11.3 多边形及其内角和 学案 - 2024--2025学年人教版八年级数学上册

11.3多边形及其内角和-数学八年级上册人教版 ( 知识梳理 ) 多边形内角与外角 （1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数） 此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法． （2）多边形的外角和等于360°． ①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°． ②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°． ( 典例分析 ) 1．（2023秋•长沙县期末）已知正x边形的内角和为1080°，边长为2． （1）求正x边形的周长； （2）若正n边形的每个外角的度数比正x边形每个内角的度数小63°，求n的值． 【解答】解：（1）由题意可得180×（x﹣2）＝1080， 解得x＝8． 正x边形的周长为8×2＝16； （2）正x边形每个内角的度数为1080°÷8＝135°， 正n边形的每个外角的度数为135°﹣63°＝72°， 360°÷72°＝5， ∴n的值为5． 2．（2023秋•东丰县期末）如图，在正五边形ABCDE中，AF∥CD交DB的延长线于点F，交DE的延长线于点G，求∠G的度数． 【解答】解：方法1∵ABCDE是正五边形， ∴∠C＝∠CDE＝108°CD＝CB， ∴∠CDB＝36°， ∴∠GDF＝108°﹣36°＝72° ∵AF∥CD， ∴∠F＝∠CDB＝36°， ∴∠G＝180°﹣∠GDF﹣∠F＝72°； 方法2、∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠CDG＝108°． ∵AF∥CD， ∴∠G＝180°﹣∠CDG＝72°． ( 真题特训 ) 一．选择题（共8小题） 1．（2024•船山区校级开学）一个多边形的内角和是它的外角和的4倍．这个多边形是（　　） A．六边形 B．九边形 C．八边形 D．十边形 2．（2024•潜山市校级开学）若一个正多边形的每一个外角都是24°，则该正多边形的内角和的度数是（　　） A．2340° B．360° C．1800° D．2160° 3．（2024•烟台一模）如图，五边形ABCDE是正五边形，且l1∥l2．若∠1＝57°，则∠2＝（　　） A．108° B．36° C．72° D．129° 4．（2023秋•五华区期末）已知一个多边形的每个外角为45°，则该多边形的边数为（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 5．（2024春•宽城县期末）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，这个关系是（　　） A．2∠A＝∠1+∠2 B．3∠A＝2∠1+∠2 C．∠A＝∠1+∠2 D．3∠A＝2∠1+2∠2 6．（2024•溧阳市模拟）有公共顶点A，B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为（　　） A．144° B．84° C．74° D．54° 7．（2024•重庆模拟）一个正多边形的内角和为1080°，则这个正多边形的每个外角为（　　） A．30° B．45° C．60° D．72° 8．（2024春•雨花区校级期末）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED内点A′的位置，∠A＝35°，则∠1+∠2的度数是（　　） A．80° B．70° C．45° D．35° 二．填空题（共6小题） 9．（2024•雨花区校级开学）若一个正多边形的一个外角为45°，则这个多边形的内角和为　 　． 10．（2024•沙坪坝区校级开学）若一个多边形的内角和的比一个五边形的内角和多90°，那么这个多边形的边数是　 　． 11．（2024春•子洲县校级期末）如图，这是一个五角星ABCDE，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝　 　°． 12．（2024春•邯山区校级期末）如图，小亮从A点出发，沿直线前进20米后向左转30度，再沿直线前进20米，又向左转30度，照这样走下去，他第一次回到出发点A点时，一共走了 　 　米． 13．（2024•重庆模拟）如图，一个正方形和一个正五边形各有一边AB，CD在直线l上，且只有一个公共顶点P，则∠BPC的度数为 　 　． 14．（2024春•白银区校级期末）如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝　 　． 三．解答题（共6小题） 15．（2024春•九台区期末）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数． 16．（2024•丰城市校级开学）一个多边形除一个内角外其余各内角的和为2220°，求此内角的度数． 17．（2024•丰城市校级开学）某同学在进行多边形的内角和的计算时，求得的内角和为1125°．当发现错了之后，重新检查，发现是多加了一个内角．问：多加的这个内角的度数是多少？这个多边形是几边形？ 18．（2024春•汝州市校级期末）已知一个多边形的边数为n． （1）若n＝8，求这个多边形的内角和． （2）若这个多边形的每个内角都比与它相邻外角的3倍还多20°求n的值． 