1.4.2 充要条件课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.4.2 充要条件 1 一、充要条件 原命题 (原命题的)逆命题 “若p，则q” “若q，则p” 原命题 若两直线平行，则同位角相等 逆命题 若同位角相等，则两直线平行 0 0 一、充要条件 思考1(教材P20改编) 判断下列命题及其逆命题的真假？ (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； (2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； (3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则ac<0. (4)若x>y，则x2>y2. 原命题 逆命题 真 真 真 真 假 假 假 假  命题真假 推出关系 条件关系 p⇔q p是q的充要条件 (等价条件) “若p，则q”为真命题 “若q，则p”为真命题 “若p，则q”为真命题 “若q，则p”为假命题 “若p，则q”为假命题 “若q，则p”为真命题 p⇒q，q⇏p p是q的充分不必要条件 p⇏q，q⇒p p是q的必要不充分条件 “若p，则q”为假命题 “若q，则p”为假命题 p⇏q，q⇏p p是q的既不充分也不必要条件 0 0 一、充要条件 例1(教材P21例3改编) 下列各题中， 判断p是q的什么条件? (1) p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分； (2) p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例； (3) p：xy>0，q：x>0，y>0； (4) p：x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0(a≠0). p⇒q，q⇏p(充分不必要条件) p⇔q(充要条件) p⇏q，q⇒p(必要不充分条件) p⇔q(充要条件) 训练1(教材P22习题2) 下列各题中， 判断p是q的什么条件? (1) p：三角形是等腰三角形，q：三角形是等边三角形； (2) p：一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根，q：b2-4ac≥0 (a≠0)； (3) p：a∈P∩Q，q：a∈P； (4) p：a∈P∪Q，q：a∈P； (5) p：x>y，q：x2>y2. p⇏q，q⇒p (必要不充分条件) p⇔q(充要条件) p⇒q，q⇏p(充分不必要条件) p⇏q，q⇒p(必要不充分条件) p⇏q，q⇏p(既不充分也不必要条件) 0 0 一、充要条件 思考2 若p⇔q，则p是q的充要条件，p唯一吗？请举例说明. 思考3(教材P21探究) 你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？ ①四边形的两组对边分别相等； ②四边形的一组对边平行且相等； ③四边形的两条对角线互相平分； ④四边形的两组对角分别相等. 思考4 平行四边形的定义是什么？ 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. (也是“四边形是平行四边形”的充要条件) “四边形是平行四边形”的每个充要条件都从不同角度刻画了“平行四边形”这个概念. 思考5 你能利用“两个三角形全等”的充要条件，给出“三角形全等”的其他定义吗？ 结论 数学定义是从充分性与必要性两个方向刻画数学对象的，不同的充要条件从不同的 角度刻画了一个数学对象. 0 0 一、充要条件与集合的关系 例2 下列各题中， p是q的什么条件? (x∈R) (1) p：x>3， q：x>2； (2) p：(x－1)·(x－2)＝0，q：x＝1； (3) p：-1≤x≤5，q：x≥ -1且x≤5； (4) p：x>0， q：x< -2. p⇒q，q⇏p； 思考6 观察例2，你能否用集合间的关系进行表示.  定义 Venn图 集合表示 p⇒q，q⇏p 设P={x| p(x)}，Q={x| q(x)} P ⫋Q p⇏q，q⇒p Q ⫋P p⇔q p⇏q，q⇏p P = Q 无包含关系 小范围⇒大范围 p⇏q，q⇒p； p⇔q； p⇏q，q⇏p. 0 0 二、充要条件与集合的关系 例3(同步导练P19例3) 若p：x2+x-6=0是q：ax+1=0 (a≠0)的必要不充分条件，则实数a的值为 __________. 由题知，Q ⫋P 训练2(同步导练P19训练3) 一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要 条件是 ( ) A.a<0 B.a>0 C.a<-1 D.a<1 C 0 0 三、充要条件的证明 例4(教材P23习题5) 设a，b，c∈R.证明：a2+b2+c2=ab+ac+bc的充要条件是a=b=c. ①充分性(已知a=b=c，证明a2+b2+c2=ab+ac+bc) 若a=b=c，则a2+b2+c2=aa+bb+cc=ab+ac+bc ②必要性(已知a2+b2+c2=ab+ac+bc，证明a=b=c) 若a2+b2+c2=ab+ac+bc，则2(a2+b2+c2)=2ab+2ac+2bc， 则(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0，所以a=b=c. 证明：a=b=c是a2+b2+c2=ab+ac+bc的充要条件. 结论 ①证明p为q的充要条件：充分性__________；必要性__________； ②证明q为p的充要条件：充分性__________；必要性__________； 证明 p⇒q 证明 q⇒p 证明 q⇒p 证明 p⇒q 0 0 谢谢大家！ 9 设P={x| p(x)}={2，-3}，Q={x| q(x)}={-}. 所以，- =2或- = - 3，即a= - 或 $$