4.2 对数10题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册） 4.2 对数10题型分类 知识点1 对数概念 1、对数的概念 如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数． 注：对数式中各字母的取值范围是：且，，． 2、对数（ 且）具有下列性质： （1）0和负数没有对数，即； （2）1的对数为0，即； （3）底的对数等于1，即． 3、两种特殊的对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为． 4、对数式与指数式的关系 由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示． 由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化． 知识点2 对数的运算法则 已知，（且，、） （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； 推广： （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； 注：（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立． （2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的： ， ， ． 知识点3 对数公式 1、对数恒等式： 2、换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有： （1） 令，则有，，即，即，即：． （2），令，则有，则有 即，即，即 当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论：． （一） 对数式中各字母的取值范围是：且，，． 题型1：对数的定义 1-1．（2024高一上·全国·课后作业）在b＝log3a－1(3－2a)中，实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1-2．（2024高一下·上海·课后作业）若，则x的取值范围是 A． B． C． D． 1-3．（2024高一上·全国·课后作业）有下列说法： ①以10为底的对数叫作常用对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫作自然对数； ④零和负数没有对数. 其中正确的个数为（  　） A．1 B．2 C．3 D．4 （二） 对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段. 题型2：指数式与对数式互化及其应用 2-1．（2024高一·全国·专题练习）将下列指数式与对数式进行互化． (1) (2) (3). (4)； (5)； (6)； (7). 2-2．（2024高一·全国·课后作业）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)． 2-3．（2024高一·全国·课后作业）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2-4．（2024高一上·全国·课后作业）将下列指数式与对数式进行互化． (1) (2) (3). （三） 对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数. 题型3：简单的对数求值 3-1．（2024高一上·全国·阶段练习）下列各式：①；②；③若，则；④若，则.其中正确的个数有(　　) A．个 B．个 C．个 D．个 3-2．（2024高一·全国·课后作业）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4). 题型4：利用对数恒等式化简求值 4-1．（2024高一上·江苏·期末）计算 ． 4-2．（2024高一下·江西赣州·期中）的值 . 4-3．（上海市黄浦区大同中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题）已知，，则 ． （四） 利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算． 题型5：积、商、幂的对数 5-1．（2024高一上·福建厦门·期中）计算下列各式的值： (1)； (2). 5-2．（2024高一下·河北石家庄·期中）计算 (1) (2) (3) 5-3．（2024高一上·甘肃·期中）求值: (1); (2); （五） 直接利用定义法或者换元法 题型6：一类与对数有关方程的求解问题 6-1．（2024高一上·上海虹口·期中）设、是关于x的方程的两个实数根,则 ． 6-2．（2024高一下·上海·课后作业）若，则 ． 6-3．（2024高一上·上海浦东新·期中）若，则 . 6-4．（2024高一·江苏·假期作业）方程的根为（    ） A． B． C．或 D．或 6-5．（2024高一·江苏·专题练习）方程的实数解为 . （六） （1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立． （2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来. 题型7：对数运算法则的应用 7-1．（2024高一上·江苏镇江·期中）计算下列各式： (1)； (2) 7-2．（2024高一上·江苏盐城·阶段练习）求值： (1)； (2)． 7-3．（2024高一上·湖北十堰·阶段练习）化简与求值： (1)； (2)． （七） （1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质． （2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式． （3）解决这类问题要注意隐含条件“”的灵活运用． 题型8：换底公式的运用 8-1．（2024高一上·河南·阶段练习）已知，且，则 . 8-2．（2024高一下·上海·课后作业）若，则 ． 8-3．（2024高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知，则 ． 题型9：由已知对数求解未知对数式 9-1．（2024高一上·江苏南通·期中）已知，，用表示为 ． 9-2．（2024高一上·山东临沂·期末）已知，则 .（用 表示） 9-3．（2024高一下·福建福州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 9-4．（2024高一上·广东汕尾·阶段练习）已知，则 （结果用a，b表示）. 题型10：证明常见的对数恒等式 10-1．（2024高一·全国·课后作业）证明： （1）； （2）. 10-2．（2024高一·全国·课后作业）已知a，b，c均为正数，且，求证：； 一、单选题 1．（2024高一上·全国·课后作业）设，则的值等于（    ） A．