1.1 集合的概念 第1课时 集合的概念学案-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念 第1课时 集合的概念 知识梳理 知识一 元素与集合的概念 1.元素:一般地,我们把 统称为元素,通常用 表示. 2.集合:把一些元素组成的 叫做集合(简称为 ),通常用 表示. 3.集合中元素的特征: 、 、 . 4.集合相等:只要构成两个集合的 是一样的,就称这两个集合是相等的. 知识二 元素与集合的关系 1.元素与集合的关系: 关系 语言描述 记法 读法 属于 a是集合A中的元素 a A a属于集合A 不属于 a不是集合A中的元素 a A a不属于集合A 知识三 常用的数集及其记法 1. 常用的数集及其记法: 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 预习自测 1.判断对错. (1)你班所有帅哥能组成集合. ( ) (2)与0非常接近的全体实数能组成集合. ( ) (3)一个集合中可以找到两个相同的元素. ( ) (4)方程的实数解能组成集合. ( ) 2.下列元素与集合的关系判断正确的是. ( ) A.0N B. Q C.Q D.-1∉Z 3.已知集合A中含有两个元素1,x2,且x∈A,则x的值是( ) A.0 B.1 C.-1 D.0或1 4. 若1A,且集合A与集合B相等,则1 B(填“”或“∉”). 课堂探究 抓住核心,强化能力 探究一:集合的概念 【例1】给出下列表述:①联合国常任理事国;②充分接近的实数的全体;③方程的实数根④全国著名的高等院校.以上能构成集合的是( ) A. ①③ B.①② C.①②③ D.①②③④ 反思感悟 判断一组对象能否构成集合的方法: ①如果给定对象是“确定无疑”的,就可以构成集合; ②如果给定对象是“模棱两可”的,就不能构成集合. 【变式训练1-1】判断下列元素的全体是否能组成集合:①湖北省所有的好学校;②直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点;③的近似值;④不大于5的自然数( ) A. ①② B.②③ C.②④ D.③④ 【变式训练1-2】(多选)给出下列说法,其中正确的有( ) A.中国的所有直辖市可以构成一个集合; B.高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合; C.正偶数的全体可以构成一个集合; D.大于2011且小于2 016的所有整数不能构成集合. 探究二:元素与集合的关系 【例2】 给出下列关系:①;②;③;④;⑤.其中正确的个数为( ). A.1 B.2 C.3 D.4 反思感悟 (1)直接法:如果元素是直接给出的,那么只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.此时应明确集合是由哪些元素构成的. (2)推理法:对于一些元素没有直接给出的集合,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.此时应明确已知集合中的元素具有什么特征. (3)若元素a属于集合A,则元素a就具有集合A的特征;若a不属于集合A,则元素a就不具有集合A的特征. 【变式训练2-1】用符号“∈”或“∉”填空: 1_N, -3_N, _Q, _N, 1_Z, -3_Q, 0_Z, _R, 0_N* , _R, _Q, _Z. 【变式训练2-2】已知集合M有两个元素3和,且,则实数_. 【变式训练2-3】用符号“”或“∉”填空: (1)设集合B是小于的所有实数的集合,则2_B,1+_B; (2)设集合C是满足方程x=n2+1(其中n为正整数)的实数x的集合,则3_C,5_C; (3)设集合D是满足方程y=x2的有序实数对(x,y)组成的集合,则-1_D,(-1,1)_D. 探究三:集合中元素的特性及其应用 【例3】已知集合A是由0,m,m2-3m+2三个元素构成的集合,且2∈A,则实数m=_. 反思感悟 (1)集合问题的核心即研究集合中的元素,在解决这类问题时,要明确集合中的元素是什么; (2)构成集合的元素必须是确定的(确定性),且是互不相同的(互异性),书写时可以不考虑先后顺序(无序性). (3)利用集合元素的特性求参数问题时,先利用确定性解出字母所有可能值,再根据互异性对集合中元素进行检验,要注意分类讨论思想的应用. 