精品解析：人教版2023-2024学年七年级数学下册期末综合练习 试题

期末综合练习 一、单项选择题（本大题共10道小题，每小题3分，共计30分） 1. 在我们常见英文字母中，也存在着同位角、内错角，在下面几个字母中，含有内错角最少的字母是( ) A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则的取值范围为（ ） A B. C. D. 3. 三条互不重合的直线的交点个数可能是（　　） A. 0，1，3 B. 0，2，3 C. 0，1，2，3 D. 0，1，2 4. 二元一次方程组的解是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，下列判断中正确的个数是（　　） （1）∠A与∠1是同位角；（2）∠A和∠B是同旁内角；（3）∠4和∠1是内错角；（4）∠3和∠1是同位角． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 2021年“世界水日”的主题为“珍惜水、爱护水”．小明家安装节水龙头后，他记录了50天的日用水量数据（单位：m3），得到频数分布表如表： 日用水量x 0≤x＜0.1 0.1≤x＜0.2 0.2≤x＜0.3 0.3≤x＜0.4 0.4≤x＜0.5 0.5≤x＜0.6 频数 2 3 5 20 15 5 在记录的这50天中，日用水量小于0.4m3的频率为（　　） A. 0.9 B. 0.6 C. 0.3 D. 0.2 7. 如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. 2 D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，根据这个规律探索可得，第100个点坐标为　　 A. B. C. D. 9. 如图，直线a和直线b被直线c所载，且a//b，∠2=110°,则∠3=70°，下面推理过程错误的是（ ） A. 因为a//b，所以∠2=∠6=110°，又∠3+∠6=180°(邻补角定义） 所以∠3=180-∠6=180-110=70 B. 所以 C. 因为a//b所以又∠3+∠5=180°(邻补角定义）， D ，，∴∠3=180°−∠4=180°−110°=70° 所以 10. 某城市规定：出租车起步价所包含的路程为，超过的部分按每千米另收费（不足的按计算）．甲说“我乘这种出租车走了，付了元．”乙说：“我乘这种出租车走了千米，付了元．”问：出租车的起步价和超过后的每千米的收费标准分别是（ ） A. 元、元 B. 元、元 C. 元、元 D. 元、元 二、填空题（本大题共6道小题，每小题3分，共计18分） 11. 如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，F则∠1的同位角和∠5的内错角分别是___________． 12. 根据不等式的基本性质，由，两边同乘－1，得______ 13. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，作关于x轴的对称图形，得到；作关于y轴的对称图形，得到；作关于x轴的对称图形，得到；作关于y轴的对称图形，得到；作关于x轴的对称图形，得到；…；按照此规律重复下去，若点，则点的坐标为______． 14. 如图，已知棋子“车”的位置表示为(﹣2，3)，则棋子“炮”的位置可表示为_____． 15. 甲、乙两种酒近几年的销量如折线统计图所示，由此两种酒年销量增长速度较快的是______种（填“甲”或“乙”） 16. 磁器口古镇，被赞誉为“小重庆”，磁器口的陈麻花更是重庆标志性名片之一．磁器口某门店从陈麻花生产商处采购了原味、麻辣、巧克力三种口味的麻花进行销售，其每袋进价分别是10元，12元，15元，其中原味与麻辣味麻花每袋的销售利润率相同，原味与巧克力味麻花每袋的销售利润相同．经统计，在今年元旦节当天，该门店这三种口味的麻花销量是2：3：2，其销售原味与巧克力味麻花的总利润率是40%，且巧克力味麻花销售额比原味麻花销售额多1000元，则今年元旦节当天该门店销售这三种口味的麻花的利润共_____元． 三、解答题（本大题共7道小题，17-19每题6分，20-22每题8分，23题10分，共52分） 17. 已知是的算术平方根，是的立方根，求：的值的平方根． 18. 如图，和的平分线交于E，交于点F，且． （1）试说明：； （2）若，求的度数． 19. 美美服装厂接到订单，需要在六月份生产某种款式的连衣裙条，已知每名工人每天能生产条，服装厂安排名工人加工天后，又从兄弟厂借调若干工人一起参与加工，这才在规定期限内超额完成任务，问至少需借调多少名工人？ 