第十三章 轴对称 同步练习2024-2025学年人教版数学八年级上册

第十三章 轴对称 13.1 轴对称 (1) 一、选择题 1.如图，下列图形中是我国的几家银行的标志，其中是轴对称图形的有 ( ) 2.如图，一只小狗正在平面镜前欣赏自己的全身像，此时它所看到的的全身像是( ) 3.下列判断正确的有 ( ) (1)成轴对称的两个图形的对应点的连线段被对称轴垂直平分； (2)成轴对称的两个图形的对应线段相等，对应角相等； (3)成轴对称的两条线段避灾对称轴的异侧； (4)等边三角形时轴对称图形，且有三条对称轴； A.1 个 B.2个 C.3 个 D.4个 4. 桌面上有A，B两球，若要将 B 球射向桌面任意一点，使一次反弹后击中 A 球，则如图所示8个点钟，可以瞄准的点有 ( )个 A.1 B.2 C.4 D.6 5.如图，一张长方形纸片沿AB 对折，以AB 重点O为顶点将平角五等分，并沿五等分折线折叠，再沿 CD 剪开，使展开后为正五角星(正五边形对角线所构成的图形) ，∠OCD等于 ( ) A.108° B.114° C.126° D.129° 二、填空题 6.如果一个图形沿一条直线 ，直线两旁的部分能够 ，这个图形就叫做 ；这条直线就是它的 . 7.把一个图形沿着某一条直线 ，如果他能够与另一个图形 ，那么就说这两个图形 ，这条直线叫做 ，折叠后重合的点是 ，叫做 . 8.成轴对称的两个图形的主要性质是： (1) 成轴对称的两个图形是 ； (2)如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对 的垂直平分线. 9.角的对称轴是 ，圆的对称轴是 ；正n变形的对称轴有 条. 10.如图，在平面镜里看到背后墙上电子钟的显示数如图所示，此时的实际时间为 . 11.把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点 D与点C 分别落在点 D'与点 C'的位置上，ED'与 BC的交点为G, 若∠EFG=55°, 则∠1= 度. 12.如图，是由大小一样的小正方形组成的网格，△ABC的三个顶点均落在小正方形的顶点上，在网格上能画出的三个顶点都落在小正方形的顶点上，且与△ABC成轴对称的三角形共有 个. 三、解答题 13.请分别画出图中各图所有的对称轴. (1) 正方形 (2) 正三角形 (3) 相交的两个圆 14.直角三角形的一个锐角为30°，请将它分成三部分，要求每一部分的大小，形状都相同，画出图形. 15.如图,直角坐标系中, 点 A 在y轴上, BC⊥x轴于点C, 点 A 关于直线OB 的对称点 D恰好在 BC上, 点 E与点 O关于直线 BC 对称, ∠OBC=25°, 求∠OED的度数. 13.1 轴对称 (2) 一、填空题 1.线段的垂直平分线：经过 并且 的 叫做这条线段的垂直平分线(也叫线段的中垂线) 2.线段的垂直平分线的性质(定理)：线段垂直平分线上的 与这条线段 的 相等. 3.线段的垂直平分线的判定(定理)：与已知线段两个端点距离相等的点，在这条线段 4.如图, 在△ABC中, AB=AC, AB的垂直平分线交 AC于点P. (1) 若∠A=35°, 则∠BPC= ; (2) 若AB=7, BC=4, 则△BPC的周长= . 5.如图, 在△ABC中, AB边的垂直平分线交 BC于点 D, 垂直为点F, AC边的垂直平分线交 BC于点 E, 垂足为点 G, 设∠BAC=α, ∠DAE=β. (1) 如图1，β与α满足的等量关系式为 ； (2) 如图2，β与α满足的等量关系式为 . 二、填空题 6.下列说法中，正确的是( ) A.关于某直线对称点两个三角是全等三角形 B.全等三角形时关于某条直线对称的 C.两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧 D.有一条公共边的两个全等三角爱惜关于公共边所在的直线对称 7.如图，直线CD是线段AB 的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段 PA=6，则线段 PB的长度为 ( ) A.7 B.6 C.4 D.3 8.到三角形三个顶点距离相等的是 ( ) A.