10 B．13 C．100 D． 2．（2024高一上·全国·课后作业）在中，实数a的取值范围是（    ） A．B． C． D． 3．（2024高一上·全国·课后作业）使对数有意义的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2024高一·全国·课后作业）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．（2024高三上·天津滨海新·期中）下列各式化简运算结果为1的是（    ） A． B． C．（且） D． 6．（2024高一上·福建泉州·阶段练习）对数式中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2024高一·全国·课后作业）使式子有意义的x的取值范围是（    ） A． B． C． D．,且 8．（2024高一上·全国·课后作业） ＝（    ） A．1 B．2 C．－1 D．－5 9．（2024高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C．2 D．3 10．（2024·江西·模拟预测）已知，则（    ） A．11或 B．11或 C．12或 D．10或 11．（2024高二下·广东深圳·期末）已知正实数m，n满足，则下列不等式恒成立的为（    ） A． B． C． D． 12．（2024高一上·江西赣州·期中）17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化成乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞为“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知，，设，则所在的区间为（    ） A． B． C． D． 13．（2024高一上·江苏常州·期中）已知，则（    ） A． B． C．1 D．2 14．（2024高一下·云南保山·期末）新型冠状病毒特指2019年底爆发，世界卫生组织正式命名为2019新型冠状病毒（2019 novel coronavirus，2019-nCoV），“新冠疫情防控常态化，核酸检测应检尽检！”核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的苂光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时检测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量与扩增次数满足：，其中为扩增效率，为DNA的初始数量. 已知某被测标本DNA扩增5次后，数量变为原来的10倍，那么该标本的扩增效率约为（参考数据：）（    ） A．0. 369 B．0. 415 C．0. 585 D．0. 631 15．（2024高一上·全国·课后作业）已知均为正实数，若，则＝（    ） A．或 B． C． D．2或 16．（2024高二下·云南文山·阶段练习）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 17．（2024高一上·全国·课后作业）若实数、、满足，则下列式子正确的是 A． B． C． D． 二、多选题 18．（2024高一下·全国·单元测试）设是均不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 19．（2024高一上·广东广州·期末）若，，则（    ） A． B． C． D． 20．（2024高一上·山东济宁·期末）若，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 21．（2024高一下·辽宁·阶段练习）已知，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 22．（2024高一上·江苏盐城·期末）已知正实数满足，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题23．（2024高一·浙江杭州·期末）计算：， . 24．（2024高一上·上海金山·期末）已知，用m表示为 ． 25．（2024高一·浙江宁波·期中）若a＝log23，则2a+2﹣a＝ ． 26．（2024高二下·山东青岛·期末） ．（用数字作答） 27．（2024高一上·湖北荆州·阶段练习） . 28．（2024高一下·上海虹口·阶段练习）已知，，，则 29．（2024高一上·辽宁鞍山·期末）若， ，则 ． 30．（2024高一下·山西朔州·开学考试）已知，，，则的值为 . 31．（2024高一上·安徽阜阳·阶段练习）计算= . 32．（2024·浙江·模拟预测）若实数，且，则 . 33．（2024高一上·湖南益阳·期末）已知，则的值为 ． 34．（2024高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知,，用表示= . 35．（2024高一·全国·课后作业）已知 ，试用表示 . 36．（2024高一上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知，用表示，则 ． 37．（2024高一·全国·单元测试）已知，，用，表示为 ． 38．（2024高一上·上海宝山·期末）记，那么 . 39．（2024高一上·河北保定·阶段练习）已知，且，则A的值是 . 40．（2024高一上·浙江宁波·期末）化简求值： . 四、解答题 41．（2024高一·江苏·课后作业）证明：. 42．（2024高一·江苏·课后作业）设a，b均为不等于1的正数，利用对数的换底公式，证明： （1）； （2）（，，）. 43．（2024高一·全国·课后作业）将下列指数式与对数式互化: （1）；（2）；（3）；（4）；（5）(x>0，且x≠1，y>0). 44．（2024高一上·甘肃天水·期末）计算： (1) (2) 45．（2024高一·全国·课后作业）已知，求的值. 46．（2024高一·湖南·课后作业）已知：，求证：． 47．（2024高一上·江苏南京·期末）计算： (1)； (2)． 48．（2024高一下·上海·课后作业）已知在中，，角A，B，C所对应的三条边长分别为a，b，c．求证：． 49．（2024高一·浙江·开学考试）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550年﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler，1707年﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系.对数的定义：一般地，若 ，则叫做以为底的对数，记作.比如指数式可以转化为，对数式可以转化为..我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： .