精品解析：浙教版2024-2025学年九年级数学上册第1-4章综合检测试卷

浙教版九年级数学上册第1−4章综合检测试卷（含解答） （满分：120分，时间：100分钟） 一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 若，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛掷一枚质地均匀的立方体骰子一次，骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．则朝上一面的数字为偶数的概率是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，周末阳光正好，小丽和爸爸外出游园．爸爸身高m，此刻他在地面上的影长为m，经测量小丽在地面上的影长是m，则小丽的身高为（ ） A. m B. m C. m D. m 4. 抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得的抛物线表达式是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，是的圆周角，若的半径为5，，则弧长为（ ） A. B. C. D. 6. 点都在函数的图象上，则的大小关系为（　　） A. B. C. D. 7. 在不透明布袋中装有除颜色外其它完全相同红、白玻璃球，其中白球有60个．同学们通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在0.25左右，则袋中红球个数约为（　　） A. 15个 B. 20个 C. 25个 D. 30个 8. 如图，四边形内接于，若，则（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为实数）．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E在BD上，作EF⊥CE交AB于点F，连接CF交BD于H，则下列结论：①EF=EC；②；③；,④若BF=1，则，正确的是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题：本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上． 11. 八年级的小亮和小明是好朋友，他们都报名参加学校的田径运动会，将被教练随机分进甲、乙、丙三个训练队，他俩被分进同一训练队的概率是__． 12. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为______． 13. 如图，为半圆的直径，且，半圆绕点B顺时针旋转，点A旋转到点的位置，则图中的阴影部分的面积为______． 14. 如图，在钝角中，，，点D从A点出发沿以的速度向B点移动，点E从C点出发沿以的速度向A点移动，如果两点同时移动，经过______秒时，与相似． 15. 定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点，点，则互异二次函数与正方形OABC有公共点时m的最大值是__________． 16. 已知：中，是中线，点在上，且，．则 = _____． 三、解答题：本大题共8个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 如图，是的直径，弦与相交于点E，．若，求直径的长． 18. 我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： （1）本次随机调查的学生人数为 人； （2）补全条形统计图； （3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数； （4）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表或画树状图方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率． 19. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，顶点为． （1）求此二次函数的解析式． （2）求 的面积． 20. 如图，⊙O是△ABD的外接圆，AB为直径．点C是弧AD的中点，连接OC，BC分别交AD于点E，F． （1）求证：∠CAD＝∠CBA； （2）若AB＝10，BC＝8，求OE的长． 21. 某超市采购了两批同样冰墩墩挂件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个． （1）求第二批每个挂件的进价； （2）两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？ 22. 概念引入 在一个圆中，圆心到该圆的任意一条弦的距离，叫做这条弦的弦心距． 概念理解 （1）如图1，在中，半径是5，弦，则这条弦弦心距长为　　． （2）通过大量的做题探究；小明发现：在同一个圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的弦心距也相等．但是小明想证明时却遇到了麻烦．请结合图2帮助小明完成证明过程如图2，在中，，，，求证：． 概念应用如图3，在中，的直径为20，且弦垂直于弦于，请应用上面得出的结论求的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝－且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B． （1）求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式； （2）点P为线段AB上的动点，求AP＋2PC的最小值； （3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 定义：若一个四边形能被其中的一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“师梅四边形”，这条对角线称为“师梅线”．