20. 如图，射线与直线分别相交于点H，G． 按要求完成下列各小题． （1）图中共有 对对顶角， 对内错角； （2）①的同旁内角是 ； ②和是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是具有什么位置关系的角？ （3）过点G画射线的垂线，交于点M，并指出哪条线段的长度表示点G到的距离． 21. 2020年7月，教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》中明确要求中小学劳动教育课平均每周不少于1课时，初中生平均每周劳动时间不少于3小时．某初级中学为了解学生劳动教育的情况，从本校学生中随机抽取了500名进行问卷调查．下图是根据此次调查结果得到的统计图． 请根据统计图回答下列问题： （1）本次调查中，平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比为多少？ （2）若该校有2000名学生，请估计最喜欢的劳动课程为木工的有多少人． （3）请你根据本次问卷调查的结果给同学和学校各提一条合理化建议． 22. 已知，多项式，如图，长方形广场的长和宽分别为千米，千米，长方形广场内的绿化部分（阴影部分）是由四个半圆围成的图形． （1）长方形的长___________，宽___________． （2）求阴影部分的面积．（结果保留） （3）现在有两个人在广场训练跑步，甲在点出发，以的速度从的方向跑步，乙在点点出发，以的速度从的方向跑步，两人同时出发，且甲派一名教练员在点同时同向出发，在甲乙之间不间断地来回骑行进行指导，他骑行的速度是，那么教练员从他出发到第二次追上乙用时多少？ 23. 对于一个各位数字都不为0的三位正整数，若满足个位数字是十位数字的2倍，则称M为“开心数”．将一个“开心数”任意一个数位上的数字去掉后可以得到三个两位数，把这三个两位数之和记为．如“开心数”，去掉百位上的数字后得到12，去掉十位上的数字后得到32，去掉个位上的数字后得到31，则． （1）求，的值； （2）若能被11整除，求出满足条件所有“开心数”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末综合练习 一、单项选择题（本大题共10道小题，每小题3分，共计30分） 1. 在我们常见的英文字母中，也存在着同位角、内错角，在下面几个字母中，含有内错角最少的字母是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据内错角的概念分别找出各个选项中的内错角个数，找出含有内错角最少的字母即可. 【详解】解：根据内错角的定义可知H中含有2对内错角，M中含有2对内错角；N中含有1对，A中含有2对内错角. 故选C. 【点睛】掌握内错角的概念：两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角是解题关键. 2. 在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】点在第二象限的条件是：横坐标是负数，纵坐标是正数，可得m-3＜0，m+1＞0，求不等式组的解即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴可得到， 解得的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 3. 三条互不重合的直线的交点个数可能是（　　） A. 0，1，3 B. 0，2，3 C. 0，1，2，3 D. 0，1，2 【答案】C 【解析】 【详解】分四种情况：①三条直线平行，有0个交点；②三条直线相交于同一点，有1个交点；③一条直线截两条平行线有2个交点；④三条直线两两相交有3个交点．故选C． 点睛：本题没有明确平面上三条不重合直线的相交情况，需要运用分类讨论思想，解答时要分各种情况解答，要考虑到可能出现的所有情形，不要遗漏，否则讨论的结果就不全面． 4. 二元一次方程组的解是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用代入消元法解方程组即可得出答案． 【详解】解：， 由②得y=8-2x③， 把③代入①得7x-3（8-2x）=2， 解得x=2， 把x=2代入③得y=4， ∴方程组的解为， 故选：B． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键． 