5.1 函数的概念和图象8题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册） 5.1 函数的概念和图象8题型分类 知识点1 函数的概念 1、函数的定义 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数． 记作：，． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 注：（1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性． 2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等（或为同一函数）； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关． 知识点2 函数定义域的求法 （1）确定函数定义域的原则 ①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合．具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件． ②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义． ③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合． （2）抽象函数定义域的确定 所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则．在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内． （3）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示． 知识点3 函数值域的求法 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有： 观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域； 配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域； 判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围； 换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域． 求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等．总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约． 知识点4 函数的图像 将自变量的一个值作为横坐标，相应的函数值作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点.当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)为，即，所有这些点组成的图形就是函数的图象. （一） 函数的判断 (1)判断一个对应关系是否为函数的方法 (2)根据图形判断对应关系是否为函数的方法 ①任取一条垂直于x轴的直线l； ②在定义域内平行移动直线l； ③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． 题型1：函数的概念 1-1．（2024高一上·浙江·期中）中文“函数（function）”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”．已知集，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 1-2．（2024高一上·北京·期中）若函数的定义域为，值域为，那么函数的图象可能是（    ） A．   B． C．   D． 1-3．（2024高一上·广东韶关·阶段练习）设,如下选项是从M到N的四种应对方式,其中是M到N的函数是（    ） A． B． C． D． 1-4．（2024高一上·河南濮阳·阶段练习）下图中可表示函数的图象是（    ） A．B．C．D． 1-5．（2024高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知是集合A到集合B的函数，如果集合，那么集合A可能情况数为（    ） A．9 B．10 C．31 D．32 （二） 求函数的定义域应关注四点 (1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0. (2)不对解析式化简变形，以免定义域变化． (3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合． 题型2：给出解析式求函数的定义域 2-1．（2024高一上·四川成都·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2-2．（2024高一上·浙江·期中）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2-3．（2024高一上·四川乐山·期中）函数定义域为（    ） A． B． C． D． 2-4．（2024高一下·广东汕头·期中）函数的定义域为（    ） A．{且} B．{且} C． D．{且} 题型3：抽象函数求定义域 3-1．（2024高一上·江苏镇江·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 3-2．（2024高一上·山东·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3-3．（2024高一上·江苏南京·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型4：给出函数定义域求参数范围 4-1．（2024高一上·江西新余·期中）若已知函数定义域为，则实数的取值范围是 ． 4-2．（2024高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，则实数的值为 ，实数的值为 . 4-3．（2024高一上·山东枣庄·阶段练习）函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A．或 B．或 C． D． 4-4．（2024高一上·山西临汾·期中）函数． (1)若的定义域为，求实数的值； (2)若的定义域为，求实数的取值范围． （三） 判断两个函数为同一个函数应注意的三点 (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数． (2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的． (3)在化简解析式时，必须是等价变形． 题型5：判断是否为同一函数 5-1．（2024高一上·安徽阜阳·期中）下列函数中，和表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D．， 5-2．（2024高一上·山东菏泽·期中）与表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 5-3．