 4．（2024高一上·贵州遵义·阶段练习）设函数若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别讨论和两种情况解不等式即可求解. 【详解】当时，，解得：或（舍） 当时，，解得：， 综上所述：的取值范围是， 故选：A. 5．（2024高一上·广东广州·期中）已知函数，，设函数则的最大值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．不存在 【答案】B 【分析】作出的图象，利用数形结合法求解. 【详解】解：作出的图象如图所示： 从图像可以看出；当或时，最大，故B正确. 故选：B 6．（2024高一上·吉林长春·期中）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数的定义分类解不等式，然后合并． 【详解】时，由解得， 时，由解得， 综上不等式的解为或． 所以 故选：A． 7．（2024高一·全国·课后作业）已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的解析式写出当和时的、，解不等式即可. 【详解】当时，，则可化为，解得，又，所以． 当时，，则可化为，解得，又，所以．综上，． 故选B． 8．（2024高一上·天津滨海新·期中）已知函数，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况，分别列式求解即可． 【详解】解：当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，的取值范围是，，． 故选：D． 9．（2024高一上·河南南阳·阶段练习）设函数,则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数解析式，分，解不等式即得. 【详解】当时，，解得或， 所以或； 当时，，解得， 所以； 综上，满足的的取值范围是. 故选：D. 10．（2024高一上·四川成都·期中）设函数，则的值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数解析式求解. 【详解】由解析式可知， 所以， 故选：D 11．（2024高一上·湖北黄冈·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据题意，由分段函数解析式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，故， 故选：D 12．（2024高一上·广东广州·期中）设，则（    ） A．10 B．9 C．6 D．4 【答案】A 【分析】根据自变量的范围代入分段函数解析式求解即可. 【详解】. 故选：A 13．（湖北省黄冈市浠水县第一中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题）函数满足若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对的式子适当变形，即可直接求出. 【详解】因为，所以，则 .故选：A. 14．（安徽省宿州市省、市示范高中2023-2024学年高一上学期期中教学质量检测数学试题）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对进行分类讨论，通过解不等式求得的取值范围. 【详解】当时，不成立. 当时，， 所以，解得. 当时，， 所以，解得. 综上所述，的取值范围是. 故选：D 15．（2024高一上·河北·期中）函数，若，则实数的值为（    ） A． B．－1或 C．－3 D．－3或－1 【答案】C 【分析】由题意分类讨论，，解方程即可得出答案. 【详解】当时，令，，与矛盾，不合题意； 当时，令，，取，符合题意. 故选：C. 16．（2024高一上·浙江丽水·期末）已知，，为一次函数，若对实数满足，则的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由绝对值的意义分析可得函数和的根为和，然后按的符号分4种情况讨论，求出的解析式即可. 【详解】由可知函数的分段点为和， 而函数，，为一次函数，所以可得函数和的根为和， 假设的根为，的根为， 分4种情况讨论： （1）时，，时，， 当时，， 当时，， 两式相加可得， （2）时，，时，， 当时，， 当时，， 两式相加可得， （3）时，，时，， 当时，， 当时，， 两式相加可得， （4）时，，时，， 当时，， 当时，， 两式相加可得， 综上可得 故选：B 17．（2024高一上·山西·期中）如图，四边形是矩形，是等腰直角三角形．点从点出发，沿着边运动到点，点在边上运动，直线．设点运动的路程为的左侧部分的多边形的周长（含线段的长度）为．当点在线段上运动时，的解析式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题中条件可求得，依题分析即可得到结果. 【详解】因为是等腰直角三角形，， 所以．当点在线段上运动时， ． 故选：A. 18．（2024高一上·湖北·期中）已知，则函数的解析式为（        ） A． B．（） C．（） D．（） 【答案】C 【分析】令（），采用换元法求函数的解析式. 【详解】设（），则， ， 所以（）， 故选：C. 二、多选题 19．（2024高一上·浙江宁波·期中）设，则下列选项中正确的有（    ） A．与的图象有两个交点，则 B．与的图象有三个交点，则 C．的解集是 D．的解集是 【答案】ABC 【分析】根据题意作出分段函数的图象，数形结合求解. 