5. 如图，下列判断中正确的个数是（　　） （1）∠A与∠1是同位角；（2）∠A和∠B是同旁内角；（3）∠4和∠1是内错角；（4）∠3和∠1是同位角． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】准确识别同位角、内错角、同旁内角的关键，是弄清哪两条直线被哪一条线所截．也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线． 【详解】解：（1）∠A与∠1是同位角，正确，符合题意； （2）∠A与∠B是同旁内角．正确，符合题意； （3）∠4与∠1是内错角，正确，符合题意； （4）∠1与∠3不是同位角，错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三线八角，在复杂的图形中识别同位角、内错角、同旁内角时，应当沿着角的边将图形补全，或者把多余的线暂时略去，找到三线八角的基本图形，进而确定这两个角的位置关系． 6. 2021年“世界水日”的主题为“珍惜水、爱护水”．小明家安装节水龙头后，他记录了50天的日用水量数据（单位：m3），得到频数分布表如表： 日用水量x 0≤x＜0.1 0.1≤x＜0.2 0.2≤x＜0.3 0.3≤x＜0.4 0.4≤x＜0.5 0.5≤x＜0.6 频数 2 3 5 20 15 5 在记录的这50天中，日用水量小于0.4m3的频率为（　　） A. 0.9 B. 0.6 C. 0.3 D. 0.2 【答案】B 【解析】 【分析】根据频率=频数÷总数即可得到答案． 【详解】解：由题意得日用水量小于0.4m3的频率， 故选B． 【点睛】本题主要考查了求频数，熟知频率＝频数÷总数是解题的关键． 7. 如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是，2，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算． 【详解】解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为 4 和 2， ∴两个正方形的边长分别是，2， ∴阴影部分的面积 故选A． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，解题的关键在于能够准确根据正方形的面积求出边长. 8. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】从图中可以看出横坐标为1的有一个点，横坐标为2的有2个点，横坐标为3的有3个点，依此类推横坐标为n的有n个点题目要求写出第100个点的坐标，我们可以通过加法计算算出第100个点位于第几列第几行，然后对应得出坐标规律，将行列数代入规律式． 【详解】在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点第n列有n个点， 并且奇数列点数对称而偶数列点数y轴上方比下方多一个， 所以奇数列的坐标为； 偶数列的坐标为， 由加法推算可得到第100个点位于第14列自上而下第六行． 代入上式得，即． 故选D． 【点睛】本题是一道找规律题，主要考查了点的规律.培养学生对平面直角坐标系的熟练运用能力是解题的关键． 9. 如图，直线a和直线b被直线c所载，且a//b，∠2=110°,则∠3=70°，下面推理过程错误的是（ ） A. 因为a//b，所以∠2=∠6=110°，又∠3+∠6=180°(邻补角定义） 所以∠3=180-∠6=180-110=70 B. 所以 C. 因为a//b所以又∠3+∠5=180°(邻补角定义）， D. ，，∴∠3=180°−∠4=180°−110°=70° 所以 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质结合邻补角的性质对各选项逐一进行分析判断即可得． 【详解】A． 因为a//b，所以∠2=∠6=110°，又∠3+∠6=180°(邻补角定义） 所以∠3=180-∠6=180-110=70，正确，不符合题意； B． ， ， 所以，正确，不符合题意； C． 因为a//b，所以，又∠3+∠5=180°(邻补角定义）， ，正确 ，不符合题意； D． ，∴∠4=180°-∠2=180°-110°=70°， ，∴∠3=70°， 故D选项错误， 故选D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握“两直线平行，同位角相等”、“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键． 