理由如下：设，，所以，，所以 ，由对数的定义得:，又因为，所以 解决以下问题： （1）将指数转化为对数式： . （2）仿照上面的材料，试证明：. （3）拓展运用：计算. 50．（2024高一·全国·课前预习）利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值． （1）； （2）； （3）． 51．（2024高一·全国·课后作业）将下列对数式为指数式或指数式化为对数式： (1)； (2)； (3)； (4)． 52．（2024高一·全国·专题练习）将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式： (1)2－7＝； (2)； (3)lg1000＝3； (4) 53．（2024高一上·全国·课前预习）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 54．（2024高一·江苏·假期作业）计算： (1)； (2). 55．（2024高一上·天津河北·期末）计算求解 (1) (2)已知，，求的值． 56．（2024高三上·甘肃兰州·开学考试）求下列各式的值： (1). (2) 57．（2024高一·全国·专题练习）计算 (1) (2) 58．（2024高一上·山东泰安·期中）计算： (1)； (2) 59．（2024高一上·云南怒江·期末）计算下列各式的值： (1)； (2). 60．（2024高一下·上海黄浦·期末）（1）证明对数换底公式：（其中且，且，） （2）已知，试用表示. 61．（2024高一上·云南昆明·期末）已知a>0且a≠1，M>0，N>0. (1)举出一个反例说明不成立； (2)证明：. 62．（2024高一·江苏·假期作业）已知(，且；，且)，试探究a与b的关系，并给出证明． 63．（2024高一·全国·课后作业）（1）已知，用a，b表示； （2）已知，用a，b表示. 64．（2024高一·全国·课后作业）求的值. 65．（2024高一上·内蒙古乌兰察布·期中）已知，，用、表示. 66．（2024高一下·上海·课后作业）已知，试用a，b分别表示下列各式： （1）； （2）； （3）． 67．（2024高一·全国·课后作业）计算： （1）(log33)2＋log0.25＋9log5－log1； （2）. 68．（2024高一上·全国·课后作业）计算下列各式的值： （1）；（2）； （3）；（4）． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册） 4.2 对数10题型分类 知识点1 对数概念 1、对数的概念 如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数． 注：对数式中各字母的取值范围是：且，，． 2、对数（ 且）具有下列性质： （1）0和负数没有对数，即； （2）1的对数为0，即； （3）底的对数等于1，即． 3、两种特殊的对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为． 4、对数式与指数式的关系 由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示． 由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化． 知识点2 对数的运算法则 已知，（且，、） （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； 推广： （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； 注：（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立． （2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的： ， ， ． 知识点3 对数公式 1、对数恒等式： 2、换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有： （1） 令，则有，，即，即，即：． （2），令，则有，则有 即，即，即 当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论：． （一） 对数式中各字母的取值范围是：且，，． 题型1：对数的定义 1-1．（2024高一上·全国·课后作业）在b＝log3a－1(3－2a)中，实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的底数大于0且不等于1，真数大于0，列式可解得结果. 【详解】要使式子b＝log3a－1(3－2a)有意义， 则，解得或. 故选：B. 【点睛】本题考查了对数的概念，属于基础题. 1-2．（2024高一下·上海·课后作业）若，则x的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数概念转化对数方程，结合限制条件列不等式组，解得结果. 【详解】且 故选：B 【点睛】本题考查对数方程、对数概念，考查基本分析化简求解能力，属基础题. 1-3．（2024高一上·全国·课后作业）有下列说法： ①以10为底的对数叫作常用对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫作自然对数； ④零和负数没有对数. 其中正确的个数为（  　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据对数的相关概念和性质，一一判断每个选项，可得答案. 【详解】根据常用对数以及自然对数的概念可知①③正确，根据对数的性质可知④正确， 只有当且时，指数式才可以化成对数式，②错误， 故选：C （二） 对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段. 题型2：指数式与对数式互化及其应用 2-1．（2024高一·全国·专题练习）将下列指数式与对数式进行互化． (1) (2) (3). (4)； (5)； (6)； (7). 【答案】(1) (2) (3) (4)； (5)； (6)； (7). 【分析】利用指数式和对数式的概念进行转换. 【详解】（1）由可得. （2）由，可得. （3）由，可得. （4）由，可得； （5）由，可得； （6）由，可得； （7）由，可得. 2-2．（2024高一·全国·课后作业）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据对数式与指数式的互化公式求解即可. 【详解】（1） （2） （3） （4） 2-3．（2024高一·全国·课后作业）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解析】根据指数式与对数式互化公式直接得到答案. 【详解】由可得 ,C不正确 故选：C 【点睛】本题考查指数式与对数式互化公式：且.属于基础题. 2-4．（2024高一上·全国·课后作业）将下列指数式与对数式进行互化． (1) (2) (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据指数式和对数式之间的互化关系，即可得答案. 