高二（上）期中测试卷（B卷 能力提升）-【课后优辅导】2024年秋季高二数学上学期精品讲义（人教A版2019）

高二（上）期中测试卷（B卷 能力提升） 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（2023·江西上饶·模拟预测）某学校组织学生开展研学旅行，准备从4个甲省景区，3个乙省景区，2个丙省景区中任选4个景区进行研学旅行，则所选的4个景区中甲、乙、丙三个省的景区都有的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，设l的倾斜角为，l的斜率为 k，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·吉林白山·期末）已知圆与圆相交于两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·河南·期中）已知为椭圆的焦点，P为椭圆上一动点，，则的最大值为（    ） A． B．6 C． D． 5．（21-22高二上·四川攀枝花·阶段练习）如图所示，已知抛物线过点，圆. 过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·河南·期末）椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线与交于点，，过点作的切线，点关于的对称点为，若，，则（    ） 注：表示面积. A．2 B． C．3 D． 7．（23-24高二上·浙江金华·期末）已知直线与双曲线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点，则当运动时，点到两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（21-22高二上·四川·期中）已知点，为椭圆的左右焦点，过点与轴垂直的直线与椭圆交于，两点，则三角形的内切圆的半径为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每个小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的. 9．（23-24高二上·四川宜宾·期中）投掷一枚均匀的骰子，记事件A：“朝上的点数大于3”，B：“朝上的点数为2或4”，则下列说法错误的是（    ） A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B对立 C．事件A与事件B相互独立 D． 10．（23-24高三上·江苏镇江·期中）在正三棱柱中，已知，空间点满足，则（    ） A．当时，为正方形对角线交点 B．当时，在平面内 C．当时，三棱锥的体积为 D．当，且时，有且仅有一个点，使得 11．（23-24高二上·浙江金华·期末）已知抛物线的准线方程为，焦点为，点是抛物线上的两点，抛物线在两点的切线交于点，则下列结论一定正确的（    ） A．抛物线的方程为： B． C．当直线过焦点时，三角形面积的最小值为1 D．若，则的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12．（24-25高三上·广西贵港·开学考试）甲､乙玩一个游戏，游戏规则如下：一个盒子中装有标号为的6个大小质地完全相同的小球，甲先从盒子中不放回地随机取一个球，乙紧接着从盒子中不放回地随机取一个球，比较小球上的数字，数字更大者得1分，数字更小者得0分，以此规律，直至小球全部取完，总分更多者获胜.甲获得3分的概率为 . 13．（23-24高二上·浙江金华·期末）已知椭圆的离心率为为椭圆的一个焦点，若关于直线的对称点恰好在椭圆上，则斜率的取值构成的集合为 ． 14．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）设是椭圆（）的两个焦点，P为椭圆上任一点，若且的面积为，则该椭圆的短轴长为 . 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高二上·四川广安·阶段练习）已知圆C过点且圆心在直线上 (1)求圆C的方程，并求过点的切线方程． (2)若过点的直线与圆C交于A，B两点，且三角形ABC的面积为10，求直线l的方程． 16．（24-25高二上·河南周口·开学考试）在一个不透明的袋子中装有大小、质地完全相同的1个红球和1个白球，每次从袋子中随机摸出1个球，观察其颜色后放回.甲连续摸球2次，乙连续摸球4次.用a表示摸出红球，b表示摸出白球. (1)分别写出甲和乙的摸球试验的样本空间及其包含样本点的个数； (2)设A=“甲恰有一次摸出红球”，B=“乙恰有两次摸出红球”，比较与的大小． 17．（23-24高二上·河南·期末）如图，在四棱锥中，为棱的中点，平面. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 18．（23-24高二上·河南·期末）已知椭圆的上顶点为，右顶点为，且直线的斜率为. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点（异于点），且满足，求面积的最大值. 19．（23-24高二上·浙江金华·期末）已知为拋物线的焦点，为坐标原点，为的准线上一点，直线的斜率为的面积为．已知，设过点的动直线与抛物线交于两点，直线与的另一交点分别为． (1)求拋物线的方程； (2)当直线与的斜率均存在时，讨论直线是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二（上）期中测试卷（B卷 能力提升） 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（2023·江西上饶·模拟预测）某学校组织学生开展研学旅行，准备从4个甲省景区，3个乙省景区，2个丙省景区中任选4个景区进行研学旅行，则所选的4个景区中甲、乙、丙三个省的景区都有的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率 【分析】设相应事件，利用组合数求，结合古典概型运算求解. 