10. 某城市规定：出租车起步价所包含的路程为，超过的部分按每千米另收费（不足的按计算）．甲说“我乘这种出租车走了，付了元．”乙说：“我乘这种出租车走了千米，付了元．”问：出租车的起步价和超过后的每千米的收费标准分别是（ ） A. 元、元 B. 元、元 C. 元、元 D. 元、元 【答案】D 【解析】 【分析】设出租车的起步价是元，超过后，每千米的车费是元，根据甲、乙两人的乘车路程及所付金额，列出二元一次方程组，然后解方程组即可． 【详解】解：设出租车的起步价是元，超过后，每千米的车费是元（不足的按计算）， 依题意，得：， 解得：， ∴出租车的起步价是元，超过后的每千米的收费标准是元． 故选：D． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用．找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 二、填空题（本大题共6道小题，每小题3分，共计18分） 11. 如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，F则∠1的同位角和∠5的内错角分别是___________． 【答案】∠2和∠4 【解析】 【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角进行分析即可． 根据内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角进行分析即可． 【详解】解：∠1的同位角是∠2，∠5的内错角是∠4， 故答案为：∠2和∠4． 【点睛】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形． 12. 根据不等式的基本性质，由，两边同乘－1，得______ 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，正确掌握不等式的基本性质是解题的关键． 13. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，作关于x轴的对称图形，得到；作关于y轴的对称图形，得到；作关于x轴的对称图形，得到；作关于y轴的对称图形，得到；作关于x轴的对称图形，得到；…；按照此规律重复下去，若点，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意找出规律即可求解． 【详解】解：根据题意可得，的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为，… 根据规律可得每四个坐标一循环， ∵ ∴的坐标为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了点坐标规律，正确找出规律是解决本题的关键． 14. 如图，已知棋子“车”的位置表示为(﹣2，3)，则棋子“炮”的位置可表示为_____． 【答案】(3，2) 【解析】 【分析】根据棋子“车”的位置表示为(﹣2，3)，确定原点，建立平面直角坐标系，根据坐标系写出点的坐标即可求解． 【详解】解：如图建立平面直角坐标系， 则棋子“炮”的位置可表示为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了用坐标表示位置，根据题意建立平面直角坐标系是解题的关键． 15. 甲、乙两种酒近几年的销量如折线统计图所示，由此两种酒年销量增长速度较快的是______种（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【解析】 【分析】分别计算出两种酒的增长速度，比较得出增长速度较快的一个． 【详解】由图形可知，甲在2012年的销量约为50万箱，2018年销量约为90万箱 则增长速度为：= 乙在2014年销量约为40万箱，2018年销量约为80万箱 则增长速度为：= ∵ 故答案为：乙． 【点睛】本题考查通过统计图进行判断，解题关键是根据统计图，读取出有用信息，进行计算比较． 16. 磁器口古镇，被赞誉为“小重庆”，磁器口的陈麻花更是重庆标志性名片之一．磁器口某门店从陈麻花生产商处采购了原味、麻辣、巧克力三种口味的麻花进行销售，其每袋进价分别是10元，12元，15元，其中原味与麻辣味麻花每袋的销售利润率相同，原味与巧克力味麻花每袋的销售利润相同．