我们熟知的平行四边形就是“师梅四边形”． （1）如图1，平分，，．四边形是被分割成的“师梅四边形”，求长； （2）如图2，平面直角坐标系中，A、B分别是x轴和y轴上的点，且，，若点C是直线在第一象限上的一点，且是四边形的“师梅线”，求四边形的面积． （3）如图3，圆内接四边形中，点E是中点，连接交于点F，连接，，①求证：四边形是“师梅四边形”；②若的面积为，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浙教版九年级数学上册第1−4章综合检测试卷（含解答） （满分：120分，时间：100分钟） 一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 若，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两内项之积等于两外项之积即可得出正确选项． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴， 故选 【点睛】本题考查了比例的性质：两内项之积等于两外项之积，熟记比例的性质是解题的关键． 2. 抛掷一枚质地均匀的立方体骰子一次，骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．则朝上一面的数字为偶数的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接得出偶数的个数，再利用概率公式求出答案． 【详解】解：∵一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6， ∴投掷一次朝上面的数字是偶数的概率为：． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了概率公式，正确应用概率公式是解题关键． 3. 如图，周末阳光正好，小丽和爸爸外出游园．爸爸身高m，此刻他在地面上的影长为m，经测量小丽在地面上的影长是m，则小丽的身高为（ ） A. m B. m C. m D. m 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形在测量高度时的应用，设小芳的身高为，再根据同一时刻物高与影长成正比即可求出的值即可，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立数学模型来解决问题． 【详解】设小芳的身高为米， ∵同一时刻物高与影长成正比， ∴， 解得， 故选：． 4. 抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得的抛物线表达式是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据左加右减，上加下减的平移变换规律求解即可． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得的抛物线表达式为， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移变换规律，熟练掌握二次函数图象平移变换规律是解题的关键． 5. 如图，是的圆周角，若的半径为5，，则弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由圆周角定理求得∠AOB=90°，再由弧长公式即可求得弧AB的长． 【详解】解：∵是的圆周角， ， ∴∠AOB=2∠ACB=90°， ∴弧AB的长为， 故选：B． 【点睛】本题考查圆周角定理、弧长公式，熟记弧长公式是解答的关键． 6. 点都在函数的图象上，则的大小关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据函数解析式可得抛物线开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越远，函数值越大，求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点都在函数的图象上，， ∴， 故选：B． 7. 在不透明布袋中装有除颜色外其它完全相同的红、白玻璃球，其中白球有60个．同学们通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在0.25左右，则袋中红球个数约为（　　） A. 15个 B. 20个 C. 25个 D. 30个 【答案】B 【解析】 【分析】根据频率估计概率问题可直接进行求解． 【详解】∵通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在0.25左右， ∴摸到红色球的概率为0.25， ∵布袋中装有除颜色外其它完全相同的红、白玻璃球两种， ∴摸到白色球的概率为， ∵有白色球60个， ∴球的总个数为：， ∴红球个数约，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率是解题的关键． 8. 如图，四边形内接于，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【详解】解：， ， 四边形内接于， ， ， 故选：A 9. 二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为实数）．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴的交点位置可判断①②；由，及a与b的数量关系可判断③，由函数取最小值可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴ ∵抛物线对称轴为直线， ∴ ∴ ∴，②正确 ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ，①错误 由图像得：当时 ③正确 由函数取最小值可得 ，④正确． 