14.2 三角形全等的判定 讲义-2024-2025学年沪科版数学八年级上册

三角形全等的判定 本节课知识框架： 知识点1：基本事实“边角边”或“SAS” 知识点2：基本事实“角边角”或“ASA” 知识点3：基本事实“边边边”或“SSS” 知识点4：“角角边”或“AAS”定理 知识点5：斜边、直角边(“HL”)定理 本节课重难点： 重点：“SAS”、“ASA”、“SSS”、“AAS”、“HL” 难点：三角形全等的判定方法的综合应用 本节课学习目标： 1、 掌握判定三角形全等的三个基本事实“边角边”“角边角”“边边边”和直角三角形全等的“斜边、直角边”定理 2、 能灵活运用全等三角形的证明方法解决线段相等或角相等的问题,并能进行简单的说理 3、 了解三角形的稳定性的实际应用 4、 在给出两边及其夹角、两角及其夹边和三边的情况下,能利用尺规作出三角形 知识点1：基本事实“边角边”或“SAS” 1.基本事实  两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 . (可以简写为成 “边角边”或“SAS”) . 要点提醒 1. 相等的元素： 两边及这两边的夹角 . 2. 书写顺序 ： 边→角→边 . 2.书写格式  如图， 在△ ABC 和△ A′ B′ C′中 ， ∴△ ABC ≌△ A′ B′ C′(SAS ) . 例题1：如图 14.2-2，已知 OA=OC， OB=OD，∠ AOC= ∠ BOD． 求证：△ AOB ≌△ COD． 方法点拨 常见的隐含等角的情况： ①公共角相等；②对顶角相等；③等角加(或减)等角，其和(或差)仍相等；④同角或等角的余(或补)角相等； ⑤由角平分线的定义得出角相等；⑥由垂直的定义得出角相等；⑦由平行线得到同位角或内错角相等 . 另外，一些自然规律如 “太阳光线可以看成是平行的”“光的反射角等于入射角”等也是常见的隐含条件 . 牛刀小试： 第一题：如图， AB ＝ AD ， AC ＝ AE . 若要用“ SAS ”证明△ ABC ≌△ ADE ，则还需要的条件是(　　) A. ∠ B ＝∠ D B. ∠ C ＝∠ E C. ∠1＝∠2 D. ∠3＝∠4 第二题： 如图，在△ ABC 和△ DEF 中，点 A ， E ， B ， D 在同一直线上， AC ∥ DF ， AC ＝ DF ，只添加一个条件，能判定△ ABC ≌△ DEF 的是(　　) A. BC ＝ DE B. AE ＝ DB C. ∠ A ＝∠ DEF D. ∠ ABC ＝∠ D 第三题：如图，已知 AB ＝ AD ， BC ＝ DE ，且∠ CAD ＝10°，∠ B ＝∠ D ＝25°，∠ EAB ＝120°，则∠ EGF 的度数为 ⁠. 知识点2：基本事实“角边角”或“ASA” 1. 基本事实  两角及其夹边分别相等的两个三角形全等( 可以简写成“角边角”或“ASA”) . 2. 书写格式  如图， 在△ ABC 和△ A′ B′ C′中， ∴△ ABC ≌△ A′ B′ C′.( ASA ) 例题2：如图 14.2-4，已知∠ 1= ∠ 2，∠ 3=∠ 4．求证： AB=AD． 方法点拨 运用“ASA” 判定两个三角形全等，既找边相等，又找角相等，除已知条件外，看缺什么条件， 就去找什么条件 . 牛刀小试： 第一题：如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是(　　) A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①和②去 第二题： 如图，点 E ， F 在 BC 上， BE ＝ CF ，∠ B ＝∠ C ，添加一个条件，不能证明△ ABF ≌△ DCE 的是(　　) A. ∠ A ＝∠ D B. ∠ AFB ＝∠ DEC C. AB ＝ DC D. AF ＝ DE 第三题： 如图，已知 AB ∥ DE ， AB ＝ DE ，请你添加一个条件 ，使△ ABC ≌△ DEF . 