经统计，在今年元旦节当天，该门店这三种口味的麻花销量是2：3：2，其销售原味与巧克力味麻花的总利润率是40%，且巧克力味麻花销售额比原味麻花销售额多1000元，则今年元旦节当天该门店销售这三种口味的麻花的利润共_____元． 【答案】3800 【解析】 【分析】根据题目中 “销售原味与巧克力味麻花的总利润率是40%”并结合“利润＝利润率×成本”可得等量关系式，设原味麻花的销售利润率为x%，再设三种口味的麻花销量分别是：原味2y袋，麻辣味3y袋，巧克力味2y袋，根据题意列出方程，求得x与y的值，即可得出结论． 【详解】解：设原味麻花每袋的销售利润率为x%，三种口味的麻花销量分别是：原味2y袋，麻辣味3y袋，巧克力味2y袋，根据题意得： ， 原方程可化为：， 即． 解得x＝50． 则， 解得：y＝100． ∴元旦节当天该门店销售这三种口味的麻花的利润为： （元）． 故答案为：3800． 【点睛】本题主要考查了方程的应用，根据题意找出题目中的等量关系并能准确列出方程进行求解是解题的关键． 三、解答题（本大题共7道小题，17-19每题6分，20-22每题8分，23题10分，共52分） 17. 已知是的算术平方根，是的立方根，求：的值的平方根． 【答案】． 【解析】 【分析】根据算术平方根及立方根的定义，求出、的值，进一步得到、的值，代入可得出的平方根． 【详解】∵是的算术平方根， ∴， ∴， 则：， ∵是的立方根， ∴， 解得：， ∴， ∴， 即的值的平方根为． 【点睛】此题考查了立方根、平方根及算术平方根的定义，求出、的值是解答本题的关键． 18. 如图，和的平分线交于E，交于点F，且． （1）试说明：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）先由角平分线的定义得到，再由已知条件证明，即可证明； （2）先求出，再由平行线的性质即可得到． 小问1详解】 证明：∵和的平分线交于E， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 19. 美美服装厂接到订单，需要在六月份生产某种款式的连衣裙条，已知每名工人每天能生产条，服装厂安排名工人加工天后，又从兄弟厂借调若干工人一起参与加工，这才在规定期限内超额完成任务，问至少需借调多少名工人？ 【答案】至少需借调3名工人 【解析】 【分析】根据题意，设借调x名工人，可得：5×10×10+（30-10）×10（x+5）≥2000，结合一元一次不等式的性质计算，即可得到答案. 【详解】设借调名工人，根据题意得： ， 解得：， 为整数， 最小取， ∴至少需借调名工人． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元一次不等式． 20. 如图，射线与直线分别相交于点H，G． 按要求完成下列各小题． （1）图中共有 对对顶角， 对内错角； （2）①的同旁内角是 ； ②和是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是具有什么位置关系的角？ （3）过点G画射线的垂线，交于点M，并指出哪条线段的长度表示点G到的距离． 【答案】（1）4；4 （2）①，；②和是直线被直线所截形成；同位角 （3）图见解析， 【解析】 【分析】（1）根据对顶角和内错角的定义进行判断即可； （2）①根据同旁内角的定义，进行判断即可；②根据三线八角的关系，进行判断即可； （3）根据题意画出垂线即可，根据点到直线的距离为垂线段的长，即可得出结论． 【小问1详解】 解：由图可知：和，和，和，和是对顶角，共4对；和，和，和，和是内错角，共4对； 故答案为：4；4 【小问2详解】 ①由图可知：的同旁内角是，； 故答案为：，； ②和是直线被直线所截形成的同位角； 【小问3详解】 如图； 由图可知：线段的长即为点G到的距离． 【点睛】本题考查三线八角，对顶角，点到直线的距离．熟练掌握相关定义是解题的关键． 21. 2020年7月，教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》中明确要求中小学劳动教育课平均每周不少于1课时，初中生平均每周劳动时间不少于3小时．某初级中学为了解学生劳动教育的情况，从本校学生中随机抽取了500名进行问卷调查．下图是根据此次调查结果得到的统计图． 请根据统计图回答下列问题： （1）本次调查中，平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比为多少？ （2）若该校有2000名学生，请估计最喜欢的劳动课程为木工的有多少人． （3）请你根据本次问卷调查的结果给同学和学校各提一条合理化建议． 