【详解】（1）由可得. （2）由，可得. （3）由，可得. （三） 对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数. 题型3：简单的对数求值 3-1．（2024高一上·全国·阶段练习）下列各式：①；②；③若，则；④若，则.其中正确的个数有(　　) A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】①②中利用底数的对数等于1，真数为1的对数为0；③中利用对数式与指数式的等价关系；④中由对数的真数大于0，得不可能为负数. 【详解】对①，因为，，所以，故①正确； 对②，因为，，所以，故②正确； 对③，因为，故③错误； 对④，因为，故④错误. 故选B. 【点睛】本题考查对数式的概念、对数式与指数式的互化及对数式的基本性质，考查基本运算求解能力. 3-2．（2024高一·全国·课后作业）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)2 (2)0 (3)-1 (4)-3 【分析】利用对数的运算求解. 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）. 题型4：利用对数恒等式化简求值 4-1．（2024高一上·江苏·期末）计算 ． 【答案】 【解析】利用指数与对数运算性质即可得出． 【详解】原式． 故答案为:． 【点睛】本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4-2．（2024高一下·江西赣州·期中）的值 . 【答案】12 【分析】根据对数恒等式计算即可. 【详解】由对数恒等式得， 故答案为：12. 4-3．（上海市黄浦区大同中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题）已知，，则 ． 【答案】72 【分析】把对数式化成指数式，再利用指数幂运算求得式子的值. 【详解】由， 所以. 故答案为：72 （四） 利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算． 题型5：积、商、幂的对数 5-1．（2024高一上·福建厦门·期中）计算下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1)7.9 (2)5 【分析】（1）根据分数指数幂的运算法则，化简求值，可得答案； （2）根据对数的运算法则，即可求得答案. 【详解】（1） ； （2） . 5-2．（2024高一下·河北石家庄·期中）计算 (1) (2) (3) 【答案】(1)0 (2)1 (3) 【分析】（1）（2）利用对数运算法则计算；（3）利用分数指数幂和根数运算法则进行计算. 【详解】（1） ； （2） （3） . 5-3．（2024高一上·甘肃·期中）求值: (1); (2); 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）利用对数运算和根式运算法则计算出答案； （2）利用对数运算法则计算出答案. 【详解】（1） ； （2） . （五） 直接利用定义法或者换元法 题型6：一类与对数有关方程的求解问题 6-1．（2024高一上·上海虹口·期中）设、是关于x的方程的两个实数根,则 ． 【答案】 【分析】根据韦达定理将,之间的关系找到,然后用换底公式进行化简,找到之间的关系,将用换底公式进行化简,代入即可. 【详解】解:由题知的两个实数根是、, 根据韦达定理有, 即, 即, . 故答案为: 6-2．（2024高一下·上海·课后作业）若，则 ． 【答案】64 【分析】利用对数的运算性质以及指数式与对数式的互化即可求解. 【详解】 . 故答案为：64 【点睛】本题考查了对数的运算性质以及指数式与对数式的互化，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 6-3．（2024高一上·上海浦东新·期中）若，则 . 【答案】 【分析】由对数的概念运算求解即可. 【详解】由对数运算的定义，有 ∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 6-4．（2024高一·江苏·假期作业）方程的根为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据对数把原方程转化为一元二次方程，注意对数的真数大于0. 【详解】由，得， 即，解得， 所以方程的根为. 故选：B 6-5．（2024高一·江苏·专题练习）方程的实数解为 . 【答案】 【分析】由，得，则，再解关于的二次方程即可. 【详解】由，得， 所以，即， 即，所以或（舍去）， 所以. 故答案为：. （六） （1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立． （2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来. 题型7：对数运算法则的应用 7-1．（2024高一上·江苏镇江·期中）计算下列各式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）、利用指数幂的运算性质求解即可； （2）、利用对数的运算性质求解. 【详解】（1）. （2） 7-2．（2024高一上·江苏盐城·阶段练习）求值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用根式运算、指数运算计算作答. （2）根据给定条件，利用对数运算法则及对数性质计算作答. 【详解】（1）. （2） . 7-3．（2024高一上·湖北十堰·阶段练习）化简与求值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据根式与分数指数幂的关系，结合指数运算法则运算即可； （2）按照对数运算法则和对数换底公式求解即可. 【详解】（1）解：原式； （2）解： ． （七） （1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质． （2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式． （3）解决这类问题要注意隐含条件“”的灵活运用． 题型8：换底公式的运用 8-1．（2024高一上·河南·阶段练习）已知，且，则 . 【答案】 【分析】将指数式化为对数式得，，然后利用换底公式和对数的运算律得出，即可计算出的值. 【详解】由题意得，，又由，得，即，解得. 故答案为：. 【点睛】本题考查指数与对数的互化，同时也考查了换底公式与对数运算律的应用，考查计算能力，属于中等题. 8-2．（2024高一下·上海·课后作业）若，则 ． 【答案】4 【分析】由对数的运算性质和对数的换底公式，化简整理得，即可求解. 【详解】由对数的运算性质，可得 ， 所以，所以，解得. 