12.1 与全等三角形 学案 -2024--2025学年人教版八年级数学上册

12.1与全等三角形-数学八年级上册人教版 ( 知识梳理 ) 1．全等图形 （1）全等形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形． （2）全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （3）三角形全等的符号 “全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上． （4）对应顶点、对应边、对应角 把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角． 2．全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． ( 典例分析 ) 1．（2023秋•东莞市校级月考）一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另外一个三角形的三条边的长分别是5，3a﹣2，2b+1，若这两个三角形全等，求a+b的值． 【解答】解：∵这两个三角形全等， ∴①当3a﹣2＝7，2b+1＝10， 解得：a＝3，b＝4.5， ∴a+b＝7.5； ②当3a﹣2＝10，2b+1＝7， 解得：a＝4，b＝3， ∴a+b＝7， 综上可知：a+b的值为7或7.5． 2．（2023秋•高安市校级月考）如图，△ABC≌△DCB，AC与BD相交于点E，若∠D＝80°，∠ABC＝60°，求∠BEC的度数． 【解答】解：∵△ABC≌△DCB， ∴∠ACB＝∠DBC，∠A＝∠D＝80°， ∵∠ABC＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣60°﹣80°＝40°， ∴∠DBC＝40°， ∴∠BEC＝180°﹣40°﹣40°＝100°． ( 真题特训 ) 一．选择题（共8小题） 1．（2023秋•苏州期末）如图，两个三角形全等，则∠α的度数是（　　） A．50° B．58° C．72° D．60° 2．（2023秋•赣县区期末）如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2023秋•兴宾区期末）如图，△ACB≌△A'CB'，∠BCB'＝30°，则∠ACA'的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 4．（2023秋•互助县期末）如图，点B、C、D在同一直线上，若△ABC≌△CDE，DE＝4，BD＝13，则AB等于（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 5．（2024春•内乡县期末）下列各组图形中，属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 6．（2023秋•宜宾期末）如图，△ACD≌△AED，∠CAD＝∠EAD，且AB＝AE+CD，∠C＝50°则∠B的度数为（　　） A．30° B．25° C．22.5° D．20° 7．（2023秋•博尔塔拉州期末）如图，△ABD≌△ACE，若AB＝13，AE＝7，则CD的长度为（　　） A．20 B．13 C．7 D．6 8．（2024•清水县校级三模）如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝40°，则∠AED的度数是（　　） A．70° B．68° C．65° D．60° 二．填空题（共6小题） 9．（2024•成都模拟）如图，△ABC≌△EFD，若∠A＝80°，∠F＝45°，则∠BDE的度数为 　 　． 10．（2024春•宁德期末）如图，△ABE≌△FDC，∠FCD＝30°，∠A＝80°，则∠ABE的度数是 　 　°． 11．（2023秋•凉州区校级期末）如图，在2×2的正方形网格中，线段AB、CD的端点均在格点上，则∠1+∠2＝　 　°． 12．（2023秋•松北区期末）如果△ABC的三边长分别为7，5，3，△DEF的三边长分别为2x﹣1，3x﹣2，3，若这两个三角形全等，则x＝　 　． 13．（2023秋•衢州期末）如图，若△ABC≌△DEF，B、E、C、F在同一直线上，BC＝7cm，CE＝4cm，则CF的长是 　 　cm． 14．（2023秋•新宾县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣3，0），（0，2），△OA'B'≌△AOB，若点A'在x轴的正半轴上，则位于第四象限的点B'的坐标是 　 　． 三．解答题（共5小题） 15．（2024•沅江市校级开学）如图，E为线段BC上一点，AB⊥BC，△ABE≌△ECD，判断AE与DE的关系，并证明你的结论． 16．