（2024高一上·上海闵行·阶段练习）下列四组函数中，与表示同一函数是（    ） A．， B．， C．， D．， 5-4．（2024高一上·江西新余·期中）下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（   ） A．②④ B．②③ C．①③ D．③④ （四） 函数求值的方法 (1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值． (2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则． 题型6：给出自变量求函数值 6-1．（2024高一上·浙江·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 6-2．（2024高一下·广东湛江·开学考试）已知函数，用列表法表示如下： 则 6-3．（2024高一上·广东韶关·阶段练习）若，的值为 . 6-4．（2024高一上·广东广州·期中）已知，，则 ， ． （五） 求函数的值域常见的方法有： （1）观察法：对解析式简单变形观察，利用熟知的初等函数的值域，求解； （2）配方法：函数是二次函数，可采用配方法结合图像或单调性求解； （3）分离常数法：反解法，函数是一个分式型函数，可采用分离常数法将其整理为一个常数加一个分式，或用表示出，求解； （4）换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域． （5）基本不等式法：通过对解析式变形，利用基本不等式求最值； （6）判别式法：通过对解析式变形，将看成自变量，看成常数，关于的方程有解，利用判别式法求解． 题型7：求函数的值域 7-1．（2024高一上·全国·课后作业）函数的值域是 ． 7-2．（2024高一上·福建厦门·期中）已知函数，函数的值域为（    ） A． B． C． D． 7-3．（2024高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)（）； (4). 7-4．（2024高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（）． 7-5．（2024高一上·浙江杭州·期中）求下列函数的值域： (1) (2) (3) （六） 作函数图象时需注意的五个问题 (1)确定函数的定义域，在定义域内作图； (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象； (3)标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点；　 (4)函数图象可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等； (5)对于已经熟悉形状的函数图象，只需选出几个特殊点即可作出全图，其中抛物线选3个点即可，直线或线段选2个点即可． 题型8：函数的图象 8-1．（2024高一上·湖南长沙·期末）已知函数的图象由两条射线及两条线段（包括端点）组成，如图所示.的值为 . 8-2．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图，则的值为（    ） 1 2 3 2 3 0 A．3 B．0 C．1 D．2 8-3．（2024高三·北京·专题练习）作出函数的图象 8-4．（24-25高一上·全国·课后作业）画出函数的图象． 一、单选题 1．（2024高一上·北京·期中）已知下列表格表示的是函数，则的值为（    ） x 0 1 2 3 y 0 2 1 4 A． B． C．0 D．1 2．（2024高一上·广东佛山·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一下·山西临汾·阶段练习）的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（2024高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）下列四个图象中，可以作为函数图象的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024高一上·江苏泰州·期中）下列选项中表示同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 6．（2024高一上·浙江杭州·期中）下列函数中表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 7．（2024高一上·四川资阳·期中）图中给出的四个对应关系，其中构成函数的是（    ）    A．② B．①④ C．②④ D．③④ 8．（2024高一上·山东潍坊·阶段练习）存在函数满足：对任意，都有（    ） A． B． C． D． 9．（2024高一上·上海·专题练习）中国清朝数学家李善兰在年翻译代数学中首次将“”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”年美国人给出了集合论的函数定义，已知集合，给出下列四个对应法则：①，②，③，④，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A．①③ B．①② C．③④ D．②④ 10．（2024高一上·安徽合肥·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 11．（2024高一上·北京东城·期末）下列函数中，与是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 12．（2024高一上·浙江杭州·期中）设函数的定义域为，，若，则等于（    ） A． B．2 C． D． 13．（2024高一上·江苏徐州·期中）下列各组函数表示相同函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 14．（2024高一上·四川凉山·期中）函数的定义域为（    ） A．且 B．或 C．且 D．或 15．（2024高一下·河北石家庄·开学考试）已知函数，其定义域为（    ） A． B． C． D． 16．（2024高一上·广东佛山·期末）给定数集满足方程，下列对应关系为函数的是（    ） A． B． C． D． 17．（2024高一上·四川内江·期中）下列各组函数是同一函数的是（    ） ①，；②与 ③与；④， A．②③ B．①④ C．①② D．②③④ 18．（2024高一上·河南·期中）若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 19．（2024高一上·河北·阶段练习）下列函数中，与函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 20．（2024高一上·全国·课后作业）（多选）下列说法正确的是（　　） A．依赖关系不一定是函数关系 B．函数关系是依赖关系 C．如果变量m是变量n的函数，那么变量n也是变量m的函数 D．如果变量m是变量n的函数，那么变量n不一定是变量m的函数 21．（2024高一上·安徽六安·期中）以下从到的对应关系表示函数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D． 三、填空题 22．（2024高一上·四川乐山·期中）已知，则 ． 