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，以及对数的换底公式应用，其中解答中熟记对数的运算性质，合理利用对数的换底公式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与计算能力. 8-3．（2024高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】根据对数的定义和运算法则即可求解． 【详解】由可得 所以，， 所以， 故答案为： 【点睛】本题主要考查对数的运算法则的应用，考查了学生的计算能力，属于中档题． 题型9：由已知对数求解未知对数式 9-1．（2024高一上·江苏南通·期中）已知，，用表示为 ． 【答案】 【分析】根据对数的运算性质和换底公式求解. 【详解】因为，， 所以， ； 所以． 故答案为: . 9-2．（2024高一上·山东临沂·期末）已知，则 .（用 表示） 【答案】/ 【分析】根据指数式与对数式的互化，求出，结合对数的运算法则化简，即可得答案. 【详解】因为，所以， 故， 故答案为： 9-3．（2024高一下·福建福州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质以及换底公式，进行化简，可得答案. 【详解】由得， 故 ， 故选：C 9-4．（2024高一上·广东汕尾·阶段练习）已知，则 （结果用a，b表示）. 【答案】 【分析】根据指数式与对数式的互化，求出，结合对数的运算法则化简，即可得答案. 【详解】因为，所以，则， 故， 故答案为：. 题型10：证明常见的对数恒等式 10-1．（2024高一·全国·课后作业）证明： （1）； （2）. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】利用换底公式及对数的性质即可证明 【详解】证明：（1）. 故. （2）， 【点睛】本题考查换底公式及对数的性质的应用，属于基础题. 10-2．（2024高一·全国·课后作业）已知a，b，c均为正数，且，求证：； 【答案】证明见解析 【分析】设，则，结合指数与对数的互化公式，以及换底公式和对数的运算即可得证. 【详解】设，则. ∴， ∴， 而， ∴，得证. 一、单选题 1．（2024高一上·全国·课后作业）设，则的值等于（    ） A．10 B．13 C．100 D． 【答案】B 【分析】利用对数的性质得，即可求的值. 【详解】由对数的性质，得，所以， 故选：B. 2．（2024高一上·全国·课后作业）在中，实数a的取值范围是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】对数式有意义的条件是：真数为正数，底为正数且不为1，联立得到不等式组，解出即可． 【详解】由对数的定义知， 解得 或 . 故选C． 【点睛】本题主要考查了对数式有意义的条件，即真数为正数，底为正数且不为1，属于基础题． 3．（2024高一上·全国·课后作业）使对数有意义的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据底大于零且不等于1，真数大于零列不等式组，解不等式组即可. 【详解】使对数有意义的需满足, 解得． 故选B． 【点睛】本题考查对数式的性质，对数式中底数大于0且不等于1，真数大于0，是基础题． 4．（2024高一·全国·课后作业）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，判断出的正负，去掉绝对值，然后得到答案. 【详解】因为，所以， 所以， 故选项. 【点睛】本题考查判断对数值的正负，对数运算公式，属于简单题. 5．（2024高三上·天津滨海新·期中）下列各式化简运算结果为1的是（    ） A． B． C．（且） D． 【答案】D 【分析】根据对数的性质进行计算即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 6．（2024高一上·福建泉州·阶段练习）对数式中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，根据对数函数的性质，得到不等式组，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，根据对数函数的性质，可得对数式， 满足，解得，即实数a的取值范围是. 故选D. 【点睛】本题主要考查了对数式函数的性质的应用，其中解答熟记对数式的性质，列出相应的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 7．（2024高一·全国·课后作业）使式子有意义的x的取值范围是（    ） A． B． C． D．,且 【答案】D 【解析】根据对数的定义得到不等式组解得. 【详解】解： 解得，即且. 故选： 【点睛】本题考查对数的定义，属于基础题. 8．（2024高一上·全国·课后作业） ＝（    ） A．1 B．2 C．－1 D．－5 【答案】C 【分析】由对数式的运算规则化简求值. 【详解】原式. 故选：C 9．（2024高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据题意整理可得，分析可得，运算求解即可. 【详解】设，则， ∵，即，整理得， 注意到，则， 解得，即. 故选：D. 【点睛】本题考查指数式与对数式的互化、指数的运算. 10．（2024·江西·模拟预测）已知，则（    ） A．11或 B．11或 C．12或 D．10或 【答案】A 【分析】对两边同时取对数，可解得或，讨论或时的值，即可得出答案. 【详解】由，两边取对数得，所以或. 当时，8，所以； 当时，， 所以， 综上，或， 故选：A. 11．（2024高二下·广东深圳·期末）已知正实数m，n满足，则下列不等式恒成立的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式逐一分析判断即可. 【详解】对于A，， 当且仅当时，取等号，所以，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以，当且仅当时，取等号， 所以，故B错误； 对于C，， 当且仅当，即时，取等号， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以， 所以， 当且仅当时，取等号，所以，故D错误. 故选：C. 12．（2024高一上·江西赣州·期中）17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化成乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞为“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知，，设，则所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数和对数互化，结合对数运算法则可求得，由此可得. 【详解】因为， 所以 ， 所以. 故选：B. 13．