19．（2024春•淮安区期末）如图，∠ABE是四边形ABCD的外角，已知∠ABE＝∠D． 求证：∠A+∠C＝180°． 20．（2024春•新安县期末）（1）如图①②，试研究其中∠1、∠2与∠3、∠4之间的数量关系； （2）如果我们把∠1、∠2称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式； （3）用你发现的结论解决下列问题： 如图③，AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线，∠B+∠C＝240°，求∠E的度数． 11.3多边形及其内角和-数学八年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024•船山区校级开学）一个多边形的内角和是它的外角和的4倍．这个多边形是（　　） A．六边形 B．九边形 C．八边形 D．十边形 【解答】解：∵多边形外角和是360°，设多边形边数为n， 故多边形的内角和为360°×4＝（n﹣2）×180°， 解得n＝10， 故选：D． 2．（2024•潜山市校级开学）若一个正多边形的每一个外角都是24°，则该正多边形的内角和的度数是（　　） A．2340° B．360° C．1800° D．2160° 【解答】解：根据题意得：该多边形的边数为：， ∴该正多边形的内角和为：（15﹣2）×180°＝2340°． 故选：A． 3．（2024•烟台一模）如图，五边形ABCDE是正五边形，且l1∥l2．若∠1＝57°，则∠2＝（　　） A．108° B．36° C．72° D．129° 【解答】解：如图，过点B作BF∥l2交DE于点F， ∵l1∥l2， ∴BF∥l1， ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠ABC＝＝108°， ∵BF∥l2，∠1＝57°，∠2+∠CBF＝180°， ∴∠ABF＝∠1＝57°， ∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝108°﹣57°＝51°， ∴∠2＝180°﹣51°＝129°， 故选：D． 4．（2023秋•五华区期末）已知一个多边形的每个外角为45°，则该多边形的边数为（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 【解答】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得45°•n＝360°， ∴n＝8， 故选：C． 5．（2024春•宽城县期末）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，这个关系是（　　） A．2∠A＝∠1+∠2 B．3∠A＝2∠1+∠2 C．∠A＝∠1+∠2 D．3∠A＝2∠1+2∠2 【解答】解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°①； 在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED＝180°②； 在四边形BCDE中，∠B+∠C+∠1+∠2+∠ADE+∠AED＝360°③； ∴①+②﹣③得2∠A＝∠1+∠2． 故选：A． 6．（2024•溧阳市模拟）有公共顶点A，B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为（　　） A．144° B．84° C．74° D．54° 【解答】解：正五边形的内角是∠ABC＝＝108°， ∵AB＝BC， ∴∠CAB＝36°， 正六边形的内角是∠ABE＝∠E＝＝120°， ∵∠ADE+∠E+∠ABE+∠CAB＝360°， ∴∠ADE＝360°﹣120°﹣120°﹣36°＝84°， 故选：B． 7．（2024•重庆模拟）一个正多边形的内角和为1080°，则这个正多边形的每个外角为（　　） A．30° B．45° C．60° D．72° 【解答】解：设它是n边形，则 （n﹣2）•180°＝1080°， 解得n＝8． 360°÷8＝45°， 故选：B． 8．（2024春•雨花区校级期末）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED内点A′的位置，∠A＝35°，则∠1+∠2的度数是（　　） A．80° B．70° C．45° D．35° 【解答】解：∵∠A＝35°， ∴∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A＝145°， ∵折叠， ∴∠ADA′+∠AEA′＝2（∠ADE+∠AED）＝290°， ∴∠1+∠2＝180°﹣∠ADA′+180°﹣∠AEA′＝360°﹣290°＝70°． 故选：B． 二．填空题（共6小题） 9．（2024•雨花区校级开学）若一个正多边形的一个外角为45°，则这个多边形的内角和为　1080°　． 【解答】解：正多边形的边数为：360°÷45°＝8， 则这个多边形是正八边形， 所以该多边形的内角和为（8﹣2）×180°＝1080°． 故答案为：1080°． 10．（2024•沙坪坝区校级开学）若一个多边形的内角和的比一个五边形的内角和多90°，那么这个多边形的边数是　16　． 【解答】解：设这个多边形的边数是n， ， 解得：n＝16． 