【详解】设样本空间为，则， 设所选的4个景区中甲、乙、丙三个省的景区都有为事件A， 则， 所以. 故选：B. 2．（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，设l的倾斜角为，l的斜率为 k，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】由两点斜率公式可求解斜率，进而得，然后求解三角不等式得答案． 【详解】设直线的倾斜角为， , 所以，即， 由题意知：， 解得：或． 倾斜角的取值范围是 故BCD错误，A正确， 故选：A 3．（23-24高二上·吉林白山·期末）已知圆与圆相交于两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长、三角形面积公式及其应用 【分析】求出公共弦所在的直线方程以及公共弦长，利用面积公式计算即可. 【详解】联立,相减可得直线：， 所以到直线的距离为， 利用圆与直线相交可得：， 所以. 故选：A. 4．（23-24高二上·河南·期中）已知为椭圆的焦点，P为椭圆上一动点，，则的最大值为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】根据焦点求得，利用椭圆的定义求得的最大值. 【详解】由于椭圆的焦点为，所以且焦点在轴上，则， 且，，所以椭圆方程为， 所以，设左焦点为， 根据椭圆的定义得， 当是的延长线与椭圆的交点时等号成立， 所以的最大值为. 故选：A    5．（21-22高二上·四川攀枝花·阶段练习）如图所示，已知抛物线过点，圆. 过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、与抛物线焦点弦有关的几何性质、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由点在抛物线上求出p，焦半径的几何性质有，再将目标式转化为，应用基本不等式“1”的代换求最值即可，注意等号成立条件. 【详解】由题设，16＝2p×2，则2p＝8，故抛物线的标准方程：，则焦点F(2,0)， 由直线PQ过抛物线的焦点，则， 圆C2：圆心为(2,0)，半径1， ， 当且仅当时等号成立，故的最小值为13. 故选：D 【点睛】关键点点睛：由焦半径的倾斜角式得到，并将目标式转化为，结合基本不等式求最值. 6．（23-24高二上·河南·期末）椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线与交于点，，过点作的切线，点关于的对称点为，若，，则（    ） 注：表示面积. A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆的焦半径与焦点弦问题、椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】结合椭圆性质以及光学性质得，再结合即可得解. 【详解】如图，由椭圆的光学性质可得三点共线.设， 则. 故，解得. 又，所以，所以. 故选：C. 【点睛】关键点睛：关键是充分结合光学性质以及椭圆定义，将线段长度都用来表示，由此即可顺利得解. 7．（23-24高二上·浙江金华·期末）已知直线与双曲线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点，则当运动时，点到两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的切线方程、双曲线的焦半径与焦点弦问题、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线中的最值问题 【分析】由题意首先得点在双曲线上面运动，画出图形结合双曲线定义以及三角形三边关系分类讨论即可求解. 【详解】联立，化简并整理得， 由题意，化简得， 解得， 所以过点且与垂直的直线方程为， 在该直线方程中分别令，依次解得， 所以， 即点在双曲线上面运动，双曲线的图象如图所示：    若在右支上面，可以发现点为的右焦点，不妨设其左焦点为， 所以， 等号成立当且仅当点与点重合，其中点为线段与双曲线右支的焦点， 若在左支上面，如图所示：    所以， 等号成立当且仅当点与点重合，其中点为线段与双曲线左支的焦点， 综上所述，点到两点距离之和的最小值为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：关键是求出点的运动轨迹方程，由此即可顺利得解. 8．（21-22高二上·四川·期中）已知点，为椭圆的左右焦点，过点与轴垂直的直线与椭圆交于，两点，则三角形的内切圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】根据题意得的周长为，，进而等面积法求解即可. 【详解】解：根据题意得,， 因为过点与轴垂直的直线与椭圆交于，两点 所以， 根据椭圆定义得的周长为， 不妨设三角形的内切圆的半径为， 所以根据等面积法得，代入数据得 故选：C 二、多选题：本大题共3小题，每个小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的. 9．（23-24高二上·四川宜宾·期中）投掷一枚均匀的骰子，记事件A：“朝上的点数大于3”，B：“朝上的点数为2或4”，则下列说法错误的是（    ） A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B对立 C．