（2024高一上·江苏常州·期中）已知，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】由，可得，然后代入中计算即可. 【详解】由，可得， 所以， 故选：C 14．（2024高一下·云南保山·期末）新型冠状病毒特指2019年底爆发，世界卫生组织正式命名为2019新型冠状病毒（2019 novel coronavirus，2019-nCoV），“新冠疫情防控常态化，核酸检测应检尽检！”核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的苂光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时检测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量与扩增次数满足：，其中为扩增效率，为DNA的初始数量. 已知某被测标本DNA扩增5次后，数量变为原来的10倍，那么该标本的扩增效率约为（参考数据：）（    ） A．0. 369 B．0. 415 C．0. 585 D．0. 631 【答案】C 【分析】先将已知关系式化简为然后根据已知条件可得，当时，,代入化简关系式，利用对数的运算性质即可求解. 【详解】已知， 化简为 由题知，当时，, 则即， 所以，则 故选：C. 15．（2024高一上·全国·课后作业）已知均为正实数，若，则＝（    ） A．或 B． C． D．2或 【答案】D 【分析】令，则由可得，从而可求出的值，再结合可求得结果. 【详解】令，则， 所以，解得或， 所以或， 所以或， 因为，所以或， 所以或， 所以或， 故选：D 16．（2024高二下·云南文山·阶段练习）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数运算、分数指数幂与根式的化简、对数运算法则即可知A、B、C错误. 【详解】根据指数运算法则可知，，即A错误； 再根据分数指数幂与根式化简可得，即B错误； 由对数运算法则可知，，而， 故C错误，D正确. 故选：D 17．（2024高一上·全国·课后作业）若实数、、满足，则下列式子正确的是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数式化对数式，然后利用换底公式得出，，，利用对数的运算性质和可得出成立. 【详解】由已知，得 ，得 ， ，，所以，，， 而，则， 所以，即 . 故选A. 【点睛】本题考查对数式的运算，同时也考查了指数式与对数式的互化以及换底公式的应用，解题时要需要注意各真数之间的关系，考查计算能力，属于中等题. 二、多选题 18．（2024高一下·全国·单元测试）设是均不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据给定条件，利用换底公式计算判断AD；举例说明判断BC作答. 【详解】依题意，，A正确； 令，则，B错误； 令，则，C错误； ，D正确. 故选：AD 19．（2024高一上·广东广州·期末）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由，得，再利用对数运算公式对进行，，运算，从而可判断各选项. 【详解】由，得， 则，选项A错误； ，选项B正确，选项D错误； ， ， ， ，选项C正确. 故选：BC. 20．（2024高一上·山东济宁·期末）若，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】求出，则由对数的计算公式可判断A；求出可判断B；要判断，即判断，因为可判断C；由均值不等式可判断D. 【详解】由题意可得出，， 所以，故A正确； ， 所以，故B不正确； 要判断，即判断，因为， 所以，故C不正确； ，故D正确. 故选：AD. 21．（2024高一下·辽宁·阶段练习）已知，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用对数的运算性质化简方程得，结合指数的运算性质逐一判断即可 【详解】依题意，，即，则且，故C项正确； 对于A项，，故A项错误； 对于B项，，故B项正确； 对于D项，，故D项正确. 故选：BCD 22．（2024高一上·江苏盐城·期末）已知正实数满足，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据指数与对数的互化，设，得，，，然后根据对数的运算性质以及换底公式对各个选项逐个化简即可判断求解． 【详解】已知正实数，则设，所以，，， 对于A，因为 ， 又，所以，所以，即，故A正确； 对于B，因为，，所以，即，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D， ， 又因为，故等号不成立，所以，即，故D正确， 故选：ACD． 三、填空题 23．（2024高一·浙江杭州·期末）计算：， . 【答案】 【解析】根据指对数关系化简求值. 【详解】因为，所以 故答案为： 【点睛】本题考查指对数互化关系，考查基本分析化简求解能力，属基础题. 24．（2024高一上·上海金山·期末）已知，用m表示为 ． 【答案】/ 【分析】先根据指对互化可得，再结合对数运算求解. 【详解】∵，则， ∴. 故答案为：. 25．（2024高一·浙江宁波·期中）若a＝log23，则2a+2﹣a＝ ． 【答案】． 【解析】由对数式可容易求得，代值即可解得. 【详解】因为，故可得，则， 故. 故答案为：. 【点睛】本题考查对数式和指数式的计算，属基础题. 26．（2024高二下·山东青岛·期末） ．（用数字作答） 【答案】1 【分析】利用对数换底公式及性质计算作答. 【详解】 . 故答案为：1 27．（2024高一上·湖北荆州·阶段练习） . 【答案】/ 【分析】根据指数幂以及对数的运算法则，化简求值，即得答案. 【详解】 ， 故答案为： 28．（2024高一下·上海虹口·阶段练习）已知，，，则 【答案】 【分析】根据换底公式得到，，，进而求出，再用换底公式求出. 【详解】由，，得：，，，，所以 故答案为： 29．（2024高一上·辽宁鞍山·期末）若， ，则 ． 【答案】2 【分析】根据对数的换底公式以及对数的运算法则，即可求得答案. 【详解】由可得， 由可得，即， 故， 故答案为：2 30．（2024高一下·山西朔州·开学考试）已知，，，则的值为 . 【答案】/ 【分析】由题意，设，从而表示出，可得，化简计算得，从而得，化简，代入计算即可. 【详解】由题意，设，则，所以，得，即，解得或（舍），因为，所以. 故答案为： 【点睛】解答本题的关键在于先利用整体代入法得，化简以后得关于的一元二次方程，求解出，即求解出，从而整体代入所求式子. 31．（2024高一上·安徽阜阳·阶段练习）计算= . 【答案】5 【分析】根据对数和指数的运算求解即可. 【详解】 . 故答案为：5. 32．（2024·浙江·模拟预测）若实数，且，则 . 【答案】0 【分析】由，可得，据此可得答案. 【详解】因，则，， 又由换底公式推论可得，设，则， 故， 由换底公式，则. 故答案为：0 33．（2024高一上·湖南益阳·期末）已知，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】将代入结合指数、对数的运算化简求解即可. 