高二（上）期中测试卷（A卷 基础巩固）-【课后优辅导】2024年秋季高二数学上学期精品讲义（人教A版2019）

高二（上）期中测试卷（A卷 基础巩固） 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（22-23高三上·广东汕头·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·云南曲靖·期末）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江苏扬州·期中）经过、两点的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·河北邢台·期末）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二下·山西朔州·期末）已知直线与圆相交于两点，且，则实数（    ） A． B． C．或 D．或 6．（20-21高二上·浙江台州·期末）已知圆，圆，则两圆的公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（23-24高二上·广东中山·阶段练习）已知三棱锥中，，，则异面直线AP与BC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·江苏苏州·期末）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足一小时的部分按一小时计算）．有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过四小时，则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每个小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的. 9．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）下列命题为真命题的是（    ） A．若空间向量，，满足，则 B．若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面 C．若空间向量，，则 D．对于任意空间向量，，必有 10．（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且共焦点的离心率分别为，则下列结论不正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则的最小值为2 D． 11．（23-24高二上·河北邯郸·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点是底面上的一点，且平面，则下列说法正确的是（    ） A． B．存在点，使得 C．的最小值为 D．的最大值为6 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12．（23-24高二上·上海·阶段练习）过定点且与直线平行的直线的一般式方程为 ． 13．（22-23高一下·河北承德·期末）九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，这5个数字未知，且为奇数，则的概率为 . 9 7 4 5 14．（23-24高三上·江苏南通·期中）已知双曲线，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左支交于点，且，则双曲线的离心率为 ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（22-23高二上·河南郑州·期末）已知双曲线：（），直线与双曲线交于，两点． (1)若点是双曲线的一个焦点，求双曲线的渐近线方程； (2)若点的坐标为，直线的斜率等于1，且，求双曲线的离心率． 16．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）如图，在长方体中，，，.    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 17．（13-14高二上·重庆·期末）已知以点为圆心的圆与直线相切．过点的直线与圆相交于两点． (1)求圆的标准方程； (2)当时，求直线的方程． 18．（2023·四川泸州·一模）如图，四棱锥的底面是正方形，平面平面，，分别是，的中点，平面经过点，，与棱交于点，． (1)求的值； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 19．（2024·河南洛阳·模拟预测）Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展.某学校举行了相关Matlab专业知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为． (1)求和的值； (2)试求两人共答对3道题的概率． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二（上）期中测试卷（A卷 基础巩固） 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（22-23高三上·广东汕头·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】交并补混合运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】解出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合. 【详解】因为，则或， 因此，. 故选：B. 2．（23-24高二上·云南曲靖·期末）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算、复数的除法运算 【分析】设复数，由题设条件求得，最后代入所求式即得. 【详解】设，则， 由，可得 则. 故选：B 3．（23-24高二上·江苏扬州·期中）经过、两点的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、已知两点求斜率 【分析】求出直线的斜率，利用直线的斜率与倾斜角的关系可得出结果. 【详解】设直线的倾斜角为，则，且，故. 故选：B. 4．（23-24高二上·河北邢台·期末）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据双曲线的方程和几何性质可得答案． 【详解】由双曲线可得，， 所以渐近线方程为. 故选：B. 5．（22-23高二下·山西朔州·期末）已知直线与圆相交于两点，且，则实数（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】设圆心C到直线AB的距离为d，可得，利用点到直线距离公式求a. 【详解】设圆心C到直线AB的距离为d， ∵圆的方程为∴  圆心，圆的半径为3，， 又，∴， 即点到直线的距离为， 所以， 所以解得或. 故选：D． 6．（20-21高二上·浙江台州·期末）已知圆，圆，则两圆的公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】圆的公切线条数 【解析】根据圆的方程，求得圆心距和两圆的半径之和，之差，判断两圆的位置关系求解. 【详解】因为圆，圆， 所以， ， 所以， 所以两圆相交， 所以两圆的公切线的条数为2， 故选：B 7．（23-24高二上·广东中山·阶段练习）已知三棱锥中，，，则异面直线AP与BC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】对棱相等，根据意将图形补全成一个长、宽、高分别为，1，的长方体，再建系写出坐标利用向量法即可得出答案． 【详解】如图，将三棱锥补成长方体，设长宽高分别为， 则，解得， 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， ，，，， ，， 设直线与所成角为， . 故选：A. 8．（23-24高一下·江苏苏州·期末）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足一小时的部分按一小时计算）．有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过四小时，则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【分析】由独立乘法、互斥加法公式计算即可求解. 【详解】租车费用相同可分为租车费用都为0元、2元、4元三种情况． 都付0元的概率为； 都付2元的概率为； 都付4元的概率为． 所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为． 故选：D. 二、多选题：本大题共3小题，每个小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的. 9．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）下列命题为真命题的是（    ） A．若空间向量，，满足，则 B．若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面 C．若空间向量，，则 D．