精品解析：陕西省西安市临潼区华清中学2024-2025学年高二上学期开学摸底测试数学试卷

2024-2025学年第一学期高二开学摸底测试卷数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知复数（为虚数单位），则实数的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 6 4. 已知，为两个不重合的平面，l，m为两条不同的直线，（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 下列说法中正确的是（ ） A. 若事件与事件是互斥事件，则 B. 对于事件和， C. 一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件 D. 把红、橙、黄、绿4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件 6. 如图，在中，是上的两个三等分点，，则的值为（ ） A. 50 B. 80 C. 86 D. 110 7. 定义在R上的奇函数满足：任意，都有，设，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 某地政府对在家附近工作的年轻人进行了抽样调查，得到他们一年能在家陪伴父母的天数，并绘制成如图所示的频率分布直方图，则样本中位数约为（ ） A. 150.5 B. 152.5 C. 154.5 D. 156.5 二、多选题 9. 已知，，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则（ ） A. 是奇函数 B. 的最小正周期是 C. 图象的一个对称中心是 D. 上单调递增 11. 如图，正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 平面 C. 的最小值为 D. 当，C，，P四点共面时，四面体的外接球的体积为 三、填空题 12. 已知正数，满足，则的最小值为__________. 13. 某几何体底面的直观图为如图矩形，其中，该几何体底面的面积为________． 14. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，则___________. 四、解答题 15. 已知函数满足． （1）求的解析式； （2）求函数在上的值域． 16. 正四棱台两底面边长分别为2和4． （1）若侧棱长为，求棱台的表面积； （2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高． 17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求A； （2）若，求面积的最大值. 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，E是PC的中点，点F在棱BP上，且，四边形ABCD为正方形，. （1）证明：； （2）求三棱锥的体积； （3）求二面角的余弦值. 19. 当我们沉浸在游戏世界中时，很容易忽视时间的流逝，甚至忘记自己的学业和生活.一些大学生因为过度沉迷网络游戏，导致学业成绩下滑，身体健康状态也受到影响.长时间盯着电脑屏幕，不仅会导致视力下降，还可能引发颈椎病等健康问题.更为严重的是，过度依赖虚拟世界的社交可能会削弱我们在现实生活中的社交能力，造成人与人之间的疏离感.某大学心理机构为了向大学生宣传沉迷网络游戏的危害，该机构随机选择了200位沉迷网络的大学生进行宣传，将这些大学生每天玩网络游戏的时间分成五段：，，，，（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值； （2）请估计这200位大学生每天玩网络游戏的平均时间（同组数据用区间的中点值代替）； （3）现在从和两组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求这2人每天玩网络游戏的时间所在区间不同的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期高二开学摸底测试卷数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知复数（为虚数单位），则实数的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得，根据复数乘法运算法则，和复数相等的充要条件，即可求解. 【详解】， 故选:D. 【点睛】本题考查复数的代数运算、复数相等的应用，属于基础题. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求解集合A,然后进行交集补集运算即可. 【详解】集合, 或,则 故选：C 3. 已知向量，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据可得，进而利用向量的数量积的坐标表示可得结果． 【详解】因为，即， 化简，整理得， 则，解得. 故选：D 4. 已知，为两个不重合的平面，l，m为两条不同的直线，（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理和性质定理，结合线面垂直的性质定理逐一判断即可. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，则或，故B错误； 对于C，若，，则或，故C错误； 对于D，若，，由面面平行的性质定理可得，故D正确. 