知识点3：基本事实“边边边”或“SSS” 1. 基本事实   三边分别相等的两个三角形全等 (可以简写成 “边边边”或“SSS”) . 2.书写格式   如图， 在△ ABC 和△ A′ B′ C′中， ∴△ ABC ≌△ A′ B′ C′. ( SSS ) 例题3：如图 14.2-6，已知点 A、 D、 B、 F 在同一条直线上，AC= FE， BC ＝ DE， AD ＝ FB. 求证：△ ABC ≌△ FDE. 方法点拨 运用“SSS” 证明两个三角形全等主要就是找边相等，边相等除了题目中已知 的边相等，还有些相等的边隐含在题设或图形中，常见 的隐含的等边有： ①公共边相等；②等边加(或减)等边，其和(或差)仍相等；③由中线的定义得出线段相等 . 三角形的稳定性 1. 三角形的稳定性 (1)如果三角形的三边长确定了，这个三角形的形状、大小就确定了，这就是三角形的稳定性 . (2)四边形及四边以上的图形不具有稳定性，在生活中也有广泛的应用 . 2. 三角形稳定性的应用 (1)稳定性是三角形特有的，在生产和生活中具有广泛的应用，有很多需要保持稳定性的物体都被制成三角形的形状，如起重机、钢架桥等 . (2)四边形及四边以上的图形不具有稳定性，为保证其稳定性，常在图形中构造三角形 . 四边形的不稳定性在生活中也有广泛的应用，如活动挂架、伸缩门等 . 示图：钢架桥(如图 14.2- 7) 例题4：李明家有一个由六根钢管连接而成的钢架 ABCDEF，如图 14.2-10，为了使这个钢架稳固，他计划在钢架的内部用三根钢管来连接使它不变形 . 请帮李明解决这个问题 . 解法提醒 ◆判断一个图形是否具有稳定性要看它的基本组成部分是不是三角形 . 若是，则具有稳定性；若不是，则不具有稳定性 . ◆为了保证四边形及四边以上的图形稳定，最简单的方法是连对角线 (不相邻两个顶点的连线). 牛刀小试： 第一题： 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， BE ＝ CE ，则直接由“ SSS ”可以判定(　　) A. △ ABD ≌△ ACD B. △ BDE ≌△ CDE C. △ ABE ≌△ ACE D. 以上都不对 第二题： 如图，在△ ABC 和△ FED 中， AC ＝ FD ， BC ＝ ED ，要利用“ SSS ”来判定△ ABC ≌△ FED ，有下面4个条件：① AE ＝ FB ；② AB ＝ FE ；③ AE ＝ BE ；④ BF ＝ BE . 其中可利用的是(　　) A. ①或② B. ②或③ C. ①或③ D. ①或④ 第三题： 如图，已知 AB ＝ AC ， D 为 BC 的中点，有下列结论： ①∠ B ＝∠ C ； ② AD 平分∠ BAC ；③ AD ⊥ BC ； ④△ ABD ≌△ ACD其中正确的个数为(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第四题：如图，学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是 ⁠ ⁠. 知识点4：角角边”或“AAS” 定理 1.定理  两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 ( 可以简写成 “角角边”或“AAS”) . 2.书写格式  如图 14.2-12，在△ ABC 和△ A′ B′ C′中， ∴△ ABC ≌△ A′B′C′. (AAS ) 3.“ASA” 与“AAS”的区别与联系 特别解读 1.判定两个三角形全等的三个条件中， “边”是必不可少的 . 2.在两个三角形的六 个元素(三条边和三个角)中，由已知的三个元素可判定两个三角形全等的 组合有 4 个： “SSS”“SA S”“ASA”和“AAS”，不能判定两个三角形全等的组合是 “AAA”和“SSA”. 3. 由于“角角边”和“角边角”是可以互相转化 的， 故能用“ 角角边”证明的问题，一般也可以用“角边角”证明 . 