23．（2024高一上·全国·课后作业）函数的定义域为 . 24．（2024高一·全国·竞赛）如果函数满足，且，那么 . 25．（2024高一上·福建莆田·期中）已知函数，则的值域是 ． 26．（2024高一上·浙江杭州·期中）已知函数的定义域为，求实数k的取值范围 ． 27．（2024高一上·云南丽江·阶段练习）函数在的值域为 . 28．（2024高一上·湖南张家界·阶段练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 29．（2024高一上·广东揭阳·期中）已知定义在上的函数满足，，则 . 30．（2024高一上·天津西青·期末）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 31．（2024高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数的定义域为，则的定义域为 . 32．（2024高三上·上海嘉定·期中）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 33．（2024高一上·内蒙古赤峰·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 四、解答题 34．（2024高一上·四川眉山·期中）已知定义域为R的函数和，计算下列各式： (1)； (2) 35．（2024高一·全国·随堂练习）已知函数的定义域为，求函数的定义域． 36．（2024高一上·四川成都·阶段练习）已知函数. (1)画出函数的图像； (2)写出函数的单调区间并指明单调性（不用证明）； (3)当时，求函数的值域. 37．（2024高一·全国·课后作业）作出下列函数的图象： (1)； (2)． 38．（2024高一·全国·课后作业）已知函数的值域为，求函数的值域． 39．（2024高一上·湖北·阶段练习）求下列函数的值域： (1)； (2)； (3). 40．（2024高一·全国·单元测试）已知的定义域为，求的定义域. 41．（2024高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数. (1)求，的值； (2)作出函数的简图； (3)由简图指出函数的值域； 42．（2024高一·全国·课堂例题）试画出下列函数的图象： (1)； (2)，. 43．（2024高一上·湖北荆门·期中）设.    (1)用分段函数的形式表达； (2)在直角坐标系中画出的图象； (3)写出函数的值域． 44．（2024高一上·宁夏固原·阶段练习）已知函数，用表示中的较小者，记为. (1)在给定的坐标系中，画出函数的图象； (2)结合图象写出函数的解析式. 45．（2024高一上·湖南株洲·阶段练习）已知函数 (1)请在给定的坐标系中画出此函数的图象： (2)写出此函数的定义域及值域． 46．（2024高一上·全国·专题练习）求下列函数的值域． (1)； (2). 47．（2024·江西九江·模拟预测）若的定义域为，求的定义域． 48．（2024高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，求函数的定义域. 49．（2024高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，求函数的定义域. 50．（2024高一上·全国·课后作业）已知的定义域为 ，求的定义域. 51．（2024高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，求的定义域. 52．（2024高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域． (1)； (2)，； (3)； (4). 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册） 5.1 函数的概念和图象8题型分类 知识点1 函数的概念 1、函数的定义 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数． 记作：，． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 注：（1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性． 2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等（或为同一函数）； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关． 知识点2 函数定义域的求法 （1）确定函数定义域的原则 ①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合．具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件． ②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义． ③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合． （2）抽象函数定义域的确定 所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则．在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内． （3）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示． 知识点3 函数值域的求法 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有： 观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域； 配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域； 判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围； 换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域． 求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等．总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约． 知识点4 函数的图像 将自变量的一个值作为横坐标，相应的函数值作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点.当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)为，即，所有这些点组成的图形就是函数的图象. （一） 函数的判断 (1)判断一个对应关系是否为函数的方法 (2)根据图形判断对应关系是否为函数的方法 ①任取一条垂直于x轴的直线l； ②在定义域内平行移动直线l； ③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． 题型1：函数的概念 1-1．（2024高一上·浙江·期中）中文“函数（function）”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”．