三条中线交点 B.三条高的交点 C.三角角平分线交点 D.三条中垂线交点 9.如图, 在△ABC中, DE 是 AC 的垂直平分线, AE=3cm, △ABD的周长为13cm, 则△ABC的周长是( ) A.13cm B.16cm C.19cm D.22cm 10.如果一个三角学两边的垂直平分线交点在第三边上，那么这个三角形时( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 11.已知C、D是线段AB的垂直平分线上的亮点，AB平分∠CAD，则下列说法不一定正确的是 ( ) A. AD=BD B. AD∥CB C. AB垂直平分CD D. AB=CD 三、解答题 12.已知, 线段AB, 求作: 线段AB的垂直平分线,MN. 作法： 13.证明三角形三条边的垂直平分线交于一点. 14.已知, 如图, AD 是 的角平分线，DE，DF分别是 和 的高, 求证: AD垂直平分 EF. 15.如图, 交 的平分线于E，作 求证: BM=CN. 13.2 作轴对称图形 一、填空题 1.点 M(-2,1) 关于y轴对称点 N的坐标是 . 2.点 A(x, y-8) 与点B(2y-5,2x+3) 关于x轴对称, 则x+y= . 3.点 P 为∠AOB内一点,分别作出点O关于OA、OB的对称点 P1, P2, 连接P1P2交OA于点 M, 交 OB 于点 N. (1) 若 P1P2=15, 则△PMN的周长为 ; (2) 若∠AOB=30°, ∠P1PP2= . 4.在△ABC中,点A的坐标为(0,1) , 点 C 的坐标为(4,3), 点B的坐标为(3,1) , 则坐标系中能使得△ABCD与△ABC全等的D 点坐标为 . 二、填空题 5.下列说法正确的是( ) A.图A上的任意一点关于直线l的对称点都在图形 B上，那么图A与图B关于l对称； B.坐标系中，图A与图B关于直线x=a对称，图A与图C关于直线x=b对称，则图B右 移2 (a-b) 可得到图C; C.一个圆过点(a,b) 和点(b,a) ,则圆心为坐标原点; D. RI△ABC中, ∠ACB=90°, AC=BC, D、E为斜边AB上不与A、B重合两点, 点 D靠近 A 点, 若∠DCE=45°, 则线段DE、AD、EB 总能构成一个直角三角形. 三、解答题 6.分别作出下列图形的关于直线l的轴对称图形. 7. 已知：A、B两点在直线l的同侧，试分别画出符合条件的点 M. (1) 如图, 在l上求作一点M, 使得| AM-BM |最小; 作法： (2) 如图, 在1上求作一点 M, 使得|AM-BM|最大; 作法： (3) 如图, 在l上求作一点M, 使得AM+BM最小. 8. 已知：如图，点 M在锐角∠AOB的内部，在OA边上求作一点P，在 OB 边上求作一点Q, 使得△PMQ的周长最小; 9. 已知: 如图3-14, 点M在锐角∠AOB的内部,在OB边上求作一点 P, 使得点 P到点M的距离与点 P到OA 边的距离之和最小. 10.在平面直角坐标系中, 点 P(2,3) ,Q (3,2) , 请在x轴和y轴上分别找到M点 N点,使得四边形PWMN的周长最小. (1) 作出M点和N点; (2) 写出M点和 N点的坐标. 13.3.1 等腰三角形(1) 一、填空题 1.等腰三角形的性质为： (1) 等腰三角形两个 相等，简称 . (2)等腰三角形的 ， ， 互相重合， 简称“三线合一”. 2.等腰三角形的对称轴是 . 3.如图，根据已知条件，填写由此得出的结论. (1) ∵△ABC, AB=AC, ∴∠B= . (2) ∵△ABC中, AB=AC, ∠1=∠2, ∴AD垂直平分 . (3) ∵△ABC中, AB=AC, AD⊥BC, ∴BD= . (4) ∵△ABC中, AB=AC, BD=CD, ∴AD⊥ . 4.等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个内角分别是 . 5.如图, 在△ABC, AB=AC, D 是 BC 上一点, ∠BAD=40°, E 是 AC 上一点, AE=AD, 则∠EDC= °. 6.如图, 在△ABC中,AB=AC, BD=DC, AD=DE=EB, 则. 7.