事件A与事件B相互独立 D． 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、独立事件的判断、互斥事件与对立事件关系的辨析、计算古典概型问题的概率 【分析】根据互斥事件以及对立事件的概念结合事件A与事件B的基本事件可判断选项AB；根据独立事件的概率公式可判断选项C；求出事件的概率可判断选项D. 【详解】事件A：“朝上的点数大于3”，B：“朝上的点数为2或4”， 这两个事件都包含有事件：“朝上的点数为4”，故事件A与事件B不互斥，也不对立，选项A，B错误； 投掷一枚均匀的骰子，共有基本事件6个， 事件A：“朝上的点数大于3”包含的基本事件个数有3个，其概率为， 事件B：“朝上的点数为2或4”，包含的基本事件个数有2个，其概率为， 事件AB包含的基本事件个数有1个，其概率为， 由于，故事件A与事件B相互独立，C选项正确； 对于D，事件包含的基本事件个数有朝上的点数为共4个，故，D选项错误. 故选：ABD. 10．（23-24高三上·江苏镇江·期中）在正三棱柱中，已知，空间点满足，则（    ） A．当时，为正方形对角线交点 B．当时，在平面内 C．当时，三棱锥的体积为 D．当，且时，有且仅有一个点，使得 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间位置关系的向量证明 【分析】根据题意作出图形，建立空间直角坐标系，利用空间向量的运算及空间向量法可逐项判断. 【详解】对于A，，∴ ∴为正方形对角线交点，故A对； 对于B，，时，，平面，故B错. 对于C，时，，∴ ∴平面，，，故C对. 对于D，如图建系，，，，，，    ， ，，则，点为正方形对角线交点， 点唯一，故D对. 故选：ACD. 11．（23-24高二上·浙江金华·期末）已知抛物线的准线方程为，焦点为，点是抛物线上的两点，抛物线在两点的切线交于点，则下列结论一定正确的（    ） A．抛物线的方程为： B． C．当直线过焦点时，三角形面积的最小值为1 D．若，则的最大值为 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线中的三角形或四边形面积问题、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、利用焦半径公式解决直线与抛物线交点问题 【分析】对于A，由抛物线准线列方程求出参数即可判断；对于B，由抛物线定义即可判断；对于C，设出直线方程，联立抛物线方程，由韦达定理求弦长，结合点到直线距离公式得三角形面积表达式，进一步由基本不等式即可判断；对于D，设出直线方程，联立抛物线方程，由韦达定理求弦长，结合已知得或，进一步由余弦定理基本不等式可得，由此即可判断. 【详解】对于A，抛物线的准线方程为，所以，解得，所以抛物线的方程为：，故A正确； 对于B，因为点在抛物线上，所以由抛物线定义可知，故B正确； 对于C，由题意抛物线焦点坐标为，显然过焦点的直线斜率存在，如图所示： 不妨取直线的方程为，且， 联立抛物线方程，得， 所以， 所以，， 点到直线的距离为， 所以三角形面积为，等号成立当且仅当， 即三角形面积的最小值为2，故C错误； 对于D，显然直线斜率存在，不妨取直线的方程为，且，如图所示： 联立抛物线方程，得， 所以， 所以， ， 因为， 所以， 解得或， 即或， 而 ， 等号成立当且仅当，解得， 此时或，且此时满足， 即，所以的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是联立直线方程与抛物线方程，由弦长公式结合已知得关系，事实上这是非常有必要的，表面上直接由余弦定理基本不等式可得，但是验证基本不等式等号是否成立的重要条件. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12．（24-25高三上·广西贵港·开学考试）甲､乙玩一个游戏，游戏规则如下：一个盒子中装有标号为的6个大小质地完全相同的小球，甲先从盒子中不放回地随机取一个球，乙紧接着从盒子中不放回地随机取一个球，比较小球上的数字，数字更大者得1分，数字更小者得0分，以此规律，直至小球全部取完，总分更多者获胜.甲获得3分的概率为 . 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】将问题转化为在三个盒子中各放入2个编号不同的小球，甲从每个盒子中各取一个小球，求甲取到每个盒子中编号较大小球的概率，然后可解. 【详解】将问题转化为：在三个盒子中各放入2个编号不同的小球，甲从每个盒子中各取一个小球，求甲取到每个盒子中编号较大小球的概率. 甲从三个盒子中各取一球，共有种取法，三个都是编号较大小球只有一种取法， 所以，甲获得3分的概率为. 故答案为： 13．（23-24高二上·浙江金华·期末）已知椭圆的离心率为为椭圆的一个焦点，若关于直线的对称点恰好在椭圆上，则斜率的取值构成的集合为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、求椭圆上点的坐标 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，代入椭圆的方程中，整理计算可得参数. 【详解】过点且与直线垂直的直线为， 两直线的交点，从而点. 点在椭圆上， 则，即 则,则，，或. 故答案为： 14．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）设是椭圆（）的两个焦点，P为椭圆上任一点，若且的面积为，则该椭圆的短轴长为 . 【答案】10 【难度】0.85 【知识点】求椭圆的长轴、短轴、椭圆中焦点三角形的面积问题、余弦定理解三角形、椭圆定义及辨析 【分析】由椭圆定义得到，，由余弦定理得到，结合三角形面积公式得到方程，求出，得到答案. 