例题5：如图14.2-13， 已知点 A、D、 C、 F 在同一直线上， AB ∥ DE，∠ B= ∠ E， BC=EF．求证 AD=CF． 证明三角形全等找条件的方法： 证明三角形全等时，有些条件是已知的，有些条件是隐含在题设或图形中的，比如对顶角、公共角、公共边等，还有些条件是通过证明三角形全等，利用全等三角形的性质得到的 . 牛刀小试： 第一题：如图，能够判定全等的两个三角形是(　　) A. ①和② B. ②和④ C. ①和③ D. ③和④ 第二题：如图，已知 AB ＝ AD ，∠ C ＝∠ E ， CD ， BE 相交于点 O ，下列结论：① BC ＝ DE ； ② CD ＝ BE ； ③△ BOC ≌△ DOE其中正确的结论有(　　) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 第三题： 如图，已知 AB ＝ AD ，∠ C ＝∠ E ， CD ， BE 相交于点 O ，下列结论：① BC ＝ DE ；② CD ＝ BE ；③△ BOC ≌△ DOE . 其中正确的结论有(　　) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 知识点5：斜边、直角边”（“HL”）定理 1.定理  斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 (可以简写成 “斜边、直角边”或“HL”) . 2.书写格式  如图 14.2-14， 在Rt △ ABC 和 Rt △ A′ B′ C′中 ， ∴ Rt △ ABC ≌ Rt △ A′ B′ C′. (HL ) 3. 判定两个三角形全等常用的思路方法 已知对应相等的元素 可选择的判定方法 需寻找的条件 锐角三角形或钝角三角形 两边(SS) SSS 或 SAS 可证第三边对应相等或证两边的夹角对应相等 一边及其邻角(SA) SAS 或 ASA或 AAS 可证已知角的另一邻边对应相等或证已知边的另一邻角对应相等或证已知边的对角对应相等 一边及其对角(SA) AAS 可证另一角对应相等 两角(AA) ASA 或 AAS 可证两角的夹边对应相等或证其中一已知角的对边对应相等 直角三角形 一锐角(A) ASA 或 AAS 可证直角与已知锐角的夹边对应相等或锐角(或直角)的对边对应相等 斜边(H) HL 或 AAS 可证一条直角边对应相等或证一锐角对应相等 一直角边(L) HL或 SAS或ASA 或 AAS 可证斜边对应相等或证另一直角边对应相等或证与已知边相邻的锐角对应相等或证已知边所对的锐角对应相等 特别提醒 1. 应用“HL”判 定两个直角三角形全等，在书写时两个三角形符号前一定要加上 “Rt”. 2. 判定两个直角三角形全等的特殊方法( “HL”) ， 只适用于直角三角形全等的判定，对于一般三角形不适用 . 3. 判定一般三角形全等的所有方法对判定两个直角三角形全等同样适用. 4. 在用一般方法证明直角三角形全等时，因为两个直角三角形中已具备一对直角相等的条件，故只需找另外两个条件即可 . 例题6：如图 14.2-15， AC ⊥ BC， AD ⊥ BD， AD=BC，CE ⊥ AB， DF ⊥ AB，垂足分别是点 E、 F. 求证： CE=DF. 方法点拨 证明线段或角相等的方法： 1.观察要证明的线段或角(或通过等量代换得到的线段或角)在哪两个可能全等的三角形中，当待证线段或角不分布在两个全等的三角形中时，常需添加辅助线构造全等三角形； 2.分析需要证明全 等的两个三角形，确定已知条件(包含图形中的隐含条件)是 什 么，还缺什么条件； 3.设法推导出所缺 的条件； 4.整理书写证明过程 . 牛刀小试： 第一题：如图，点 O 在一块直角三角尺 ABC 上(其中∠ ABC ＝30°)， OM ⊥ AB 于点 M ， ON ⊥ BC 于点 N ，若 OM ＝ ON ，则∠ ABO ＝ 度. 