故答案为：C． 【点睛】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 10. 边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E在BD上，作EF⊥CE交AB于点F，连接CF交BD于H，则下列结论：①EF=EC；②；③；,④若BF=1，则，正确的是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】①由“”可证，可得，，由四边形的内角和定理可证，可得； ②通过证明，可得； ③通过证明，可得，通过证明，可得，可得结论； ④通过证明，可得，即可求解． 【详解】如图，连接， 四边形是正方形， ，， 又， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ，故①正确； ，， ， ， 又， ， ， ，故②正确； ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，故③正确； ，， ，， ， ， 又， ， ， ， ，故④正确， 故选：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 二、填空题：本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上． 11. 八年级的小亮和小明是好朋友，他们都报名参加学校的田径运动会，将被教练随机分进甲、乙、丙三个训练队，他俩被分进同一训练队的概率是__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是概率的求法，需要用列表法或画树状图法求概率，能选择正确的方法是求出正确答案的关键． 先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果和两人在同一队的情况，利用概率公式即可求出答案． 【详解】解：列树状图如下： 共9种等可能性结果，小亮和小明被分进同一训练队的结果由3种， 所以他俩被分进同一训练队的概率是； 故答案为：． 12. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是抛物线的平移，掌握“抛物线的平移规律”是解本题的关键．抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，根据平移规律直接作答即可． 【详解】解：抛物线先向左平移1个单位，再向下平移1个单位后，所得抛物线的表达式是： 即． 故答案为：． 13. 如图，为半圆的直径，且，半圆绕点B顺时针旋转，点A旋转到点的位置，则图中的阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的面积的计算，根据“阴影部分的面积=扇形的面积+以为直径的半圆的面积 -以为直径的半圆的面积=扇形的面积”即可求解． 【详解】解：由旋转的性质得，， 故答案为：． 14. 如图，在钝角中，，，点D从A点出发沿以的速度向B点移动，点E从C点出发沿以的速度向A点移动，如果两点同时移动，经过______秒时，与相似． 【答案】3或 【解析】 【分析】解答时，分和两种情况解答即可．本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：设经过，与相似． ∵，，点D从A点出发沿以的速度向B点移动，点E从C点出发沿以的速度向A点移动， ∴，，， 当时，则即， 解得； 当时，则即， 解得； 故答案为：3或． 15. 定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点，点，则互异二次函数与正方形OABC有公共点时m的最大值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线顶点横纵坐标的关系得出抛物线顶点的运动轨迹，结合正方形的位置，则可得到当抛物线经过点B时m取最大值，依此列式求解即可． 【详解】解：∵抛物线顶点坐标为 , ∴抛物线顶点在直线y= -x上移动， ∵四边形AOBC为正方形，点A（0，2），点C（2，0）， ∴点B坐标为， 如图，当抛物线经过点B时，m取最大值， 将代入中， 则， 解得 或（舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数图象和性质和图象平移的特点，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系及图象平移的特点． 16. 已知：中，是中线，点在上，且，．则 = _____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形外角与内角的关系等知识点是解决本题的关键．先利用等腰三角形的性质及外角与内角的关系说明，再判断，利用相似三角形的性质用表示出，最后代入比例得结论． 【详解】解：是边上的中线， ． ， ． ． ， ． 又， ． ． ． ． ． 故答案为： 三、解答题：本大题共8个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 如图，是的直径，弦与相交于点E，．若，求直径的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据“同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等”可得，再利用含角的直角三角形的特征即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了圆周角定理、圆中“弧、弦、角的关系”等知识点．熟记相关结论即可． 18. 我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： （1）本次随机调查的学生人数为 人； （2）补全条形统计图； （3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数； （4）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率． 【答案】（1）60；（2）见详解；（3）200人；（4）． 【解析】 【分析】（1）利用园艺的人数除以百分比，即可得到答案； （2）先求出编织的人数，再补全条形图即可； （3）利用总人数乘以厨艺所占的百分比，即可得到答案； （4）列表或树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可． 【详解】解：（1）根据题意，本次随机调查的学生人数为： （人）； 故答案为：60； （2）选择编织的人数为：（人）， 补全条形图如下： （3）该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数为： （人）； （4）根据题意，“园艺、电工、木工、编织”可分别用字母A，B，C，D表示，则 列表如下： ∵共有12种等可能的结果，其中恰好抽到“园艺、编织”类的有2种结果， ∴恰好抽到“园艺、编织”类的概率为：； 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 19. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，顶点为． （1）求此二次函数的解析式． （2）求 的面积． 【答案】（1）； （2）8． 【解析】 【分析】（1）先设函数交点式,然后将，代入求得函数解析式； （2）将二次函数一般式化成顶点式，得到顶点坐标，然后求出面积． 小问1详解】 解：二次函数的图象与轴交于，两点， ， 此二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：， 点的坐标为， 点到的距离为， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，利用交点式求出函数解析式是解题的关键． 20. 如图，⊙O是△ABD的外接圆，AB为直径．点C是弧AD的中点，连接OC，BC分别交AD于点E，F． （1）求证：∠CAD＝∠CBA； （2）若AB＝10，BC＝8，求OE的长． 【答案】（1）见解析 （2）1.4 【解析】 【分析】（1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可． （2）证明△AEC∽△BCA，推出，求出EC即可解决问题． 【小问1详解】 证明：∵点C是弧AD的中点， ∴， ∴∠CAD＝∠CBA； 【小问2详解】 解：连接OD， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AB＝10，BC＝8， ∴AC＝＝6， ∵AE＝DE，OA=OD， ∴OC⊥AD， ∴∠AEC＝90°， ∴∠AEC＝∠ACB， 又∠CAE=∠ABC， ∴△AEC∽△BCA， ∴， ∴， ∴CE＝3.6， ∵OC＝AB＝5， ∴OE＝OC﹣EC＝5﹣3.6＝1.4． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键． 21. 某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个． （1）求第二批每个挂件的进价； （2）两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）第二批每个挂件的进价为40元 （2）当每个挂件售价定为58元时，每周可获得最大利润，最大利润是1080元 【解析】 【分析】（1）设第二批每个挂件的进价为x元，则第一批每个挂件的进价为1.1x元，根据题意列出方程，求解即可； （2）设每个售价定为y元，每周所获利润为w元，则可列出w关于y的函数关系式，再根据“每周最多能卖90个”得出y的取值范围，根据二次函数的性质可得出结论． 【小问1详解】 设第二批每个挂件的进价为x元，则第一批每个挂件的进价为1.1x元， 根据题意可得， ， 解得x＝40． 经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合实际意义， ∴1.1x＝44． ∴第二批每个挂件的进价为40元． 【小问2详解】 设每个售价定为y元，每周所获利润为w元， 根据题意可知，w＝（y﹣40）[40+10（60﹣y）]＝﹣10+1440， ∵﹣10＞0， ∴当x≥52时，y随x的增大而减小， ∵40+10（60﹣y）≤90， ∴y≥55， ∴当y＝55时，w取最大，此时w＝﹣10+1440＝1350． ∴当每个挂件售价定为55元时，每周可获得最大利润，最大利润是1350元． 【点睛】本题综合考查分式方程和二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题关键． 22. 概念引入 在一个圆中，圆心到该圆的任意一条弦的距离，叫做这条弦的弦心距． 概念理解 （1）如图1，在中，半径是5，弦，则这条弦的弦心距长为　　． （2）通过大量的做题探究；小明发现：在同一个圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的弦心距也相等．但是小明想证明时却遇到了麻烦．请结合图2帮助小明完成证明过程如图2，在中，，，，求证：． 概念应用如图3，在中，的直径为20，且弦垂直于弦于，请应用上面得出的结论求的长． 【答案】（1）3； （2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理得出，然后再根据勾股定理求出结果即可； （2）连接、，证明，即可得出答案； 概念应用过点作交于，过点作交于，连接，证明四边形是正方形，得出，根据垂径定理得出，根据勾股定理求出，最后求出结果即可． 【小问1详解】 解：连接， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：3； 【小问2详解】 证明：连接、， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ； 概念应用解：过点作交于，过点作交于，连接， ， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， 的直径为20， ， ， ， . 【点睛】本题主要考查了垂径定理，正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法和正方形的判定和性质． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝－且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B． （1）求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式； （2）点P为线段AB上的动点，求AP＋2PC的最小值； （3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线表达式为：； （2）AP+2PC的最小值是； （3）存在或或或，使得以点A、M、N为顶点的三角形与相似． 【解析】 【分析】（1）先求的直线与x轴，y轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点B的坐标；设抛物线的解析式为，然后将点C的坐标代入即可求得a的值，从而得抛物线的表达式； （2）如图1，作，交y轴于E，过点P作于H，当C，P，H三点共线时，AP+2PC的值最小，根据直角三角形含30度角的性质可得CH的长，从而可得结论； （3）首先可证明△ABC是直角三角形，且有AC=2BC，然后分三种情况讨论即可：①当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC；②根据抛物线的对称性，当M（-3，2）时，△MAN∽△ABC； ③当点M在第四象限时，解题时，需要注意相似三角形的对应关系． 【小问1详解】 中，当x=0时，y=2，当y=0时，x=-4， ∴C（0，2），A（-4，0）， 由抛物线的对称性可知：点A与点B关于对称， ∴点B的坐标为（1，0）． ∵抛物线y=ax2+bx+c过A（-4，0），B（1，0）， 可设抛物线表达式为y=a（x+4）（x-1）， 又∵抛物线过点C（0，2）， ∴2=-4a， ∴， ∴抛物线表达式为：； 【小问2详解】 如图1，作∠OAE=30°，交y轴于E，过点P作PH⊥AE于H， , , ∴当C，P，H三点共线时，AP+2PC的值最小， ∵∠APH=∠OPC，∠COP=∠AHP=90°， ∴∠OCP=∠OAE=30°， Rt△AOE中，AO=4， , Rt△CHE中，, ∴AP+2PC的最小值是; 【小问3详解】 ∵A（-4，0），B（1，0），C（0，2）， , ∴AC2+BC2=AB2， ∴∠ACB=90°，AC=2BC， 点A，M，N为顶点的三角形与△ABC相似存在以下3种情况： ①如图2，当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC； ②如图3，根据抛物线的对称性，当M（-3，2）时，△MAN∽△ABC； ③如图4，当M在第四象限时，设，则N（n，0）， , 当时，AN=2MN，即， 整理得：n2+2n-8=0， 解得：n1=-4（舍），n2=2， ∴M（2，-3）； 当时，MN=2AN，即 ， 整理得：n2-n-20=0， 解得：n1=-4（舍），n2=5， ∴M（5，-18）． 综上所述：存在M（0，2）或（-3，2）或（2，-3）或（5，-18），使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似． 【点睛】本题主要考查的是二次函数与相似三角形的综合应用，还考查了轴对称-最短路径问题，难度较大，解答本题需要同学们熟练掌握二次函数和相似三角形的相关性质． 24. 定义：若一个四边形能被其中的一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“师梅四边形”，这条对角线称为“师梅线”．我们熟知的平行四边形就是“师梅四边形”． （1）如图1，平分，，．四边形是被分割成的“师梅四边形”，求长； （2）如图2，平面直角坐标系中，A、B分别是x轴和y轴上的点，且，，若点C是直线在第一象限上的一点，且是四边形的“师梅线”，求四边形的面积． （3）如图3，圆内接四边形中，点E是的中点，连接交于点F，连接，，①求证：四边形是“师梅四边形”；②若的面积为，求线段的长． 【答案】（1）或 （2） （3）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求的长度； （2）得出，可知，求出长，由等腰直角三角形的性质及三角形面积公式可得出答案． （3）①由题意可得，由三角形内角和定理和圆的内接四边形性质可得，可证，即四边形是“师梅四边形”；②由相似三角形的性质可得，由三角形面积公式可求，即可求的长． 【小问1详解】 ∵四边形为被分割的“师梅四边形”， ∴与相似， 若， 则， ∴， 若， 则， ∴， 综上所述：或； 【小问2详解】 解：∵点C是直线在第一象限上的一点， ∴平分， 即， 又∵是四边形“师梅线”， ∴， ∴ 即， ∴， 作轴于点M，轴于点N， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形的面积 ． 【小问3详解】 ①证明：∵E是的中点， ∴， ∴ ∵四边形内接于圆O， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴四边形为“师梅四边形”； ②解：如图，过点A作交与G，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，分类讨论思想，熟练运用相似三角形判定和性质是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$