如图, 已知∠MON=40°, P为∠MON内一定点, OM上有一点 A, ON上有一点 B, 当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是 . 二、选择题 8.已知一个等腰三角形的两边长分别是4 和8，则它的周长是 ( ) A.20 B.16 C.20或 16 D.12或16 9.等腰三角形的一个内角为70°，则它一腰上的高与底边的夹角的度数是( ) A.35° B.20° C.35°或20° D.无法确定 10. 如图, △ABC 内有一点 D, 且 DA=DB=DC, 若∠DAB=20°, ∠DAC=30°, 则∠BDC的大小是 ( ) A.100° B.80° C.70° D.50° 11. 如图△ABC中,∠A=30°, AB=AC, D、E 分别是 AC、AB 两点, 且 BD=BE=BC, 连接DE, 则∠BDE的度数为 ( ) 度。 A.45 B.52.5 C.67.5 D.75 12. 如图，坐标平面内一点A(2，-1) ，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点 P 的个数为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 三、解答题 13. 如图, 已知D、E是△ABC的边 BC上的两点, AD=AE, ∠BAD=∠CAE, 求证: BD=CE 14. 已知,如图,△ABC中, AB>AC, AF是角平分线, D是AB上一点,且AD=AC, DE∥BC交AC于点E, 求证: CD平分∠EDF 15. 已知, 中， D 是 AB 上一点, 延长CA至 E, 使 ，试确定 ED与BC的位置关系，并证明你的结论(一题多解). 13.3.1 等腰三角形(2) 一、填空题 1. 等腰三角形的判定定理是 . 2.△ABC中, AB=AC, BD是角平分线,若∠A=36°,则此图形中共有 个等腰三角形。 3. 已知:如图,△ABC中,AB=AC,E在CA的延长线上,ED⊥BC,若AE=5,则AF= . 4. 如图,△ABC中,AB、BC的中垂线交于点 P,若∠DPE=70°,则∠PAC的度数为 . 5. 如图,△ABC中,AB=AC,∠C=90°,BD平分∠ABC,AD⊥BD,若AD=2,则BE= . 6. 过等腰△ABC的底边顶点的一条直线，把△ABC分成两个小等腰三角形，则△ABC的顶角的度数为 度. 二、判断题 7.(1) 若三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边，则此三角形是等腰三角形.( ) (2) 等腰三角形两腰上的中线相等. ( ) (3) 平行于等腰三角形一边的直线所截得的三角形仍是等腰三角形. ( ) 三、选择题 8. 已知一个三角形中两个角度如下，其中不能构成等腰三角形的是 ( ) A. 40°, 70° B.50°, 80° C. 60°, 90° D.30°, 120° 9. 等腰三角形两边a, b满足|a-b+2|+(2a+3b-11)²=0,则此三角形的周长是 ( ) A. 7 B.5 C. 8 D.7或5 10. 如图,等边三角形ABC的三条角平分线相交于点 O, OD∥AB交 BC 于点 D, OE∥AC交 BC于点 E，那么这个图形中的等腰三角形共有 ( )个. A. 4 B.5 C. 6 D.7 11. 如图，把等腰直角△ABC沿BD折叠，使点A落在边 BC上的点 E 处，下面结论错误的是 ( ) A. AB=BE B. AD=DC C. AD=EC D. BC=2AD+CD 12. 如图,长方形ABCD中, AB=4, BC=6, 点 E是折线段A—D—C 上的一个动点(与点A 不重合)，点P是点A关于BE的对称点，在点E的运动过程中，能使得△PCB为等腰三角形的点 E的位置共有 ( ) A.2个 B.3个 C. 4个 D.5个 三、解答题 13. 如图, ∠ACB=90°, 点 D是AB上一点, 若 DB=DC, 求证: 点D是AB的中点. 14. 