已知集，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】ABD选项，均有对应的函数值不在中，C选项中元素对应的函数值均在中. 【详解】A选项，当时，，而，故A错误； B选项，当时，，而，故B错误； C选项，当时，，当时，，当时，， 故满足要求，C正确； D选项，当时，，而，D错误. 故选：C 1-2．（2024高一上·北京·期中）若函数的定义域为，值域为，那么函数的图象可能是（    ） A．   B． C．   D． 【答案】C 【分析】根据各选项一一判断其定义域与值域，即可得解. 【详解】对于A：函数的定义域为，但是值域不是，故A错误； 对于B：函数的定义域不是，值域为，故B错误； 对于C：函数的定义域为，值域为，故C正确； 对于D：不满足函数的定义，不是一个函数的图象，故D错误. 故选：C 1-3．（2024高一上·广东韶关·阶段练习）设,如下选项是从M到N的四种应对方式,其中是M到N的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数对应关系可得,对于集合M中的每个数,集合N中都有唯一且确定的数与之对应. 【详解】对于A,集合M中的3对应了集合N中的两个数,A错误; 对于B,集合M中的2对应了集合N中的两个数,B错误; 对于C,集合M中的每个数在集合N中都有唯一的数对应,C正确; 对于D,集合M中的3对应了集合N中的两个数,D错误, 故选:C. 1-4．（2024高一上·河南濮阳·阶段练习）下图中可表示函数的图象是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义即可得解. 【详解】根据函数的定义可知一个只能对应一个值，故答案为B. 故选：B. 1-5．（2024高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知是集合A到集合B的函数，如果集合，那么集合A可能情况数为（    ） A．9 B．10 C．31 D．32 【答案】C 【分析】由题意转化为求集合的非空子集个数问题. 【详解】由题意可知，是集合A到集合B的函数， 令，得，令，得，令，得， 所以集合是集合的非空子集，并且非空子集的个数为个. 故选：C （二） 求函数的定义域应关注四点 (1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0. (2)不对解析式化简变形，以免定义域变化． (3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合． 题型2：给出解析式求函数的定义域 2-1．（2024高一上·四川成都·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式以及分式的性质即可列不等式求解. 【详解】由题意可得且， 故定义域为；， 故选：D 2-2．（2024高一上·浙江·期中）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义域要求求解定义域即可. 【详解】函数定义域需满足，解得且，即， 故选：C 2-3．（2024高一上·四川乐山·期中）函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解析式有意义列式计算即可. 【详解】由题知，解得， 所以函数的定义域为． 故选：B. 2-4．（2024高一下·广东汕头·期中）函数的定义域为（    ） A．{且} B．{且} C． D．{且} 【答案】D 【分析】根据函数解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可. 【详解】由题意得，解得且， 即定义域为. 故选：D. 题型3：抽象函数求定义域 3-1．（2024高一上·江苏镇江·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抽象函数定义域的对应特征分析求解. 【详解】对于函数：因为，则， 所以的定义域为. 故选：B. 3-2．（2024高一上·山东·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数定义域的概念及复合函数定义域的求解方法运算求解即可. 【详解】∵函数的定义域为， ∴要使函数有意义， 则有，解得， ∴，即函数的定义域为. 故选：D. 3-3．（2024高一上·江苏南京·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义域，对于函数，可得出关于不等式组，由此可解得函数的定义域. 【详解】因为的定义域为， 对于函数，则，解得， 因此，函数的定义域为. 故选：A. 题型4：给出函数定义域求参数范围 4-1．（2024高一上·江西新余·期中）若已知函数定义域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得对任意恒成立，结合二次函数的性质求解即可. 【详解】解：由题意可得对任意恒成立， 所以， 解得， 所以实数取值范围是. 故答案为： 4-2．（2024高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，则实数的值为 ，实数的值为 . 【答案】 3 【分析】先将问题转化为不等式在给定区间上恒大于或等于0，然后根据二次函数的性质并结合根与系数的关系列方程计算即可 【详解】由题意得不等式的解集为， ∴和是关于的方程的两个实根，且， 于是有解得 ∴实数的值为，实数的值为3. 故答案为：；3. 4-3．（2024高一上·山东枣庄·阶段练习）函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得关于的方程无解，分和两种情况讨论. 【详解】因为函数的定义域为， 即关于的方程无解， 当时，显然无解，符合题意； 当，则，解得， 综上可得. 故选：D 4-4．（2024高一上·山西临汾·期中）函数． (1)若的定义域为，求实数的值； (2)若的定义域为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集即可求解. （2）根据题意，对进行分类讨论，再利用一元二次不等式的解集为，可求实数的取值范围. 【详解】（1）由题意得：不等式的解集为， 所以，化简，解之得． 故实数的值为. （2）由题意得：不等式在R上恒成立， ①当，即或时， 若，则，符合题意； 若，则，定义域不是，不满足条件． ②当，即，或时， ，解得，或. 综上所述，m的取值范围是． （三） 判断两个函数为同一个函数应注意的三点 (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数． (2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的． (3)在化简解析式时，必须是等价变形． 题型5：判断是否为同一函数 5-1．（2024高一上·安徽阜阳·期中）下列函数中，和表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】根据同一函数的定义域和对应法则相同，逐项判断是否符合要求即可. 【详解】A、B：定义域为R，定义域为，不为同一函数； C：、定义域为R，，即对应法则不同，不为同一函数； D：，与定义域和对应法则都相同，为同一函数. 故选：D 5-2．