（2024•工业园区校级二模）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°． （1）求AE的长度； （2）求∠AED的度数． 17．（2024春•新郑市期末）如图，已知△ABC≌△ADE，其中AB和AD，AC与AE是对应边，点E在边BC上，AB与DE交于点F． （1）求证：∠DAB＝∠CAE； （2）若∠CAE＝40°，求∠DEB的度数． 18．（2024春•洛宁县期末）如图，A、D、E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE，试说明： （1）BD＝DE+CE； （2）△ABD满足什么条件时，BD∥CE？ 19．（2023秋•泗阳县期末）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F． （1）当DE＝9，BC＝5时，线段AE的长为 　 　； （2）已知∠D＝35°，∠C＝60°，求∠DBC的度数． 12.1与全等三角形-数学八年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2023秋•苏州期末）如图，两个三角形全等，则∠α的度数是（　　） A．50° B．58° C．72° D．60° 【解答】解：∵两个三角形全等， ∴∠α＝50°， 故选：A． 2．（2023秋•赣县区期末）如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：∵△ABC≌△DCB， ∴BD＝AC＝7， ∵BE＝5， ∴DE＝BD﹣BE＝2， 故选：A． 3．（2023秋•兴宾区期末）如图，△ACB≌△A'CB'，∠BCB'＝30°，则∠ACA'的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 【解答】解：∵△ACB≌△A′CB'， ∴∠ACB＝∠A′CB'， ∴∠ACB﹣∠A′CB＝∠A′CB'﹣∠A′CB， ∴∠ACA'＝∠BCB'＝30°， 故选：B． 4．（2023秋•互助县期末）如图，点B、C、D在同一直线上，若△ABC≌△CDE，DE＝4，BD＝13，则AB等于（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【解答】解：∵△ABC≌△CDE， ∴AB＝CD，BC＝DE＝4， ∵BD＝13， ∴CD＝BD﹣BC＝13﹣4＝9， ∴AB＝CD＝9． 故选：C． 5．（2024春•内乡县期末）下列各组图形中，属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据全等图形的定义可得C是全等图形， 故选：C． 6．（2023秋•宜宾期末）如图，△ACD≌△AED，∠CAD＝∠EAD，且AB＝AE+CD，∠C＝50°则∠B的度数为（　　） A．30° B．25° C．22.5° D．20° 【解答】解：∵△ACD≌△AED，∠CAD＝∠EAD， ∴CD＝DE，∠C＝∠AED， ∵AB＝AE+CD，AB＝AE+EB， ∴CD＝EB， ∴ED＝EB， ∴∠B＝∠EDB， ∵∠AED＝∠B+∠EDB＝2∠B，∠C＝50°， ∴2∠B＝50°， 解得∠B＝25°， 故选：B． 7．（2023秋•博尔塔拉州期末）如图，△ABD≌△ACE，若AB＝13，AE＝7，则CD的长度为（　　） A．20 B．13 C．7 D．6 【解答】解：∵△ABD≌△ACE， ∴AC＝AB＝13，AD＝AE＝7， ∴CD＝AC﹣AD＝13﹣7＝6， 故选：D． 8．（2024•清水县校级三模）如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝40°，则∠AED的度数是（　　） A．70° B．68° C．65° D．60° 【解答】解：∵△ABC≌△AED， ∴∠AED＝∠B，AE＝AB，∠BAC＝∠EAD， ∴∠1＝∠BAE＝40°， ∴△ABE中，∠B＝＝70°， ∴∠AED＝70°， 故选：A． 二．填空题（共6小题） 9．（2024•成都模拟）如图，△ABC≌△EFD，若∠A＝80°，∠F＝45°，则∠BDE的度数为 　125°　． 【解答】解：∵△ABC≌△EFD，∠A＝80°， ∴∠E＝∠A＝80°， ∵∠BDE是△DEF的外角， ∴∠BDE＝∠E+∠F＝80°+45°＝125°， 故答案为：125°． 10．（2024春•宁德期末）如图，△ABE≌△FDC，∠FCD＝30°，∠A＝80°，则∠ABE的度数是 　70　°． 【解答】解：∵△ABE≌△FDC， ∴∠E＝∠FCD＝30°， ∵∠A＝80°， ∴∠ABE＝180°﹣∠E﹣∠A＝70°， 故答案为：70． 11．（2023秋•凉州区校级期末）如图，在2×2的正方形网格中，线段AB、CD的端点均在格点上，则∠1+∠2＝　90　°． 