【变式训练3-1】设集合中含有三个元素 (1)求实数应满足的条件; (2)若,求实数. 【变式训练3-2】设数集A由实数构成,且满足:若(且),则. (1)若,试证明A中还有另外两个元素; (2)集合A能否只含有两个元素?请说明理由; (3)若A中元素个数不超过8,所有元素的和为,且A中有一个元素的平方等于所有元素的积,求集合A中的所有元素. 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念 第1课时 集合的概念 知识梳理 知识一 元素与集合的概念 1.研究对象、小写拉丁字母a,b,c… 2总体、集、大写拉丁字母A,B,C,… 3.确定性、互异性、无序性 4.元素 知识二 元素与集合的关系 1. 知识三 常用的数集及其记法 1.、、、、 预习自测 1. √ 2.A 3.A 4. 课堂探究 抓住核心,强化能力 探究一:集合的概念 【例1】 【答案】A 【详解】 ① 联合国的常任理事国有:中国、法国、美国、俄罗斯、英国.所以可以构成集合. ② 中的元素是不确定的,不满足集合确定性的条件,不能构成集合. ③ 方程的实数根是确定,所以能构成集合. ④ 全国著名的高等院校.不满足集合确定性的条件,不构成集合. 故选:A 【变式训练1-1】 【答案】C 【详解】 ①湖北省所有的好学校,不具有确定性,不能构成集合; ②直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点,能构成集合; ③的近似值,不具有确定性,不能构成集合; ④不大于5的自然数时0,1,2,3,4,能构成集合 . 故选:C. 【变式训练1-2】 【答案】AC 【详解】 中国的所有直辖市可以构成一个集合,A正确; 高一(1)班较胖的同学不具有确定性,不能构成集合,B错误 正偶数的全体可以构成一个集合,C正确; 大于2011且小于2016的所有整数能构成集合,D错误. 故选:AC. 探究二:元素与集合的关系 【例2】 【答案】B 【详解】 和是正确的;①②正确;因为,故③是错误的;因为故④是错误的;故⑤是错误的. 故选:B. 【变式训练2-1】 【答案】 ∈ ∉ ∈ ∉ ∈ ∈ ∈ ∈ ∉ ∈ ∈ ∉ 【详解】 表示自然数集;表示正整数集;表示整数集;表示有理数集;表示实数集. 故答案为:;;;;;;;;;;;. 【变式训练2-2】 【答案】3 【详解】 因为,且集合M有两个元素3和a+1,所以或, 又不成立,所以∴ 故答案为:3 【变式训练2-3】 【答案】 ∉ ∉ ∉ 【详解】 (1)∵ ∴∉B; ∵(1+)2=3+2<3+2 4=11, ∴1+< ,∴1+B. (2)∵n是正整数, ∴n2+1≠3,∴3∉C;当n=2时,n2+1=5,∴5C. (3)∵集合D中的元素是有序实数对(x,y),则-1是数, ∴-1∉D;又(-1)2=1,∴(-1,1)∈D. 故答案为:∉,,∉,,∉,. 探究三:集合中元素的特性及其应用 【例3】 【答案】3 【详解】 由题意知,m=2或m2-3m+2=2,解得m=2或m=0或m=3,经验证, 当m=0或m=2时,不满足集合中元素的互异性, 当m=3时,满足题意,故m=3. 答案:3 【变式训练3-1】 【答案】(1)且;(2) 【详解】 解:(1)由集合元素的互异性可得:且, 解得且. (2)若,则或由于,所以. 【变式训练3-2】 【答案】(1)证明见解析;(2)不是,理由见解析;(3),2,,,3,. 【详解】 解:(1)证明:由题意可知若,则. ,. ,, 若,则A中还有另外两个元素,. (2)集合A不是双元素集合.理由如下: 若,则,则,因为,所以,,,故集合A中至少有3个元素,集合A不能只含有两个元素. (3)由(2)可知,若,则x,,都为A中的元素,,因此中元素个数是3的正整数倍数, 且,中元素的个数不为3,又中元素的个数不超过8,中有6个元素. 设,则m,,都为A中的元素,此时, 所有元素的积为1,因此集合中存在元素其平方为1,不妨设或,或,,解得或或,中的所有元素为,2,,,3,. 1 学科网(北京)股份有限公司 $$