故答案为：16． 11．（2024春•子洲县校级期末）如图，这是一个五角星ABCDE，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝　180　°． 【解答】解：如图，设AD、CE交于点F，BD、CE交于点G， ∵∠E+∠B＝∠FGD，∠A+∠C＝∠GFD， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E ＝（∠A+∠C）+（∠B+∠E）+∠D ＝∠GFD+∠FGD+∠D ＝180°， 故答案为：180． 12．（2024春•邯山区校级期末）如图，小亮从A点出发，沿直线前进20米后向左转30度，再沿直线前进20米，又向左转30度，照这样走下去，他第一次回到出发点A点时，一共走了 　240　米． 【解答】解：∵小亮每次都是沿直线前进20米后向左转30度， ∴他走过的图形是正多边形， ∴边数n＝360°÷30°＝12， ∴他第一次回到出发点A时，一共走了12×20＝240（米）． 故答案为：240． 13．（2024•重庆模拟）如图，一个正方形和一个正五边形各有一边AB，CD在直线l上，且只有一个公共顶点P，则∠BPC的度数为 　18°　． 【解答】解：正五边形的每个内角的度数为：， 即∠PCD＝108°， 正方形的每个内角的度数为90°，即∠ABP＝90°， 所以∠CBP＝90°， 因为∠PCD是△PBC的外角， 所以∠PCD＝∠CBP+∠BPC， 所以108°＝90°+∠BPC， 所以∠BPC＝18°， 故答案为：18°． 14．（2024春•白银区校级期末）如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝　80°　． 【解答】解：∵MF∥AD，FN∥DC， ∴∠FMB＝∠A＝110°，∠FNB＝∠C＝90°， ∵△FMN和△BMN关于MN对称， ∴∠BMN＝∠FMN＝55°，∠BNM＝∠FNM＝45°， ∴∠B＝180°﹣∠BMN﹣∠BNM＝80°， 故答案为：80°． 三．解答题（共6小题） 15．（2024春•九台区期末）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数． 【解答】解：设这个多边形的边数是n， 依题意得（n﹣2）×180°＝3×360°﹣180°， n﹣2＝6﹣1， n＝7． ∴这个多边形的边数是7． 16．（2024•丰城市校级开学）一个多边形除一个内角外其余各内角的和为2220°，求此内角的度数． 【解答】解：∵2220°÷180°＝12…60°， ∴该内角应是180°﹣60°＝120度． 17．（2024•丰城市校级开学）某同学在进行多边形的内角和的计算时，求得的内角和为1125°．当发现错了之后，重新检查，发现是多加了一个内角．问：多加的这个内角的度数是多少？这个多边形是几边形？ 【解答】解：由题意可知： 多加的内角为1125°﹣（n﹣2）•180°． ， 解得7.25＜n＜8.25． ∵n为正整数， ∴n＝8． ∴多加的内角为：1125°﹣（8﹣2）•180°＝45°． 故多加的这个内角是45°，这个多边形是八边形． 18．（2024春•汝州市校级期末）已知一个多边形的边数为n． （1）若n＝8，求这个多边形的内角和． （2）若这个多边形的每个内角都比与它相邻外角的3倍还多20°求n的值． 【解答】解：（1）多边形的内角和＝（8﹣2）×180°＝1080°， 答：这个多边形的内角和1080°； （2）设这个多边形的每个外角为x°，则每个内角为（3x+20）°， 依题意得，3x+20+x＝180， 解得x＝40， ∴n＝360°÷40°＝9， 答：这个多边形的边数n为9． 19．（2024春•淮安区期末）如图，∠ABE是四边形ABCD的外角，已知∠ABE＝∠D． 求证：∠A+∠C＝180°． 【解答】证明：∵∠ABE＝∠D，∠ABE+∠ABC＝180°， ∴∠ABC+∠D＝180°， 又∵四边形内角和等于360°， ∴∠A+∠C＝180°． 20．（2024春•新安县期末）（1）如图①②，试研究其中∠1、∠2与∠3、∠4之间的数量关系； （2）如果我们把∠1、∠2称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式； （3）用你发现的结论解决下列问题： 如图③，AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线，∠B+∠C＝240°，求∠E的度数． 【解答】（1）解：∵∠3、∠4、∠5、∠6是四边形的四个内角， ∴∠3+∠4+∠5+∠6＝360°， ∴∠3+∠4＝360°﹣（∠5+∠6）， ∵∠1+∠5＝180°，∠2+∠6＝180°， ∴∠1+∠2＝360°﹣（∠5+∠6）， ∴∠1+∠2＝∠3+∠4； （2）答：四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和； （3）解：∵∠B+∠C＝240°， ∴∠MDA+∠NAD＝240°， ∵AE、DE分别是∠NAD、∠MDA的平分线， ∴∠ADE＝∠MDA，∠DAE＝∠NAD， ∴∠ADE+∠DAE＝（∠MDA+∠NAD）＝×240°＝120°， ∴∠E＝180°﹣（∠ADE+∠DAE）＝180°﹣120°＝60°． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$