如图, 在△ABC中,点E在AB上,点D在BC上, BD=BE, ∠BAD=∠BCE, AD与CE相交于点 F，试判断△AFC的形状，并说明理由. 15.如图,△ABC中, AB=AC, D为AB上一点, E为AC延长线上一点, 且 BD=CE, DE交 BC于 G, 求证: DG=EG. 13.3.1等腰三角形(3) 一、填空题 1. 等腰三角形的周长是25cm，一腰上的中线将周长分为3：2两部分，则此三角形的 底边长 . 2. 等腰△ABC中, ∠A的外角等于130°, 那么∠B= . 3. 如图, 在△ABC中, 高AD、BE交于H点, 若BH=AC, 则∠ABC= . 4.∠AOB内部有一点 P, OP=5, 点P关于 OA 的对称点为M, 点 P 关于OB的对称点为N, 若∠AOB=45°, 则△MON的面积为 . 5. 周长为13且各边长都是整数的等腰三角形共有 个。 6. 已知BD是等腰△ABC一腰上的高, ∠ABD=50°, 则顶角为 度。 二、选择题 7. 等腰三角形的一个外角是 80°，则其底角是 ( ) A.100° B.100°或40° C.40° D.80° 8. 下列说法正确的是 ( ) A. 等腰三角形高、中线、角平分线互相重合 B. 顶角相等的两个等腰三角形全等 C. 等腰三角形一边不可以是另一边的二倍 D. 等腰三角形的两个底角相等 9.△ABC中三边a、b、c满足(a-b)(b-c)(c-a)=0, 则这个三角形一定为( ) A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰钝角三角形 D. 等腰直角三角形 10. 如图, 在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线交于 F, 过 F作DE∥BC, 交 AB于 D,交 AC 于 E, 那么下列结论中,①△BDF, △CEF 都是等腰三角形; ②DE=DB+CE;③AD+DE+AE=AB+AC; ④BF=CF; 正确的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 11. 如图,△ABC中,AB=AC, BF=CD, BD=CE,∠FDE=α, 则下列结论正确的是( ) A.2α+∠A=180° B.α+∠A=90° C. 2α+∠A=90° D.α+∠A=180° 12. 如图, △ABC 中, AB=AC , ∠BAC=α , 点 D 在△ABC 内 部 , 且使得 则∠ACD的度数为 ( ) A. α-30° B. α-60° C.30° D. 不确定 三、解答题 13. 如图, 中， CE 是 的角平分线， 求证：EF=CF 14. 如图, 中， 于 D, 求证: 15.△ABC中, A C的平分线BE交AC于点E, 求证: BC=AE+BE 13.3.2等边三角形(1) 一、 填空题 1. 等边三角形的定义： 都相等的三角形叫做 . 2. 等边三角形的性质：等边三角形的 都相等并且每个内角都等于 . 3. 等边三角形的判定1： 都相等的三角形是等边三角形. 等边三角形的判定2： 都相等的三角形是等边三角形. 等边三角形的判定3：有一个角 的 三角形的等边三角形. 4. 等边三角形是特殊的 三角形，因此它也是 图形，有 条对称轴. 5. 如图, B、C、D在一条直线上, △ABC、△ADE是等边三角形, 若CE=14cm, CD=4cm,则BC= cm,∠ECD= . 6. 已知, △ABC是等边三角形, AE⊥BC于 E, AD⊥CD于 D, 若 AB∥CD, 则图中 60°的角有 个. 二、选择题 7. 下列对称轴条数最多的图形是 ( ) A. 角 B. 等边三角形 C. 正方形 D. 圆 8. 若一个三角形是轴对称图形，且有一个角是60度，那么这个三角形是 ( ) A. 等腰直角三角形 B. 含有 120°的等腰三角形 C. 等边三角形 D. 含有 60°的直角三角形 9.△ABC中,三边长分别为a, b, c满足( 则这个三角形一定是( ) A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 锐角三角形 10. 