【解答】解：由题意可得CO＝AO，BO＝DO， 在△COD和△AOB中， ∴△COD≌△AOB（SAS）， ∴∠1＝∠BAO， ∵∠2+∠BAO＝90°， ∴∠1+∠2＝90°． 故答案为：90． 12．（2023秋•松北区期末）如果△ABC的三边长分别为7，5，3，△DEF的三边长分别为2x﹣1，3x﹣2，3，若这两个三角形全等，则x＝　3　． 【解答】解：∵△ABC与△DEF全等， ∴3x﹣2+2x﹣1+3＝3+5+7，解得x＝3， 故答案为：3． 13．（2023秋•衢州期末）如图，若△ABC≌△DEF，B、E、C、F在同一直线上，BC＝7cm，CE＝4cm，则CF的长是 　3　cm． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴EF＝BC＝7cm， ∴CF＝EF﹣CE＝3cm； 故答案为：3． 14．（2023秋•新宾县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣3，0），（0，2），△OA'B'≌△AOB，若点A'在x轴的正半轴上，则位于第四象限的点B'的坐标是 　（3，﹣2）　． 【解答】解：∵点A，B的坐标分别是（﹣3，0），（0，2）， ∴OA＝3，OB＝2，∠AOB＝90°， ∵△OA'B'≌△AOB， ∴OA′＝OA＝3，A′B′＝OB＝2，∠B′A′O＝90°， ∵点B′在第四象限， ∴点B′的坐标是（3，﹣2）， 故答案为：（3，﹣2）． 三．解答题（共5小题） 15．（2024•沅江市校级开学）如图，E为线段BC上一点，AB⊥BC，△ABE≌△ECD，判断AE与DE的关系，并证明你的结论． 【解答】解：AE⊥DE，AE＝DE． ∵AB⊥BC， ∴∠B＝90°． ∵△ABE≌△ECD， ∴∠A＝∠DEC，∠AEB＝∠EDC，∠B＝∠C＝90°． ∵∠A+∠AEB＝90°，∠DEC+∠D＝90°， ∴∠AEB+∠DEC＝90°， ∴∠AED＝90°，即AE⊥DE． 16．（2024•工业园区校级二模）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°． （1）求AE的长度； （2）求∠AED的度数． 【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB， ∴BE＝BC＝3， ∴AE＝AB﹣BE＝6﹣3＝3； （2）∵△ABC≌△DEB， ∴∠A＝∠D＝25°，∠DBE＝∠C＝55°， ∴∠AED＝∠DBE+∠D＝55°+25°＝80°． 17．（2024春•新郑市期末）如图，已知△ABC≌△ADE，其中AB和AD，AC与AE是对应边，点E在边BC上，AB与DE交于点F． （1）求证：∠DAB＝∠CAE； （2）若∠CAE＝40°，求∠DEB的度数． 【解答】（1）证明：∵△ABC≌△ADE， ∴∠DAE＝∠BAC， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠DAB＝∠CAE； （2）解：由（1）可知，∠DAB＝∠CAE， ∵∠CAE＝40°， ∴∠DAB＝40°， ∵△ABC≌△ADE， ∴∠D＝∠B， ∵∠AFD＝∠EFB，∠D+∠DAB+∠AFD＝180°，∠B+∠EFB+∠DEB＝180°， ∴∠DEB＝∠DAB＝40°． 18．（2024春•洛宁县期末）如图，A、D、E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE，试说明： （1）BD＝DE+CE； （2）△ABD满足什么条件时，BD∥CE？ 【解答】（1）解：∵△BAD≌△ACE， ∴BD＝AE，AD＝CE， ∴BD＝AE＝AD+DE＝CE+DE， 即BD＝DE+CE． （2）解：△ABD满足∠ADB＝90°时，BD∥CE， 理由是：∵△BAD≌△ACE， ∴∠E＝∠ADB＝90°（添加的条件是∠ADB＝90°）， ∴∠BDE＝180°﹣90°＝90°＝∠E， ∴BD∥CE． 19．（2023秋•泗阳县期末）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F． （1）当DE＝9，BC＝5时，线段AE的长为 　4　； （2）已知∠D＝35°，∠C＝60°，求∠DBC的度数． 【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB，DE＝9，BC＝5， ∴AB＝DE＝9，BC＝BE＝5， ∴AE＝AB﹣BE＝9﹣5＝4． 故答案为：4． （2）∵△ABC≌△DEB，∠C＝60°，∠D＝35°， ∴∠C＝∠DBE＝60°，∠A＝∠D＝35°， ∵∠ABC＝180°﹣35°﹣60°＝85°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBE＝85°﹣60°＝25°． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$