（2024高一上·山东菏泽·期中）与表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相同函数的知识确定正确答案. 【详解】， A选项，，不符合题意. B选项，，不符合题意. C选项，，符合题意. D选项，，不符合题意. 故选：C 5-3．（2024高一上·上海闵行·阶段练习）下列四组函数中，与表示同一函数是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】对于ABC而言，说明两函数的定义域不同即可排除，对于D而言由绝对值的定义可以得到两函数的定义域、对应法则一样，由此即可得解. 【详解】对于A，，的定义域分别为，故A不符题意； 对于B；，的定义域分别为，故B不符题意； 对于C，，的定义域分别为，故C不符题意； 对于D，因为，其定义域、对应法则都是一样的，故D符合题意. 故选：D. 5-4．（2024高一上·江西新余·期中）下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（   ） A．②④ B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】B 【分析】根据函数的定义域和对应法则进行判断即可. 【详解】① ，两个函数对应法则不一样，不是同一函数； ②，两个函数定义域和对应法则一样，是同一函数； ③，两个函数定义域和对应法则一样，是同一函数； ④，两个函数定义域不一样，不是同一函数. 故选：B. （四） 函数求值的方法 (1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值． (2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则． 题型6：给出自变量求函数值 6-1．（2024高一上·浙江·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用函数的解析式求解函数值即可. 【详解】因为， 所以 故选：A. 6-2．（2024高一下·广东湛江·开学考试）已知函数，用列表法表示如下： 则 【答案】 【分析】利用列表可得函数值，从而得解. 【详解】由列表可知. 故答案为：. 6-3．（2024高一上·广东韶关·阶段练习）若，的值为 . 【答案】 【分析】代入及即可得. 【详解】因为， 则. 故答案为：. 6-4．（2024高一上·广东广州·期中）已知，，则 ， ． 【答案】 1 【分析】一空把代入解析式即可求解；二空利用，再计算即可. 【详解】因为， 所以； 所以， 所以 ， 所以； 故答案为：1； （五） 求函数的值域常见的方法有： （1）观察法：对解析式简单变形观察，利用熟知的初等函数的值域，求解； （2）配方法：函数是二次函数，可采用配方法结合图像或单调性求解； （3）分离常数法：反解法，函数是一个分式型函数，可采用分离常数法将其整理为一个常数加一个分式，或用表示出，求解； （4）换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域． （5）基本不等式法：通过对解析式变形，利用基本不等式求最值； （6）判别式法：通过对解析式变形，将看成自变量，看成常数，关于的方程有解，利用判别式法求解． 题型7：求函数的值域 7-1．（2024高一上·全国·课后作业）函数的值域是 ． 【答案】 【分析】求出函数的定义域，化简函数并求出值域即得. 【详解】函数有意义，则，解得且， 显然，则，由，得， 所以函数的值域是． 故答案为： 7-2．（2024高一上·福建厦门·期中）已知函数，函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质即可得到值域. 【详解】， 因为，所以的值域为，即， 故选：A. 7-3．（2024高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)（）； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】分别利用直接法，分离常数法，基本不等式法，换元法求解函数的值域. 【详解】（1）∵，∴, ∴的值域为. （2），显然,所以, 故函数的值域为. （3）由,知. 则, 当且仅当,即时,上式取“”． ∴（）的最小值为8. 故函数（）的值域为. （4）设,则,且, 所以， 由,结合函数的图象得原函数的值域为.    7-4．（2024高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（）． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）利用观察法求值域； （2）利用配方法求值域； （3）利用换元法求值域； （4）利用分离常数法求值域； （5）利用基本不等式法求值域； 【详解】（1）因为，所以．故值域为． （2）因为，且，所以，所以，故函数的值域为． （3）令，则，且， 所以（）．故函数的值域． （4），其中，， 当时，． 又因为，所以． 故函数的值域为． （5）因为，所以，所以， 当且仅当，即时，取等号，即取得最小值8． 故函数的值域为． 7-5．（2024高一上·浙江杭州·期中）求下列函数的值域： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（3）根据题意结合基本不等式求值域； （2）换元令，结合二次函数求值域. 【详解】（1）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的值域为. （2）令，则， 可得， 当时，等号成立， 所以函数的值域为. （3）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 即，所以函数的值域为. （六） 作函数图象时需注意的五个问题 (1)确定函数的定义域，在定义域内作图； (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象； (3)标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点；　 (4)函数图象可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等； (5)对于已经熟悉形状的函数图象，只需选出几个特殊点即可作出全图，其中抛物线选3个点即可，直线或线段选2个点即可． 题型8：函数的图象 8-1．（2024高一上·湖南长沙·期末）已知函数的图象由两条射线及两条线段（包括端点）组成，如图所示.的值为 . 【答案】/1.5 【分析】根据函数图象分析即可. 【详解】由图知，，且当时，函数图象是一条射线， 所以. 故答案为：. 8-2．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图，则的值为（    ） 1 2 3 2 3 0 A．3 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据的图像可知，，根据表格即可求得. 【详解】根据的图像可知，，根据表格可知，. 故选：B 8-3．（2024高三·北京·专题练习）作出函数的图象 【答案】作图见解析 【分析】图象是关于轴对称的，先做出的图象，在作其关于y轴的对称图象即可得到所求图象. 【详解】作出的图象，保留的图象中的部分，再作图象中x>0的部分关于y轴的对称图象，即得的图象，如图．    8-4．