故选：D 5. 下列说法中正确的是（ ） A. 若事件与事件是互斥事件，则 B. 对于事件和， C. 一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件 D. 把红、橙、黄、绿4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件、对立事件以及事件的关系与运算逐一判断即可. 【详解】选项A，因为事件与事件是互斥事件，但不一定对立，所以不一定成立，故选项A错误； 选项B，因为事件和不一定是互斥事件，所以没有，故选项B错误； 选项C，因为事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”，可以同时发生，故选项C错误； 选项D，因为件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不能同时发生，所以这两事件是互斥事件，故选项D正确. 故选：D. 6. 如图，在中，是上的两个三等分点，，则的值为（ ） A. 50 B. 80 C. 86 D. 110 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意利用平向量基本定理将用表示出来，然后利用数量积的运算律求解即可. 【详解】因为在中，是上的两个三等分点，， 所以， ， 所以 . 故选：B 7. 定义在R上的奇函数满足：任意，都有，设，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得在R上单调递增，，利用对数函数及指数函数的单调性可得，从而即可得答案. 【详解】因为是在R上的奇函数，且任意，都有， 所以在R上单调递增， 又因为， 所以， 又因为，， 所以， 所以 即. 故选：C. 8. 某地政府对在家附近工作的年轻人进行了抽样调查，得到他们一年能在家陪伴父母的天数，并绘制成如图所示的频率分布直方图，则样本中位数约为（ ） A. 150.5 B. 152.5 C. 154.5 D. 156.5 【答案】B 【解析】 【分析】先根据频率之和为1求出未知数，再找到频率之和为0.5所在的区间即可根据频率分布直方图进行求解中位数. 【详解】依题意，，解得， 显然，， 所以样本中位数为. 故选：B 二、多选题 9. 已知，，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】通过举反例判断选项AC错误；利用作差法判断B选项，利用不等式的性质判断D选项即可. 【详解】对于A，当时，，故选项A错误； 对于B，因为,所以，所以，故选项B正确； 对于C，当时，，故选项C错误； 对于D，因为，所以，又，所以，故选项D正确； 故选：BD. 10. 已知，则（ ） A. 是奇函数 B. 的最小正周期是 C. 图象的一个对称中心是 D. 上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】由三角恒等变换化简解析式，由定义判断A；由周期公式判断B；由性质判断CD. 【详解】， 对于A：，即是奇函数，故A正确； 对于B：的最小正周期是，故B错误； 对于C：令，当时，图象的对称中心是，故C正确； 对于D：，函数在上单调递增，所以上单调递减，故D错误； 故选：AC 11. 如图，正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 平面 C. 的最小值为 D. 当，C，，P四点共面时，四面体的外接球的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，求出为定值，且P到平面的距离为1，从而由等体积得到锥体体积为定值；B选项，证明出面面平行，得到线面平行； C选项，将两平面展开到同一平面，连接，交于点，此时最小，最小值即为的长，由勾股定理得到最小值； D选项，点P在点B处，，C，，P四点共面，四面体的外接球即正方体的外接球，求出正方体的外接球半径，得到外接球体积. 【详解】对于A，因为不在平面内，平面， 所以平面，又， 所以点到平面的距离为， 又为定值， 故定值，A正确； 对于B，因为，平面，平面，所以平面， 同理可知平面， 又，平面， 所以平面平面， 由于平面，故平面，B正确. 对于C，展开两线段所在的平面，得矩形及等腰直角三角形， 连接，交于点，此时最小，最小值即为的长， 过点作⊥，交的延长线于点， 其中， 故，又勾股定理得，C正确； 对于D，点P在点B处，，C，，P四点共面， 四面体的外接球即正方体的外接球， 故外接球的半径为，所以该球的体积为，D正确. 故选：ABD 【点睛】特殊几何体的内切球或外接球的问题，常常进行补形，转化为更容易求出外接球或内切球球心和半径的几何体，比如墙角模型，对棱相等的三棱锥常常转化为棱柱来进行求解. 三、填空题 12. 已知正数，满足，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正数，满足，可得， 再由，利用基本不等式即可求解. 【详解】由正数，满足，可得， 所以， 当且仅当，，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 13. 某几何体底面的直观图为如图矩形，其中，该几何体底面的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直观图，得到底面平面图形的形状和图形的高，根据平行四边形的面积公式求出底面积. 【详解】在直观图中，令轴与交于点，则， 直观图还原为平面图形如图， 根据直观图与原图的关系可得：， 故该几何体的底面是平行四边形，其面积为. 