【详解】由椭圆定义得，， 由余弦定理得 ， 即，解得， 由三角形面积公式得， 即，解得， 故该椭圆的短轴长. 故答案为：10 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高二上·四川广安·阶段练习）已知圆C过点且圆心在直线上 (1)求圆C的方程，并求过点的切线方程． (2)若过点的直线与圆C交于A，B两点，且三角形ABC的面积为10，求直线l的方程． 【答案】(1)，切线方程为 (2)或或 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数、过圆上一点的圆的切线方程、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】 （1）求出的垂直平分线方程，与联立求出圆心坐标，进而求出半径，得到圆的方程，并设出切线方程，由点到直线距离公式得到方程，求出切线方程； （2）设出直线方程，表达出圆心到直线的距离，利用垂径定理得到弦长，从而根据面积列出方程，求出或，分两种情况，求出相应直线的斜率，得到直线方程. 【详解】（1）由对称性可知圆心C在线段的垂直平分线上， 线段的中点坐标为， 又，故的垂直平分线的斜率为， 故的垂直平分线方程为，即， 联立与，解得， 故圆心坐标为，半径为， 故圆C的方程为， 当过点的直线斜率不存在时，不是圆C的切线， 设过点的切线方程为， 则，解得， 故过点的切线方程为，即； （2）将代入圆C，， 故点在圆C外， 当过点的直线斜率不存在时，此时直线与圆无交点，舍去， 设过点的直线方程为， 则圆心到直线的距离， 又半径，故由垂径定理得， 又三角形ABC的面积为10， 所以， 解得或， 由于，故或均满足要求， 当时，，解得或， 当时，，解得， 综上，直线l的方程为或或. 16．（24-25高二上·河南周口·开学考试）在一个不透明的袋子中装有大小、质地完全相同的1个红球和1个白球，每次从袋子中随机摸出1个球，观察其颜色后放回.甲连续摸球2次，乙连续摸球4次.用a表示摸出红球，b表示摸出白球. (1)分别写出甲和乙的摸球试验的样本空间及其包含样本点的个数； (2)设A=“甲恰有一次摸出红球”，B=“乙恰有两次摸出红球”，比较与的大小． 【答案】(1)答案详见解析 (2) 【难度】0.85 【知识点】写出基本事件、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）利用列举法写出样本空间并求得样本点的个数. （2）通过计算与，从而作出判断. 【详解】（1）甲摸球试验的样本空间：，样本点个. 乙摸球试验的样本空间： ， ， 样本点个. （2）由（1）得，所以. 17．（23-24高二上·河南·期末）如图，在四棱锥中，为棱的中点，平面. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法、证明异面直线垂直、证明线面垂直 【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，证明即可. （2）由题意先证明平面，即是平面的一个法向量.结合线面角的正弦公式即可得解. 【详解】（1）因为平面，平面， 所以， 又， 由题可知两两互相垂直，所以以所在直线为轴，过与平行的直线为轴，所在直线为轴建立如图的空间直角坐标系. 又，为棱的中点， 易知. 所以，所以， 所以. （2）因为平面，平面，所以. 由（1）知， 又，平面， 所以平面，即是平面的一个法向量. 又因为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18．（23-24高二上·河南·期末）已知椭圆的上顶点为，右顶点为，且直线的斜率为. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点（异于点），且满足，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）代入点的坐标求椭圆方程即可. （2）利用直线和椭圆的位置关系求面积即可. 【详解】（1）依题意可得， 由，得， 所以的方程为. （2） 易知不与轴平行，设其方程为， 由得， 由，得. 设，则①， ，即， 所以， 将①代入，整理得，即，解得或（舍去）， 所以直线的方程为，即直线过定点. 令，则， ， 当，即时，最大，且最大值为. 19．（23-24高二上·浙江金华·期末）已知为拋物线的焦点，为坐标原点，为的准线上一点，直线的斜率为的面积为．已知，设过点的动直线与抛物线交于两点，直线与的另一交点分别为．    (1)求拋物线的方程； (2)当直线与的斜率均存在时，讨论直线是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)直线过定点 【难度】0.4 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线中的直线过定点问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由题意得，，结合的面积为列方程即可求解； （2）设， ，联立抛物线方程得，设，则，结合三点共线得，同理，得出关于的表达式即可求解. 【详解】（1）    设准线与轴的交点为， 直线的斜率为，又， ． 故抛物线的方程为：． （2）设，过点的直线方程为：． 则联立，整理得：， 由韦达定理可得：． 又设， 所以直线斜率为， 直线方程为，即的直线方程为：， 由三点共线可得：，即， 所以， 所以，因为，所以化简可得：， 同理，由三点共线可得：， 可得， ， 综上可得的直线方程为：， 变形可得：，所以直线过定点． 【点睛】关键点点睛：第二问的关键是首先得，然后通过三点共线得与的关系，进一步和产生关联即可顺利得解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$