（24-25高一上·全国·课后作业）画出函数的图象． 【答案】答案见解析 【分析】画出函数的大致图象再应用上下平移左右平移即可. 【详解】因为，所以可先画出函数的大致图象（如图虚线所示），把所得图象向左平移1个单位长度，得到的图象，再把所得图象向上平移2个单位长度就得到函数的图象，如图实线所示．    一、单选题 1．（2024高一上·北京·期中）已知下列表格表示的是函数，则的值为（    ） x 0 1 2 3 y 0 2 1 4 A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】根据给定的数表，直接计算得解. 【详解】依题意，，所以. 故选：B 2．（2024高一上·广东佛山·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式和分式的意义建立不等式组，解之即可求解. 【详解】由，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D 3．（2024高一下·山西临汾·阶段练习）的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据具体函数定义域的要求列不等式组求解. 【详解】要使函数有意义， 必须满足，解得， 函数的定义域为. 故选；B. 4．（2024高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）下列四个图象中，可以作为函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义可得答案. 【详解】由函数的定义可知，对定义域内的任意一个自变量的值，都有唯一的函数值与其对应，故函数的图象与直线至多有一个交点，只有图A中图象符合. 故选：A． 5．（2024高一上·江苏泰州·期中）下列选项中表示同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】判断两个函数是否为同一个函数时，需满足定义域相同，对应关系相同. 【详解】A选项中，定义域为，的定义域为， 定义域不同，所以不是同一个函数，A错误； B选项中，的定义域为，的定义域为， 定义域不同，所以不是同一个函数，B错误； C选项中，中，，解得：或， 即的定义域为，中，解得， 即的定义域为，定义域不同，所以不是同一个函数，C错误； D选项中，与的定义域均为， 且 ，所以与是同一个函数，所以D正确. 故选：D 6．（2024高一上·浙江杭州·期中）下列函数中表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合函数相等的定义逐项分析判断. 【详解】对于选项A：因为的定义域为，的定义域为， 两者定义域不相同，所以不是同一函数，故A错误； 对于选项B：因为的定义域为，的定义域为， 两者定义域不相同，所以不是同一函数，故B错误； 对于选项C：令，解得或，可知的定义域为， 令，解得，可知的定义域为， 两者定义域不相同，所以不是同一函数，故C错误； 对于选项D：因为的定义域均为， 且，即的对应关系相同， 所以为同一函数，故D正确； 故选：D. 7．（2024高一上·四川资阳·期中）图中给出的四个对应关系，其中构成函数的是（    ）    A．② B．①④ C．②④ D．③④ 【答案】D 【分析】根据函数的定义判断即可. 【详解】根据函数的定义，每个都有一个对应的唯一确定的函数值， 故只有③④符合条件. 故选：D. 8．（2024高一上·山东潍坊·阶段练习）存在函数满足：对任意，都有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义，对于任一自变量有唯一的与之对应，对取特殊值，通过举反例排除即可. 【详解】对于A选项，函数的定义域为，不合乎要求； 对于B选项，当时，则有，当时，则有，与函数的定义矛盾； 对于C选项，， 令，则，其中，合乎题意； 对于D选项，当时，则，当时，则，与函数的定义矛盾. 故选：C. 9．（2024高一上·上海·专题练习）中国清朝数学家李善兰在年翻译代数学中首次将“”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”年美国人给出了集合论的函数定义，已知集合，给出下列四个对应法则：①，②，③，④，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A．①③ B．①② C．③④ D．②④ 【答案】C 【分析】利用函数的定义逐一分析判断即可． 【详解】对应关系若能构成从到的函数， 须满足：对中的任意一个数，通过对应关系在中都有唯一的数与之对应， 对于①，，当时，，故不满足题意； 对于②，，当时，，故不满足题意； 对于③，，当时，，当时，， 当时，，当时，，故满足题意； 对于④，，当时，， 当时，，当时，，故满足题意． 故选：C. 10．（2024高一上·安徽合肥·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简函数，结合，求得的取值范围，即可求解. 【详解】由题意，函数（）， 令，则，可得， 故（）的值域为． 故选：A. 11．（2024高一上·北京东城·期末）下列函数中，与是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义域与对应关系逐项判断即可得答案. 【详解】函数的定义域为， 对于A，函数的定义域为，且对应关系与函数相同，故A正确； 对于B，函数的定义域为，但是，对应关系与函数不相同，故B错误； 对于C，函数的定义域为，定义域不同，则不是同一函数，故C错误； 对于D，函数的定义域为，且，则对应关系与函数不相同，故D错误. 故选：A. 12．（2024高一上·浙江杭州·期中）设函数的定义域为，，若，则等于（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用赋值法分析求解. 【详解】因为， 令，则，即，可得； 令，则，即，可得； 令，可得. 故选：D. 13．（2024高一上·江苏徐州·期中）下列各组函数表示相同函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】举反例得到A不是相同函数，根据定义域排除BC，得到答案. 【详解】对选项A：取，两个函数值分别为和，不是相同函数； 对选项B：两个函数定义域不同，不是相同函数； 对选项C：定义域为，定义域为，不是相同函数； 对选项D：定义域为，化简为，定义域为，是相同函数. 故选：D. 14．（2024高一上·四川凉山·期中）函数的定义域为（    ） A．且 B．或 C．且 D．或 【答案】A 【分析】根据题意列出不等式组，解出即可. 【详解】由题意得，解得且， 则定义域为且. 故选：A. 15．（2024高一下·河北石家庄·开学考试）已知函数，其定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶次根式定义域和分母不为零即可得到该函数定义域. 【详解】由得，所以定义域为， 故选：C. 16．（2024高一上·广东佛山·期末）给定数集满足方程，下列对应关系为函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】ACD选项，可举出反例；B选项，利用函数的定义作出判断. 【详解】A选项，，当时，，由于，故A选项不合要求； B选项，，存在唯一确定的，使得，故B正确； CD选项，对于，不妨设，此时，解得， 故不满足唯一确定的与其对应，不满足要求，CD错误. 