【详解】因为，所以 ＝＋. 故答案为：. 34．（2024高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知,，用表示= . 【答案】 【分析】由得，然后根据计算即可. 【详解】因为，所以 故答案为： 【点睛】本题考查的是对数的运算法则和换底公式，考查了学生的计算能力，属于中档题. 35．（2024高一·全国·课后作业）已知 ，试用表示 . 【答案】 【分析】利用对数的换底公式表示出，,再利用换底公式化简为，结合，化简，可得答案. 【详解】因为，利用对数的换底公式可得：，， 于是，, ∴, 故答案为：. 36．（2024高一上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知，用表示，则 ． 【答案】 【分析】由lg2=a，lg3=b，利用对数的运算性质和换底公式得到 ． 【详解】已知，则 即答案为. 【点睛】本题考查有理数指数幂的性质、运算则和对数的运算性质，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意换底公式的合理运用． 37．（2024高一·全国·单元测试）已知，，用，表示为 ． 【答案】 【分析】利用对数的运算性质即可求解. 【详解】依题意有，即， 变形为， 解得：，． 所以， 故答案为：. 38．（2024高一上·上海宝山·期末）记，那么 . 【答案】1. 【分析】根据对数运算法则，化简原式，求值. 【详解】 . 故答案为：1 【点睛】本题考查对数运算法则，意在考查基本公式，属于基础题型. 39．（2024高一上·河北保定·阶段练习）已知，且，则A的值是 . 【答案】或1 【分析】利用对数知识可求出的值，进而求出A的值. 【详解】由,得. 当时,,满足条件. 当时,由,得, 从而, 即,得. 故答案为：或1. 40．（2024高一上·浙江宁波·期末）化简求值： . 【答案】/0.75 【分析】根据对数的运算法则、性质，换底公式求解. 【详解】 . 故答案为： 四、解答题 41．（2024高一·江苏·课后作业）证明：. 【答案】证明见解析 【分析】根据换底公式证明即可 【详解】证明：由换底公式，当时有， 故，证毕 42．（2024高一·江苏·课后作业）设a，b均为不等于1的正数，利用对数的换底公式，证明： （1）； （2）（，，）. 【答案】证明见解析 【分析】直接利用换底公式化简证明即可 【详解】证明：（1）因为a，b均为不等于1的正数， 所以左边右边， 所以， （2）因为a，b均为不等于1的正数，，， 所以左边右边， 所以（，，） 43．（2024高一·全国·课后作业）将下列指数式与对数式互化: （1）；（2）；（3）；（4）；（5）(x>0，且x≠1，y>0). 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）(x>0，且x≠1，y>0) 【分析】根据对数的定义：，可写出各等式对应的对数或指数形式 【详解】(1) (2) (3) (4) (5) (x>0，且x≠1，y>0) 【点睛】本题考查了对数的概念；根据将等式转化为对应的对数或指数形式 44．（2024高一上·甘肃天水·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)4. 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用对数运算性质及换底公式计算作答. 【详解】（1）. （2）. 45．（2024高一·全国·课后作业）已知，求的值. 【答案】 【分析】利用底数的对数值数1，求出的值，再进行验证. 【详解】由， 解得：（舍去）或. 【点睛】本题考查底数的对数值为1、对数式有意义等知识，考查基本运算求解能力. 46．（2024高一·湖南·课后作业）已知：，求证：． 【答案】证明见解析. 【分析】根据对数的运算法则，以及换地公式，求得关于的表示式，即可证明. 【详解】因为， 故可得， 则，即； 同理可得，，， 故可得， 故，即证. 47．（2024高一上·江苏南京·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2) 【分析】（1）利用分数指数幂的运算性质求解即可， （2）利用对数的运算性质求解即可 【详解】（1） . （2） . 48．（2024高一下·上海·课后作业）已知在中，，角A，B，C所对应的三条边长分别为a，b，c．求证：． 【答案】见解析 【分析】利用直角三角形的勾股定理、对数的运算性质以及对数的运算法则可以证明等式成立. 【详解】证明：在中，因为，所以， 因为 ， 所以. 【点睛】本题考查了等式的证明，考查了对数的运算性质、对数的运算法则，属于基础题. 49．（2024高一·浙江·开学考试）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550年﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler，1707年﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系.对数的定义：一般地，若 ，则叫做以为底的对数，记作.比如指数式可以转化为，对数式可以转化为..我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： .理由如下：设，，所以，，所以 ，由对数的定义得:，又因为，所以 解决以下问题： （1）将指数转化为对数式： . （2）仿照上面的材料，试证明：. （3）拓展运用：计算. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）2. 【分析】（1）利用指数是与对数式的对应关系； （2）把对数的差运算转化为指数的商运算； （3）利用（2）的结论. 【详解】（1）将指数转化为对数式：. 故答案为：. （2）证明：设，，所以，，所以 ，由对数的定义得，又因 ， 所以； （3） 故答案为：2. 【点睛】本题理解着力指数对数的逆运算关系，对数对应指数，真数对应幂，乘对应加，商对应差；深刻的领会为后续学习指对函数打好基础. 50．（2024高一·全国·课前预习）利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）或． 【分析】利用指对数互化即可求解. 【详解】解：（1）由，得，∴； （2）由，得，且； （3）由，得，∴，.∵，∴或． 51．（2024高一·全国·课后作业）将下列对数式为指数式或指数式化为对数式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用指数和对数互化求解. 【详解】（1）解：因为， 所以． （2）因为， 所以． （3）因为， 所以． （4）因为， 所以． 52．（2024高一·全国·专题练习）将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式： (1)2－7＝； (2)； (3)lg1000＝3； (4) 【答案】(1)log2 (2) (3)103＝1 000 (4) 【分析】根据对数和指数互化公式得到相应结果即可. 