【详解】函数图象图所示： 由图可知，若与有两个交点，则，故A正确； 若与有三个交点，则，故B正确； 若，则，故C正确； 若，则， 则，故D错误. 故选:ABC. 20．（2024高一上·贵州遵义·期末）（多选题）函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是 （    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】结合图象，分和两种情况求函数的解析式，再合并为函数绝对值的函数解析式. 【详解】结合图象可知，当x≤0时，设，将代入函数， 得，，同理，当x>0时，， 所以，即. 故选：AC 21．（2024高一上·浙江·期中）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】设，则由，可得，然后列方程组可求出，从而可求得答案. 【详解】由题意设， 因为， 所以， 即， 所以，解得或， 所以或， 故选：AB 22．（2024高一上·吉林长春·期中）已知函数，分别由下表给出，若，则a的值可以是（    ） 1 2 3 4 2 3 1 2 3 4 1 4 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BCD 【分析】按复合函数的定义列出所有取值即可 【详解】因为，，，． 故选:BCD 三、填空题 23．（2024高一上·山西运城·阶段练习）已知且，则的值为 . 【答案】3 【分析】利用换元法求得函数解析式，再根据，即可求出的值. 【详解】解：由题可知，且， 令，则， ， ，解得：. 故答案为：3. 24．（2024高一上·广东深圳·期中）已知函数，若，则 ． 【答案】/1.25 【分析】将代入，求出的值，代入计算即可. 【详解】因为，所以有，解得：， 所以，则. 故答案为：. 25．（2024高一上·江苏扬州·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】运用拼凑法，将等式右边整理成关于的式子，再整体换元即得. 【详解】因故 故答案为： 26．（2024高一上·江苏宿迁·期中）写出一个的二次函数的解析式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】设出二次函数的解析式，利用求得正确答案. 【详解】设， 由得， 不妨设，则，解得， 所以. 故答案为：（答案不唯一） 27．（2024高一上·河南郑州·期中）已知函数，，若存在且，则实数 . 【答案】/ 【分析】由，判断所属区间，代入相应解析式求出，由等量关系求解即可. 【详解】由，则， 由函数，， 则， ， 由得，解得. 故答案为：. 28．（2024高一上·四川自贡·期中）已知，则的解析式 ． 【答案】 【分析】由，得到，联立求解. 【详解】解：因为， 所以， 两式联立解得：， 故答案为： 29．（2024高一·全国·竞赛）若函数在其定义域内满足，则的函数表达式为 .（含自变量的取值范围） 【答案】 【分析】利用方程思想求解函数解析式. 【详解】，① 则由换元法得1， 即，② 由得， ，其中. 故答案为： 30．（2024高一上·安徽阜阳·期中）已知函数满足，则函数的解析式为 . 【答案】 【分析】根据题意，用代替，得到，联立方程组，即可求解. 【详解】由， 用代替，可得， 联立方程组，解得， 所以函数的解析式为. 故答案为：. 31．（2024高一上·上海徐汇·期末）已知，且，则的值为 ． 【答案】3 【解析】用换元法，令，求出代入后可得，然后解即可．． 【详解】令，则，所以， ． 故答案为：3． 32．（2024高一上·海南海口·期中）已知函数，且，则 ． 【答案】/0.5 【分析】应用赋值法已知函数值求自变量即可. 【详解】令 . 故答案为：. 33．（2024高一·全国·竞赛）函数满足，则常数 ． 【答案】 【分析】由题意恒成立，即恒成立，由此可得关于的方程组，进一步即可求解. 【详解】恒成立，即恒成立， 所以，解得． 故答案为：. 34．（2024高一上·重庆九龙坡·阶段练习）请写出一个定义域为、值域为的函数： .（写出一个函数即可） 【答案】（答案不唯一）. 【分析】根据基本初等函数的性质即可求解. 【详解】因为函数的定义域为， 值域为， 故答案为：（答案不唯一）. 35．（2024高一上·山东威海·期中）已知函数是一次函数，满足，则 ． 【答案】或 【分析】根据题意设，利用待定系数法求解即可. 【详解】设， 由题意可知， 所以，解得或， 所以或. 故答案为：或. 36．（2024高一·全国·专题练习）已知函数＝x2－mx＋n，且＝－1，＝m，则＝ ，＝ ． 【答案】 －1； x4－2x3－2x2＋3x＋1. 【分析】由已知条件列方程组求参数m、n，进而写出的解析式，再求即可求，同理求. 【详解】由题意知：，解得， ∴＝x2－x－1，故＝1，则＝－1， 由上，＝f(x2－x－1)＝(x2－x－1)2－(x2－x－1)－1＝x4－2x3－2x2＋3x＋1. 故答案为：－1，x4－2x3－2x2＋3x＋1. 37．（2024高一·全国·竞赛）定义在整数集上的函数满足：，则 ． 【答案】2011 【分析】根据所给函数，计算，，可归纳出函数的解析式得解. 【详解】因为， ， ， ， ， 所以，其中k为整数， 则． 故答案为：2011 四、解答题 38．（2024高一上·全国·课后作业）已知函数，求. 【答案】. 【分析】求，按在不同段分段求解即可. 【详解】当，即时， ； 当，即时， ； 当，即时， . 综上可知，. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$