对于任意空间向量，，必有 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】空间向量共线的判定、空间向量数量积的应用、空间向量基底概念及辨析 【分析】令为零向量即可判断A、C；由基底的概念判断B；应用向量数量积的运算律、定义判断D. 【详解】若为零向量，有，但不一定成立，A错： 三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则它们必共面，B对； 若为零向量，，，但不一定成立，C错： 由，， 而，所以，D对. 故选：BD 10．（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且共焦点的离心率分别为，则下列结论不正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则的最小值为2 D． 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】椭圆定义及辨析、双曲线定义的理解、余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值 【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线定义计算判断A；由余弦定理计算判断B，C；由余弦定理、二倍角的余弦计算判断D作答. 【详解】依题意，，解得，A不正确； 令，由余弦定理得： ， 当时，，即，因此，B正确； 当时，，即，有， 而，则有，解得，C不正确； ， ，于是得， 解得，而，因此，D不正确. 故选：ACD 11．（23-24高二上·河北邯郸·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点是底面上的一点，且平面，则下列说法正确的是（    ） A． B．存在点，使得 C．的最小值为 D．的最大值为6 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积、空间位置关系的向量证明 【分析】建立坐标系，利用空间向量判断位置关系和求解长度、数量积等. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，; 所以，， 所以，即，； 因为，平面，所以平面； 又平面，所以.故A正确； 设，所以， 所以，即， 所以， ， 解得，又，故B错误； ， 所以，故C正确； ， 所以，， 因为，所以时，取到最小值， 时，取到最大值， 所以.故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12．（23-24高二上·上海·阶段练习）过定点且与直线平行的直线的一般式方程为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】由两条直线平行求方程 【分析】利用两直线平行时方程的特点直接可写出所求直线. 【详解】过点且与直线平行的直线方程为：，即. 故答案为： 13．（22-23高一下·河北承德·期末）九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，这5个数字未知，且为奇数，则的概率为 . 9 7 4 5 【答案】 【难度】0.4 【知识点】写出基本事件、计算古典概型问题的概率 【分析】根据题意列出这个试验的等可能结果，然后求解概率即可； 【详解】这个试验的等可能结果用下表表示： a b c d e 2 1 6 3 8 2 1 8 3 6 6 1 2 3 8 6 1 8 3 2 8 1 2 3 6 8 1 6 3 2 2 3 6 1 8 2 3 8 1 6 6 3 2 1 8 6 3 8 1 2 8 3 2 1 6 8 3 6 1 2 共有12种等可能的结果，其中的结果有8种， 所以的概率为. 故答案为：. 14．（23-24高三上·江苏南通·期中）已知双曲线，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左支交于点，且，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由已知求出点的坐标，由求出点的坐标，代入双曲线方程即可求得离心率． 【详解】不妨设双曲线的渐近线为，则直线为， 由得，，即， 设点，则， 因为， 所以，解得，即， 由点在双曲线上，代入得， 整理得，则， 故答案为：． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（22-23高二上·河南郑州·期末）已知双曲线：（），直线与双曲线交于，两点． (1)若点是双曲线的一个焦点，求双曲线的渐近线方程； (2)若点的坐标为，直线的斜率等于1，且，求双曲线的离心率． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】（1）利用双曲线的焦点坐标及标准方程，结合双曲线中三者的关系及双曲线的渐近线方程即可求解. （2）根据已知条件及直线的点斜式方程，将联立双曲线方程与直线方程，利用韦达定理及点在直线上，结合两点间的距离公式及双曲线的离心率公式即可求解. 【详解】（1）∵点是双曲线的一个焦点，∴， 又∵且，解得， ∴双曲线的方程为， ∴双曲线的渐近线方程为； （2）设直线的方程为且， 联立,可得， 则，∴，即， ∴ 解得，即由可得， 故双曲线的离心率为． 16．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）如图，在长方体中，，，.    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，再利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）利用（1）中坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）在长方体中，以D为坐标原点，向量分别为轴建立空间直角坐标系，    有，，，，，，， 则，，，，， 因此，，又，，平面， 所以平面. （2）设平面的法向量为，由，， 有，取，得， 设直线与平面所成的角为，而 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17．（13-14高二上·重庆·期末）已知以点为圆心的圆与直线相切．过点的直线与圆相交于两点． (1)求圆的标准方程； (2)当时，求直线的方程． 【答案】(1)； (2)或． 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、已知圆的弦长求方程或参数、已知切线求参数 【分析】（1）根据直线与圆相切，由点到直线的距离公式可得半径，结合圆心坐标即可得解； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式以及弦长公式即可求解. 【详解】（1）设圆A的半径为r，由题意知， 圆心到直线l的距离为，即， 所以圆A的方程为； （2）当直线与x轴垂直时，直线方程为，即， 点A到直线的距离为1，此时，符合题意； 当直线与x轴不垂直时，设，即， 取的中点Q，连接，则， 因为，所以， 又点A到直线的距离为， 所以，解得，所以直线方程为． 综上，直线的方程为或． 18．（2023·四川泸州·一模）如图，四棱锥的底面是正方形，平面平面，，分别是，的中点，平面经过点，，与棱交于点，．    (1)求的值； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】空间中的点（线）共面问题、线面角的向量求法、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）过点作直线与平行，则，所以、共面，延长与交于点，连接，与的交点即为点，再利用三角形相似计算可得； （2）连接，取的中点，连接，即可证明平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）过点作直线与平行，则，所以、共面，延长与交于点， 连接，与的交点即为点， 因为为正方形，是的中点， 所以，，又，所以， 因为是的中点，所以，则， 又，所以.    （2）连接，取的中点，连接，因为， 所以，且， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 如图建立空间直角坐标系，则，，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，取， 所以， 设直线与平面所成角为，则，所以， 所以直线与平面所成角的余弦值为.    19．（2024·河南洛阳·模拟预测）Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展.某学校举行了相关Matlab专业知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为． (1)求和的值； (2)试求两人共答对3道题的概率． 【答案】(1) (2)． 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式 【分析】（1）根据题意列出关于的方程解得即可. （2）两人共答对3道题，只可能为甲答对2道题乙答对1道题或甲答对1道题乙答对2道题，列式解得即可. 【详解】（1）由题意可得 即解得或 由于，所以． （2）设甲同学答对了道题乙同学答对了道题． 由题意得，，． 设甲、乙二人共答对3道题，则． 由于和相互独立，与互斥， 所以 所以甲、乙两人共答对3道题的概率为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$