如图,等边三角形ABC中, D、E分别在AB、AC上, 且AD=CE, BE、CD 交于 P点,则图中60度的角共有 ( ) A.6个 B.5个 C.4个 D.3个 11. 下列命题中, 正确的是 ( ) ①有一个外角是 120°的等腰三角形是等边三角形. ②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形. ③有一边上的高也是这条边上的中线的等腰三角形是等边三角形 ④三个外角都相等的三角形是等边三角形 A.4个 B.3个 C.2个 D.1 个 12. 下列判断正确的是 ( ) (1) 有两个角是 60度的三角形是等边三角形 (2) 有一个角是 60度的等腰三角形是等边三角形 (3) 三个内角都相等的三角形是等边三角形 (4) 三边都相等的三角形是等边三角形 (5) 腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形 A. (2) (1) (3) (4) (5) B. (2) (3) (4) (5) C. (2) (3) (4) D. (2) (3) 三、解答题 13. 在等边 的三条边 AB、BC、CA上, 分别取点 D、E、F, 使得 连接DE、EF、FD, 求证: 是等边三角形 14. 如图, 以 的边AB、AC 向外作等边 和 ,连接BD、CE (1) 线段 CE和BD有什么数量关系? 试证明你的结论 (2) 求出 的度数 15. 如图, 为等边三角形，延长BC到D，延长BA 到E，使 ,连接CE、DE,求证： 13.3.2 等边三角形(2) 一、选择题 1.下列结论正确的是( ) A.等腰三角形是等边三角形 B.等边三角形是等腰三角形 C.直角三角形是轴对称图形 D.直角三角形必有一个角是30度 2.下列图形中，不是轴对称图形的是 ( ) A.有一个角是45度的直角三角形 B.有两个角相等的三角形 C.有一个角是40度，另一个角是100度的三角形 D.有一个角是30度的直角三角形 3.如图, 等边△ABC中, D是AC中点, DE⊥BC于E, 若BC=8, 则BE长为 ( ) A.6 B.4 C.2 D.1 4.若三角形的一边等于另一边的一半，那么这边所对的角为 ( )度. A.60 B.45 C.30 D.无法确定 5.在等边△ABC所在的平面内求一点 P, 使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形,具有这样性质的点 P 共有 ( )个 A.1 B.4 C.9 D.10 二、判断题 6.(1) 三角形中若有一个角是30°，则它所对的边是另一边的一半.( ) (2) 直角三角形的两条直角边的中垂线的交点在斜边上.( ) 三、填空题 7.含30°角的直角三角形性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的等于 的一半. 8.已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°, FE垂直平分AB交 BC于 F,垂足为E,若 EF=2cm,则BC= cm. 9.如图, 四边形ABCD中, AC平分∠BAD, AB∥CD, BC=4cm, ∠BAD=30°, ∠B=90°, 则CD的长为 cm 10.在△ABC中, AB=AC, ∠C=30°, DA⊥AB交BC于点D, BC=14.4, 则AD= 11.如图,Rt△ABC中,∠B=90°,∠=30°,CD平分∠ACB交AB于D,BD=2cm,则AD= cm. 12.在△ABC中,∠B=15°,∠C=90°,AB的垂直平分线交 BC于点 M,交 AB于点 N,BM=14cm,则 AC 的长为 cm. 四、解答题 13.如图, Rt△ABC中, ∠ACB=90°, ∠B=30°, CD⊥AB于D, 求证: DB=3AD. 14.如图，点C为线段AB上一点， 是等边三角形，直线AN、MC 交于点 E，直线BM、CN交于点 F. (1) 求证: (2) 求证: (3) 求证: AB∥EF. 15.已知点 D、 E 为 中 AB 边上的点，且 (∠AEC+∠BDC) , DF⊥CE于 F, DF=1, 求CD的长. 学科网（北京）股份有限公司 $$