第二题：Rt△ ABC 和Rt△ DEF 如图所示，∠ C ＝∠ F ＝90°. (1)若∠ A ＝∠ D ， BC ＝ EF ，则Rt△ ABC ≌Rt△ DEF 的依据是“ ”； (2)若∠ A ＝∠ D ， AC ＝ DF ，则Rt△ ABC ≌Rt△ DEF 的依据是“ ”； (3)若 AC ＝ DF ， CB ＝ FE ， AB ＝ DE ，则Rt△ ABC ≌Rt△ DEF 的依据是“ ”； (4)若 AC ＝ DF ， AB ＝ DE ，则Rt△ ABC ≌Rt△ DEF 的依据是“ ”； (5)若 AC ＝ DF ， CB ＝ FE ，则Rt△ ABC ≌Rt△ DEF 的依据是“ ⁠”. 课后作业 第一题： 如图，已知 BC ＝ DC ， AC ＝ EC ，要用“ SAS ”来说明△ ABC ≌△ EDC ，应补充的条件是 . 第二题：如图，在△ ABC 中，∠ B ＝50°，∠ C ＝20°.过点 A 作 AE ⊥ BC ，垂足为 E ，延长 EA 至点 D ，使 AD ＝ AC . 在边 AC 上截取 AF ＝ AB ，连接 DF . 求证： DF ＝ CB . 第三题： 已知：如图， AB ∥ DE ， AB ＝ DE ， AF ＝ DC . 求证：∠ B ＝∠ E . 第四题：如图，点 C 在线段 BD 上，在△ ABC 和△ DEC 中，∠ A ＝∠ D ， AB ＝ DE ，∠ B ＝∠ E . 试说明： AC ＝ DC . 第五题：如图，点 C ， E ， F ， B 在同一直线上，点 A ， D 在 BC 异侧， AE ∥ DF ， AE ＝ DF ，∠ A ＝∠ D . (1)求证： AB ＝ CD ； (2)若 AB ＝ CF ，∠ B ＝40°，求∠ D 的度数. 第六题：如图， AD ∥ BC ， BE 平分 ∠ ABC 交 CD 于点 E ，连接 AE ，恰有 AE ⊥ BE ，求证： AD ＋ BC ＝ AB . 第七题：如图，点 A ， D ， C ， F 在同一条直线上， AD ＝ CF ， AB ＝ DE ， BC ＝ EF . (1)试说明：△ ABC ≌△ DEF ； (2)若∠ A ＝55°，∠ B ＝88°，求∠ F 的度数. 第八题：如图，在Rt△ ABC 中，∠ BAC ＝90°， AB ＝ AC ， D 为 BC 上一点，连接 AD . 过点 B 作 BE ⊥ AD 于点 E ，过点 C 作 CF ⊥ AD 交 AD 的延长线于点 F . 若 BE ＝4， CF ＝1，则 EF 的长度为 ⁠. 第九题：如图，点 A ， B ， C ， D 在同一条直线上，点 E ， F 分别在直线 AB 的两侧，且 AE ＝ BF ，∠ A ＝∠ B ，∠ ACE ＝∠ BDF . (1)试说明：△ ACE ≌△ BDF ； (2)若 AB ＝8， AC ＝2，求 CD 的长. 第十题：如图，点 D ， E 分别在 AB ， AC 上，∠ ADC ＝∠ AEB ＝90°， BE ， CD 相交于点 O ， OB ＝ OC . 求证：∠1＝∠2. 第十一题：如图，幼儿园有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等. (1)△ ABC 与△ DEF 全等吗？请说明理由. (2)求两个滑梯的倾斜角∠ ABC 与∠ DFE 的度数之间的关系. 第十二题：某数学兴趣小组进行了一次探究试验活动，请你来加入. 【探究与发现】(1)如图①， AD 是△ ABC 的中线，延长 AD 至点 E ，使 ED ＝ AD ，连接 BE . 求证：△ ACD ≌△ EBD . 【变式与应用】(2)如图②， EP 是△ DEF 的中线，若 EF ＝5， DE ＝3.设 EP ＝ x ， 则 x 的取值范围是 ⁠. 【拓展与延伸】(3)如图③， AD 是△ ABC 的中线，点 E ， F 分别在 AB ， AC 上，且 DE ⊥ DF . 求证： BE ＋ CF ＞ EF . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$