故选：B 17．（2024高一上·四川内江·期中）下列各组函数是同一函数的是（    ） ①，；②与 ③与；④， A．②③ B．①④ C．①② D．②③④ 【答案】A 【分析】判断两个函数是否为同一个函数时，需满足定义域相同，对应关系相同. 【详解】对于①，函数与的定义域均为， 但是，则两函数对应关系不同，故不是同一函数，不合题意； 对于②，的定义域为，的定义域为， 且，所以与是同一函数，符合题意； 对于③，与的定义域均为，且两函数对应关系相同， 故它们是同一函数，符合题意； 对于④，的定义域是； ，解得或， 所以的定义域是， 两函数定义域不同，所以不是同一函数，不合题意. 故选：A 18．（2024高一上·河南·期中）若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数定义域可知对任意恒成立求解即可. 【详解】若函数的定义域为R， 则对任意恒成立． 当时，不等式化为，恒成立； 当时，需，解得． 综上所述，实数a的取值范围是． 故选：B． 二、多选题 19．（2024高一上·河北·阶段练习）下列函数中，与函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据相等函数的定义判断即可. 【详解】与的解析式一致，定义域均为，值域也相同，A正确； 与的解析式不一致，B错误； ，与的解析式一致，定义域均为，值域也相同，C正确； 的定义域为，的定义域为，D错误． 故选：AC. 20．（2024高一上·全国·课后作业）（多选）下列说法正确的是（　　） A．依赖关系不一定是函数关系 B．函数关系是依赖关系 C．如果变量m是变量n的函数，那么变量n也是变量m的函数 D．如果变量m是变量n的函数，那么变量n不一定是变量m的函数 【答案】ABD 【分析】由已知条件结合函数关系和依赖关系的定义分别检验各选项即可. 【详解】对于A、B选项：由依赖关系及函数关系的定义知A、B正确； 对于C、D选项：如，则，不是函数关系，所以C错误，D正确． 故选：ABD. 21．（2024高一上·安徽六安·期中）以下从到的对应关系表示函数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D． 【答案】BD 【分析】判断从到的对应关系是否表示函数，主要是判断集合中的每一个元素在集合中是否都有唯一的元素与之对应即可. 【详解】对于A选项，因而0没有倒数，故A项错误； 对于B选项，因任意实数的绝对值都是非负数，即集合中的每一个元素在集合中都有唯一的元素与之对应，故B项正确； 对于C选项，因每个正数的平方根都有两个，即集合M中的每个元素在集合中都有两个元素与之对应，故C项错误； 对于D选项，因当时，即有 且每个对应唯一的值，故必有成立,故D项正确. 故选：BD. 三、填空题 22．（2024高一上·四川乐山·期中）已知，则 ． 【答案】5 【分析】利用函数解析式，计算函数值 【详解】由题意，，则． 故答案为：5 23．（2024高一上·全国·课后作业）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据解析式有意义列不等式组求解即可. 【详解】解不等式组，得且，即， 所以函数的定义域为. 故答案为： 24．（2024高一·全国·竞赛）如果函数满足，且，那么 . 【答案】7 【分析】由已知抽象函数的关系式层层代入即可. 【详解】. 故答案为：. 25．（2024高一上·福建莆田·期中）已知函数，则的值域是 ． 【答案】 【分析】令，则且，再令，，结合二次函数的性质求出的值域，即可得解. 【详解】函数的定义域为， 令，则且， 令，，则， 所以，当且仅当时取等号，即， 所以. 故答案为： 26．（2024高一上·浙江杭州·期中）已知函数的定义域为，求实数k的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据函数的值域的概念以及一元二次不等式恒成立问题求解. 【详解】由题可得，对恒成立， 当时，不满足题意； 当时，要使对恒成立， 则有，解得， 所以实数k的取值范围是. 故答案为: . 27．（2024高一上·云南丽江·阶段练习）函数在的值域为 . 【答案】 【分析】根据不等式性质运算求解即可. 【详解】因为，则，可得， 所以在的值域为. 故答案为：. 28．（2024高一上·湖南张家界·阶段练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】根据函数的定义域列不等式，结合一元不等式恒成立求解即可得实数的取值范围. 【详解】若函数的定义域为，则的解集为 当时，不等式变为，得不符合题意； 当时，要使得解集为，则，解得 综上可得实数的取值范围是. 故答案为：. 29．（2024高一上·广东揭阳·期中）已知定义在上的函数满足，，则 . 【答案】1 【分析】当时，，当时，，解得答案. 【详解】定义在上的函数满足，， 当时，；当时，，解得. 故答案为： 30．（2024高一上·天津西青·期末）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可知：在上恒成立，分和两种情况，结合二次函数列式求解. 【详解】由题意可知：在上恒成立， 若，则，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：. 31．（2024高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数的定义域为，则的定义域为 . 【答案】 【分析】利用抽象函数定义域的求法即可求解. 【详解】由 , 得, 所以 的定义域为由 , 得 故答案为：. 32．（2024高三上·上海嘉定·期中）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分式函数中分母不为0得恒成立，分类讨论，时符合题意，时利用判别式法列不等式求解即可. 【详解】函数的定义域为， 得恒成立， 当时，恒成立； 当时，，得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 33．（2024高一上·内蒙古赤峰·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由的定义域为，则恒成立，对分类讨论计算即可得. 【详解】由的定义域为，则恒成立， 当时，，得，不符合要求，故舍去， 当时，有，解得， 综上，. 故答案为：. 四、解答题 34．（2024高一上·四川眉山·期中）已知定义域为R的函数和，计算下列各式： (1)； (2) 【答案】(1)12 (2)3 【分析】根据题中函数解析式直接计算得到答案. 【详解】（1）函数，，故； （2）函数，则，， 所以 35．（2024高一·全国·随堂练习）已知函数的定义域为，求函数的定义域． 【答案】 【分析】抽象函数定义域求解注意两点，一是定义域为的取值范围，二是同一个函数符号下，括号内的取值范围一致. 【详解】由题意得，解得， 故的定义域为. 36．（2024高一上·四川成都·阶段练习）已知函数. (1)画出函数的图像； (2)写出函数的单调区间并指明单调性（不用证明）； (3)当时，求函数的值域. 【答案】(1)图象见解析 (2)为增区间，为减区间； (3). 【分析】（1）由分段函数解析式，在坐标系上描点，即可作出函数的图像； （2）结合函数图像即可得出答案； （3）根据函数各区间上的单调性即可得出答案. 【详解】（1）由解析式有： 函数图象如下图示： （2）由图知：函数在上为增区间，在上为减区间； （3）由图知： 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，求函数的值域为. 37．（2024高一·全国·课后作业）作出下列函数的图象： (1)； (2)． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析. 【分析】（1）先去绝对值变成分段函数，然后作出每一段的图象即可； （2）结合二次函数的图象特征，分别作出每一段图象即可. 【详解】（1）因为函数，画出其图象如图所示． （2）函数的图象是两段抛物线（部分）与一点，画出其图象如图②所示， 38．（2024高一·全国·课后作业）已知函数的值域为，求函数的值域． 【答案】 【分析】令，求出t的范围，把函数转化为关于t的二次函数，利用函数的单调性求值域. 【详解】设， 所以， 则函数 在上单调递增，在单调递减， 又则 ，， 函数的值域是． 【点睛】本题考查了函数值域的求法，解答本题的关键是利用换元法把函数转化为一元二次函数，根据一元二次函数的单调性求值域. 39．（2024高一上·湖北·阶段练习）求下列函数的值域： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用换元法转化为二次函数在给定区间的值域问题求解； （2）结合基本不等式求解即可． （3）由解析式求函数的定义域，将函数转化为方程，即方程在上有解，结合判别式即可求值域； 【详解】（1）设，则，且， 所以，由，再结合函数的图像，可得函数的值域为.    （2）因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故函数的值域为. （3）由知， 整理得. 当时，方程无解； 当时，，即. 故所求函数的值域为. 40．（2024高一·全国·单元测试）已知的定义域为，求的定义域. 【答案】 【分析】根据抽象函数定义域的性质即可求解. 【详解】，， 解得：， 即函数的定义域为. 41．（2024高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数. (1)求，的值； (2)作出函数的简图； (3)由简图指出函数的值域； 【答案】(1)， (2)函数的简图见解析. (3) 【分析】（1）直接利用分段函数解析式求解函数值. （2）根据函数类型及性质作函数简图. （3）由简图直接看出函数的值域. 【详解】（1）由， ∴， . （2）简图如图所示： （3）简图可知函数的值域为 42．（2024高一·全国·课堂例题）试画出下列函数的图象： (1)； (2)，. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据直线的性质进行画图即可； （2）根据二次函数的性质进行画图即可. 【详解】（1）因为一次函数的图象是直线， 所以取特殊点即可；        （2）因为二次函数是抛物线，当时，函数单调递增， 所以取特殊点连线即可，其中是空心点.    43．（2024高一上·湖北荆门·期中）设.    (1)用分段函数的形式表达； (2)在直角坐标系中画出的图象； (3)写出函数的值域． 【答案】(1) (2)作图见解析 (3) 【分析】（1）分、两种情况化简函数的解析式，即可得解； （2）根据函数的解析式可作出函数的图象； （3）根据函数的图象可写出函数的值域. 【详解】（1）当时，， 当时，． 所以，. （2）函数的图象如图所示：（注意端点处的开闭）    （3）由（1）（2）知，函数的最小值为； 当时，函数取得最大值，最大值为， 所以，在上的值域为 44．（2024高一上·宁夏固原·阶段练习）已知函数，用表示中的较小者，记为. (1)在给定的坐标系中，画出函数的图象； (2)结合图象写出函数的解析式. 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）先画出，的图象，再根据函数的定义可得答案； （2）数形结合可得答案. 【详解】（1）由解得或， 画出的图象如下图所示，    而表示中的较小者，所以函数的图象如下图所示：    （2）由，解得或， 结合图象可得的解析式： . 45．（2024高一上·湖南株洲·阶段练习）已知函数 (1)请在给定的坐标系中画出此函数的图象： (2)写出此函数的定义域及值域． 【答案】(1)图象见解析 (2)定义域为，值域为 【分析】（1）根据函数的解析式，结合一次、二次函数，以及反比例函数的图象与性质，进而画出函数的图象； （2）由（1）中，函数的图象，结合定义域、值域的定义与求法，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，其图象，如图所示， （2）解：由（1）中，函数的图象，可得：函数的定义域为，值域为. 46．（2024高一上·全国·专题练习）求下列函数的值域． (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法，再根据二次函数相关性质即可求得结果； （2）先求得函数定义域，再求出二次函数最值即可求得其值域. 【详解】（1）令，所以， 即， 当时，， 即函数的值域为. （2）由题意得：，即， 所以函数定义域为， ， 由二次函数性质可得， 所以的值域为． 47．（2024·江西九江·模拟预测）若的定义域为，求的定义域． 【答案】. 【分析】由题意列出不等式组解之即得. 【详解】由函数的定义域为，则要使函数有意义， 则， 解得, ∴函数的定义域为. 48．（2024高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，求函数的定义域. 【答案】 【分析】根据函数的定义域求出的定义域，再求出的定义域即可. 【详解】的定义域为， 所以的定义域为； 函数有意义， 则， 解得或 所以的定义域为：. 49．（2024高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，求函数的定义域. 【答案】 【分析】根据抽象函数的定义域求法即可解决 【详解】∵函数的定义域为 ∴，解之得： 故函数的定义域为： 50．（2024高一上·全国·课后作业）已知的定义域为 ，求的定义域. 【答案】 【分析】令，，根据二次函数的性质求出的范围，即可得的定义域. 【详解】解：令，， 由二次函数的性质可得， 所以的定义域为. 51．（2024高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，求的定义域. 【答案】 【分析】由的定义域为可得，由求解即可. 【详解】解：因为函数的定义域为， 即函数中， 所以； 所以函数中， 解得：， 即. 所以的定义域为. 52．（2024高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域． (1)； (2)，； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）由可推导得到函数值域； （2）将的取值代入解析式即可求得结果； （3）采用分离常数法可求得函数值域； （4）采用换元法，将问题转化为关于的二次函数的值域求解问题. 【详解】（1），，即，的值域为. （2）当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； ，的值域为. （3）， ，，的值域为. （4）令，则且，， 则当时，，的值域为. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$