【详解】（1）由2－7＝，可得log2＝－7. （2）由，可得＝32. （3）由lg 1 000＝3，可得103＝1 000. （4）由，可得e2＝x. 53．（2024高一上·全国·课前预习）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）利用指数式与对数式的互化公式直接求解作答. 【详解】（1）因为，所以有：. （2）因为，所以有：. （3）因为，所以有：. （4）因为，所以有：. （5）因为，所以有：. （6）因为，所以有：. 54．（2024高一·江苏·假期作业）计算： (1)； (2). 【答案】(1)4 (2) 【分析】 （1）利用换底公式和对数的运算性质求解即可； （2）利用换底公式的逆应用，结合对数运算的相关公式求解即可. 【详解】（1）由换底公式可得，； （2） 原式 . 55．（2024高一上·天津河北·期末）计算求解 (1) (2)已知，，求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用对数运算法则直接计算作答. （2）利用对数换底公式及对数运算法则计算作答. 【详解】（1）. （2）因，，所以. 56．（2024高三上·甘肃兰州·开学考试）求下列各式的值： (1). (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用有理数指数幂及根式的运算即可得到答案； （2）利用对数的运算性质即可得到答案 【详解】（1） ； （2） 57．（2024高一·全国·专题练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据对数的运算法则化简，即可求得答案; （2）根据对数的运算法则结合完全平方公式化简，即可求得答案; 【详解】（1）; （2）. 58．（2024高一上·山东泰安·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1)1； (2). 【分析】（1）由已知，对原式利用指数运算进行化简即可得到答案； （2）由已知，对原式利用对数运算进行化简即可得到答案； 【详解】（1）； （2）. 59．（2024高一上·云南怒江·期末）计算下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1)5.5 (2)0 【分析】（1）利用指数幂的运算性质即可求解； （2）根据对数的运算性质即可求解. 【详解】（1）原式； （2）原式. 60．（2024高一下·上海黄浦·期末）（1）证明对数换底公式：（其中且，且，） （2）已知，试用表示. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）将对数式转化为指数式，然后两边取对数，利用对数函数的应算法则，即可证明. （2）利用换底公式将等号左边化为以3为底的对数，然后根据对数运算法则化简即得. 【详解】（1）设，写成指数式. 两边取以为底的对数，得. 因为，，，因此上式两边可除以，得. 所以，. （2）. 【点睛】本题考查换底公式的证明和应用，属基础题，关键是将对数式转化为指数式，然后两边取对数，利用对数函数的应算法则，即可证明. 61．（2024高一上·云南昆明·期末）已知a>0且a≠1，M>0，N>0. (1)举出一个反例说明不成立； (2)证明：. 【答案】(1)当时不成立.（反例不唯一，计算正确即可）； (2)证明见解析. 【分析】（1）选取符合要求的M与N的值即可；（2）利用指数式与对数式的互化进行证明. 【详解】（1）假设， 则，， . 因为， 所以当时不成立.（反例不唯一，计算正确即可） （2）令，则 ，， 所以. 62．（2024高一·江苏·假期作业）已知(，且；，且)，试探究a与b的关系，并给出证明． 【答案】或，证明见解析 【分析】设，则，可得，分类讨论和，即可得出答案. 【详解】或.证明如下： 设，则， 所以，因为，且，所以，即. 当时，，所以； 当时，，所以. 所以或. 63．（2024高一·全国·课后作业）（1）已知，用a，b表示； （2）已知，用a，b表示. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用换底公式将化成，再由对数的运算法则即可求解； （2）先将化成，再利用换底公式将化成，然后由对数的运算法则即可求解． 【详解】（1）． （2），， 又， ． 【点睛】本题主要考查换底公式以及对数的运算性质的应用，解题关键是将各式化成同底的对数式，意在考查学生的数学运算能力． 64．（2024高一·全国·课后作业）求的值. 【答案】 【分析】首先根据题意得到原式，再利用换底公式化简即可得到答案. 【详解】原式 【点睛】本题主要考查对数的换地公式，同时考查对数的运算，属于中档题. 65．（2024高一上·内蒙古乌兰察布·期中）已知，，用、表示. 【答案】 【分析】利用对数的换底公式得出，且有，结合对数的运算性质化简计算即可. 【详解】，由对数的换底公式可得， 所以，. 【点睛】本题考查对数的化简计算，考查了对数运算性质和换底公式的应用，考查计算能力，属于中等题. 66．（2024高一下·上海·课后作业）已知，试用a，b分别表示下列各式： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据换底公式进行换底即可得到答案； （2）根据换底公式和对数的运算性质即可得到答案； （3）根据换底公式和对数的运算性质即可得到答案. 【详解】解：（1）； （2）； （3）      . 【点睛】本题主要考查换底公式和对数的运算性质，考查学生的计算能力和公式的应用能力，属于基础题. 67．（2024高一·全国·课后作业）计算： （1）(log33)2＋log0.25＋9log5－log1； （2）. 【答案】（1）；（2）1. 【分析】（1）利用对数的运算性质化简即得解； （2）利用对数的运算性质先化简分母，再化简分式即得解. 【详解】解：；（1）(log33)2＋log0.25＋9log5－log1 ＝＋1＋9×－0＝＋1＋＝. （2） ＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝1. 【点睛】本题主要考查对数的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 68．（2024高一上·全国·课后作业）计算下列各式的值： （1）；（2）； （3）；（4）． 【答案】（1）；（2）1；（3）；（4）1． 【分析】(1)将看作是，结合对数的运算性质即可求解； (2)提取，结合同底对数和的运算法则即可求解； (3)将分别看作，结合对数的运算性质即可求解； (4)结合立方和公式和对数的运算性质即可求解. 【详解】（1）； （2）； （3） ； （4） ． 【点睛】关键点睛: 本题的关键是结合对数的运算性质，将已知数进行变形，从而进行求解. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$