【答案】（1） （2）人 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）由条形统计图求出平均每周劳动时间不少于3小时的人数，然后代入即可得出答案； （2）由扇形统计图得木工所占比例为16%，然后代入即可得出答案； （3）对学校来说应该多增加一些与学生生活息息相关的劳动课程，锻炼生活技能；对学生来说应该在学习的同时多多参加课外劳动课程，学一些与生活有关的技能，增加生活经验． 【小问1详解】 由条形统计图可知：平均每周劳动时间不少于3小时的人数为人， 故平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比为． 【小问2详解】 由扇形统计图得木工所占比例为， 故最喜欢的劳动课程为木工的有人． 【小问3详解】 对学校：劳动课程应该多增加操作简单、与学生生活息息相关且能让学生有所收获的生活技能内容； 对学生：多多参加课外劳动课程，劳逸结合，学习一些基本的生活技能，比如烹饪、种植等 【点睛】本题考查调查统计，解题的关键是能够根据统计图得出关键信息并加以转化运算． 22. 已知，多项式，如图，长方形广场的长和宽分别为千米，千米，长方形广场内的绿化部分（阴影部分）是由四个半圆围成的图形． （1）长方形的长___________，宽___________． （2）求阴影部分的面积．（结果保留） （3）现在有两个人在广场训练跑步，甲在点出发，以的速度从的方向跑步，乙在点点出发，以的速度从的方向跑步，两人同时出发，且甲派一名教练员在点同时同向出发，在甲乙之间不间断地来回骑行进行指导，他骑行的速度是，那么教练员从他出发到第二次追上乙用时多少？ 【答案】（1）； （2）平方千米 （3） 【解析】 【分析】（1）利用同类项的定义即可得出答案； （2）大圆半径为，小圆半径为，根据题意及图形建立关于和的二次一次方程组，再根据阴影部分可看作一个大圆中挖去一个小圆即可求解； （3）设教练员第次追上乙用时为，这是追及问题；教练员第次返回与甲相遇用时为，这是相遇问题；教练员第次去追乙用时为，这是追及问题，分别建立一元一次方程求出相应的时间再相加即可． 【小问1详解】 解：∵多项式， ∴， 解得： ∴长方形的长千米，宽千米， 故答案为：；． 【小问2详解】 由题意知，大圆半径为，小圆半径为， ∴， 解得：， 阴影部分可看作一个半径为千米的圆中挖去一个半径为千米的圆， ∴阴影部分的面积为：（平方千米）， ∴阴影部分面积为平方千米． 【小问3详解】 设教练员第次追上乙用时为， ∴， 解得：， 期间甲的路程为：，乙的路程为：， 此时甲乙之间的路程为：； 教练员第次返回与甲相遇用时为， ∴， 解得：， 期间教练员的路程为：，乙的路程为：， 此时教练员与乙之间的路程为：， 教练员第次去追乙用时为， ∴， 解得：， ∴共用时． ∴教练员从他出发到第二次追上乙用时． 【点睛】本题考查同类项的定义，二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，求阴影部分的面积，运用了方程的思想．理解题意，灵活运用相关的知识是解题的关键． 23. 对于一个各位数字都不为0的三位正整数，若满足个位数字是十位数字的2倍，则称M为“开心数”．将一个“开心数”任意一个数位上的数字去掉后可以得到三个两位数，把这三个两位数之和记为．如“开心数”，去掉百位上的数字后得到12，去掉十位上的数字后得到32，去掉个位上的数字后得到31，则． （1）求，的值； （2）若能被11整除，求出满足条件的所有“开心数”． 【答案】（1）65，100 （2）212，424，636，848 【解析】 【分析】（1）根据新定义内容列式计算； （2）设M的百位数字c，十位数字为a，则个位数字为2a，然后根据新定义内容列出的式子，并结合a和c的取值范围以及能被11整除的特点确定a和c的值，从而求值． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 设M的百位数字c，十位数字为a，则个位数字为2a，， 则， 又∵能被11整除， ∴，且能被11整除， 当时，解得：，此时“开心数”M为212； 当时，解得：，此时“开心数”M为424； 当时，解得：，此时“开心数”M为636； 当时，解得：，此时“开心数”M为848； 满足条件的所有“开心数”M为：212，424，636，848． 【点睛】本题属于新定义内容，考查二元一次方程的解，理解新定义内容，列出二元一次方程并确定其符合题意的正整数解是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$