故答案为：. 14. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，则___________. 【答案】##0.75 【解析】 【分析】利用正弦定理、三角变换公式可得及，故可得，消元后可得的值. 【详解】由正弦定理可得， 故， 故， 整理得到， 而，故，所以， 故，解得或， 若，则，故同为钝角，这与矛盾， 故. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知函数满足． （1）求的解析式； （2）求函数在上的值域． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用换元法进行求解即可； （2）根据二次函数的单调性进行求解即可. 【小问1详解】 令，得， 则， 故的解析式为． 【小问2详解】 由题意得， 函数的对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， ， 故在上的值域为． 16. 正四棱台两底面边长分别为2和4． （1）若侧棱长为，求棱台的表面积； （2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设分别为上，下底面的中心，分别取的中点，利用梯形求出斜高，从而求出表面积； （2）根据已知条件求出斜高, 再由直角梯形求出四棱台的高. 【小问1详解】 如图，设分别为上，下底面的中心， 分别取的中点，连接，则为正四棱台的斜高， ， 则棱台的表面积. 【小问2详解】 两底面面积之和为， 正四棱台的侧面积为，解得， 正四棱台的高. 17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求A； （2）若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由二倍角余弦公式及正弦边角关系得，根据余弦定理求的余弦值，进而确定其大小； （2）由已知和余弦定理得，再由求面积最大值，注意取值条件. 【小问1详解】 由已知， 即，由正弦边角关系得， 所以，又，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，得，又， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，故的面积的最大值为. 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，E是PC的中点，点F在棱BP上，且，四边形ABCD为正方形，. （1）证明：； （2）求三棱锥的体积； （3）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：因为底面，底面，所以. 因为四边形为正方形，所以. 因为，所以平面. 因为平面，所以. 在中，，E是PC的中点，则. 因为，所以平面. 因为平面，所以. 因为，，所以平面. 因为平面，所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定求证； （2）由转化求解； （3）由线面垂直的性质得即二面角的平面角，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接交于点，如图所示： 则，又底面，平面，得， 而，则平面，则点C到平面的距离为， 因为E是PC的中点，所以 ，，，， 所以，， 所以. 【小问3详解】 解：由（1）可得平面，因为平面，平面，所以，. 为二面角的平面角. ，. 因为，所以，解得. 因为，即，所以. 故二面角的余弦值为. 19. 当我们沉浸在游戏世界中时，很容易忽视时间的流逝，甚至忘记自己的学业和生活.一些大学生因为过度沉迷网络游戏，导致学业成绩下滑，身体健康状态也受到影响.长时间盯着电脑屏幕，不仅会导致视力下降，还可能引发颈椎病等健康问题.更为严重的是，过度依赖虚拟世界的社交可能会削弱我们在现实生活中的社交能力，造成人与人之间的疏离感.某大学心理机构为了向大学生宣传沉迷网络游戏的危害，该机构随机选择了200位沉迷网络的大学生进行宣传，将这些大学生每天玩网络游戏的时间分成五段：，，，，（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值； （2）请估计这200位大学生每天玩网络游戏的平均时间（同组数据用区间的中点值代替）； （3）现在从和两组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求这2人每天玩网络游戏的时间所在区间不同的概率. 【答案】（1）0.1； （2）7.4小时； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图tk 小矩形面积和为1求出值. （2）利用频率分布直方图估计平均数的算法，列式计算即得. （3）利用分层抽样求出指定的两个区间的人数，再利用列举法求出古典概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图，得，所以. 【小问2详解】 每天玩网络游戏的平均时间（小时）. 【小问3详解】 每天玩网络游戏的时间在和内的人数比为， 则用分层抽样的方法抽取的5人中，在内的有1人，记为，在内的有4人，记为， 这5人中随机抽取2人的试验的样本空间，共10个样本点， 玩网络游戏的时间所在区间不同的事件，共4个样本点， 所以这2人每天玩网络游戏的时间所在区间不同的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $